\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fltpoint} %pour les calculs de z, à charger avant le reste,sinon erreur \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pst-3dplot,pst-eucl} %%% Mille remerciements à Philippe Camus pour la surface %%% \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée. % %Barème : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %La fonction $F : x \longmapsto \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par : On a $F'(x) = \dfrac{2}{2x + 4} = \dfrac{1}{x + 2}$. \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %${\Huge \bullet~} f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{2x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\ %\end{tabularx} \item %L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x$ est égale à : Une primitive de $x \longmapsto 2x\text{e}^{x^2}$ est la fonction $x \longmapsto \text{e}^{x^2}$, donc $\displaystyle\int_{0}^1 3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x = 3\left[\frac{1}{2}\text{e}^{x^2} \right]_0^1 = $ $\frac{3}{2}\text{e}^{1^2} - \frac{3}{2}\text{e}^{0^2} = \frac{3}{2}(\text{e} - 1)$. %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %${\Huge \bullet~} 6(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}\text{e}$\\ %\end{tabularx} \item %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$. %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. %La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées : %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %${\Huge \bullet~} (2~;~ 0)$&${\Huge \bullet~} (1~;~-1)$&${\Huge \bullet~} \left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\ %\end{tabularx} On a $f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1 + x}{x^2}$. Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 a pour équation : $y - f(1) = f'(1)(x - 1) \iff y - 2 = - \dfrac{2}{1}(x - 1) \iff y = 2 - 2x + 2 \iff y = - 2x + 4$. Pour $x = 2$, on a $y = 0$. Elle passe par le point (2~;~0). \item %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right)$. %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. % %La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %${\Huge \bullet~} y = 0$ &${\Huge \bullet~} y = 2x - \ln 2$ &${\Huge \bullet~} y=2x$. %\end{tabularx} On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x + 1}{2x} = \dfrac{1}{2}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right) = \ln \dfrac{1}{2} = - \ln 2$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - 2x] = - \ln 2$. Ceci signifie qu'au voisinage de plus l'infini la droite dont une équation est $y = 2x - \ln 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %Année $a_{i}$ &1980&1985&1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline %Proportion $y_{i}$ &11,4&19,6&30,1 &37,6 &42,6 & 45,2\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip % %On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Voir plus bas%Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm, %\item sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{figure}[h] \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(24,36) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1980,Dx=4,Oy=10,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(24,36) \psdots(0,1.4)(5,9.6)(10,20.1)(15,27.6)(20,32.6)(23,35.2) \uput[u](22,0){Année} \uput[r](0,35){Proportion} \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \item %Un ajustement affine semble-t-il adapté ? Les points sont pratiquement alignés : un ajustement affine semble adapté. \end{enumerate} \item %On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a - 1950$ et $t = \ln x$. \begin{enumerate} \item Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $a_{i}$ &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline $x_{i} = a_{i} - 1950$ &30 &35 &40 &45 &50 &53\\ \hline $t_{i} = \ln x_{i}$ &3,401 &3,555 &3,689 &3,807 &3,912 &3,970\\ \hline $y_{i}$ &11,4 &19,6 &30,1 &37,6 &42,6 &45,2\\ \hline \end{tabularx} \medskip %On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième. \item %Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième. Après arrondi au dixième des coefficients trouvés grâce à la calculatrice on obtient $y = 61,3t - 197$. \item %En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$. On a $x > 0$, donc comme $t = \ln x$, on a $y = 61,3\ln t - 197$. \item %Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à $1$\,\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ? 2010 correspond au rang $x = 60$, d'où une estimation $y = 61,3\ln 60 - 197 \approx 53,983$ soit à l'unité près une proportion du nombre d'enfants nés hors mariage de 54\,\%. \item %À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à $60$\,\% ? Il faut trouver le plus petit entier vérifiant : $61,3\ln n - 197 \geqslant 60 \iff 61,3\ln n \geqslant 257 \iff \ln n \geqslant \frac{257}{61,3} \iff n \geqslant \text{e}^{\frac{257}{61,3}}$. Or $\text{e}^{\frac{257}{61,3}} \approx 66,2$. Il faut donc prendre $n = 67$ soit en 2017. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur $5$~dm (décimètres). % %Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que %\[x \in ]0~;~20[ \quad \text{et} \quad y \in ]0~;~20[.\] %La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux $12$ arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de $0,8$~euro le dm. % %Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre. % %\medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip %On décide d'investir exactement $80$~euros pour la construction du bâti métallique. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y = 20$. Il faut 4 arêtes de longueur $x$, 4 de longueur $y$ et 4 de longueur 5, soit un coût de $(4x + 4y + 4\times 5) \times 0,8 = 80 \iff 4x + 4y + 20 = 100 \iff 4x + 4y = 80 \iff x + y = 20$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en dm$^3$, de cet aquarium. Le volume est donc égal à $x \times y \times 5 = 5xy$~(dm$^3$. \item %En déduire le volume $V$ en fonction de $x$ sous la contrainte précédente. La contrainte peut s'écrire $y = 20 - x$, donc $V = 5x(20 - x)$. \end{enumerate} \item %On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$. On a donc $f(x) = 100x - 5x^2$, trinôme du second degré fonction qui a son maximum pour $x = - \dfrac{b}{2a}$ avec $a = - 5$ et $b = 100$. Le maximum est donc atteint en $x = - \dfrac{100}{2 \times (- 5)} = 10$. \item %En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal. Ce maximum est égal à $f(10) = 100 \times 10 - 5 \times 10^2 = \np{1000} - 500 = 500$~dm$^3$. Les dimensions du bâti sont donc 10, 10 et hauteur 5 en dm. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip %Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$ et tout $y \in ]0 ~;~20[$ par : % %\[g(x~;~y) = xy + 10(x+y).\] % %On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle au plan $\left(\text{O}~;~ \vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse. Si $x = 12$, alors $z = 12y + 10(12 + y) = 12y + 120 + 10y = 22y + 120$ qui est l'équation d'un plan parallèle à l'axe des abscisses. L'intersection des deux plans ensemble des points donc les coordonnées vérifient $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&12\\z&=&22y + 120 \end{array}\right.$ est une droite. \item %Montrer que $g(x~;~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en dm$^2$, de la surface vitrée de l'aquarium. La surface vitrée de l'aquarium se compose du : -- du fond rectangulaire de côtés $x$ et $y$, donc d'aire $xy$ ; -- de deux parois rectangulaires de côtés $x$ et 5, donc d'aire $2 \times 5 \times x = 10x$ ; -- de deux parois rectangulaires de côtés $y$ et 5, donc d'aire $2 \times 5 \times y = 10y$ La surface vitrée totale est égale à $xy + 10x + 10y = g(x~;~y)$. \item %On suppose pour cette question que $x = 12.$ \begin{enumerate} \item %Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée. On a d'une part $x = 12$ et d'autre part $y = 20 - x = 20 - 12 = 8$, donc $g(12~;~8) = 12 \times 8 + 10\times(12 + 8) = 96 + 200 = 296$~dm$^2$. \item %Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre $400$ et $500$ dm$^2$. On lit à peu près $13 \leqslant y \leqslant 17$, donc $y \in \{13~;~14~;~15~;~16~;~17 \}$. \item %Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1. Avec $x = 12$, l'aire est égale à $g(12~;~y) = 22y + 120$. Donc $400 \leqslant 22y + 120 \leqslant 500 \iff 280 \leqslant 22y \leqslant 380 \iff \frac{280}{22} \leqslant y \leqslant \frac{380}{22} \iff \frac{140}{11} \leqslant y \leqslant \frac{190}{11}$. Or $\frac{140}{11} \approx 12,7$ et $\frac{190}{11} \approx 17,3$. Les valeurs entières vérifiant l'encadrement sont donc 13 ; 14 ; 15 ; 16 et 17 \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par % %\[f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\] % %dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité $2$~ cm. % %\medskip % %\begin{center} %\psset{unit=2cm} %\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,3.75) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.5)(5,4) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(5,4) \uput[dr](0,0){O} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp} %\uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){$\mathcal{C}$} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe. Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$. $\bullet~~$$f(2) = \text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2 + 1} = \text{e}^{0} = 1$ ; $\bullet~~$$f'(x) = - \frac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$, donc $f'(2) = - \frac{1}{2}\text{e}^{0} = - \frac{1}{2}$. L'équation de la tangente est donc : $y - 1 = - \frac{1}{2}(x - 2) \iff y = 1 - \frac{1}{2}x + 1$ soit finalement : $y = - \frac{1}{2}x + 2$. \item %On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : %\[g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x - 2.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ et sur cet intervalle : $g'(x) = f'(x) + \dfrac{1}{2} = - \frac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left[1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\right]$. Le signe de $g'(x)$ est celui de la différence $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$. On a $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} > 0 \iff 1 > \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} \iff 0 > - \frac{1}{2}x + 1 \iff \frac{1}{2}x > 1 \iff x > 2$. On trouve de même que $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} > 0 \iff x < 2$. Et $g'(2) = 0$. La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. \item %Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat. On a $g(2) = f(2) + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ : donc le minimum de la fonction $g$ sur $[0~;~ + \infty[$ est $0$ ; on a donc sur $[0~;~ + \infty[$, $g(x) \geqslant 0$. Or $g(x) \geqslant 0 \iff f(x) + \dfrac{1}{2}x - 2 \geqslant 0 \iff f(x) \geqslant - \dfrac{1}{2}x + 2$ : géométriquement ce résultat signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de sa tangente $T$ au point d'abscisse 2. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Hachurer sur le graphique de la feuille annexe le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées. \item %Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à la différence de l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droite d'équation $x = 0$ $x = 2$ et de l'aire du trapèze dont les sommets sont les points de coordonnées (0~;~0), (2~;~0), (2~;~1) et(0~;~2). La première est en unités d'aire égale à l'intégrale : $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$. Or une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$ est la fonction $x \longmapsto -2\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$, donc $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = \left[-2\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} \right]_0^2 = -2\text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2 + 1} - \left(-2\text{e}^{- \frac{1}{2}\times 0 + 1} \right) = - 2 + 2\text{e} = 2(\text{e} - 1) \approx 3,437$. D'autre part l'aire du trapèze est égale à $\dfrac{1 + 2}{2} \times 2 = 3$. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est donc égale à $- 2 + 2\text{e} - 2 = 2\text{e} - 5 \approx 0,44$~unité d'aire. L'unité d'aire valant $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est approximativement 1,75~cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête. % %On note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item A$_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg. %\item A$_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %On note $\overline{\text{A}_{1}}$ et $\overline{\text{A}_{2}}$ les évènements contraires des évènements A$_{1}$ et A$_{2}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$. \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? La probabilité est égale à $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$ \item %Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ? La probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu est donc $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item %Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}2$ ; s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$. \begin{enumerate} \item ~%Illustrer cette situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{$\frac{1}{2}$}} {\TR{$A_2$}\taput{$\frac{1}{2}$} \TR{$\overline{A_2}$}\tbput{$\frac{1}{2}$} } \pstree{\TR{$\overline{A_1}$~}\tbput{$\frac{1}{2}$}} {\TR{$A_2$}\taput{$\frac{1}{3}$} \TR{$\overline{A_2}$}\tbput{$\frac{2}{3}$} } } \end{center} \bigskip \item %Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$. On a $P\left(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}\right) = P_{\overline{A_1}}\left(\overline{A_2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$. \item %Calculer $P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap A_{2}\right)$ ; en déduire $P\left(A_{2}\right)$. La probabilité que l'automobiliste s'arrête aux deux feux est $P\left(A_{1} \cap A_{2}\right) = P\left(A_{1} \right)\times P_{A_{1}}\left(A_{2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. La probabilité que l'automobiliste s'arrête au second feu mais pas au premier est $P\left(\overline{A_{1}} \cap A_{2}\right) = P\left(\overline{A_{1}}\right) \times P_{\overline{A_{1}}}\left(A_{2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. D'après la loi des probabilités totales : $P\left(A_{2}\right) = P\left(A_{1} \cap A_{2}\right) + P\left(\overline{A_{1}} \cap A_{2}\right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12}$. \item %L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ? On a $P_{A_{2}}\left(A_{1} \right) = \dfrac{P\left(A_{2} \cap A_1\right)}{P\left(A_{2}\right)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$. \end{enumerate} \item %Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes. \begin{enumerate} \item %Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet. Soit $D$ la variable aléatoire durée du trajet ; le tableau de sa loi de probabilité est le suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $D$ &9 &12 &15\\ \hline $P$ &$\frac{1}{3}$ &$\frac{5}{12}$ &$\frac{1}{4}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Déterminer la durée moyenne du trajet. On a E$(D) = 9\times \frac{1}{3} + 12 \times \frac{5}{12} + 15 \times \frac{1}{4} = 3 + 5 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{32 + 15}{4} = \dfrac{47}{4}$~min soit 11~min 45~s. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} %\vspace{1cm} % %\textbf{Enseignement obligatoire} % %\vspace{1cm} % %\textbf{Exercice 2} % %\vspace{1cm} % %\renewcommand{\arraystretch}{1.75} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année $a_{i}$ &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2003\\ \hline %$x_{i} = a_{i} - 1950$ &30 & & & & &\\ \hline %$t_{i} = \ln x_{i}$ &3,401 & & & & &\\ \hline %$y_{i}$ &11,4 & & & & & \\ \hline %\end{tabularx} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,3.75) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt](0,0)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.25)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp} \uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{4}{2 0.5 x mul sub} \uput[ur](4,0){\green $T$} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp} \psline(2,1)(0,2)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{Enseignement de spécialité} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-1.5,-2)(30,24) %\SpecialCoor \psset{Beta=12,Alpha=165} %\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests \pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false] %la boîte %à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y \pstThreeDPut(10,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(22,10,0){$x$} \pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$} \pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16) \multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}} \multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}} \multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n,0){\n}} \multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)} \multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)} \multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)} %courbes de niveaux %z=0-100 \newgray{gris}{0.45} \parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div} \parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}} %z>=100 \newgray{gris}{0.15} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4) \pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16) \pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4) \pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2} } %z>=200 \newgray{gris}{0.85} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4} } %z>=300 \newgray{gris}{0.65} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6} } %z>=400 \newgray{gris}{0.45} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8} } %z>=500 \newgray{gris}{0.3} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t 500 t 10 mul sub t 10 add div 10} } %z>=600 \newgray{gris}{0.15} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12} } %z>=700 \newgray{gris}{0.75} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ \pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14) \parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14} } %surface \psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre %la légende \psframe[linewidth=0.5pt](25.5,6)(29.8,14) \psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid} \newgray{gris}{0.45} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,6.5)(26,6.8) \rput[l](26.5,6.65){0-100} \newgray{gris}{0.15} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,7.5)(26,7.8) \rput[l](26.5,7.65){100-200} \newgray{gris}{0.85} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,8.5)(26,8.8) \rput[l](26.5,8.65){200-300} \newgray{gris}{0.65} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,9.5)(26,9.8) \rput[l](26.5,9.65){300-400} \newgray{gris}{0.45} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,10.5)(26,10.8) \rput[l](26.5,10.65){400-500} \newgray{gris}{0.3} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,11.5)(26,11.8) \rput[l](26.5,11.65){500-600} \newgray{gris}{0.15} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,12.5)(26,12.8) \rput[l](26.5,12.65){600-700} \newgray{gris}{0.75} \psframe[ fillcolor=gris](25.7,13.5)(26,13.8) \rput[l](26.5,13.65){700-800} \end{pspicture} \par\end{center} \end{document}