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%Tapuscrit : Denis Vergès et Vincent Tolleron
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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}  
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois  réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. 
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier  le choix effectué.}
%
%\medskip
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}
 
\begin{enumerate}
\item %La valeur moyenne sur l'intervalle  $[-1~;~2]$ de la fonction $f$ définie par 

%$f(x)  = 6x^2 + 3$ est :

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~$~~$-8$&$\bullet~$~~$0$&$\bullet~$~~$9$\\
%\end{tabularx}
La valeur moyenne sur l'intervalle  $[-1~;~2]$ de la fonction $f$ est égale à :

$\dfrac{1}{2 - (- 1)}\displaystyle\int_{- 1}^2 (6x^2 + 3)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}\left[2x^3 + 3x \right]_{- 1}^2 = \dfrac{1}{3}\left[2\times 2^3 + 3\times 2 - \left(2\times (- 1)^3 + 3 \times (- 1) \right)\right] $

$= \dfrac{1}{3}(16 + 6 + 2  + 3) = \dfrac{17}{3} = 9$. 
\item  %Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln \left(\dfrac{2}{x} \right)$.

%La limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est égale à :
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{x} = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{x} \right) = - \infty$.
\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~$~~$-\infty$&$\bullet~$~~$0$&$\bullet~$~~$1$\\
%\end{tabularx} 
\item  %L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\ln (3 -x) \leqslant 0$\: est l'intervalle :

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~$~~$[3~;~+\infty[$&$\bullet~$~~$[2~;~3[$&$\bullet~$~~$[2~;~+ \infty[$\\
%\end{tabularx}
Avec $3 - x > 0 \iff x < 3$,
$\ln (3 - x) \leqslant 0 \iff \text{e}^{\ln (3 - x)} \leqslant \text{e}^0 \iff 3 - x \leqslant 1 \iff x \geqslant 2$. 

Les réels solutions sont ceux de l'intervalle $[2~;~3[$. 
\item  %Pour tous réels $a$ et $b$, strictement positifs,  $\ln (ab) - \ln\left(a^2\right)$ est égal  à : 

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~$~~$\ln \left( \dfrac{b}{a}\right)$&$\bullet~$~~  $\ln (b- a)$&$\bullet~$~~$\dfrac{\ln b}{\ln a}$\\
%\end{tabularx}
Avec $a > 0, \: b> 0$ :
$\ln (ab) - \ln\left(a^2\right) = \ln a + \ln b - 2\ln a = \ln b - \ln a = \ln \left(\dfrac{b}{a} \right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Une ville ne dispose que d'un cinéma de quartier dans le centre et d'un cinéma multiplexe en  périphérie. Des films français et des films étrangers sont projetés dans les deux cinémas.
%
%On sait que, parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~ $] 75\,\%  préfèrent le cinéma multiplexe. 
%\item[$\bullet~ $] 60\,\% des personnes qui préfèrent le cinéma de quartier vont voir de préférence les  films français.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un spectateur parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans  cette ville.
%
%On note respectivement M, Q, F et E les évènements suivants :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] M : \og  le spectateur préfère le cinéma multiplexe \fg{} ; 
%\item[] Q : \og  le spectateur préfère le cinéma de quartier \fg{}  ; 
%\item[] F : \og  le spectateur préfère les films français \fg{}  ; 
%\item[] E : \og  le spectateur préfère les films étrangers \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au centième.} 
%
%\emph{On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau. }
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\taput{0,75}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$E$} \tbput{}
	}
\pstree{\TR{$Q$~}\tbput{0,25}}
	{\TR{$F$}\taput{0,6}
	\TR{$E$} \tbput{0,4}
	}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère  les films étrangers est 0,1.
On a $p(Q \cap E) = p(Q) \times p_Q(E) = 0,25 \times 0,4 = 0,1$.
\item  %70\,\% des personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville préfèrent les films  étrangers.
On a $p(E) = 0,7$. D'après la loi des probabilités totales :

$p(E) = p(M \cap E) + p(Q \cap E) \iff p(M \cap E) = p(E) - p(Q \cap E) = 0,7 - 0,1 = 0,6$.

%Quelle est la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma multiplexe et préfère les films étrangers ? 
\item  %Le spectateur choisi préfère les films étrangers. Quelle est la probabilité qu'il préfère le  cinéma de quartier ?
On a $p_E(Q) = \dfrac{p(E \cap Q)}{p(E)} = \dfrac{0,1}{0,6} = \dfrac{1}{6} \approx 0,17$. 
\item  %On choisit au hasard et de façon indépendante trois spectateurs parmi les personnes qui  vont régulièrement au cinéma dans cette ville. Quelle est la probabilité qu'au moins un  d'entre eux préfère les films étrangers ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(E) = 0,7$.

La probabilité qu'aucun des trois ne préfère les films étrangers. La probabilité de cet évènement est  $(1 - 0,7)^3 = 0,3^3$, donc la  probabilité qu'au moins un  d'entre eux préfère les films étrangers est égale à :
$1 - 0,3^3 = 0,973 \approx 0,97$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un ciné-club qui projette des films français et étrangers dispose de deux salles. Les abonnés  au ciné-club assistent systématiquement à une projection chaque lundi soir.
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film français à une séance retourne voir  un film français à la séance suivante est égale à $0,6$. 
%\item[$\bullet~$] La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film étranger à une séance aille voir un  film français à la séance suivante est égale à $0,75$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Un lundi soir, un film français est projeté dans chacune des deux salles. Puis les semaines  suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film français et dans l'autre un film étranger.
%
%On cherche à étudier l'évolution de la répartition des spectateurs entre les deux salles au cours  des semaines suivantes, à partir de ce lundi.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %On note A l'état : \og le spectateur voit un film français \fg.

%On note B l'état : \og le spectateur voit un film étranger \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(0,1){$0,6$} \rput(5.2,1){$0,25$}
\rput(2.5,2.2){$0,4$} \rput(2.5,-0.2){$0,75$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  %On note $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que $M = \begin{pmatrix}
%0,6 & 0,4\\
%0,75& 0,25\\
%\end{pmatrix}$
En considérant les sommets dans l'ordre alphabétique la matrice de transition est 

$M = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\
0,75& 0,25\\
\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soient A$_{n}$ l'évènement : \og Le spectateur voit un film français à la $n$-ième séance \fg{} et B$_{n}$ l'évènement : \og  Le spectateur voit un film étranger à la $n$-ième séance \fg.

%L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la $n$-ième  séance est donné par la matrice ligne $T_{n} = \left(a_{n} \quad b_{n}\right)$ ou $a_{n} = P\left(\text{A}_{n}\right),{} b_{n}= P\left(\text{B}_{n}\right)$ et $a_{n} + b_{n} =1$.
 
%L'état probabiliste initial est donc donné par $T_{1} = (1\quad  0)$.

%Déterminer les matrices $T_{2}$ et $T_{3}$. En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.
On a $T_3 =  T_2 \times M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,6 & 0,4\\0,75& 0,25\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,66&0,34\end{pmatrix}$.

Ce qui signifie qu'à la troisième séance 66\,\% des spectateurs voient un film français.
\item %Déterminer la valeur arrondie au centième des réels $x$ et $y$ définissant l'état limite 
%$T = (x \quad  y)$ vers lequel converge la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter le résultat. 
La matrice de transition ne contient pas de terme nul, donc l'état $T_n$ converge vers un état stable $T = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ tel que 

$T = T \times = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,6 & 0,4\\0,75& 0,25\\\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,6x + 0,75y\\
y&=&0,4x + 0,25y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,4x - 0,75y&=&0\\
-0,4x + 0,75y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right. $

$\iff 
 \left\{\begin{array}{l c l}
0,4x - 0,75y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,4(1 - y) - 0,75y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,4&=&1,15y\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{0,4}{1,15}&=&y\\
x &=&1 - y
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{8}{23}&=&y\\
x &=& 1 - \frac{8}{23} = \frac{15}{23}
\end{array}\right.$

Donc $T = \begin{pmatrix} \frac{15}{23}&\frac{8}{23}\end{pmatrix}$. Soit en arrondissant au centième $T \approx  \begin{pmatrix} 0,65&0,35\end{pmatrix}$.

Au bout d'un certain nombre de semaines 65\,\% verront un film français.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'adhérents d'un club de rugby de 2001 à 2006.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 						&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\
\hline
Rang $x_{i}$ 				&1		&2		&3		&4		&5		&6\\
\hline
Nombre d'adhérents $y_{i}$	&70		&90		&115	&140	&170	&220\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'adhérents en fonction du rang $x$ de l'année.

\medskip

\textbf{Partie A :} un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 20~adhérents sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
\begin{center}
\psset{xunit = 1cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(7,170)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,160)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=60,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(7,170)
\psdots(1,10)(2,30)(3,55)(4,80)(5,110)(6,160)
\uput[d](6.8,0){$x$}
\uput[l](0,227){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent \emph{(aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à l'unité)}.
La calculatrice donne, les coefficients étant arrondis à l'unité : $y = 29x + 33$.
\item %En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.
2007 correspond au rang $x = 7$, d'où avec cet ajustement :

$y = 29 \times 7 + 33 = 203 + 33 = 236$ adhérents prévus en 2007.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} un ajustement exponentiel.

\medskip

On pose $z=\ln y$.
\begin{enumerate}
\item~% Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
$z_{i}$	&4,248	&4,5 	&4,745 	&4,942 	&5,136 	&5,394 \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés 
%\emph{(aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième)}.
La calculatrice donne, les coefficients étant arrondis au  centième : $z = 0,224x + 4,044$.
\item %En déduire une approximation du nombre d'adhérents $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.
On pour $y > 0$, \: $z = \ln y \iff y = \text{e}^{z} = \text{e}^{0,224x + 4,044} = \text{e}^{0,224x} \times \text{e}^{4,044}$.

Or $\text{e}^{4,044} \approx 57,054$, donc $y \approx 57,1\text{e}^{0,224x}$. 
\item %En prenant l'approximation $y\simeq\np{57,1}\text{e}^{\np{0,224}x} $ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.
Avec cet ajustement exponentiel pour $x = 7$, on obtient :

$y \approx 57,1\text{e}^{0,224\times 7} = 57,1\text{e}^{1,568} \approx 274$~adhérents à l'unité près en 2007.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C: } comparaison des ajustements.

\medskip

%En 2007, il y a eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ?
%
%Justifier la réponse.
L'ajustement exponentiel est le plus proche de la réalité : c'est lui le plus pertinent.
%\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4  \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
%
%La tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$(0~;~-2)$ passe par le point B$(2~;~- 4)$.
%
%\medskip
%
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(4,20)
\multido{\n=-3+0.25}{29}{\psline[,linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,-6)(\n,20)}
\multido{\n=-6+1}{27}{\psline[,linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](-3,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3,-6)(4,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-3}{4}{x neg  2 sub}
\uput[l](3,18.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](3,-5){$\mathcal{D}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,-4)(0,-2)
\uput[ur](0,-2){A}\uput[ur](2,-4){B}\uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,19.8){$y$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=3000]{2}{3}{2.71828 x exp x 2 sub mul}
\psline(3,0)(2,0)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=3000]{-3}{2.95}{2.71828 x exp x 2 sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la valeur de $f(0)$.
On lit $f(0) = - 2$. 
		\item  %Justifier que : $f'(0) = - 1$.
Le nombre dérivé en $x = 0$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB) : 

$\dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{- 4 - ( - 2)}{2 - 0} = \dfrac{- 2}{2} = - 1$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x,$
		
$f(x) = (x + a)\text{e}^{bx}$.

%Vérifier que p
our tout réel $x,\: f'(x) = (bx + ab + 1)\text{e}^{bx}$.
On a en dérivant le produit :

$f'(x) = 1\text{e}^{bx} + (x + a)\times b \text{e}^{bx} = \text{e}^{bx}(1 + bx + ab)$. 
		\item %Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$.
On a donc :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&- 2\\
f'(0)&=& - 1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a\text{e}^{0}&=&- 2\\
(1 + ab)\text{e}^{0}&=& - 1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 2\\
1 + ab&=&- 1
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 2\\
1 - 2 b&=&- 1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 2\\
2  &=&2 b
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 2\\
1 &=& b
\end{array}\right.$ 

Donc $f(x) = (x - 2)\text{e}^{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère maintenant la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par

%\[ f(x) = (x - 2)\text{e}^x. \]

\begin{enumerate}
\item  %Donner l'expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$ ; en déduire le sens de variation de la  fonction $f$ sur l'ensemble des réels $\R$.
On a déjà vu que $f'(x) = \text{e}^{bx}(1 + bx + ab) = \text{e}^{x}(1 + x -2) = (x - 1)\text{e}^{x}$.

Comme $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 1$.

$\bullet~~$ si $x < 1$, \:$x - 1 < 0$, donc $f$ est décroissante sur $- \infty~;~1]$ ;

$\bullet~~$ si $x > 1$, \:$x - 1 > 0$, donc $f$ est croissante sur $1 ~;~+ \infty]$

$\bullet~~$ si $x = 1$, \: $f'(1) = 0$ : la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe $\mathcal{C}$ est horizontale. Ceci correspond bien à la représentation graphique donnée.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).$
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x = + \infty$, donc par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x).$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x =  0$.)
On a $f(x) = x\text{e}^x - 2 \text{e}^x$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x\text{e}^x =  0$, donc par somme de limites, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

Ce résultat montre géométriquement que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		 
%Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $g$ définie par $g(x) = (x - 3)\text{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		On a sur $\R$,\: $g'(x) = 1\text{e}^x + (x- 3)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 3) = (x - 2)\text{e}^x = f(x)$, donc $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item %Calculer  $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\:\text{d}x$.
On a donc $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_2^3 = g(3) - g(2) = (3 - 3)\text{e}^3 - (2 - 3)\text{e}^2 = \text{e}^2$ 
		\item %Préciser le signe de $f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [2 ; 3].
		
%Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la  courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =2$ et $x =3$.

%\emph{Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.}
On a vu que sur $[1~;~+ \infty[$, \: $f$ est croissante ; or $f(2) = 0$, donc sur l'intervalle [2~;~3], $f(x) \geqslant 0$.

Par conséquent l'aire de la partie du plan délimitée par la  courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =2$ et $x =3$ est égale à l'intégrale calculée précédemment soit $\text{e}^2 \approx 7,389$ soit environ 7,4~unités d'aire.

On peut vérifier approximativement ce résultat : 1 unité d'aire fait 4 petits carreaux, donc l'aire de la surface hachurée en contient à peu près 29. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}