\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat ES } \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\septembre 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip exemple \index{exemple} %Une boîte de chocolats contient 50\,\% de chocolats au lait, 30\,\% de chocolats noirs et 20\,\% de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage identique. % %Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56\,\% sont garnis de praliné. % %On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables. % %On note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] $L$ : l'évènement \og le chocolat choisi est au lait \fg{} ; %\item[$\bullet~$] $N$ : l'évènement \og le chocolat choisi est noir \fg{} ; %\item[$\bullet~$] $B$ : l'évènement \og le chocolat choisi est blanc \fg{} ; %\item[$\bullet~$] $A$ : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de praliné \fg{} ; %\item[$\bullet~$] $\overline{A}$ : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de caramel \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Traduire les données du problème à l'aide d'un arbre de probabilité. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$L$~}\taput{0,5}} {\TR{$A$}\taput{0,56} \TR{$\overline{A}$}\tbput{0,44} } \pstree{\TR{$N$~}\taput{0,3}} {\TR{$A$}\taput{\red 0,7} \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,3} } \pstree{\TR{$B$~}\tbput{0,2}} {\TR{$A$}\taput{\red 0,55} \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,45} } } \end{center} \medskip \item %Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat au lait. On a $p_L(A) = 0,56$ (énoncé). \item %Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. $p(L \cap A) = p(L) \times p_L(A) = 0,5 \times 0,56 = 0,28$. \item %Dans la boîte, 21\,\% des chocolats sont noirs et garnis de praliné. %Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir, est égale à $0,7$. On a donc $p(N \cap A) = 0,21$. $p_N(A) = \dfrac{p(N \cap A)}{p(N)} = \dfrac{0,21}{0,3} = \dfrac{21}{30} = \dfrac{7}{10} = 0,7$. \item %Dans la boîte, 60\,\% des chocolats sont garnis de praliné. On a donc $p(A) = 0,6$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. D'après la loi des probabilités totales : $p(A) = p(L \cap A) + p(N \cap A) + p(B \cap A) \iff 0,6 = 0,28 + 0,21 + p(B \cap A) \iff p(B \cap A) = 0,6 - 0,49 = 0,11$. \item %En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat blanc. $p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,11}{0,2} = \dfrac{11}{20} = 0,55$. \end{enumerate} \item On a une loi binomiale de paramètres $n = 2$ et $p = p(A) = 0,6$. La probabilité qu'il y ait un seul chocolat garni de praliné est : $2 \times 0,6 \times (1 - 0,6 ) = 2 \times 0,6 \times 0,4 = 0,48$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par %\[f(x) = (1 - x) \text{e}^{x}.\] % %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (\emph{figure ci-dessous}). % %\medskip % \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(2.25,2.5) \begin{psclip}{\psframe(-3.5,-2.5)(2.25,2.5)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-4,-4)(3,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-2.5)(2.25,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{1.6}{2.71828 x exp 1 x sub mul} \uput[d](2.15,0){$x$} \uput[l](0,2.25){$y$} \psframe[linecolor=cyan](-1,0)(0,1) \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{0}{2.71828 x exp 1 x sub mul} \psline(0,0)(-1,0)} \end{psclip} \end{pspicture} \end{center} % %\medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$). $f(x) = (1 - x) \text{e}^{x} = \text{e}^{x} - x\text{e}^{x}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$ par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. %Interpréter graphiquement le résultat. Géométriquement cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini. \item %Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \item %Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$. Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f(x)$ est celui de $1 - x$. $\bullet~~$$1 - x > 0 \iff x < 1$ : $f(x) > 0$ sur $]- \infty~;~1[$ ; $\bullet~~$$1 - x < 0 \iff x > 1$ : $f(x) < 0$ sur $]1~;~+ \infty[$ ; $\bullet~~$$1 - x = 0 \iff x = 1$ : $f(1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ par % %\[F(x) = (- x + 2)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. $F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $F'(x) = -1 \text{e}^x + (- x + 2)\text{e}^x = \text{e}^x(- 1 - x + 2) = \text{e}^x(- x + 1) = f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. \item %On appelle $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$. \begin{enumerate} \item %Justifier l'égalité : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$. On a vu que pour $x < 1, \: f(x) > 0$, donc l'aire de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$ est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$. \item %À l'aide du graphique ci-dessus, justifier que : $0 < \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x < 1$. On voit sur le graphique que l'aire $\mathcal{A}$ est inférieure à celle du carré de côté 1 en couleur, donc : $0 < \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x < 1$. \item %Déterminer, en unités d'aire, la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis sa valeur décimale arrondie au centième. On a donc : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-1}^0 = F(0) - F(- 1) = (- 0 + 2)\text{e}^0 - \left[(- (- 1) + 2)\text{e}^{-1} \right] = 2 - 3\text{e}^{- 1} \approx 0,896 \approx 0,90$ unité d'aire au centième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Une association caritative a constaté que, chaque année, 20\,\% des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, $300$ nouveaux donateurs effectuaient un don. % %On étudie l'évolution du nombre de donateurs au fil des années. % %Lors de la première année de l'étude, l'association comptait \np{1000}~donateurs. % %On note $u_{n}$ le nombre de donateurs lors de la $n$-ième année ; on a donc $u_{1} = \np{1000}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. $u_{2} = \np{1000} - 0,2 \times \np{1000} + 300 = \np{1000} - 200 + 300 = \np{1100}$ ; $u_3 = \np{1100} - 0,2 \times \np{1100} + 300 = \np{1100} - 220 + 300 = \np{1180}$. \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $u_{n+1} = 0,8 \times u_{n} + 300$. Enlever 20\,\% c'est multiplier par 0,8. Donc d'une année sur l'autre l'effectif est multiplié par 0,8 puis augmenté de 300, soit : $u_{n+1} = 0,8 \times u_{n} + 300$. \item ~%Dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm pour 100 (on prendra l'origine du repère en bas à gauche de la feuille), représenter les droites d'équation %$y = x$ et $y = 0,8 x + 300$. %À l'aide d'une construction graphique, émettre une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. \begin{center} \psset{unit=0.0045cm} \begin{pspicture}(-0.5,-100)(2000,1800) \multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1800)} \multido{\n=0+100}{19}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(2000,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(2000,1800) \psline(1800,1800) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1875}{0.8 x mul 300 add} \psline[ArrowInside=->](1000,0)(1000,1100)(1100,1100)(1100,1180)(1180,1180) \end{pspicture} \end{center} En partant du point (\np{1000}~;~0) et en allant \og vers le haut \fg{} jusqu'à la droite $y = 0,8 x + 300$ et \og vers la droite \fg{} jusqu'à la droite $y = x$, on constate que la suite semble converger vers l'abscisse du point commun aux deux droites donc vers \np{1500}. \item %Afin de démontrer cette conjecture, on introduit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$, par $v_{n} = 1500 - u_{n}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Pour tout entier naturel non nul $n,\: v_{n+1} = \np{1500} - u_{n+1} = \np{1500} - \left(0,8u_n + 300 \right) = $ $\np{1200} - 0,8u_n = 0,8\left(\frac{\np{1200}}{0,8} - u_n \right) = 0,8\left(\np{1500} - u_n\right) = 0,8v_n$. L'égalité vraie pour tout entier naturel non nul $n,\: v_{n+1} = 0,8v_n$ montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8, de premier terme $v_1 = \np{1500} - u_1 = \np{1500} - \np{1000} = 500$. \item %Calculer la limite de $\left(v_{n}\right)$ ; en déduire la limite de $\left(u_{n}\right)$. On a pour tout naturel non nul : $v_n = 0,8^{n-1}v_1 = 500 \times 0,8^{n-1}$ Comme $0 < 0,8 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$. %Que peut-on en déduire pour l'évolution du nombre de donateurs de l'association ? Or $v_n = \np{1500} - u_n \iff u_n = \np{1500} - v_n$, donc : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \np{500}$ : le nombre de donateurs va se stabiliser vers \np{1500}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %Le tableau ci-dessous indique le nombre $y$ d'exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005. % %On appelle $x$ le rang de l'année. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &1955 &1970 &1988 &2000 &2005\\ \hline %Rang $x_{i}$ &0 &15 &33 &45 &50 \\ \hline %Nombre d'exploitations % $y_{i}$ (en milliers) &2280 &\np{1588} &\np{1017} &664 &545\\ \hline %\multicolumn{6}{r}{(Source INSEE)}\\ %\end{tabularx} % %\medskip \textbf{Partie A : un ajustement affine} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~%Tracer le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 1~cm pour 5~années sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 200~milliers d'exploitations sur l'axe des ordonnées ; (\emph{on placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille}). \begin{center} \psset{xunit=0.18cm,yunit=0.002cm} \def\pshlabel#1{\footnotesize#1} \def\psvlabel#1{\footnotesize#1} \begin{pspicture}(-0.5,-100)(52,2400) \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,2400)} \multido{\n=0+250}{10}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(52,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=250]{->}(0,0)(0,0)(52,2400) \psdots(0,2280)(15,1588)(33,1017)(45,664)(50,545)(28.6,1218.8) \uput[ur](28.6,1218.8){G} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{52}{2196 34 x mul sub} \end{pspicture} \end{center} \medskip \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique. On trouve G(28,6~;~\np{1218,8}). Voir la figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$ de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis à l'unité}). On obtient comme équation de la droite d'ajustement : $y = - 34x + \np{2196}$. \item %Tracer la droite $D$ sur le graphique. Voir le graphique plus haut. \end{enumerate} \item %Calculer le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (\emph{le résultat sera arrondi au millier}). 2008 correspond au rang 53, d'où $y = - 34 \times 53 + \np{2196} = 394$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : une autre estimation} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (\emph{le résultat sera arrondi au dixième}). Le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 est égal à $\dfrac{664 - 545}{664} \times 100 \approx 17,92$ soit au dixième près 17,9\,\%. \item %On suppose qu'entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d'exploitations agricoles est constant. %Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87\,\%. On calcule : $664 \times (1 - 0,0387)^5 \approx 545,03$ soit environ 545 à l'unité près. \item %On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87\,\% entre 2005 et 2008. %Quel est le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 (\emph{le résultat sera arrondi au millier}) ? Le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 est égal à $545 \times (1 - 0,0387)^3 \approx 484,1$ soit environ 484 à l'unité près soit \np{484000} exploitations agricoles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~20] par : % %\[f(x) = \dfrac{1}{2} x + 4 + \dfrac{3}{4} \ln (4x + 10) - 3\ln x.\] % %On appelle $\mathcal{C}$ la courbe ci-dessous représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. % %\medskip % %\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.3cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(21,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-1,-2)(21,18) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-2)(21,18) %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.075}{20}{x 2 div 4 add x 4 mul 10 add ln 3 mul 4 div add x ln 3 mul sub} %\uput[u](15,6.6){$\mathcal{C}$} %\uput[d](21,0){$x$}\uput[l](0,17.5){$y$} %\end{pspicture}} \hfill %\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie A} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $0$. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ? On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{2} x = 0$, \:$\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln (4x + 10) = \ln 10$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} = - \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. \item %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~20],$ %$f'(x ) = \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$. La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~20]$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}\times 4 \times \dfrac{1}{4x + 10} - 3\times \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4x + 10} - \dfrac{3}{x} =$ $ \dfrac{x(4x + 10) + 6x - 6(4x + 10)}{2x(4x + 10)} = \dfrac{4x^2 + 10x + 6x - 24x - 60}{x(4x + 10)} = \dfrac{4x^2 - 8x - 60 } {2x(2x + 5)} = \dfrac{2x^2 - 4x - 30}{2x(2x + 5)} =$ $ \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$. \item %Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~20]$ et dresser son tableau de variations. Comme $x > 0, \: 2x + 5 > 0$ : le dénominateur est positif : le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur ; celui-ci est un trinôme : il est positif (car $a = 1 > $) sauf entre ses racines. Or $\Delta = 4 + 60 = 64 = 8^2 > $. Les racines sont $x_1 = \dfrac{2 + 8}{2} = 5$ et $x_2 = \dfrac{2 - 8}{2} = - 3$. Donc $2x^2 - 4x - 30 < 0$ sur $]0~;~5[$ et $2x^2 - 4x - 30 > 0$ sur $]5~;~20[$. La fonction est donc décroissante sur $]0~;~5[$ et croissante sur $]5~;~20[$. \end{enumerate}} \medskip %On admet que l'équation $f(x) = 6$ possède exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans l'intervalle $]0~;~20]$ telles que $\alpha \approx 1,242$ et $\beta \approx 13,311$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Une entreprise produit au maximum \np{20000}~objets par jour. % %On note $x$ le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : $x \in ]0~;~ 20]$. % %On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à $f(x)$, où $f$ est la fonction définie ci-dessus. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ? On a vu dans la question précédente que $f(5)$ est le minimum de $f$ sur [0~;~30]. Le coût moyen de fabrication est donc minimal pour une production de \np{5000}~objets. \item %Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime. $f(5) = = \dfrac{1}{2} \times 5 + 4 + \dfrac{3}{4} \ln (4\times 5 + 10) - 3\ln 5 = \dfrac{13}{2} + \dfrac{3}{4} \ln (30) - 3\ln 5 \approx 4,222$ soit environ 4,22~\euro{} quand on produit \np{5000} objets. \end{enumerate} \item %Le prix de vente d'un objet est de 6~\euro. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? On a admis que l'équation $f(x) = 6$ a deux solutions $\alpha \approx 1,242$ et $\beta \approx 13,311$. Les productions journalières sont donc respectivement \np{1242} et \np{13311}. Sur l'intervalle $\alpha~;~5]$, \: $f(x) < 6$ : le coût est inférieur au prix de vente il y a bénéfice. Sur l'intervalle $[5~;~\beta[$, \: $f(x) < 6$ : il y a bénéfice. Conclusion : il y a bénéfice quand l'usine produit entre \np{1242} et \np{13311}~objets. \item %Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de \np{5000}~objets par jour. Si $x = 5$, alors le bénéfice est : $\np{5000}(6 - 4,22) = \np{5000} \times 0,78 = \np{8900}$~\euro. \item %L'année suivante, le coût moyen augmente de 2\,\%. Le prix de vente est alors augmenté de 2\,\%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier. L'année suivante le coût moyen est $1,02f(x)$ fonction qui a les mêmes variations que $f$, donc le même minimum en $x = 5$. Le nouveau prix de vente est $1,02 \times 6$. Le bénéfice est donc $1,02 \times 6 - 1,02f(x) = 1,02\left[6 - f(x) \right]$ ce qui montre que le bénéfice augmente de 2\,\%. %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{document}