\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} %\DecimalMathComma \usepackage{fourier} % \usepackage{lmodern} \usepackage{graphicx} \usepackage[]{xcolor} \usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{eurosym} % Euros \EUR{} \euro{} \usepackage{pifont} \usepackage{esvect} % Vecteurs \vv{} \usepackage{tabularx} \usepackage{fancybox} \usepackage{pst-tree,pst-node,pst-func,pstricks-add} \usepackage{lastpage} \usepackage{asymptote} \setlength{\textheight}{22cm} % \usepackage[body={18cm,23.7cm},top=3cm]{geometry} % Algorithmes \usepackage[french,linesnumbered,algoruled]{algorithm2e} \makeatletter \renewcommand{\algocf@captiontext}[2]{\AlCapNameSty{\centerline{\AlCapNameFnt{}#2}}} \makeatother \SetKwInput{Var}{Variable} \SetKwInput{Vars}{Variables} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} % Commandes \newcommand{\oij}{(O;\vv{\imath};\vv{\jmath})} \newcommand{\df}[1][f]{#1^{\prime}} \newcommand\dx[1][x]{\mathrm{d}#1} \DeclareMathOperator{\E}{e} \usepackage{fancyhdr} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small Baccalauréat ES} \cfoot{\small \scshape Polynésie 7 juin 2013} \rfoot{\thepage / \pageref{LastPage}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% Figures en code asymptote %% %% Pour compiler le fichier : %% 1) latex BacES-Polynesie-2013.tex // crée les fichier .asy %% 2) asy *.asy // compile les fichiers .asy et crée les images au format .eps %% 3) latex BacES-Polynesie-2013.tex // insère les images crées %% %% L'équivalent existe avec pdflatex : %% 1) pdflatex BacES-Polynesie-2013.tex // crée les fichier .asy %% 2) asy -f pdf *.asy // compile les fichiers .asy et crée les images au format .pdf %% 3) latex BacES-Polynesie-2013.tex // insère les images crées %% %% %% POUR PLUS DE PRECISION, VOIR LE FICHIER asymptote.txt joint au pdf %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ============================== % \usepackage{embedfile} % joindre un fichier au pdf % \embedfile[desc=asymptote memo]{asymptote.txt} % ============================== \usepackage[np]{numprint} \usepackage[french]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \newcolumntype{C}{>{\centering\arraybackslash}X} \thispagestyle{empty} \setlength{\parindent}{0pt} \begin{center} \Large \bfseries \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie~\decofourright\\7 juin 2013 \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1} \hfill 5 points \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item $f(\ln 2) = \ln 2 \times \E^{-\ln 2}$. Or, $-\ln 2=\ln \frac{1}{2}$ et $\E^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$. Ainsi, $f(\ln 2)=\frac{1}{2}\ln 2$ ; \textsc{Réponse d.} \item On utilise la formule de dérivation d'un produit et : $\df(x) = \E^{-x} + x (-\E^{-x}) = (1-x)\E^{-x}$ ; \textsc{Réponse c.} \item On sait que l'équation de cette tangente est $y=\df(0)(x - 0)+f(0)$ avec $\df(0) = 1$ et $f(0)= 0$. Donc $y=x$ ; \textsc{Réponse c.} \item $f''(x) = (x-2)\E^{-x}$ et $f''(x) < 0$ sur $]-\infty~;~2]$. Donc $f$ est concave sur $]-~\infty~;~2]$ ; \textsc{Réponse a.} \item À la calculatrice, on trouve, $\int_0^1 f(x) \dx = \frac{-2}{\E}+1$ ;\textsc{ Réponse c.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, la probabilité de l'évènement : le client interrogé a choisi la formule \og avion + hôtel \fg{} et l'option \og visites guidées \fg{} est égale à $0,12$. \item $P_A(V) = \frac{P(A \cap V)}{P(A)} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3$. \item Arbre pondéré représentant la situation : \medskip \begin{center} % % \includegraphics{BacES-Polynesie-2013-cor-arbre} %\begin{asy} %/* Code de G. Marris : http://www.marris.org/asymptote/Arbres/index.html#fig_ba01_100109_arbre */ %unitsize(.75cm); % %pen p=invisible; %real marge=0.2, EspH=2, EspV=2; % %object objet_1=draw("$A$",box,(EspH,EspV),marge,p), % objet_2=draw("$T$",box,(EspH,-EspV),marge,p), % objet_11=draw("$V$",box,(2*EspH,EspV*5/3),marge,p), % objet_12=draw("$\overline V$",box,(2*EspH,EspV*1/3),marge,p), % objet_21=draw("$V$",box,(2*EspH,-EspV*1/3),marge,p), % objet_22=draw("$\overline V$",box,(2*EspH,-EspV*5/3),marge,p); % %add(new void(picture pic, transform t) { % draw(pic,Label("$0,4$",UnFill(1)),(0,0)--point(objet_1,W,t),Center); % draw(pic,Label("$0,6$",UnFill(1)),(0,0)--point(objet_2,W,t),Center); % draw(pic,Label("$0,3$",UnFill(1)),point(objet_1,E,t)--point(objet_11,W,t),Center); % draw(pic,Label("$0,7$",UnFill(1)),point(objet_1,E,t)--point(objet_12,W,t),Center); % draw(pic,Label("$0,5$",UnFill(1)),point(objet_2,E,t)--point(objet_21,W,t),Center); % draw(pic,Label("$0,5$",UnFill(1)),point(objet_2,E,t)--point(objet_22,W,t),Center); %}); %\end{asy} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$}\taput{$0,4$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,3$} \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,7$} } \pstree{\TR{$T$}\tbput{$0,6$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,5$} \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,5$} } } \end{center} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On utilise la formule des probabilités totales : $P(V) = P(A \cap V) + P(T \cap V = 0,12 + 0,6 \times 0,5 = 0,42$. \item $P_{\overline V}(A) = \frac{P(\overline V \cap A}{\overline V} = \frac{0,4 \times 0,7}{1-0,42} = 0,483$. \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le coût d'un week-end à Londres. La loi de probabilité de $X$ est alors : \begin{center} \begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|C|C|C|C|}\hline $x_i$ & 390 & 490 & 510 & 610 \\\hline $P(X=x_i)$ & 0,28 & 0,12 & 0,3 & 0,3 \\\hline \end{tabularx} \end{center} L'espérance mathématique de $X$ est égale à : $E(X) = 0,28\times 390 + 0,12\times 490 + 0,3\times 510 + 0,3\times 610 = 504$. Cela signifie que chaque personne dépense, \emph{en moyenne}, \EUR{504} par week-end à Londres. Le chiffre d'affaire espéré par l'agence pour 50 clients est donc égal à $50 \times 504 = \np{25200}$~\euro{}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Graphe probabiliste représentant la situation : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.1) \Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets \psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%différents paramètres \ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,15}% premier vers second \ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1}% second vers premier \nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm} \Bput{0,85}% premier sommet \nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,9}% second sommet \end{pspicture} % \includegraphics{BacES-Polynesie-2013-cor-graphe} %\begin{asy} %size(200); %real marge=1mm; %pair z1=(-3,0); %pair z2=(3,0); % %object etat_1=draw("$A$",ellipse,z1,marge,filltype=NoFill,black); %object etat_2=draw("$B$",ellipse,z2,marge,filltype=NoFill,black); % %add(new void(picture pic, transform t) { % draw(pic,Label("$0,85$"),point(etat_1,NW,t){NW} ..{NE}point(etat_1,SW,t),Arrow); % draw(pic,Label("$0,15$"),point(etat_1,SE,t){SE} ..{NE}point(etat_2,SW,t),Arrow); % draw(pic,Label("$0,1$"),point(etat_2,NW,t){NW} ..{SW}point(etat_1,NE,t),Arrow); % draw(pic,Label("$0,9$"),point(etat_2,SE,t){SE} ..{SW}point(etat_2,NE,t),Arrow); %}); %\end{asy} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Matrice de transition : $M = \begin{pmatrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$ \item En 2013, $n=3$ et $P_3 = P_0 \times M^3 = \begin{pmatrix} 0,61 & 0,39 \end{pmatrix}$. \item On sait que $P=P\times M$ d'où $ \begin{cases} a=0,1b+0,85a \\ b=0,9b+0,15a \end{cases}$. Ces deux égalités amènent à l'équation $0,15a- 0,1b = 0$. On sait de plus que $a+b=1$ donc on a le système $\begin{cases} a+b=1 \\ 0,15a-0,1b=0 \end{cases}$ d'où : $\begin{cases} a=1-b \\ 0,15-0,15b-0,1b=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=1-b \\ b=\frac{0,15}{0,25} = 0,6 \end{cases} \iff \begin{cases} a=0,4 \\ b=0,6 \end{cases}$ Ainsi, le système se stabilise autour de l'état stable $P= \begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$ ce qui signifie qu'à \emph{long terme}, le fournisseur d'accès B possédera 60~\% du marché. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Cela revient à résoudre le système $\begin{cases} s+c=550 \quad \text{(nombre total d'objets)} \\ 0,8s+1,2c=540 \quad \text{(coût total)} \end{cases}$. \item Soit $R = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ la matrice des coefficients, $X = \begin{pmatrix} s \\ c \end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant les deux inconnues et $T = \begin{pmatrix} 550 \\ 540 \end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant le second membre. On a alors $R \times X = T \iff \begin{cases} s+c=550 \quad \text{nombre total d'objets} \\ 0,8s+1,2c=540 \quad \text{coût total} \end{cases}$. \item $X = R^{-1}\times T = \begin{pmatrix} 300 \\ 250 \end{pmatrix}$. L'entreprise B a distribuée 300 stylos et 250 porte-clés. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \hfill 5 points \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item On note $t$ le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011. On a alors : $\np{81295}\times (1 + t)^3 = \np{63182}$ soit $(1 + t)^3 = \frac{\np{63182}}{\np{81295}}$ Ainsi, $1 + t = \left( \frac{\np{63182}}{\np{81295}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx \np{0,9194}$. Donc $t \approx \np{0,9194} - 1 = \np{0,0806}$, ce qui correspond à une baisse de 8,06\,\% par an. \item Si on saisit $P= \np{50000}$ entrée, on obtient $3+2011=2014$ en sortie par cet algorithme. Cela signifie que les montants réalisés à l'exportation des produits perliers passera sous les \EUR{\np{50000}} en 2014 si la baisse de 8~\% se poursuit. \item \begin{enumerate} \item On passe d'un terme au suivant en multipliant par $1-\frac{8}{100} = 0,92$. Ainsi, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de 1\ier{} terme $u_0 = \np{63182}$ et de raison $q = 0,92$. \item $u_n = u_0 \times 0,92^n$ \item En 2016, $n=5$ et $u_5 = \np{63182}\times 0,92^5 = \np{41642}$. \end{enumerate} \item Cela revient à calculer la somme $S_9 = u_0 + u_1 + \cdots + u_9$. $S_9 = u_0 \dfrac{1-0,92^{10}}{1-0,92} = \np{446706}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \hfill 5 points \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A. Étude de la zone 1} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe de densité de probabilité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$. Par lecture graphique, $\mu = 150$. \item À la calculatrice, on trouve $P(150 \leqslant X \leqslant 210) = 0,48$. \item $P(X \geqslant 120) = 1- P(X \leqslant 120) = 0,84$. \item Non ; en effet, la courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, $P(X \leqslant \mu)=0,5$. %\psset{unit=.5cm} %\begin{pspicture}(-3,-2)(9,7) %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\uput[dl](8,7){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe} 2}}} %\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,7) %\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm} %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,0224) %\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.0224){\footnotesize{$y$}} %\psGauss[sigma=20, mue=105,linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-175}{225} %\psline[linecolor=cyan]{->}(100,0.022)(225,0.022) %\psline[linecolor=cyan]{->}(70,0)(70,0.011)(225,0.011) %\uput[u](142.5,0.011){\footnotesize $P(X \geqslant 120)$} %\uput[u](162.5,0.022){\footnotesize 0,5} %\end{pspicture} Ainsi, si $k>\mu$, $P(X < k) = P(X \leqslant \mu) + P(\mu < X < k)$ avec $P(\mu < X < k) >0$. Finalement, si $k>\mu$, $P(X0,5$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude de la zone 2} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f = \dfrac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0,3$. \item $I=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{50}} \right] = \left[ 0,159~;~0,441 \right]$. \end{enumerate} \item La courbe de la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 205$, ce qui exclut la courbe 3. De plus $\df[\sigma] > \sigma$, ce qui signifie que les valeurs sont plus dispersées. La courbe représentant la densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$ est donc la courbe 1. \end{enumerate} %%% Local Variables: %%% mode:latex %%% LaTeX-command: "latex -shell-escape" %%% TeX-parse-self: t %%% TeX-auto-save: t %%% eval: (TeX-PDF-mode 1) %%% End: \end{document}