\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \everymath{\displaystyle} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Amérique du Nord 4 juin 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{4 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %$f$ est une fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par : % %\[f(x) = 3 + \dfrac{1}{x + 2}.\] % %On note $f'$ sa fonction dérivée et $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère. % %\medskip % %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la bonne réponse sur l'annexe $1$ à remettre avec la copie.\\ %Aucune justification n'est demandée.\\ %Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} % %\medskip \begin{enumerate} \item $f(x) = 3 + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{3x + 6 + 1}{x + 2} = \dfrac{‘3x + 7}{x + 2}$. FAUX \item Pour $x = 0$, \:$f(0) = y = 3 + \dfrac{1}{2} = 3,5$. VRAI \item On a $\displaystyle\lim_{x \to -2 \atop x > - 2} \dfrac{1}{x + 2} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -2 \atop x > - 2} f(x) = + \infty$. FAUX \item Une primitive de $x \longmapsto f(x) = 3 + \dfrac{1}{x + 2}$ est la fonction $ x \longmapsto F(x) = 3x + \ln (x + 2)$. Donc : $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) = 3 \times 2 + \ln (2 + 2) - \left[3\times 0 + \ln (0 + 2) \right] = 6 + \ln 4 - \ln 2 = 6 + \ln \frac{4}{2} = 6 + \ln 2$. FAUX \item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$. VRAI \item $x > - 2 \Rightarrow x +2> 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 2} > 0 \Rightarrow 3 + \dfrac{1}{x + 2} > 3$. VRAI \item $f'(x) = - \dfrac{1}{(x + 2)^2}$, donc $f'(- 1) = - \dfrac{1}{(- 1 + 2)^2} = - 1$. VRAI \item On a de façon évidente $f'(x) < 0$ quel que soit $x$, donc la fonction $f$ est décroissante sur $]- 2~;~+ \infty[$. Comme la fonction ln est croissante par composition la fonction $g$ est décroissante sur $]- 2~;~+ \infty[$. VRAI \end{enumerate} \textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Pour faire connaître l'ouverture d'un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d'achat. % %Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item 90\,\% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire. Parmi elles, 10\,\% achètent un salon. %\item Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80\,\% achètent un salon. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Une personne entre dans le magasin. % %On note : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[] $B$ l'évènement \og la personne a un bon publicitaire \fg. %\item[] $\overline{B}$ l'évènement \og la personne n'a pas de bon publicitaire\fg. %\item[] $S$ l'évènement \og la personne achète un salon \fg. %\item[] $\overline{S}$ l'évènement contraire de $S$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\bigskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Dessiner un arbre pondéré représentant la situation. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B$~}\taput{0,9}} {\TR{$S$}\taput{0,1} \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,9} } \pstree{\TR{$\overline{B}$~}\tbput{0,1}} {\TR{$S$}\taput{0,8} \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,2} } } \end{center} \item %À l'aide de $B$, $\overline{B},\: S, \:\overline{S}$, traduire les évènements suivants et calculer leur probabilité à $10^{-2}$ près : \begin{enumerate} \item %la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire; $p_{\overline{B}}\left(\overline{S}\right) =1 - 0,8 = 0,2$% \dfrac{p\left(\overline{B} \cap \overline{S} \right)}{p\left(\overline{S}\right)} = \item %la personne achète un salon ; D'après la loi des probabilités totales : $p(S) = p(B \cap S) + p\left(\overline{B} \cap S \right)$. $p(B \cap S) = p(B) \times p_{B}(S) = 0,9 \times 0,1 = 0,09$ ; $p\left(\overline{B} \cap S \right) = p\left(\overline{B} \right) \times p_{\overline{B}}\left(\overline{S} \right) = 0,1 \times 0,8 = 0,08$. Donc $p(S) = 0,09 + 0,08 = 0,17$. \item %la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon. $p_S(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)} = \dfrac{0,09}{0,17} = \dfrac{9}{17} \approx 0,53$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15~\euro{} au magasin. Un salon vendu rapporte 500~\euro{} au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire. \medskip \begin{enumerate} \item %Compléter le tableau en \textbf{annexe I} qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant. On a $p\left(\overline{B} \cap \overline{S} \right) = p\left(\overline{B} \right)\times p_{\overline{B}}\left(\overline{S} \right) = 0,1 \times 0,2 = 0,02$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{4}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline \footnotesize Situation de la personne entrant & La personne a un bon publicitaire et achète un salon & La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon&La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon &La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon \\ \hline Bénéfice réalisé par le magasin en euros&$485$ & $- 15$ &$500$ & $0$\\ \hline Probabilité &0,09 &0,81 &0,08 &0,02 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant. Le bénéfice moyen est égal à l'espérance de la loi de probabilité bénéfice réalisé. E$ = 485 \times 0,09 + (- 15) \times 0,81 + 500 \times 0,08 + 0 \times 0,02 = 43,65 - 12,15 + 40 = 71,5$. Le bénéfice moyen par personne entrant est égal à 71,50~\euro. \item %Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit $x$ le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de $x$. Les bénéfices deviennent respectivement : $500 - x,\:- x, \: 500, 0$. D'où la nouvelle espérance : E $ = 0,09(500 - x) - x \times 0,81 + 500 \times 0,08 + 0 \times 0,02 = 45 - 0,09x - 0,81x + 40 = 85 - 0,9x$. \item %Le directeur souhaite réaliser $76$~\euro{} de bénéfice moyen par personne entrant. %Quel doit être le prix de revient $x$ du nouveau bon publicitaire ? On doit avoir $85 - 0,9x = 76 \iff 85 - 76 = 0,9x \iff 9 = 0,9x \iff 10 = x$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les parties I et II sont indépendantes \medskip \textbf{Partie I (calculs exacts demandés)} \medskip %Sur une route, deux intersections successives, "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante On admet que : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item La probabilité que le feu de "a" soit vert est égale à $\dfrac{3}{4}$ ; %\item La probabilité que le feu de "b" soit vert est égale à $\dfrac{1}{2}.$ %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On note $A$ l'évènement : \og le feu de "a" est vert \fg, $B$ l'évènement \og le feu de "b" est vert \fg. % %Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b". \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité qu'à son passage, les deux feux soient verts. Les évènements étant indépendants, on a : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}$. \item %Calculer la probabilité qu'à son passage, il rencontre au moins un feu vert. La probabilité est de l'évènement $A$ ou $B$ soit : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{4}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{8}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II (résultats demandés à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath près)} \medskip %Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit ci-dessous : % %À chaque intersection : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item Si le feu est vert, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,9$ ou sera rouge avec la probabilité $0,05$. %\item Si le feu est orange, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,1$ ou sera vert avec la probabilité $0,8$. %\item Si le feu est rouge, il le sera à l'intersection suivante avec la probabilité $0,5$ ou sera orange avec la probabilité $0,05$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %$n$ étant un entier naturel non nul, on note : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item $V_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la $n$-ième intersection, %\item $O_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange a la $n$-ième intersection, %\item $R_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la $n$-ième intersection, %\item $P_{n} = \left[V_{n }~~ O_{n}~~ R_{n}\right]$ la matrice traduisant l'état probabiliste du $n$-ième feu tricolore. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation. Le graphe probabiliste décrivant cette situation est le suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.3)(7,5) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.2cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu,arrowsize=3pt 2} \cnodeput(0.5,4){V}{\small{\textsf{\bleu{V}}}}\cnodeput(6,4){O}{\small{\textsf{\bleu{O}}}} \cnodeput(3.5,1){R}{\small{\textsf{\bleu{R}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{V}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{O}{0.5}} \rput{180}{\nccircle{->}{R}{0.5}} \ncarc[arcangle=20]{->}{V}{O} \ncarc[arcangle=20]{->}{O}{V} \ncarc[arcangle=20]{->}{V}{R}\ncarc[arcangle=20]{->}{R}{V} \ncarc[arcangle=20]{->}{O}{R} \ncarc[arcangle=20]{->}{R}{O} \rput(0,4){$0,9$}\rput(6.55,4){$0,1$}\rput(3.5,0.5){$0,5$} \rput(3.5,4.8){$0,05$} \rput(3.5,3.2){$0,8$} \rput(2.6,3){$0,05$} \rput(1.3,2){$0,45$} \rput(4.1,2.8){$0,05$}\rput(5.35,1.9){$0,1$} \end{pspicture} \end{center} \item %Donner la matrice de transition $M$ complétée de ce graphe : En suivant l'ordre V, O, R la matrice de transition $M$ de ce graphe est \[M = \begin{bmatrix}0,9 & 0,05&0,05\\0,8&0,1 & 0,1\\0,45&0,05 & 0,5\end{bmatrix}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$. Si le premier feu rencontré est vert, le suivant sera orange avec une probabilité de $1 - 0,9 - 0,05 = 0,05$. D'où $P_1 = \begin{pmatrix} 1&0&0\end{pmatrix}$. Puis $P_2 = \begin{pmatrix} 0,9&0,05&0,05\end{pmatrix}$. \item %On donne $P_{3} = [0,87\quad 0,05 \quad 0,08]$. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert ? On a $P_4 = P_3 \times M = \begin{pmatrix}0,87&0,05&0,08\end{pmatrix}\begin{bmatrix}0,9 & 0,05&0,05\\0,8&0,1 & 0,1\\ 0,45&0,05 & 0,5 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix}0,859&\np{0,0525}&\np{0,0885}\end{pmatrix}$, soit en arrondissant au centième $P_4 = \begin{pmatrix}0,86&0,05&0,09\end{pmatrix}$. La probabilité que le quatrième feu soit vert est à peu près égale à 0,86. \end{enumerate} \item %Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$. Si le premier feu rencontré est rouge la probabilité que le feu suivant soit vert sera égale à $1 - 0,5 - 0,05 = 0,45$. Donc $P_1 = \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$ et $P_2 = \begin{pmatrix}0,45&0,05&0,5\end{pmatrix}$. \item %On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d'un certain rang $n{} :{} P_{n} = \begin{pmatrix}0,85& 0,05 & 0,10\end{pmatrix}$. %Donner une interprétation concrète de ce résultat. À partir d'un certain rang $n$ les probabilités se stabilisent : la probabilité de rencontrer un feu vert sera environ de 0,85, celle de rencontrer un feu orange de 0,05 et celle de rencontrer un feu rouge de 0,1. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :\\ % %\hspace{2cm} %\begin{tabular}{l c c} %Mercure&=&1\\ %Venus &=&2\\ %Terre &=&3\\ %Mars &=&4\\ %Cérès &=&5\\ %Jupiter &=& 6\\ %Saturne&=& 7\\ %Uranus&=&8\\ %\end{tabular} % %On considère la série statistique double $\left(i~;~d_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant 8}$, où $i$ représente le numéro d'ordre de la planète et $d_{i}$ sa distance au soleil (en millions de km) : % %(1~;~57,94),\: (2~;~108,27),~(3~;~149,60),\:(4~;~228,06),\:(5~;~396,44),\:(6~;~778,73),\:(7~;~\np{1427,7}),\: (8~;~\np{2872,4}). \medskip \begin{enumerate} \item %Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3~;~149,60). La signification du couple (3~;~149,60) est : la Terre est à une distance moyenne de 149,6 millions de km su Soleil. \medskip Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. \item ~%Compléter, dans l'annexe 1, le tableau suivant: \medskip \hspace{-0.8cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|}\hline $i$ &1 &2 &3 & 4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $d_{i}$ &57,94 &108,27 &149,60 &228,06 &396,44 &778,73 &\np{1427,7}&\np{2872,4}\\ \hline $d_{i} - d_{1}$&$0$ &50,33 &91,66 &170,12 &338,5 &720,79 &\np{1369,76}&\np{2814,46} \\ \hline $y_{i} = \ln \left(d_{i} - d_{1}\right)$&$\times$&3,919&4,518&5,137 &5,825 &6,580 &7,222 &7,943 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item %Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série $\left(i~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 2 et 8. Après arrondi au millième des coefficients donnés par la calculatrice, on obtient : $y = 0,676i + 2,499$. \item ~%Construire le nuage de points $\left(i~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : $2$~cm \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10,9) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt](0,0)(10,9) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10,9) \psdots(2,3.919)(3,4.518)(4,5.137)(5,5.825)(6,6.58)(7,7.222)(8,7.943) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{0.676 x mul 2.499 add} \uput[d](9.8,0){$i$} \uput[r](0,8.8){$y$} \uput[ul](9,8.5){\blue $D$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $d_{i}$, en fonction de $i$, avec $i$ compris entre 2 et 8, sous la forme On a $y_i = 0,676i + 2,499 \iff \ln \left(d_i - 57,94 \right) = 0,676i + 2,499 \iff $ $d_i - 57,94 = \text{e}^{0,676i + 2,499} \iff d_i - 57,94 = \text{e}^{2,499} \times \text{e}^{0,676i} \iff$ $d_i - 57,94 =\text{e}^{2,499} \times \left(\text{e}^{0,676}\right)^i \iff d_i = \text{e}^{2,499} \times \left(\text{e}^{0,676}\right)^i + 57,94$. Or $\text{e}^{2,499} \approx 12,1703 \approx 2,170$ et $\text{e}^{0,676} \approx 1,966$, donc finalement $d_{i} = 57,94 + 12,17 \times 1,966^{i}$. \item %Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée $9$. En utilisant l'ajustement précédent pour $i = 9$, on obtient : $d_9 = 12,17 \times 1,966^9 + 57,94 \approx \np{5397,952} \approx \np{5398}$~millions de kilomètres. \medskip %(\emph{Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom dc deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune $\no 9$ en $1848$. La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut \og Pluton \fg{}... La planète naine en $\no 10$}). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Rappel : Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $\text{e}^{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}$.} % %\medskip % %Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $t = 0$), un autocar nécessitant un investissement initial de $200$~milliers d'euros. %\medskip \textbf{Partie A} \medskip %Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, a l'instant $t$, mesurée en années, est notée $D(t)$. % %On pose % %\[D(t)= 200\left(1 - \text{e}^{-0,086t}\right)\quad \text{pour tout réel}~ t ~\text{de l'intervalle I = [0 ; 13]}.\] % %L'annexe 2 donne la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère \Oij. % %Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60\,\% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse). 60\,\% de 200 millions font $0,6 \times 200 = 120$~millions. La droite d'équation $y = 120$ coupe la courbe représentative de $D$ en un point dont l'abscisse est à peu près 10,75. C'est donc au cours de la 11\up{e} année. \medskip \textbf{Partie B} \medskip %Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V(t)$ la valeur de l'autocar l'année $t,~ 0 \leqslant t \leqslant 13$. %\medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que $V(t) = 200 \times \text{e}^{-0,086t}$. On a $V(t) = 200 - 200\left(1 - \text{e}^{-0,086t}\right) = 200 - 200 + 200\text{e}^{-0,086t} = 200\text{e}^{-0,086t}$. \item %Étudier le sens de variation de $V$ sur [0 ; 13]. On a sur [0 ; 13], \: $V'(t) = 200 \times (- 0,086)\text{e}^{-0,086t} = - 17,2\text{e}^{-0,086t}$. Comme $\text{e}^{-0,086t} > 0$, quel que soit $t, \: V'(t) < 0$, donc $V(t)$ est strictement décroissante sur [0 ; 13] de $V(0) = 200$ à $V(13) = 200 \times \text{e}^{-0,086\times 13} = 200\text{e}^{-0,086\times 13} = 200\text{e}^{- 1,118} \approx 65,387$. \item %Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de $13$~ans de service ? (au millier d'euros près). $V(13) \approx \np{65000}$~au millier d'euros près. \item %Au cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur ? Il faut résoudre l'équation : $V(t) = 100 \iff 200 \times \text{e}^{-0,086t} = 100 \iff \text{e}^{-0,086t} = 0,5 \iff - 0,086t = \ln 0,5 \iff$ $ - 0,086t = - \ln 2 \iff 0,086t = \ln 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0,086}$. Or $\dfrac{\ln 2}{0,086} \approx 8,05$. L'autocar a perdu la moitié de sa valeur au cours de la 9\up{e} année. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip %On estime que les recettes nettes (en milliers d'euros) procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données à l'instant $t$ réel de l'intervalle [0 ; 13] par : \[R(t) = 110\left(5 + t - 5\text{e}^{0,1t}\right).\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la dérivée $R'$ de la fonction $R$ ; étudier son signe sur [0~;~13] et construire le tableau de variations de $R$. La fonction $R$ est dérivable sur [0~;~13] et sur cet intervalle : $R'(t) = 110\left(1 - 5 \times 0,1\text{e}^{0,1t} \right) = 110\left(1 - 0,5\text{e}^{0,1t} \right)$. $\bullet~~$$1 - 0,5\text{e}^{0,1t} > 0 \iff 1 > 0,5\text{e}^{0,1t}\iff 2 > \text{e}^{0,1t} \iff \ln 2 > 0,1t \iff t < 10\ln 2$ ($10\ln 2 \approx 6,9$) ; la fonction $R$ est croissante sur $[0~;~10\ln 2]$ $\bullet~~$$1 - 0,5\text{e}^{0,1t} < 0 \iff 1 < 0,5\text{e}^{0,1t}\iff 2 < \text{e}^{0,1t} \iff \ln 2 < 0,1t \iff t > 10 \ln 2$ : la fonction $R$ est décroissante sur $[10\ln 2~;~13]$ \item %En déduire, que les recettes nettes sont maximales pour une valeur $t_{0}$ de $t$ dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l'unité près. D'après la question précédente $R(10\ln 2)$ est le maximum de la fonction $R$ sur [0~;~13]. On a donc $t_0 = 10\ln 2 \approx 06,9 \approx 7$ à l'entier le plus proche. \item %Construire la courbe représentative de la fonction $R$, dans le même repère que celle de $D$ après avoir complété le tableau de valeurs de \textbf{l'annexe 2} où l'on arrondira $R(t)$ à l'entier le plus proche. Voir à la fin de l'exercice. \end{enumerate} \item %À tout instant, la différence $R(t) - D(t)$ représente l'exploitation $E(t)$ de l'autocar. %Compléter le tableau de \textbf{l'annexe 2}, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de $D,~ R$ et $E$ pour répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item %Au cours de quelle année l'exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable ? Il faut trouver la différence $E(t) = R(t) - D(t)$ la plus grande ; que ce soit graphiquement ou en regardant le tableau on constate que cette valeur est à peu près $t = 6$ pour un écart de 127. En fait, la calculatrice donne : $E(5,9) \approx \np{127,2182}$ et $E(6) \approx \np{127,2153}$. Donc cet écart le plus grand survient la 5\up{e} année (2005). \item %À partir de quelle année l'exploitation de-cet autocar conduit-elle à un déficit ? D'après la courbe ou d'après le tableau de valeurs l'exploitation est déficitaire à partir de $t = 10$ soit en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE I} \textbf{(À remettre avec la copie)} \end{center} \textbf{EXERCICE 1} \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{8cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rule[-5mm]{0mm}{10mm} $f(x) = \dfrac{3x+6}{x+2}$& $\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline La courbe $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $3,5$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline \rule[-5mm]{0mm}{8mm} $\lim_{x \to -2 \atop x > -2} f(x) = 3$&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline \rule[-5mm]{0mm}{8mm} $\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = 6 \ln 2$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline La droite d'équation $y = 3$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ &$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline $f(x) > 3$ pour tout $x$ de $]- 2~;~ + \infty[$.&$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline $f'(- 1) = - 1$.& $\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline La fonction $g$ définie sur $]- 2~;~ + \infty[$ par $g(x) = \ln [f(x)]$ est décroissante. &$\square~~$ VRAI&$\square~~$ FAUX\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{EXERCICE 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Situation de la personne entrant & La personne a un bon publicitaire et achète un salon & La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon&La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon &La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon \\ \hline Bénéfice réalisé par le magasin en euros&$485$& $- 15$& $500$&$0$\\ \hline Probabilité&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{EXERCICE 3}\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$ &1 &2 &3 &4 &5 & 6 &7 &8\\ \hline $d_{i}$ &57,94 &108,27 &149,60 &228,06 &396,44 &778,73 &\np{1427,7}&\np{2872,4}\\ \hline $d_{i} - d_{1}$ &$0$ & & &170,12 & & & & \\ \hline $Y_{i} = \ln \left(d_{i} - d_{1}\right)$ &$\times$ & & &5,137 & & & & \\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE 2} (À remettre avec la copie) \end{center} \textbf{EXERCICE 4} \bigskip \textbf{Représentation graphique} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-2,-40)(14,270) \multido{\n=-2+1}{17}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-40)(\n,270)} \multido{\n=-40+10}{31}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-2,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(-2,-40)(14,270) \psplot{0}{14}{200 1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub mul} \uput[d](14,140){$y = D(t)$} \uput[l](0,10){10} \uput[l](0,50){50} \uput[d](1,-3){1} \psline[ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](0,120)(10.75,120) \psline[ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](10.75,120)(10.75,0) \uput[d](10.75,0){$\approx 10,75$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{5 x add 2.71828 0.1 x mul exp 5 mul sub 110 mul} \uput[ur](9,190){\blue $y = R(t)$} \end{pspicture} \textbf{Tableau de valeurs :} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &4 &6 &8 &10 &11 &13\\ \hline $D(t)$ &0 &16 &32 &58 &81 &99 &115&122 &135\\ \hline $R(t)$ &0 &52 &98 &169&208&206&155&108 &$-38$\\ \hline $E(t)$ &$0$ &36 &67 &111&127&107&40 &$- 14$ &$- 173$ \\ \hline \end{tabularx} \end{document}