\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Stéphane Galice \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P{}. M. E. P{}.} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small novembre 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud ~\decofourright\\novembre 2009} \end{center} \bigskip %L'annexe est à rendre avec la copie. % %L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. % %Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré. % %\bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. % %\medskip % %\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $0,5$ point ; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse, $0$ point.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Un véhicule coûte \np{15000}~\euro{} en 2008. Il se déprécie de 10\,\% par an (c'est-à-dire que son prix de revente baisse de 10\,\% par an). Sa valeur à la vente au bout de cinq ans sera de : Au bout de 5 ans son prix de revente est égal à : $\np{15000} \times 0,9^5 = \np{8857,35}$~\euro. %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} %\np{7500}~\euro & \np{8857,35}~\euro& \np{5000}~\euro \\ %\end{tabularx} % %\medskip \item %Soit $u$ une fonction strictement positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. %Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x) = 0$ alors : %\medskip Par composition de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = - \infty$ %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = + \infty$& %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = - \infty$& %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = 0$\\ %\end{tabularx} % %\medskip \item %Voici la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ : %\medskip %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$x_{i}$ &$-10$ &0 &10\\ \hline %$p_{i}$ &0,2 &0,3 &0,5\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} %\medskip % %$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $3$ % %$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $-3$ % %$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $0$ % %\medskip E $ = - 10 \times 0,2 + 0 \times 0,3 + 10 \times 0,5 = - 2 + 5 = 3$. \item %Pour tout $a > 0,\: \ln 3a - \ln a$ est égale à : %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} %$ \ln 3$& $\ln (2a)$& $2 \ln a$\\ %\end{tabularx} $\ln 3a - \ln a = \ln \left(\dfrac{3a}{a} \right) = \ln 3$ car $a \ne 0$. %\medskip \item %$\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x+1}\:\text{d}x$ est égale à : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} %$\text{e}^3 - 1$&$2\text{e}^3 - 2\text{e}$&$\dfrac{\text{e}^3 - \text{e}}{2}$\\ %\end{tabularx} % %\medskip Une primitive de $x \longmapsto \text{e}^{2x+1}$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}$, donc $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x+1}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2+1} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0+1} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{3} - \dfrac{1}{2}\text{e} = \dfrac{\text{e}^{3} - \text{e}}{2}$. \item %Pour tout réel $x,~ \text{e}^{4+2x}$ est égale à : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} %$\left(\text{e}^2 \right)^{2x}$&$\left(\text{e}^{x+2} \right)^2$&$\text{e}^4 + \text{e}^{2x}$\\ %\end{tabularx} $\text{e}^{4 + 2x} = \text{e}^{4} \times \text{e}^{2x} = \left(\text{e}^{2}\right)^2 \times \left(\text{e}^{x}\right)^2 = \left(\text{e}^{2 + x} \right)^2 = \left(\text{e}^{x + 2} \right)^2$ \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. % %Une étude sur le taux d'équipement en téléphonie des ménages d'une ville a permis d'établir les résultats suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item 90\,\% des ménages possèdent un téléphone fixe; %\item parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87\,\% ont un téléphone portable ; %\item 80\,,\% des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %\emph{Notations: Si \textup{A} et \textup{B} sont des évènements, $\overline{\textup{A}}$ désigne l'évènement contraire de \textup{A} et $P_{\textup{B}}(\textup{A})$ la probabilité que l'évènement \textup{A} soit réalisé sachant que l'évènement \textup{B} l'est.} % %\medskip % %On choisit un ménage au hasard et on note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item F l'évènement : \og le ménage possède un téléphone fixe \fg{} ; %\item T l'évènement : \og le ménage possède un téléphone portable \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Grâce aux données de l'énoncé, donner P(F $\cap$ T), P(F) et P$_{\overline{\text{F}}}$(T). On a (dernière information) $P(\text{F} \cap \text{T}) = 0,8$ ; $P(\text{F}) = 0,9$ et $P_{\overline{\text{F}}}(\text{T}) = 0,87$. \item %Calculer P$_{\text{F}}$(T). $P_{\text{F}}(\text{T}) = \dfrac{P(\text{F} \cap \text{T})}{P(\text{F})} = \dfrac{0,8}{0,9} = \dfrac{8}{9} \approx 0,889$. \end{enumerate} \item %Démontrer que la probabilité de l'évènement T est $0,887$. On d'après la loi des probabilités totales : $P(\text{T}) = P(\text{F} \cap \text{T}) + P\left(\overline{\text{F}} \cap \text{T}\right)$. $P\left(\overline{\text{F}} \cap \text{T}\right) = P\left(\overline{\text{F}}\right) \times P_{\overline{\text{F}}}(\text{T}) = (1 - 0,9) \times 0,87 = 0,087$, d'où : $P(\text{T}) = 0,8 + 0,087 = 0,887$. \item %Sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ? Il faut trouver $P_{\overline{\text{T}}}(\text{F}) = \dfrac{P\left(\overline{\text{T}} \cap \text{F}\right)}{P\left(\overline{\text{T}}\right)}$. D'après la loi des probabilités totales : $P(\text{F}) = P(\text{F} \cap \text{T}) + P\left(\text{F} \cap \overline{\text{T}}\right)$ d'où $P\left(\text{F} \cap \overline{\text{T}}\right) = P(\text{F}) - P(\text{F} \cap \text{T}) = 0,9 - 0,8 = 0,1$. De plus $P\left(\overline{\text{T}} \right) = 1 - P(\text{T}) = 1 - 0,887 = 0,113$. Finalement $P_{\overline{\text{T}}}(\text{F}) = \dfrac{0,1}{0,113} \approx 0,885$. \item %On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages. %Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable ? On a un e épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $P = P(\text{T}) = 0,887$. La probabilité que les trois aient un téléphone portable est $0,887^3$, donc la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable est : $ 1 - 0,887^3 \approx {0,3021}$, soit au millième près 0,302. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 4}{3}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. $u_{0} = 1$, \:$ u_1 = \dfrac{2u_{1} + 4}{3} = \dfrac{2 \times 1 + 4}{3} = 2$ ; $u_2 = \dfrac{2u_{1} + 4}{3} = \dfrac{2\times 2 + 4}{3} \dfrac{8}{3}$ ; $u_3 = \dfrac{2u_{2} + 4}{3} = \dfrac{2\times \frac{8}{3} + 4}{3} = \dfrac{\frac{26}{3}}{3} = \frac{26}{9}$. \item %Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij (unités graphiques : 2~cm). %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x + 4}{3}$. \begin{enumerate} \item ~%Tracer la représentation graphique $d$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(10,10) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(10,10) \psline(10,10) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 2 mul 4 add 3 div} \uput[dr](9.8,9.8){$\Delta$}\uput[dr](9.8,7.95){\blue $d$} \psline[linewidth=0.2pt]{->}(1,0)(1,2)(2,2)(2,2.66667)(2.66667,2.66667)(2.66667,2.8889) \end{pspicture} \end{center} \item %En utilisant $d$ et $\Delta$, construire $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. Voir la figure ci-dessus. \item %Conjecturer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_{n}$ à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre %de termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. On conjecture que la suite a pour limite l'abscisse du point commun à $d$ et à $\Delta$, soit le nombre $4$. \end{enumerate} \item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 4$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - 4 = \dfrac{2u_{n} + 4}{3} - 4 = \dfrac{2u_{n} + 4 - 12}{3} = \dfrac{2u_{n} - 8}{3} = \dfrac{2}{3}\left(u_n - 4 \right) = \dfrac{2}{3}v_n$. Ce résultat montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 4 = 1 - 4 = - 3$. \item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_{n} = 4 - 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. On sait que pour tout entier naturel $n$, \: $v_n = - 3\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Or $v_{n} = u_{n} - 4 \iff u_n = v_n + 4 = 4 - 3\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. \item %Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Comme $0 < \dfrac{2}{3} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ et finalement : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 4$ ce qui était la conjecture. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires, exprimé en milliers d'euros, réalisé par une chaîne commerciale : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline% %Rang de l'année $x_{i} $&0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline% %Chiffre d'affaires en %milliers d'euros $y_{i}$&55 &58 &64 &85 &105 &112\\ \hline% %\end{tabularx} % %\vspace{1,2cm} \fbox{\textbf{Partie 1}} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités : 2~cm pour une année en abscisse et 1~cm pour 10~milliers d'euros en ordonnée. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(5.5,120) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(-0.5,-5)(5.5,120) \psdots(0,55)(1,58)(2,64)(3,85)(4,105)(5,112) \psdots(2.5,79.8){\blue G} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.5}{12.8 x mul 47.9 add} \end{pspicture} \end{center} \item %Calculer les coordonnées du point moyen G$(x~;~y)$ et le placer sur la figure précédente. On a G$\left(2,5~;~\dfrac{479}{6}\right)$ soit à peu près G(2,5~;~79,8). \end{enumerate} \emph{On décide d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions.} \medskip \fbox{\textbf{Partie 2}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $10^{-1}$ près. La calculatrice donne après arrondi des coefficients au dixième : $y = 12,8x + 47,9$. \item %Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1. Voir ci-dessus. \end{enumerate} \item %En supposant que l'évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d'affaires réalisé en 2011 (on précisera la méthode utilisée). 2011 correspond au rang $x = 10$, d'où $y = 12,8 \times 10 + 47,9 = 128 + 47,9 = 175,9$~milliers d'euros. \end{enumerate} \medskip \fbox{\textbf{Partie 3}} \medskip %On décide d'ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant, dans le repère déjà défini, une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : %$f(x) = ab^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs. \begin{enumerate} \item %On impose à la courbe représentative de la fonction $f$ de passer par les points A$(0~;~55)$ et B$(5~;~112)$. %Calculer les valeurs exactes de $a$ et $b$ telles que la fonction $f$ vérifie cette condition, puis donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $b$. $a$ et $b$ doivent être solutions du système : $\left\{\begin{array}{l c l} ab^0&=&55\\ab^5&=&112 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a&=&55\\ab^5&=&112 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a&=&55\\55b^5&=&112 \end{array}\right.$ $ \iff \left\{\begin{array}{l c l} a&=&55\\b^5&=&\frac{112}{55} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a&=&55\\b&=&\left(\frac{112}{55} \right)^{\frac{1}{5}} \end{array}\right.$ \item %Pour la suite, on considérera que $f(x) = 55 \times 1,15^x$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On a $\left(\frac{112}{55} \right)^{\frac{1}{5}} \approx 1,152$ ou en arrondissant au centième $b \approx 1,15$. %Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé en 2011 (on arrondira le résultat au centième). Avec cet ajustement en 2011 soit au rang $x = 10$, on aura un chiffre d'affaires de : $55 \times 1,15^{10} \approx 222,506$ soit au centième près 222,51~milliers d'euros. \end{enumerate} \medskip \fbox{\textbf{Partie 4}} \medskip %\textbf{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %\medskip %Estimer en quelle année le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros, en utilisant successivement les ajustements affine et exponentiel des parties 2 et 3. $\bullet~~$Avec l'ajustement affine il faut trouver le plus naturel $n$ tel que : $12,8n + 47,9 \geqslant 300 \iff 12,8n \geqslant 252,1 \iff n \geqslant \dfrac{252,1}{12,8}$. Or $\dfrac{252,1}{12,8} \approx 19,7$. Il faut prendre $n = 20$,donc attendre 2021. $\bullet~~$Avec l'ajustement exponentiel il faut trouver le plus naturel $n$ tel que : $55\times 1,15^n \geqslant 300 \iff 1,15^n \geqslant \dfrac{300}{55} \iff n \ln 1,15 \geqslant \ln \left(\dfrac{300}{55} \right) \iff n \geqslant \dfrac{\ln \left(\frac{300}{55} \right)}{\ln 1,15}$. Or $\dfrac{\ln \left(\frac{300}{55} \right)}{\ln 1,15} \approx 12,1$. Il faut prendre $n = 13$, donc attendre 2014 seulement. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ telles que pour tout réel $x$ de cet intervalle : % %\[f(x) = (x - \text{e})(\ln x - 1)\quad \text{et} \quad g(x) = \ln x - \dfrac{\text{e}}{x}\] % %La courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère du plan est donnée en annexe et l'unité graphique est 2~cm . % %\medskip \fbox{\textbf{Partie 1}} \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante donc la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x} \times (- \text{e})$ est croissante et comme la fonction $x \longmapsto \ln x$ est croissante, $g$ somme de deux fonctions croissantes est croissante sur $]0~;~+\infty[$. \item %Calculer $g(\text{e})$ et, grâce à la question 1, donner le signe de $g(x)$ pour tout $x$ strictement positif. On a $g(\text{e}) = \ln \text{e} - \dfrac{\text{e}}{\text{e}} = 1 - 1 = 0$. Comme on a vu que $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$, on a donc : $\bullet~~$$g(x) < 0$ sur $[0~;~\text{e}[$ ; $\bullet~~$$g(\text{e}) = 0$ : $\bullet~~$$g(x) > 0$ sur $]\text{e}~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \fbox{\textbf{Partie 2}} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} (x - \text{e}) = - \text{e}$et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ d'où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \text{e}) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x - 1 = + \infty$, d'où par produit dr limites : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$. \item %On note $f'$ la dérivée de $f$ Démontrer que $f'(x) = g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif. On en dérivante produit : $f'(x) = (\ln x - 1) + (x - \text{e})\times\dfrac{1}{x} = \ln x - 1 + 1 \text{e} - \dfrac{\text{e}}{x} = \ln x - \dfrac{\text{e}}{x} = g(x)$. \item %Établir le tableau des variations de la fonction $f$. On a vu au dessus le signe de $g(x)$, d'où on déduit les variations de $f$ : $\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur $[0~;~\text{e}[$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle ; $\bullet~~$$f'(\text{e}) = 0$ : la fonction $f$ a un minimum en $x = \text{e}$ : $f(\text{e}) = 0$ ; $\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur $]\text{e}~;~+ \infty[$ : la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle. D'où le tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){e} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$} \rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){0} \rput(5.5,2.25){$+$} \uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){0} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} %(\emph{On y fera figurer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$}). \item %Représenter graphiquement la fonction $f$ sur la feuille annexe jointe au sujet. Voir à la fin. \end{enumerate} \medskip \fbox{\textbf{Partie 3}} \medskip %Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle : % %\[F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} - \text{e}x\right)\ln x + 2\text{e}x - \dfrac{3}{4}x^2\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On a $F'(x) = \left(\dfrac{2x}{2} - \text{e}\right)\ln x + \dfrac{1}{x} \times \left(\dfrac{x^2}{2} - \text{e}x\right) + 2\text{e} - 2 \times \dfrac{3}{4}x = x \ln x - \text{e}\ln x + \dfrac{x}{2} - \text{e} + 2\text{e} - \dfrac{3}{2}x = (x - \text{e})\ln x - x + \text{e} = (x - \text{e})\ln x - (x - \text{e}) = (x - \text{e})(\ln x - 1) = f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~:~+ \infty[$. \item %On considère le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. \begin{enumerate} \item %Hachurer ce domaine sur le dessin. Voir la figure. \item %Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. Le tableau de variations de $f$ montre qu'elle positive sur $[0~:~+ \infty[$ et donne particulier sur [1~;~e]. Donc l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ est égale à l'intégrale : $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^{\text{e}} = f(\text{e}) - F(1) = \left(\dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e}\text{e}\right)\ln \text{e} + 2\text{e}\text{e} - \dfrac{3}{4}\text{e}^2 - \left[\left(\dfrac{1^2}{2} - \text{e}\right)\ln 1 + 2\text{e} - \dfrac{3}{4}1^2 \right] = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e}^2 + 2\text{e}^2 - \dfrac{3}{4}\text{e}^2 - 2\text{e} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\text{e}^2 - 2\text{e} + \dfrac{3}{4}$ \item %En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l'aire du domaine exprimée en cm$^2$. La calculatrice donne une valeur approchée de l'aire du domaine soit \np{0,855228}~unité d'aire. Comme cette unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, l'aire du domaine est environ 3,428 soit au centième 3,43~cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à compléter et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4 } \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.41cm} \begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10,subgriddots=10,gridcolor=gray,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.75pt](0,-4)(8,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(8,4.5) \uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[u](7.5,1.67){\blue $\mathcal{C}_{g}$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=6000,linecolor=blue]{0.736}{8}{x ln 2.71828 x div sub} \psplot[plotpoints=6000,linecolor=red]{0.5}{6.75}{x 2.71828 sub x ln 1 sub mul} \uput[dr](6.5,3.5){\red $\mathcal{C}_{f}$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=6000,linecolor=red]{1}{2.71828}{x 2.71828 sub x ln 1 sub mul} \psline(2.71828,0)(1,0)} \end{pspicture} \end{center} \end{document}