\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,bm} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,colortbl} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} % Tapuscrit Denis Vergès % Relecture : Arié Yallouz % Corrigé ; François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {TES Antilles-Guyane - Corrigé}, pdftitle = {10 septembre 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small 10 septembre 2019} \pagestyle{fancy} \label{Antillesseptembre} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt] 10 septembre 2019}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.} % %\smallskip % %\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.} % %\medskip \begin{enumerate} \item L'équation $\ln 5 + \ln (x + 1) = 1$ a pour solution : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $x = \e- 6$\rule{0pt}{18pt} \item $x = - 1$\rule{0pt}{18pt} \item \fbox{$x = \dfrac{1}{5}\e - 1$}\rule{-10pt}{0pt} \item $x = - 0,5$\rule{0pt}{18pt} \end{enumerate} \end{multicols} %\medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}} $\ln 5 + \ln \left (x+1\right ) = 1 \iff \ln\left (5\left (x+1\right ) \right ) = \ln\e \iff 5\left (x+1\right ) = \e \iff 5x+5 = \e \iff x = \dfrac{1}{5}\e - 1$ \end{tabular} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2\ln (x) - x$. Le nombre $f'(2)$ est égal à : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $-1$ \item \fbox{$0$} \item $2\ln 2 - 2$ \item $2\ln 2 - 1$ \end{enumerate} \end{multicols} %\medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}} $f(x) = 2\ln (x) - x$ donc $f'(x) = 2\dfrac{1}{x} - 1$ donc $f'(2) = \dfrac{2}{2}-1=0$ \end{tabular} \medskip \item Le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $2^n > 175$ est: \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $n = \ln \left(\dfrac{175}{2}\right)$ \item $n = 7$ \item \fbox{$n = 8$} \item $n = \ln 175 - \ln 2$ \end{enumerate} \end{multicols} %\medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}} $2^{7}=128 < 175$ et $2^{8} = 256 > 175$ \end{tabular} \medskip \item Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~- 1]$. On note $f'$ sa dérivée et $F$ une de ses primitives. On sait que pour tout $x$ de l'intervalle $[-3~;~- 1]$, $f'(x) > 0$. On peut affirmer que, sur l'intervalle $[-3~;~- 1]$, la fonction $F$ est : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item décroissante; \item \parbox{2cm}{\centering strictement croissante;} \item \fbox{convexe;} \item négative. \end{enumerate} \end{multicols} \begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}} $f'(x>0) \iff F''(x)>0$ donc la fonction $F$ est convexe. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu'il reçoit. Il a reçu \np{1500} flacons d'un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site A et le site B. Sur les \np{1500} flacons de ce modèle reçus, $900$ proviennent du site A, les autres du site B. %\emph{Les trois parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes}. % %\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième}. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le grossiste s'intéresse à l'aspect du flacon. Parmi les flacons provenant du site A, 95\,\% ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que 92\,\% des flacons provenant du site B ont un aspect conforme. Il prélève au hasard un des flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison. \medskip \begin{tabular}{@{} ll} On note: &$A$ l'évènement \og Le flacon provient du site A \fg{} ;\\ & $B$ l'évènement \og Le flacon provient du site B \fg{} ;\\ & $C$ l'évènement \og Le flacon a un aspect conforme au cahier des charges \fg. \end{tabular} \newpage On résume les informations dans un arbre pondéré. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{\blue $\frac{900}{\np{1500}}=0,6$}} { \TR{$C$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $\frac{600}{\np{1500}}=0,4$}} { \TR{$C$}\naput{$0,92$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,92=0,08$} } } \bigskip \end{center} \begin{enumerate} \item% Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges. \og Le flacon provient du site A et a un aspect conforme au cahier des charges \fg{} est l'événement $A\cap C$. $P\left (A\cap C\right ) = P(A) \times P_{A}(C) = 0,6 \times 0,95 = 0,57$ \item La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est % $0,938$. $P(C)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(C)=P(A\cap C) + P(B\cap C) = 0,57 + 0,4\times 0,92 = 0,938$. \item Le flacon prélevé se trouve avoir un aspect non conforme. La probabilité qu'il provienne du site B est $P_{\overline{C}}(B) = \dfrac{P\left (\overline{C}\cap B \right )}{P\left ( \overline{C}\right )} = \dfrac{0,4\times 0,08}{1-0,938} \approx 0,516$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le grossiste souhaite également étudier le volume de parfum contenu dans les flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison. On considère qu'un flacon est correctement rempli s'il contient plus de $98$~ml de parfum. On admet que le volume de parfum, exprimé en millilitre, contenu dans un flacon prélevé au hasard peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 1$. La probabilité qu'un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli est $P(X>98) \approx 0,977$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le producteur du site A indique que le pourcentage de flacons \og correctement remplis \fg{} est de 96\,\%. Le grossiste contrôle un échantillon de $120$ flacons prélevés au hasard dans la livraison du producteur du site A et compte $18$ flacons qui ne sont pas correctement remplis. Le grossiste met alors en doute l'affirmation du producteur. %Comment peut-il justifier sa contestation ? On va tester l'hypothèse que la proportion $p$ de flacons \og correctement remplis \fg{} est de $0,96$ sur un échantillon de taille $n=120$. On va utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$: \smallskip $I= \left [ p- 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,96- 1,96 \dfrac{\sqrt{0,96\times 0,04}}{\sqrt{120}}~;~0,96+ 1,96 \dfrac{\sqrt{0,96\times 0,04}}{\sqrt{120}} \vphantom{ \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}}\right ]\\ \phantom{I} \approx \left [ 0,925~;~0,995 \strut\right ] $ La proportion de flacons \og correctement remplis \fg{} dans l'échantillon considéré est $f=\dfrac{120-18}{120} = 0,85$. Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique calculé, donc le grossiste a un argument pour contester l'affirmation du producteur. \medskip \emph{Remarque du correcteur} Une des conditions pour pouvoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique est $n\left (1-p\right )\geqslant 5$ or dans cet exercice, $n\left (1-p\right )=120\times 0,04 = 4,8<5$. \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations. \begin{center} \begin{pspicture}(10,6.5) %\psgrid %%% les sommets \cnode*(2,2){3pt}{A} \cnode*(3,6){3pt}{B} \cnode*(7,6){3pt}{C} \cnode*(9,5){3pt}{D} \cnode*(6,0.5){3pt}{E} \cnode*(9,2){3pt}{F} \cnode*(0.5,4){3pt}{G} %%% les arêtes \ncline{C}{B}\ncput*{46} \ncline{A}{C}\ncput*{64} \ncline{A}{E}\ncput*{35} \ncline{A}{F}\ncput*{92} \ncline{A}{B}\ncput*{43} \ncline{B}{G}\ncput*{38} \ncline{A}{G}\ncput*{14} \ncline{B}{G}\ncput*{38} \ncline{B}{F}\ncput*{74} \ncline{C}{F}\ncput*[npos=0.4]{37} \ncline{D}{F}\ncput*{17} \ncline{C}{E}\ncput*[npos=0.55]{77} \ncline{E}{F}\ncput*{23} \ncline{D}{E}\ncput*[npos=0.55]{62} %%% noms des sommets \uput[d](2,2){A} \uput[u](3,6){B} \uput[u](7,6){C} \uput[u](9,5){D} \uput[d](6,0.5){E} \uput[dr](9,2){F} \uput[l](0.5,4){G} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Le chasse-neige part de la station G. %Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ? On détermine les sommets de ce graphe: \begin{center} \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline Sommet & A & B & C & D & E & F & G\\ \hline Degré & 5 & 4 & 4 & 2 & 4 & 5 & 2\\ \hline \end{tabular} \end{center} Tous les sommets ne sont pas de degré pair, donc, d'après le théorème d'Euler, il n'existe pas de cycle eulérien, c'est-à-dire de trajet qui parte d'un sommet et qui y revienne en étant passé une et une seule fois par chaque arête. \item Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station. %Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l'ensemble du secteur ? Le chemin G - A - B - C - E - D - F permet de relier deux sommets quelconques du graphe, donc ce graphe est connexe. De plus ce graphe possède exactement deux sommets de degrés impairs, A et F de degré 5, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe des chaines eulériennes partant de A et arrivant à F, c'est-à-dire des trajets partant de A et rejoignant F en passant une et une seule fois par chaque arête. La saleuse peut donc parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l'ensemble du secteur en partant de A; et en fin de parcours, elle sera au sommet F. \item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique et on donne : $M^4 = \begin{pmatrix} 61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\ 48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\ 52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\ 28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\ 45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\ 55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\ 24 &20 &25 & \blue \bm 1 \bm 0 & 21 &28 &15 \end{pmatrix}$. %Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras dans la matrice. La matrice $M^4$ donne le nombre de chemins allant d'un sommet à un autre. Le nombre 10 est situé sur la ligne 7 correspondant au sommet G, et sur la colonne 4 correspondant au sommet D: il y a donc 10 chemins de longueur 4 reliant le sommet G au sommet D. \item On va déterminer le chemin le plus rapide pour aller de la station G à la station D en utilisant l'algorithme de Dijkstra.% On donnera le parcours trouvé ainsi que sa durée totale. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \small%%% \scriptsize \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%% surlignage \newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%% cellule grisée avec package colotbl \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline G & A & B & C & D & E & F &{On garde} \\ \hline \sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & G \\ \hline \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \\[-3pt] \cgr & \sur{14 G} & 38 G & & & & & A (14) \\ \hline \cgr & \cgr & \sur{38 G} & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & \\[-3pt] \cgr & \cgr & \sout{57 A} & 78 A & & 49 A & 106 A & B (38) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & 78 A & $\infty$ & \sur{49 A} & 106 A & \\[-3pt] \cgr & \cgr & \cgr & \sout{84 B} & & & \sout{112 B} & E (49) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & 78 A & \sout{ $\infty$ } & \cgr & \sout{106 A} & \\[-3pt] \cgr & \cgr & \cgr & \sout{126 E} & 111 E & \cgr & \sur{72 E} & F (78) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \sur{78 A} & \sout{111 E} & \cgr & \cgr & \\[-3pt] \cgr & \cgr & \cgr & \sout{115 F} & 89 F & \cgr & \cgr & C (78) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sur{89 F} & \cgr & \cgr & D (89) \\ \hline \end{tabularx} } \end{center} Le chemin le plus rapide pour aller de G à D est: G $\stackrel{14}{\longrightarrow}$ A $\stackrel{35}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{23}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{17}{\longrightarrow}$ D; sa durée est de 89 minutes. \item Le conducteur du chasse-neige part de la station G et va directement à la station A. Il apprend alors que la route allant de la station E à la station F est barrée. %Comment peut-il terminer son parcours au plus vite jusqu'à la station D ? Préciser le temps qu'il mettrait alors pour finir son parcours. % %Aucune justification n'est attendue ici. Le chemin le plus rapide est alors G $\stackrel{14}{\longrightarrow}$ A $\stackrel{35}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{62}{\longrightarrow}$ D; sa durée est de 111 minutes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un particulier souhaite réaménager l'espace paysager de sa parcelle boisée comptant \np{10000} arbres en 2018. Pour cela, il se fixe un plan progressif qui consiste à couper chaque année $20$\,\% des arbres et à planter $600$ nouveaux pieds d'arbre. On modélise l'évolution du nombre d'arbres de cette parcelle par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d'arbres de la parcelle en $2018 + n$, ainsi $u_0 = \np{10000}$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $u_1 = u_0 -u_0\times \dfrac{20}{100} + 600 = \np{10000} - \np{10000} \times \dfrac{20}{100} + 600 = \np{8600}$ $u_2= u_1 -u_1\times \dfrac{20}{100} + 600 = \np{8600} - \np{8600} \times \dfrac{20}{100} + 600 = \np{7480}$ \item% Justifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité $u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 600$. Retirer 20\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{20}{100}=0,8$. On passe de l'année $n$ à l'année $n+1$ en multipliant par $0,8$ puis en ajoutant 600 donc on a pour tout $n$, $u_{n+1} = 0,8\times u_n +600$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{3000}$ pour tout entier naturel $n$. On peut donc déduire que, pour tout $n$, $u_n=v_n+\np{3000}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $v_{n+1}= u_{n+1}-\np{3000} = 0,8 u_n + 600 -\np{3000} = 0,8\left (v_n+\np{3000}\right ) -\np{2400}= 0,8 v_n +\np{2400} - \np{2400} = 0,8 v_n$ \item $v_0=u_0-\np{3000} = \np{10000} - \np{3000} = \np{7000}$ \end{list} La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=\np{7000}$. \item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n = \np{7000} \times 0,8^n$. \item Comme $u_n=v_n+\np{3000}$, on déduit que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = \np{7000} \times 0,8^n + \np{3000}$. \item On suppose que le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle. Comme $0<0,8<1$, d'après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que la limite de la suite $(v_n)$ est 0, et donc que la limite de la suite $(u_n)$ est $\np{3000}$. Le nombre d'arbres de cette parcelle va donc tendre vers $\np{3000}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le propriétaire de la parcelle souhaite conserver au moins \np{4000} arbres sur sa parcelle. Il cherche à déterminer l'année où il devra cesser son plan de réaménagement progressif. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Dans les algorithmes ci-dessous, $U$ est un nombre réel et $N$ est un nombre entier. Parmi ces algorithmes ci-dessous, un seul donne le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'arbres devienne inférieur ou égal à \np{4000}. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.5cm}|X|p{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} $U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$\\ $N \gets 0$&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\ Tant que $\blue U \leqslant \np{4000}$&&Tant que $U > \np{4000}$&&Tant que $U > \np{4000}$\\ \begin{tabular}{p{0.18cm}|l} &$N\gets N+1$\\ &$U \gets 0,8 \times U + 600$ \end{tabular}&&\begin{tabular}{p{0.18cm}|l} &$N\gets N+1$\\ &$\blue U \gets 0,8^N \times U + 600$ \end{tabular}&& \begin{tabular}{p{0.18cm}|l} &$N\gets N+1$\\ &$U \gets 0,8 \times U + 600$ \end{tabular}\\ Fin Tant que &&Fin Tant que&& Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{algorithme 1}& \textbf{algorithme 2}& \textbf{algorithme 3}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item Dans l'algorithme 1, la condition d'entrée dans la boucle \og Tant que \fg{} est $U \leqslant \np{4000}$; or la variable $U$ est initialisée à \np{10000}, donc on n'entre jamais dans la boucle.\\ L'algorithme 1 ne convient donc pas. \item Dans l'algorithme 2, la variable $U$ est modifiée par l'affectation $U \gets 0,8^N \times U + 600$ qui ne correspond pas à la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,8 u_n +600$. \\ L'algorithme 2 ne convient donc pas. \end{list} %Indiquer pourquoi les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas. \item% Déterminer l'année au cours de laquelle le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement. À la calculatrice on trouve $u_{8} \approx \np{4174}$ et $u_{9}\approx \np{3940}$; comme la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, $n=9$ est la plus petite valeur pour laquelle $u_n<\np{4000}$. Le propriétaire doit donc cesser son plan de réaménagement en $2016+9$ soit en $2027$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \emph{Cet exercice comporte trois parties.} \medskip On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~3]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point A de coordonnées (0,5~;~1). La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(3.2,1.8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=gray](0,0)(4,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.2,1.8) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x mul 2.71828 x dup mul 0.5 mul exp div} \psline(0.8,1.6) \psline{<->}(0.7,1.22)(1.3,1.22) \psline(1.3,1.16)(2.3,0.27) \uput[u](2.8,0.12){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](1.2,1.22){$T$} \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1.732,0.773)(0.5,1) \uput[ul](0.5,1){A} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique. \medskip \begin{enumerate} \item La droite $\mathcal{D}$ passe par le point O et le point A\,$(0,5~;~1)$.\\ Son équation est donc de la forme $y=mx$ avec $m=\dfrac{y_{\text A} -y_{\text O}}{x_{\text A} - x_{\text O}} = \dfrac{0,5}{1} = 2$. La droite $\mathcal{D}$ a donc pour équation $y=2x$. \item% Donner la valeur de $f'(1)$. Au point d'abscisse 1, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale $T$, donc $f'(1)=0$. \item% Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave. La fonction est concave quand sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses tangentes, ce qui est le cas par exemple sur $[0~;~1]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~3] par $f(x) = 2x\e^{-0,5x^2}.$ \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~3]. \begin{enumerate} \item %Montrer que $f'(x) = \left(2 - 2x^2\right)\text{e}^{-0,5x^2}$. $f'(x)= 2\times \e^{-0,5 x^2} + 2x \times \left (-0,5\times 2x\right )\e^{-0,5x^2} = \left ( 2 -2x^2\right ) \e^{-0,5x^2}$ \item% Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; 3] et dresser son tableau de variation. $f'(x)= \left ( 2 -2x^2\right ) \e^{-0,5x^2}$; or $\e^{-0,5x^2} >0$ sur $\R$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-2x^2$. $2-2x^2 = 2(1-x^2) = 2(1-x)(1+x)$ \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{3cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & 3 \\ \hline 1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline 1+x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline \e^{-0,5x^2} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} $f(0)=0$, $f(1) = 2\e^{-0,5}\approx 1,21$ et $f(3)=6\e^{-4,5}\approx 0,067$ On peut établir le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & 3 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\approx 1,21} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{\approx 0,067} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \item On admet que la fonction $F$, définie par $F(x) = - 2\e^{-0,5x^2}$, est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~3]. La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~3] est:%et en donner une valeur approchée au millième. $\dfrac{1}{3-0} \ds\int_{0}^{3} f(x) \d x = \dfrac{1}{3} \left (F(3)- F(0)\strut\right ) = \dfrac{1}{3} \left ( -2\e^{-4,5} - (-2)\right ) = \dfrac{2-2\e^{-4,5}}{3} \approx 0,659$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction $f$ l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver. Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~3], $f(x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant $x$, exprimé en mois. Un journal affirme que cet hiver: {\setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item \og Le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.\fg Le maximum de la fonction $f$ est atteint en $x=1$ et vaut $f(1)\approx 1,21$; donc le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie est de $1,21$ million. L'affirmation est \textbf{vraie}. \item \og Le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ \np{400000}.\fg Le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois est la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 0 et 3 donc vaut environ $0,659$ million soit $\np{659000}$. L'affirmation est \textbf{fausse}. \end{itemize}} %Que dire de ces deux affirmations ? \end{document}