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%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz 
% Sujet aimablement fourni par Valérie Camargo
% Corrigé : Denis Vergès  
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES  }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 14 novembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud~\decofourright\\14 novembre 2012} 
\end{center} 

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%QCM \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.}
%
%\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $(C)$ d'une 
%fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$. On sait que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item la courbe $(C)$ passe par les points O(0~;~0) et A$\left(2~;~\dfrac{8}{\text{e}}\right)$, 
%\item la tangente à $(C)$ en O est la droite (T) qui passe par le point de coordonnées (1~;~4), 
%\item la tangente à $(C)$ en A est parallèle à l'axe des abscisses, 
%\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(12,7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-1,-1)(12,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(12,7)
%\uput[dl](0,0){0}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{4 x mul 2.71828 x 2 div exp div}
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,2.943)(3,2.943)
%\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1.75,7)
%\uput[u](2,2.943){A}\uput[r](1.8,6.5){(T)}\uput[u](10.5,0.3){$(C)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La limite de $f$ en $+ \infty$ est : 
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$, donc la limite de $f$ en $+ \infty$ est : $0$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $- \infty$& \textbf{c.~~} $+ \infty$ \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item %Le nombre $f'(0)$ vaut : 
On lit comme coefficient directeur de la droite (T) : $4$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $- 1 $& \textbf{b.~~} $0$ & \textbf{c.~~}$4$  \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item %L'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $[0~;~+ \infty[$& \textbf{b.~~} [0~;~2]& \textbf{c.~~} [0~;~2[ \\
%\end{tabularx}
La fonction est croissante, donc le nombre dérivé est positif sur l'intervalle $[0~;~2]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, par $g(x) = x\text{e}^{- 2x}$. La dérivée de la fonction $g$ est :
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $g'(x) = - 2\text{e}^{- 2x}$& \textbf{b.~~} $g'(x)=(1 - 2x)\text{e}^{- 2x}$& \textbf{c.~~} $g'(x)=\text{e}^{- 2x}$ \\
%\end{tabularx}
Dérivée d'une fonction produit : $g'(x) = \text{e}^{- 2x} - 2x\text{e}^{- 2x} = \text{e}^{- 2x}(1 - 2x)$.
\medskip  
\item %La valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- 2x}\:\text{d}x$ est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 2} \right)$& \textbf{b.~~} $\text{e}^{- 2} - 1$& \textbf{c.~~} $- \dfrac{1}{2}\left(1 + \text{e}^{- 2} \right)$ \\
%\end{tabularx}

%\medskip
Une primitive de $\text{e}^{- 2x}$ est $- \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}$. Donc 

$\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- 2x}\:\text{d}x = \left[ - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}\right]_0^1 = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2\times 0} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 2} \right)$.
\item %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~3] par $h(x) = \dfrac{1}{x}$. La valeur moyenne de la fonction $h$ sur [1~;~3] est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $\ln 3$& \textbf{b.~~} $\dfrac{2}{3}$& \textbf{c.~~} $\ln \left(\sqrt{3}\right)$ \\
%\end{tabularx}
La valeur moyenne de la fonction est égale à = 

$\dfrac{1}{3 - 1}\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[\ln x \right]_1^3 = \dfrac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1) = \dfrac{1}{2}\ln 3 = \ln 3^{\frac{1}{2}} = \ln \left(\sqrt{3} \right)$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
%Le tableau ci-dessous donne le nombre de licenciés à la fédération française de badminton.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.3cm}|*{10}{@{}>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
%\footnotesize Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
%\footnotesize Rang $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline  
%\footnotesize Nombre de licenciés $\left(y_{i}\right)$&\np{70589} &\np{79049} &\np{85712} &\np{91782} &\np{96706} &\np{108762} &\np{114725} &\np{115643} &\np{124894} &\np{134886}\\ \hline 
%\multicolumn{11}{r}{\emph{Sources: Fédération Française de Badminton}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009.
L'augmentation est égale à : $\dfrac{\np{134886} - \np{70589}}{\np{70589}} \times 100 \approx 91,09$ soit environ 91\,\%. 
\item ~%Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan (P) muni du repère orthogonal \Oij, défini de la façon suivante :
Voir ci-dessous.
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on prendra 2~cm comme unité. 
%\item Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{70000} à l'origine et on prendra 1~cm pour \np{5000}~licenciés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{figure}[h]
\psset{xunit=1cm,yunit=0.0002cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-5000)(10,65000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=70000,Dy=150000](0,0)(10,65000)
\psdots(0,589)(1,9049)(2,15712)(3,21782)(4,26706)(5,38762)(6,44725)(7,45643)(8,54894)(9,64886)
\multido{\n=0+10000,\na=70000+10000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,65000)}
\multido{\n=0+5000}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à l'unité.
		La calculatrice donne soue équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés $y = \np{6849}x + \np{71453}$. 
		\item %En utilisant cet ajustement, calculer le nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012.
2012 correspond au rang 12 ; on peut donc prévoir : $\np{6849} \times 12  + \np{71453} = \np{153641}$.
	\end{enumerate} 
\item %On décide d'utiliser comme ajustement la courbe d'équation $y = k\text{e}^{px}$. On suppose que cette courbe passe par les points $M(0~;~\np{70589})$ et $N(9~;~\np{134886})$. 

%Déterminer les réels $k$ et $p$ (on arrondira $p$ au millième). 
On a le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
k\text{e}^0&=&\np{70589}\\
k\text{e}^{9p}&=&\np{134886}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
k\text{e}^{9p}&=&\np{134886}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
\np{70589}\text{e}^{9p}&=&\np{134886}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
\text{e}^{9p}&=&\frac{\np{134886}}{\np{70589}}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
9p&=&\ln \left( \frac{\np{134886}}{\np{70589}}\right)
\end{array}\right. $

$\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
p&=&\frac{1}{9}\ln \left( \frac{\np{134886}}{\np{70589}}\right)
\end{array}\right.$ soit à peu près $\left\{\begin{array}{l c l}
k&=&\np{70589}\\
p&\approx &0,072
\end{array}\right.$

Une équation de la courbe d'ajustement est donc : $y = \np{70589}\text{e}^{0,072x}$.
\item %On utilise comme ajustement dans cette question, la courbe d'équation 

%$y = \np{70589} \text{e}^{0,072x}$. 

%Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre de licenciés en 2012 que l'on donnera arrondi à l'unité.
Avec cet ajustement on trouve pour $x = 12$, \:$\np{70589} \text{e}^{0,072\times 12} \approx \np{167482}$. (licenciés) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%Pierre pratique la course à pied plusieurs fois par semaine. Il a trois parcours différents, notés A, B et C et deux types de séances d'entraînement : Endurance, notée E et Vitesse, notée V. 
%
%Chaque fois que Pierre va courir, il choisit un parcours (A, B ou C), puis un type d'entraînement (E ou V).
%
%\medskip
% 
%Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A,\: p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_{A}(B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé, avec $p(A) \neq 0$. 
%
%\medskip
%
%Pierre va courir aujourd'hui. On considère les évènements suivants :
% 
%$A$ : \og Pierre choisit le parcours A \fg 
%
%$B$ : \og Pierre choisit le parcours B \fg 
%
%$C$ : \og Pierre choisit le parcours C \fg 
%
%$E$ : \og Pierre fait une séance d'endurance \fg 
%
%$V$ : \og Pierre fait une séance de vitesse \fg
% 
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item Pierre choisit le parcours A dans 30\,\% des cas et le parcours B dans 20\,\% des cas; 
%\item si Pierre choisit le parcours A, alors il fait une séance d'endurance dans 40\,\% des cas ; 
%\item si Pierre choisit le parcours B, alors il fait une séance d'endurance dans 80\,\% des cas.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A} \taput{0,3}}
		{
		\TR{E}\taput{0,4}
		\TR{V}\tbput{0,6}
		}
	\pstree{\TR{B} \taput{0,2}}
		{
		\TR{E}\taput{0,8}
		\TR{V}\tbput{0,2}
		}
	\pstree{\TR{C} \tbput{0,5}}
		{
		\TR{E}\taput{}
		\TR{V}\tbput{}
		}
}
\end{center}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur de $p_{A}(E)$.
$p_{A}(E) = 0,4$ (énoncé)		 
		\item %Calculer $p_{B}(V)$.
On a $p_B(E) = 0,8$, donc $p_{B}(V) = 1 - 0,8 = 0,2$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours C. 
On a $p(C) = 1 - p(A) - p(B) = 1 - 0,2 - 0,3 = 0,5$.
\item %Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse. 
Il faut calculer $p(A \cap V) = p(A) \times p_A(V) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$.
\item %On sait que $p(E) = 0,7$. Montrer que: $p(E \cap C) = 0,42$.
D'après la loi des probabilités totales on a :

$p(E) = p(A \cap E) + p(B \cap E) + p(C \cap E) \iff p(C \cap E) = p(E) - p(A \cap E) - p(B \cap E) = 0,7 - 0,3 \times 0,4 - 0,2 \times 0,8 = 0,7 - 0,12 - 0,16 = 0,42$. 
\item %On sait que Pierre a choisi le parcours C. Quelle est la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance ?
Il faut trouver $p_C(E) = \dfrac{p(C \cap E)}{p(C)} = \dfrac{0,42}{0,5} = \dfrac{0,84}{1} = 0,84$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance, soit il est en retard. 
%
%Le 1\up{er} jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de $0,2$.
%
%\medskip
% 
%Pour les jours suivants :
%
%\medskip
% 
%S'il est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,05$.
% 
%Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,2$.
%
%\medskip
% 
%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $R_{n}$ l'évènement \og l'employé est en retard à son travail le $n$-ième jour \fg. 
%\item[ ] $H_{n}$ l'évènement \og l'employé n'est pas en retard à son travail le $n$-ième jour \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On note également, pour tout entier naturel $n$ non nul :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $r_{n}$ la probabilité que l'employé soit en retard le $n$-ième jour, 
%\item[$\bullet~~$] $h_{n}$ la probabilité que l'employé ne soit pas en retard le $n$-ième jour, 
%\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(r_{n}\quad h_{n}\right)$ la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-ième jour.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'état initial $P_{1}$. 
$P_1 = \begin{pmatrix}0,2 &0,8 \end{pmatrix}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
On a $p_{R_n}\left(R_{n+1} \right) = 0,05 $ et  $p_{R_n}\left(H_{n+1} \right) = 0,95 $.

$p_{H_n}\left(R_{n+1} \right) = 0,2$ et $p_{H_n}\left(H_{n+1} \right) = 0,8$.

D'où le graphe probabiliste :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,05} \rput(5.2,1){0,8}
\rput(2.5,2){0,95} \rput(2.5,0){0,2}
\end{pspicture}
\end{center}
 
		\item %Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
La matrice de transition telle que $P_{n+1} = P_n \times M$ est égale à : $M = \begin{pmatrix}0,05&0,95\\0,2&0,8 \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3\up{e} jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième.
$P_3 = P_1 \times M^2 =  \begin{pmatrix}0,2 &0,8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,05&0,95\\0,2&0,8 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\np{0,1745}&\np{0,8255} \end{pmatrix}$.

Au centième près, la probabilité  que l'employé soit en retard le troisième jour est égale à 0,17.
\item %Soit $P = (x\quad  y)$ l'état probabiliste stable.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $x$ et $y$ vérifient la relation $y = 0,95x + 0,8y$.
Les termes de la matrice de transition n'étant pas nuls, l'état $P_n$ converge vers un état stable $P$ vérifiant $P = P \times M$ avec $x + y = 1$ soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&0,95x + 0,8y\\x + y&=&1
\end{array}\right.$

Donc $P \approx \begin{pmatrix}0,174&0,826 \end{pmatrix}$. 
		\item %Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.
On résout le système précédent :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,95x - 0,2y&=&0\\x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4,75x - y&=&0\\x + y&=&1
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
5,75x - y&=&1\\x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}x&=&\dfrac{1}{5,75}\\
y&=&1 - \dfrac{1}{5,75}\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}x&\approx &0,174\\
y&\approx&0,826\end{array}\right.$

Donc $P \approx \begin{pmatrix}0,174&0,826 \end{pmatrix}$ (au millième près).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip 

%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par 
%
%\[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\]
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
%
%\medskip
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10,3)
%\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(2,0)(2,3)
%\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6,2.5){$9$} \uput[u](9.85,2.5){$10$}
%\uput[u](1,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4,2){$+$} \uput[u](6,2){$0$}\uput[u](8,2){$-$}
%\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](6,2){$f(9)$}\uput[u](9.6,0){$f(10)$}
%\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5) \psline{->}(6.5,1.5)(9.3,0.5) 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Justifier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
La fonction $f$ est dérivable sur [1~;~10] et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{10}{x + 1} - 1 = \dfrac{10 - x - 1}{x + 1} = \dfrac{9 - x}{x + 1}$.

Le dénominateur étant positif, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $9 - x$.

$9 - x \geqslant 0 \iff 9 \geqslant x \iff x \leqslant 9$ : sur [1~;~9] la dérivée est positive donc la fonction $f$ est croissante.

Sur [9~;~10], $9 - x \leqslant 0 \iff 9 \leqslant x \iff x \geqslant 9$ : sur [9~;~10] la dérivée est négative,  la fonction $f$ est décroissante.
\item %Donner les valeurs de $f(9)$ et de $f(10)$ arrondies au centième.
$f(9) = 10 \ln 10 - 9 \approx 14,03$ ;  $f(10) = 10\ln 11 - 10 \approx 13,98$.
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 10$ admet dans l'intervalle [0~;~9] une unique solution $\alpha$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
Sur l'intervalle [0~;~9], la fonction $f$ est strictement croissante, continue car dérivable de $f(0) = 0$ à $f(9) \approx 14,03$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~9]$ tel que $f(\alpha) = 10$.

La calculatrice donne $f(2) \approx 8,99$ et $f(3) \approx 10,86$, donc $2 < \alpha 3$ ;

$f(2,4) \approx 9,84$ et $f(2,5) \approx 10,03$, donc $2,4 < \alpha < 2,5$  ;

$f(2,48) \approx 9,99$ et $f(2,49) \approx 10,01$, donc $2,48 < \alpha < 2,49$. 
\item %On considère la fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par :  

%\[F(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \dfrac{x^2}{2}.\] 
 
%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 10].
$F$ est dérivable sur [0~;~ 10] et sur cet intervalle, 

$F'(x) = 10\ln (x + 1) + \dfrac{10x + 10}{x + 1} - 10 - 2x \times \dfrac{1}{2} = 10\ln (x + 1) + 10 - 10 - x =$

$ 10\ln (x + 1) - x = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur [0~;~10].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de $x$ centaines de puces $(0 \leqslant x \leqslant 10)$ est donné en centaines d'euros par : 
%
%\[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %En utilisant la \textbf{partie A}, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum.
On a vu dans la  \textbf{partie A} que $f(9)$ est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. Le nombre de puces à fabriquer pour un coût marginal maximum est $x = 9$, soit 900 puces. 
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], on note $C(x)$ le coût total de production, en centaines d'euros, de $x$ centaines de puces. 

%On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], $C^{\prime}(x) = f(x)$. 

%Les coûts fixes s'élèvent à \np{1500}~euros, c'est-à-dire que $C(0) = 15$. 
 
%Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], 

%\[C( x) = (10x+ 10) \times \ln (x + 1 ) - 10x - \dfrac{x^2}{2} + 15.\]
On a vu que $F$ définie par $F(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~10].

$C$ est aussi une primitive de $f$, donc $C$ est définie sur [0~;~10] par 

$C(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1 ) - 10x - \dfrac{x^2}{2} + K$.

Or $C(0 ) = 15 \iff (10 \times 0 + 10) \times \ln (0 + 1 ) - 10 \times 0 - \dfrac{0^2}{2} + K = 15 \iff K = 15$.

Donc $C(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \dfrac{x^2}{2} + 15$.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10].
Comme $C'(x) = f(x)$, on a vu que $f$ était croissante à partir de $f(0) = 0$, puis décroissante jusqu'à $f(10) \approx 13,98 > 0$ : $f$ est donc positive sur [0~;~10] et par conséquent $C$ est croissante sur cet intervalle de $C(0) = 15$ à 

$C(10) = 110\ln  11 - 100 - 50 + 15 \approx 128,77$.
\end{enumerate}
\end{document}