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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Général Épreuve d'enseignement de spécialité }
\lfoot{\small{Épreuve 1}}
\rfoot{\small{Corrigé de la session 15 mars 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\textbf{\Large\decofourleft~BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}~\decofourright\\[6pt]
{\large ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[6pt] 
\textbf{Corrigé de la session du 15 mars 2021 Sujet 1}}

\vspace{0,5cm}

Durée de l’épreuve : \textbf{4 heures}

\vspace{0,5cm}

\emph{L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg, est autorisé.}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite \textbf{4 exercices} : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{Exercice 1, commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

%Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 10\,\% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60\,\% d'entre eux sont finalement admis à l'école.
%\item[$\bullet~~$] Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20\,\% d'entre eux sont admis à l'école.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le candidat a été sélectionné sur dossier \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og le candidat a été admis à l'école \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $\overline{D}$ et $\overline{A}$ les évènement s contraires des évènement $D$ et $A$ respectivement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~Traduire la situation par un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\taput{0,1}}
	{\TR{$A$} \taput{0,6}
	\TR{$\overline{A}$} \tbput{0,4}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\tbput{0,9}}
	{\TR{$A$} \taput{0,2}
	\TR{$\overline{A}$} \tbput{0,8}
	}
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
On a $P(D \cap A) = P(D) \times P_D(A) = 0,1 \times 0,6 = 0,06$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement  $A$ est égale à $0,24$.
On a de même $P\left(\overline{D} \cap A \right) = P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}(A) = 0,9 \times 0,2 = 0,18$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(A) = P(D \cap A) + P\left(\overline{D} \cap A \right) = 0,06 + 0,18 = 0,24$.
\item %On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné?
On a $P_A\left(\overline{D} \right) = \dfrac{P\left(A \cap \overline{D}\right)}{P(A)} = \dfrac{P\left(\overline{D} \cap A \right) }{P(A)} = \dfrac{0,18}{0,24} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4} = 0,75$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à $0,24$.

%On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi?
Les paramètres de cette loi sont $n = 7$ et $p = 0,24$.
		\item %Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.
On a $P(X = 1) = \binom{7}{1}\times 0,24 \times (1 - 0,24)^{7-1} = 7 \times 0,24 \times 76^6 \approx 0,324$ soir environ 0,32 au centième près. 
		\item %Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
		On a $P(X \geqslant 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0,146 - 0,324$ soit environ 0,53.
	\end{enumerate}
\item  %Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.

%On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
		On a $P_n = 0,24^0 \times 0,76^n = 0,76^n$.
		\item %À partir de quelle valeur de l'entier $n$ la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?
		La probabilité d'avoir au moins un candidat reçu est $1 - P_n = 1 - 0,76^n$.
		
		Il faut donc résoudre $1 - 0,76^n \geqslant 0,99 \iff 1 - 0,99 \geqslant 0,76^n$ ou $0,01 \geqslant 0,76^n$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :
		
		$\ln 0,01 \geqslant n\ln 0,76 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,76}$.
		
Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,76} \approx 16,7$. Il faut donc présenter au moins 17 candidats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2, commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.
		\item %Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x} = \text{e}^x \times \dfrac{1}{x}$.
		
Or $\displaystyle\lim_{x \to 0}\text{e}^x = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty$ : ceci signifie que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de zéro.
	\end{enumerate}
\item  %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :

%\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\]

%où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
le dénominateur étant non nul, la fonction $f$ quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x \times x - 1 \times \text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}$.
\item %Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 

%On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
On sait que quel que soit $x \in \R$, \:, $x^2 > 0$  et $\text{e}^x > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 1$ :

$\bullet~~$Sur [0~;~1], $x - 1 < 0$, donc $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante de $+ \infty$ à $f(1) = \text{e}$ ;

$\bullet~~$Sur $[1~;~+ \infty]$, $x - 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante de $f(1) = \text{e}$  à $+ \infty$ ;

$\bullet~~$$f(1) = \text{e}$ est donc le minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(0,3.5)(8,3.5)\psline(0,3)(8,3)
\psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,2.9){$x$}\uput[u](2.1,2.9){$0$}\uput[u](5,2.9){$1$}\uput[u](7.5,2.9){$+\infty$}
\uput[u](,2.4){$f'(x)$}\uput[u](3.5,2.4){$-$}\uput[u](5,2.4){$0$}\uput[u](6.5,2.4){$+$}
\uput[d](2.5,2.5){$+\infty$}\uput[u](5,0){e}\uput[d](7.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,1.25){$f$}
\psline{->}(2.5,2)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
On voit $f$ prend toutes les valeur réelles de e à plus l'infini, donc :

$\bullet~~$Si $m > \text{e}$ : l'équation $f(x) = m$ a deux solutions ;

$\bullet~~$Si $m = \text{e}$ : l'équation $f(x) = \text{e}$ a une solution : 1 ;

$\bullet~~$Si $m < \text{e}$ : l'équation $f(x) = m$ n'a pas  de solution.
\item  %On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.

%On note $A$ un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2  = 0$.
$\Delta$ a pour coefficient directeur $- 1$, donc la tangente aussi et ce coefficient directeur est égal au nombre dérivé $f'(a) = \dfrac{\text{e}^a(a - 1)}{a^2}$. D'où :

$\dfrac{\text{e}^a(a - 1)}{a^2} = - 1 \iff \text{e}^a(a - 1) =- a^2 \iff \text{e}^a(a - 1)  + a^2 = 0$.
 
Donc $a$ doit être solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation $\text{e}^x(x - 1)  + x^2 = 0$.
	
On note $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2 $.

%On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
		\item %Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
Sur $[0~;~ +\infty[$, on a :

$g'(x) = \text{e}^x(x - 1) + 1\times \text{e}^x + 2x = \text{e}^x(x - 1 + 1) + 2x = x\text{e}^x + 2x$.

On voit que $g'(x)$ est la somme de deux termes positifs donc est positive sur $]0~;~+ \infty[$.

On a $g(0) = 1 \times (- 1) + 0 = - 1 = 1$.

La fonction $g$ est donc  croissante de $- 1$   à plus l'infini car 
 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\text{e}^x = + \infty$.
		\item %Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
De la question précédente et en appliquant le théorème de la bijection on déduit que $f$ s'annule une seule fois sur $[0~;~+ \infty[$ ; il existe donc $a \in ]0~;~+\infty[$ unique tel que 

$f(a) = 0$.

La calculatrice donne $a \approx 0,74$.
		
%On sait qu'une équation de la tangente $T_a$ en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est :
%
%$M(x~;~y) \in T_a \iff y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
%
%Avec $f(a) = \dfrac{\text{e}^a}{a}$ et $f'(a) = - 1$ (coefficient directeur de $\Delta$, on obtient :
%
%$M(x~;~y) \in T_a \iff y - \dfrac{\text{e}^a}{a} = -(x - a) \iff y = - x + a + \dfrac{\text{e}^a}{a}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3, commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\Aucune justification n'est demandée.}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5)
%\psline(0,0)(5,0)(8,1.8)%DCB
%\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(8,1.8)(3,1.8)(0,0)%BADB
%\psline[linestyle=dashed](5,0)(3,1.8)(4,4)(4,0.95)%CASI
%\psline(0,0)(4,4)(5,0)(8,1.8)(4,4)%DSCBS
%\uput[dl](0,0){D}\uput[dr](5,0){C}\uput[ur](8,1.8){B}\uput[ul](3,1.8){A}
%\uput[u](4,4){S}\uput[d](4,0.95){I}
%\uput[ul](2,2){K}\uput[ur](4.5,2){L}\uput[ur](6,2.9){M}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=30,dotscale=1.85](2,2)(4.5,2)(6,2.9)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
%
%Le point I est le centre du carré ABCD. 
% 
%On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.
%
%Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Les droites (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \vect{\text{IC}},~\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IS}}\right)$.

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:

\[\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1).\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a K$(0~;~- 0,5~;~0,5)$ et L$(0,5~;~0,~;~0,5)$ donc N$(0,25~;~- 0,25~;~0,5) = \left(\frac{1}{4}~;~- \frac{1}{4}~;~\frac{1}{2} \right)$.
\item Les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AS}}$ sont : $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item %Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
\emph{Méthode } 1

On voit que la seule représentation dont le vecteur directeur a pour coordonnées (1~;~0~;~1) est la troisième.

De plus la valeur $t = - 1$ donne les coordonnées de A et la valeur $t = 0$ donne les coordonnées de S. Donc réponse \textbf{c.}

\emph{Méthode } 2
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AS}) \iff $ il existe \: $u \in \R, \: \vect{\text{A}M} = u\vect{\text{AS}} \: (u \in \R)\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - (- 1)&=&1\times u\\
y- 0&=&0 \times u\\
z - 0&=&1\times u
\end{array}\right. \: (u \in \R)\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 1 + u \\
y&=&0\\
z &=&u
\end{array}\right.\: (u \in \R)$.

En posant $- 1 + u = t$ ou encore $u = 1 + t$ le système devient en remplaçant $u$ par $1 + t$ :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AS}) \iff$ il existe \: $t \in \R, \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&t \\
y&=&0\\
z &=&1 + t
\end{array}\right.$. Donc réponse \textbf{c.}
%{\footnotesize \begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1-t\\y&=&t\\z&=&-t
%\end{array}\right.$
%
%$(t \in \R)$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1+2t\\y&=&0\\z&=&1 + 2t
%\end{array}\right.$
%
%$(t \in \R)$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&t\\y&=&0\\z&=&1+t
%\end{array}\right.$
%
%$(t \in \R)$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1-t\\y&=&1+t\\z&=&1-t
%\end{array}\right.$
%
%$(t \in \R)$
%\end{tabularx}
%\end{center}}
\item \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
\vspace*{-10pt}
\begin{list}{\textbullet}{On procède par élimination.}
\item Le plan d'équation $y+z-1=0$ ne contient pas  C\,$(1~;~0~;~0)$; on élimine \textbf{a.}
\item Le plan d'équation $x-y+z=0$ ne contient pas  S\,$(0~;~0~;~1)$; on élimine \textbf{c.}
\item Le plan d'équation $x+z-1=0$ ne contient pas  B\,$(0~;~1~;~0)$; on élimine \textbf{d.}
\end{list}

\smallskip

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

%Une équation cartésienne du plan (SCB) est: $x + y + z - 1 = 0$
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
%\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

\medskip

\textbf{Exercice A}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.}\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
$\bullet~~$$u_1 = \dfrac{3}{4} \times 1  + 0 + 1 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{7}{4} = 1,75$ ;

$\bullet~~$$u_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4}  + \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{21}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{41}{16} = \np{2,5625}$. 
%\end{enumerate}
%
%\parbox{0.5\linewidth}{L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A&B\\ \hline
%1	&$n$&$u_n$\\ \hline
%2 	&0	&1\\ \hline
%3 	&1	&1,75\\ \hline
%4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
%5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
%6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
		Dans la cellule B3 : =0,75*B2 + 0,25*A2 +1.
		\item %Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
La suite $\left(u_n\right)$ semble être croissante.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~%Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
\emph{Initialisation } : au rang 0 : on a bien $0 \leqslant u_0 \leqslant 0 + 1$, soit $0\leqslant 1 \leqslant 1$.
		
\emph{Hérédité} : supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.

En multipliant par le nombre positif $\dfrac{3}{4}$, on a $\dfrac{3}{4}n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n \leqslant \dfrac{3}{4}(n + 1)$, puis en ajoutant à chaque terme $\dfrac{1}{4}n + 1$ :

$\dfrac{3}{4}n  + \dfrac{1}{4}n + 1\leqslant \dfrac{3}{4}u_n  + \dfrac{1}{4}n + 1\leqslant \dfrac{3}{4}(n + 1) + \dfrac{1}{4}n + 1$, soit 

$n + 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n + 1 + \dfrac{3}{4}$ et enfin 

$n + 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant (n + 1) + 1$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : on a démontré par le principe de récurrence que quel que soit le naturel $n$, \: $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
		\item %En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite 
Les termes de la suite sont encadrés par des entiers consécutifs de plus en plus grands, donc la suite est croissante.
			
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} (n + 1) = + \infty$, par le principe d'encadrement, on a 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$.
.
		\item %Démontrer que :
		On a pour tout naturel $n \geqslant 1$ : $n \leqslant u_n \leqslant n+1$ soit en multipliant par $\dfrac{1}{n}$ non nul : $\frac{n}{n} \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n}{n+1}$ ou 
		
$1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n}{n+1}$.

Or comme 	$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$, par le principe d'encadrement, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1$. 
		
%\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]

	\end{enumerate}
\item %On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - n$
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
Pour tout $n \in \N$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - (n + 1) = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 - n - 1 = \dfrac{3}{4}u_n - \dfrac{3}{4}n = \dfrac{3}{4}\left(u_n - n\right) = \dfrac{3}{4}v_n$.

Cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = u_0 = 1$.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
		On sait alors que pour tout naturel $n$, \: $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n  = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
		
Or $v_n = u_n - n \iff u_n = v_n + n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline\textbf{Exercice B}\\
\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction logarithme; convexité}
\\ \hline
\end{tabularx}

%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = x + 4 - 4\ln (x) - \dfrac{3}{x}\]

%où ln désigne la fonction logarithme népérien.

%On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Pour tout $x$ réel strictement positif, on a :
$f(x) = x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 - \dfrac{3}{x}$

D'après la propriété des croissances comparées : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$

Donc, par limite de la somme : $\lim\limits_{x\to +\infty}  1- 4\dfrac{\ln(x)}{x} = 1$

Puis, par limite du produit : $\lim\limits_{x\to +\infty} x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) = +\infty$

Comme par ailleurs, $\lim\limits_{x\to +\infty}  4 -\dfrac{3}{x} = 4$, par limite de la somme, on en conclut :

$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to +\infty} x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 -\dfrac{3}{x} = +\infty$.
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
On a $f'(x) = 1 - 4 \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}$.
%Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :

%\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3x^2}{x^2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
		
%On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		
%On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
On sait que sur $]0~;~ +\infty[$, \: $x^2 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x^2 - 4x + 3$.

Or $x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 + 1)(x - 2 - 1) = (x - 1)(x - 3).$

On sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle ]1~;~3[ où $f'(x)  < 0$.

Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur ]0~;~1[, décroissante de ]1~;~3[ et croissante sur $]3~;~+ \infty[$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.1,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$1$}\uput[u](6,2.4){$3$}\uput[u](7.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5,1.9){$-$}\uput[u](6,1.9){$0$}\uput[u](7,1.9){$+$}\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$2$}\uput[u](6,0){\footnotesize $6 - 4 \ln 3 \approx 1,6$}
\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(5.5,0.5)\psline{->}(6.5,0.5)(7.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$.
La simple lecture ne permet pas de comparer $\dfrac{5}{3}$ et $6 - 4\ln 3$.

Avec $6 - 4\ln 3 \approx 1,6$ et $\dfrac{5}{3} < \dfrac{6}{3} = 2$, on peut affirmer qu'il existe trois antécédents de $\dfrac{5}{3}$, donc trois solutions pour l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$ dans $\R_+$.
	\end{enumerate}
\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. 

%On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
$f'$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f''(x) = \dfrac{x^2(2x - 4) - 2x\left(x^2 - 4x + 3 \right)}{x^4} = \dfrac{2x^3 - 4x^2 - 2x^3 + 8x^2 - 6x}{x^4} = \dfrac{4x^2 - 6x}{x^4} = \dfrac{4x - 6}{x^3} = \dfrac{2(2x - 3)}{x^3}$.

Comme $x^3 > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $2x - 3$. Donc :

$\bullet~~$Sur $\left]0~;~\frac{3}{2}\right[, \: f''(x) < 0$ : la fonction est concave ;

$\bullet~~$Sur $\left]\frac{3}{2}~;~+ \infty\right[, \: f''(x) > 0$ : la fonction est convexe ;

$\bullet~~$$f''\left(\frac{3}{2}\right) = 0$, donc $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse $\frac{3}{2}$.

Son ordonnée est $f\left(\frac{3}{2}\right)  = \frac{3}{2} + 4 - 4\ln \frac{3}{2} - \dfrac{3}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} + 4  - 2 - 4\ln \frac{3}{2}  = \dfrac{7}{2} - 4\ln \frac{3}{2}$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-0.75,-3)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-4.9)(6,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{6}{ x 4 add x ln 4 mul sub 3 x div sub}
\psline(0,1.6667)(10,1.6667)\uput[u](5.8,2.3){\red $\mathcal{C}$}
\uput[u](5.7,1.6667){$y = \frac{5}{3}$}
\psline[ArrowInside=->]{->}(1.5,0)(1.5,1.88)(0,1.88)
\uput[d](1.5,0){$\frac{3}{2}$}\uput[l](-0.2,1.88){$f\left(\frac{3}{2}\right)$}
\psplotTangent[arrows=<->]{1.5}{1}{x 4 add x ln 4 mul sub 3 x div sub}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}