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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2009}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\septembre 2009}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %\og Un accroissement de population de 1,8\,\% par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans \fg.
 
%Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
Augmenter de 1,8\,\% chaque année c'est multiplier par $1 + \dfrac{1,8}{100} = 1,018$.

En quarante ans la population est donc multipliée par $1,018^{40} \approx 2,04$.

L'affirmation est exacte. 
\item %D'après l'INED (Institut National d'Etudes Démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%année &1960 &1970 &1980 &1990 &2000  \\ \hline
%Rang : $x_{i}$ $(0 \leqslant x_{i} \leqslant  4)$& 0 &10 &20 &30 &40 \\ \hline
%Population : $y_{i}$ en millions d'habitants $(0 \leqslant y_{i} \leqslant  4)$&\nombre{3014}& \nombre{3683} &\nombre{4453} &\nombre{5201} &\nombre{6080} \\ \hline
%\end{tabularx}
% 
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $T$, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1\,\% près).
$T = \dfrac{\np{6080} - \np{3014}}{\np{3014}}\times 100 \approx 101,7\,\%$. 
		\item  %On appelle $t$ le taux d'évolution moyen annuel, en \%, entre 1960 et 2000. 
	
%Montrer que $t$ vérifie $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{40} \approx  2,017$.
 
%En déduire une valeur approchée de $t$ (arrondie au dixième de pourcentage).
De 1960 à 2000, la population a été multipliée par $\dfrac{\np{6080}}{\np{3014}} \approx 2,017$.

Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen entre 1960 et 2000, on sait que $t$ vérifie :

$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{40} \approx  2,017$.

On a donc $1 + \dfrac{t}{100} \approx 2,017^{\frac{1}{40}} \iff \dfrac{t}{100} \approx 2,017^{\frac{1}{40}} - 1 \iff \dfrac{t}{100} \approx  0,018 \iff t \approx 1,8$~\,\%.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8\,\%.
 
%Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100~millions près.
L'estimation de la population en 2008 est :

$\np{6080}\times 1,018^8 \approx \np{7012}$~millions soit environ \np{7000} millions ou 7 milliards. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.
		 
%À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = 76,5x + \np{2956,2}$. 
		\item %Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à $100$ millions près).
Avec ce modèle comme 20008 correspond à $x = 48$, on a une projection de :

$76,5 \times 48 + \np{2956,2}  = \np{6628,2}\approx \np{6600}$~millions, soit 6,6 milliards d'habitants.
	\end{enumerate} 
\item %En fait, en 2008 on vient de dépasser $6,5$~milliards d'habitants.
 
%Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ? 
C'est donc l'approximation affine qui est la meilleure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Reporter sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} 
% 
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-4)(8,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-4)(8,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=1.5pt](0,0)(-1,-4)(8,6)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.068}{2.455}{1 x ln x mul x sub div}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{2.881}{8}{1 x ln x mul x sub div}
%\psline[linecolor=red](2.71828,-4)(2.71828,6)
%\psdots(1,-1)(2,-1.629)(2.958,4)(2.71828,1)%ABCE
%\uput[u](1,-1){A} \uput[ur](2,-1.629){B}\uput[ur](2.958,4){C}\uput[ul](2.71828,1){E}\uput[l](2.71828,5.5){d}\uput[r](0.1,-3.5){$\mathcal{C}_{f}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~+\infty[$ et représentée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessus.
% 
%La fonction $f$ est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
% 
%Les points A$(1~;~-1)$ et B$\left(2~;~\dfrac{1}{ 2\ln 2 - 2}\right)$ appartiennent à $\mathcal{C}_{f}$·
% 
%On désigne par C le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'ordonnée 4. 
%
%La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point E(e~;~1). 
%
%\medskip
%
%\textbf{Pour chacune des questions ci-dessous une seule réponse est exacte ; indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix.}
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{3}{X|}} 
%\textbf{1.}& $f(-1) = 1$& 
%$f(x) = 0$ possède une solution sur $]0~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~6[$& 
%$f(1) = -1$\\ 
%\multicolumn{4}{l}{\textbf{2.} Une équation d'une des asymptotes de $\mathcal{C}_{f}$ est :}\\ 
%&$y= \text{e}$& $x= \text{e}$& $y = -1$\\ 
%\textbf{3.}& $f'(4) < 0$& 
%$f'(4) = 0,7$& 
%$f'(4) = 2,9$\\ 
%\textbf{4.}&$\int_{5}^6 f(x)\:\text{d}x < \int_{4}^5f(x)\:\text{d}x$& 
% $\int_{5}^6 f(x)\:\text{d}x > \frac{1}{2}$& La valeur moyenne de $f$ sur [4~;~5] est $2$.\\
% \end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item $- 1$ n'a pas d'image par $f$ ; $f$ ne s'annule pas et effectivement $f(1) = - 1$.
\item La courbe a deux asymptotes d'équation $x = \text{e}$ et $y = 0$.
\item Le nombre dérivé en 4 est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4 ; on voit que ce nombre est négatif.
\item Les réponses 2 et 3 sont fausses visuellement.

La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [4~;~6], donc la première affirmation est exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$ par :
%\[ f(x) = a\text{e}^x + bx + c \quad  \text{où}\quad  a, b ~\text{et}~ c ~\text{sont des réels fixés.}\]
%
%Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est représentée ci-dessous : 
%
%\medskip
%
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(3,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{-1.7}{2.5}{3 x mul 2 add 2.71828 x exp sub}
\psplot{-2}{1.25}{2 x mul 1 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,1)(1,3)(1.099,2.296)%ABD
\uput[ul](0,1){A} \uput[r](1,3){B} \uput[ur](1.099,2.296){D} \uput[dl](0,0){O} 
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](1.099,0)(1.099,2.296)(0,2.296)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{0}{1.09861}{3 x mul 2 add 2.71828 x exp sub}
\psline(1.09861,0)(0,0)}
\uput[r](-1.4,-2.5){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%
%\medskip
%
%On dispose des renseignements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ passe par A(0~;~1). 
%\item[$\bullet~$] B est le point de coordonnées (1~;~ 3) ; la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ au point A. 
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point D d'abscisse $\ln 3$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Traduire les renseignements précédents par  trois égalités utilisant $f$ ou $f'$.
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ passe par A(0~;~1), donc $1 = a + c$. 
\item[$\bullet~$] B est le point de coordonnées (1~;~3) ; la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ au point A. Donc le coefficient directeur de la droite (AB) est : $\dfrac{3 - 1}{1 - 0} = 2 = f'(0)$, nombre dérivé au point d'abscisse $0$. 
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point D d'abscisse $\ln 3$ signifie $f'(\ln 3) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %En résolvant un système, déterminer $a,~ b$ et $c$.

On a $f'(x) = a\text{e}^x + b$, donc $f'(0) = a + b$ et $f'(\ln 3) =  a\text{e}^{\ln 3} + b = 3a + b$.

Les nombres $a, \:b$ et c vérifient donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + c&=&1\\
a + b&=&2\\
3a + b &=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a + c&=&\\
a + b&=&2\\
2a &=&- 2
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
c&=&1 - a\\
b&=&2 - a\\
a&=&- 1
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
 c&=& 2\\
 b&=&3\\
a &=&- 1
\end{array}\right.$

On a donc $f(x) = - \text{e}^x + 3x + 2$.
\item %On admet à partir de maintenant que $f(x) = - \text{e}^x + 3x + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$.
On a donc $f'(x) = - \text{e}^x + 3$. D'où :

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff  \text{e}^x  = 3 \iff x = \ln 3$ ;

$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff  \text{e}^x  > 3 \iff x > \ln 3$ ;

$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff  \text{e}^x  < 3 \iff x < \ln 3$.

La fonction est donc croissante sur $[- 2~;~\ln 3]$ et décroissante sur $[\ln 3~;~3]$.

$f(\ln 3) = - \text{e}^{\ln 3} + 3\ln 3 + 2 = - 3 + 3\ln 3 + 2 = 3\ln 3 - 1$ est le maximum de la fonction sur l'intervalle $[-2~;~3]$.

		\item %Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $[-2~;~\ln 3]$ en un réel $\alpha$. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de $\alpha$.
Sur l'intervalle $[-2~;~\ln 3]$ la fonction $f$ est continue, car dérivable, strictement croissante de $f(-2) = -\text{e}^{-2} + 3\times (- 2) + 2 = - 4 -\text{e}^{-2} < 0$ à 

$f(\ln3) = 3\ln 3 - 1 > 0$ ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire $f$ s'annule donc une seule fois sur cet intervalle pour $\alpha \in  [-2~;~\ln 3]$.

La calculatrice donne :

$f(-1) \approx - 1,4$ et on sait que $f(0) = 1$, donc $-1 < \alpha < 0$.

$f(- 0,5) \approx - 0,1$ et $f(- 0,4) \approx 0,13$, donc $- 0,5 < \alpha < - 0,4$.

$f(- 0,46) \approx - 0,01$ et $f(- 0,45) \approx 0,012$, donc $- 0,46 < \alpha < - 0,45$.

On a $\alpha \approx - 0,46$ au centième près.
		\item %Pour la suite, on admet que $f$ s'annule exactement une fois sur $[\ln 3~;~ 3]$ en un réel $\beta$. 
Comme $f$ décroit sur $[\ln 3~;~3]$ et s'annule en $\beta$, on a donc :

$f(x) > 0$ sur $]\alpha~;~\beta[$ ;

$f(x) < 0$ sur 	$[-2~;~\alpha[$	 et sur $]\beta~;~3]$ ;

$f(\alpha) = f(\beta) = 0$.
%Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. 

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$.
Une primitive sur $\R$ de $x \longmapsto -  \text{e}^x$ est $x \longmapsto -  \text{e}^x$, donc une primitive sur $[-2~;~3]$ de $x\longmapsto f(x)$ est $x \longmapsto F(x) = -  \text{e}^x + \dfrac{3x^2}{2} + 2x$.
		\item %On considère la surface $\mathcal{S}$ délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x = \ln 3$.
		 
% Hachurer $\mathcal{S}$ sur la figure en annexe.
Voir la figure. 
		\item %Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de $\mathcal{S}$, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.
On a vu que sur l'intervalle $[0~;~\ln3]$, \: $f(x) > 0$, donc l'aire de la surface  délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x = \ln 3$ est égale, en unités d'aire à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^{\ln 3} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^{\ln 3} = F(\ln 3) - F(0) =$

$ -  \text{e}^{\ln 3} + \dfrac{3(\ln 3)^2}{2} + 2\times \ln 3 - \left(-  \text{e}^0 + \dfrac{3 \times 0^2}{2} + 2\times 0 \right) = -  3 + \dfrac{3(\ln 3)^2}{2}  + 2\ln 3  + 1 = \dfrac{3(\ln 3)^2}{2}  + 2\ln 3 - 2 \approx \np{2,007}$ soit au centième près 2,00~unité d'aire. (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

%Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers.
% 
%Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80\:\% des touristes choisissent le minibus. 
%
%On considère qu'ensuite, chaque jour, 30\:\% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15\:\% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
% 
%Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad  	b_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état 
%probabiliste relatif au $n$-ième jour, où :
% 
%$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;
%
%$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
On a le graphe probabiliste suivant :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(0,1){$0,7$} \rput(5.2,1){$0,85$}
\rput(2.5,2.2){$0,3$} \rput(2.5,-0.2){$0,15$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Écrire la matrice de transition, notée M, associée à cette situation.
La matrice de transition, notée M, associée à cette situation en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique est $M = \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85
\end{pmatrix}$ 
\item  %Déterminer l'état initial P$_{1}$.
L'état initial est $P_1 = \begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer P$_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu.
On a $P_2 = P_1 \times M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85\end{pmatrix} =$

$ \begin{pmatrix}0,8\times0,7+0,2\times0,15&0,8\times0,3 +0,2\times0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,59&0,41 \end{pmatrix}$.

Ce résultat signifie que le jour 2, 59\,\% des touristes prendront le bus, les 41\,\% restants prenant la bicyclette.
		\item %On suppose que $\text{M}^5 = \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\
%0,317& 0,683 \end{pmatrix}$			et $\text{M}^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
%0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au millième.
 
%En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6\up{e} jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\,\% près.
On a $P_6 = P_1 \times M^5 = \begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,367& 0,633\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,357&0,643\end{pmatrix}$.

Le jour 6, environ 36\,\% des touristes prendront le bus, les 64\,\% restants prenant la bicyclette.
	\end{enumerate} 
\item %Soit P$ = (x\quad  y)$ la matrice correspondant à l'état stable.
 
%Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation.
Les coefficients de $M$ ne sont pas nuls : il existe donc un état stable indépendant de l'état initial ; cet état stable $P = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$, vérifie l'égalité :

$P = P \times M \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times  \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85
\end{pmatrix} \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,7x + 0,15y\\
y&=&0,3x + 0,85y\\
x+y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,3x - 0,15y&=&0\\
- 0,3x + 0,15y&=&0\\
x+y&=&1
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
0,3x - 0,15y&=&0\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,3x - 0,15(1 - x)&=&0\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
0,45x &=&0,15\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{1}{3}\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{1}{3}\\
y&=&\frac{2}{3}
\end{array}\right.$

L'état stable du système est $P = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$.

On bout d'un certain nombre de jours, un tiers des touristes prendront le bus.
\item  %Montrer que pour $n$ entier compris entre 1 et 30 on a $a_{n+1} = 0,55 a_{n} + 0,15$.
Le $n$-ième jour on a la matrice de l'état probabiliste $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ avec $a_n + b_n = 1$.

On sait que $P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85
\end{pmatrix} \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,15b_n\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,15\left(1 - a_n \right)\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,55a_n + 0,15\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right.$

Ainsi pour $1 \leqslant n \leqslant 30, \:\: a_{n+1} = 0,55a_n + 0,15$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Pour $n$ entier, $n \geqslant  1$, on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :
%\[ u_{n+1} = 0,55 u_{n} + 0,15\quad \text{et}\quad   u_{1} = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On pose $U_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{3}$.
 
%Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite. 
On a $U_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{3} = 0,55u_n + 0,15 - \dfrac{1}{3} = 0,55u_n + \dfrac{0,45 - 1}{3} =$

$ 0,55u_n - \dfrac{0,55}{3} = 0,55\left(u_n - \dfrac{1}{3} \right) = 0,55U_n$.

Cette égalité montre que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,55$ et de premier terme $U_1 = u_1 - \dfrac{1}{3} = 0,8 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2,4 - 1}{3} = \dfrac{1,4}{3} = \dfrac{7}{15}$.
\item %Exprimer $U_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $U_n = U_1 \times 0,55^{n-1} =  \dfrac{7}{15}\times 0,55^{n-1}$.

Or $U_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{3} \iff u_n = U_n + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{15}\times 0,55^{n-1}$. 
\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Quel résultat retrouve-t-on ?
On sait que comme $0 < 0,55 < 1$, \: \: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,55^n = 0$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \dfrac{1}{3}$. On retrouve le résultat de la partie A. À terme un tiers des touristes prendra le bus.
\end{enumerate}
\end{document}