\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Asie juin 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \rfoot{\small Asie} \lfoot{\small juin 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf \decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie ES juin 2007~\decofourright}\\ \end{center} \bigskip {\bf\large Exercice 1} \hfill{\bf 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{QCM} \medskip %Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. % %Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. % %Aucune justification n'est demandée. % %\medskip % %\textbf{NOTATION :} \emph{une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} % %\medskip % %On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. Son tableau de variations est donné ci-dessous. On nomme $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(11,4) %\psframe(11,4) %\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(11,2) % \psline(0,3)(11,3) %\psline(5,2)(5,3) \psline(8,2)(8,3) %\rput(1,1){$f(x)$} \rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(1,3.5){$x$} %\rput(2.3,3.5){$- \infty$} \rput(5,3.5){$-2$} \rput(8,3.5){$2$} \rput(10.5,3.5){$+ \infty$} %\rput(3.5,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$+$} \rput(8,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$-$} %\rput(2.3,1.8){$+ \infty$} \rput(5,0.2){$-1$} \rput(8,1.2){e} \rput(10.7,0.2){$0$} %\psline{->}(2.7,1.8)(4.7,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.7,1) \psline{->}(8.4,1)(10.5,0.3) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %On peut affirmer que : %Réponse A : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. Réponse B : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$. %Réponse C : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. \item La courbe $(\mathcal{C})$ admet : %Réponse A : la droite d'équation $x = 0$ pour asymptote. %Réponse B : la droite d'équation $x = 2$ pour asymptote. Réponse C : la droite d'équation $y = 0$ pour asymptote. \item Dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ admet : %Réponse A : une unique solution Réponse B : deux solutions distinctes. %Réponse C : trois solutions distinctes. \item Dans $\R$ l'inéquation $f(x) > 3$ %Réponse A : n'a pas de solution. %Réponse B : a toutes ses solutions positives. Réponse C : a toutes ses solutions négatives. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution du prix (en euros) du m$^3$ d'eau, dans une ville, entre 2002 et 2006. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Prix en euros du m$^3$ d'eau $y_{i}$&2,64 &2,76 &2,81 &2,95 &3,39\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{I.} %Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1\:\%. Le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006 est $\dfrac{3,39 - 2,64}{2,64} \approx \np{0,2840}$ soit 28,4\,\%. \textbf{II.} %Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous : %\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true} %\begin{center} %\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5](0,0)(5,4) %\rput(2.5,5){\textbf{Évolution du prix du m\boldmath$^3$\unboldmath d'eau d'une ville}} %\rput{90}(-1,2){$y_{i}$ : prix du m$^3$ d'eau} %\rput{90}(-0.75,2){(en euros)} %\rput(2.5,-1){$x_{i}$ : rang de l'année} %\psline(5,0)(5,4) %\multido{\r=0+0.5}{9}{\psline(0,\r)(5,\r)} %\psdots(0,2.64)(1,2.76)(2,2.81)(3,2.95)(4,3.39) %\end{pspicture} %\end{center} L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement : \begin{enumerate} \item \textbf{Ajustement affine} \begin{enumerate} \item %Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième. En arrondissant les coefficients donnés par la calculatrice au centième on obtient : $y = 0,17x + 2,57$ \item %Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ? 2010 correspond à $x = 8$, soit un prix de $0,17 \times 8 + 2,57 = 1,36 + 2,57 = 3,93$~\euro. \end{enumerate} \item \textbf{Ajustement exponentiel} %On pose $z_{i} = \ln y_{i}$. %On prend $z = 0,06x + 0,95$ pour équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec $z =\ln y$. \begin{enumerate} \item %En déduire qu'une relation entre $y$ et $x$ s'écrit alors sous la forme $y = \text{e}^{0,95} \cdot \text{e}^{0,06x}$. $z = \ln y = 0,06x + 0,95 \iff (\text{pour}\: y > 0)\:, y = \text{e}^{0,06x + 0,95} = \text{e}^{0,95} \times \text{e}^{0,06x}$. Or $\text{e}^{0,95} \approx 2,5857$. On a donc $y = \text{e}^{0,95} \times \text{e}^{0,06x} \approx 2,586\text{e}^{0,06x}$. \item %Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ? Avec ce modèle exponentiel on obtient pour 2010 une prévision de $\text{e}^{0,95} \times \text{e}^{0,06 \times 8} \approx \np{4,1787}$ soit au centième près 4,18~\euro{} le m$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf \blue \large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points} {\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Une île imaginaire dont la carte est représentée ci-dessous; est composée de six provinces, notées A, B, C, D, E et F. % %\medskip % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,5) %\pscurve(0,3)(1,4.3)(2,4.7)(3,4.8)(4,4.6)(5,4.3)(6,3.85)(7,3.15)(8,2.8)(9,2.4)(9.8,1.3)(9,0.25)(8,0.1)(7,0.05)(6,0.1)(5,0.3)(4,0.45)(3,0.7)(2,1)(1,1.5)(0.1,2)(0,3) %\pscurve(1.8,1.05)(2.5,1.3)(3,1.9)(3.2,2.4)(3,3)(2.7,4)(2.75,4.8) %\pscurve(3.15,2.4)(4,2.2)(5,2.1)(5.2,2) %\pscurve(6.7,0.8)(6,1.15)(5.1,1.8)(5.2,2)(6,2.5)(7,2.3)(7.3,2.4) %\pscurve(5.6,2.3)(5.68,3)(6.1,3.75) %\pscurve(6.2,0.1)(6.8,1)(7,1.7)(7.4,2.5)(7.7,2.9) %\rput(8,1.4){A} \rput(4.2,3.5){B} \rput(1.5,2.7){C} %\rput(6.3,1.7){D} \rput(4.2,1.2){E} \rput(6.4,3){F} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip % %On s'intéresse aux frontières séparant ces provinces. On traduit cette situation par un graphe dont les sommets sont les provinces et où chaque arête représente une frontière entre deux provinces. % %On admet que le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous représente cette situation : % %\medskip % %\begin{center} %\begin{pspicture}(6,4) %\psline(0,3)(1,4)(3,0)(0,3)(4,3.5)(5,2)(1,0)(3,0)(4,3.5)%FADFBCEDB %\psline(1,4)(1,0)(4,3.5)%AEB %\uput[u](1,4){A} \uput[u](4,3.5){B} \uput[r](5,2){C} %\uput[d](3,0){D} \uput[dl](1,0){E} \uput[l](0,3){F} %\end{pspicture} % \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner l'ordre du graphe $\mathcal{G}$, puis le degré de chacun de ses sommets Il y a 6 sommets : l'ordre de $\mathcal{G}$ est donc 6. Les degrés sont dans l'ordre alphabétique : 3~;~4~;~2~;~4~;~4~;~3. \item %Peut-on visiter cette île en franchissant une et une seule fois chacune des dix frontières ? Justifier Si oui, proposer un parcours possible. Il s'agit de trouver une chaîne eulérienne. En classant les sommets dans l'ordre alphabétique la matrice $M$ associée au graphe est $M = \begin{pmatrix}0&0&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&1\\0&1&0&0&1&0\\1&1&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0\\1&1&0&1&0&0\end{pmatrix}$. On en déduit que $M^2 = \begin{pmatrix}3&3&1&2&1&1\\3&4&1&2&2&1\\1&1&2&2&1&1\\2&2&2&4&2&2\\1&2&1&2&4&3\\1&1&1&2&3&3 \end{pmatrix}$. Il n'y a dans cette matrice aucun terme nul, donc il existe au moins entre deux sommets quelconques une chaîne de longueur 2 : ce graphe est connexe. Il y a de plus deux sommets de degré impair A et F : il existe donc une chaîne eulérienne. Par exemple : A-D-B-C-E-D-F-A-E-B-F \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Le graphe $\mathcal{G}$ possède-t-il un sous-graphe complet d'ordre 3 ? Si oui, en citer un. Il y a plusieurs sous-graphes complets d'ordre 3 : A-D-E ; A-D-F ; B-C-E ; etc. %Préciser, sans justification, si le graphe $\mathcal{G}$ possède un sous graphe complet d'ordre 4. Par contre il ne possède pas de sous-graphe complet d'ordre 4. %Quelle conséquence cela a-t-il sur le nombre chromatique $c$ du graphe $\mathcal{G}$ ? Le nombre chromatique $c$ du graphe $\mathcal{G}$ est donc supérieur ou égal à 3 et inférieur ou égal à 5, puisque le plus haut degré est 4. \item %Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux provinces qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes (on peut remplacer les couleurs par différents hachurages). On peut trouver une coloration du graphe avec trois couleurs : couleur 1 : A et B ; couleur 2 : C et D ; couleur 3 : E et F. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf \blue \large Exercice 3} \hfill{\bf 4 points} {\bf Commun à tous les candidats} \medskip {\bf Partie A} \medskip %Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants. % %Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est $\dfrac{5}{12}$ à l'orange $\dfrac{1}{12}$ et au rouge $\dfrac{1}{2}$. % %On note : % %R$_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au rouge % %V$_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au vert % %O$_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est à l'orange % %et on définit de même R$_{2}$, V$_{2}$, O$_{2}$ pour le deuxième feu rencontré. \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ? On a $p\left(V_1 \cap V_2\right) = p\left(V_1 \right) \times p_{V_1}\left(V_2 \right) = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{25}{144}$. \item %Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert. L'évènement contraire est \og les deux feux rencontrés sont au vert \fg{}, soit l'évènement contraire de celui de la question précédente soit $1 - \dfrac{25}{144} = \dfrac{119}{144}$. \end{enumerate} \medskip {\bf Partie B} \medskip %On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide. % %L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants. %\medskip % %\psset{unit=1.25cm} %\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} %{ % \pstree{\TR{V$_{1}$}\taput{$\frac{5}{12}$}} % { % \TR{V$_{2}$}\taput{$\frac{1}{4}$} % \TR{O$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$} % } % \pstree{\TR{R$_{1}$}\tbput{$\frac{1}{2}$}} % { % \TR{V$_{2}$}\taput{$\frac{7}{8}$} % \TR{O$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{8}$} % } % \pstree{\TR{O$_{1}$}\tbput{$\frac{1}{12}$}} % { % \TR{V$_{2}$}\taput{$\frac{3}{4}$} % \TR{O$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$} % } %} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ? De même que dans la partie A : $p\left(V_1 \cap V_2\right) = p\left(V_1 \right) \times p_{V_1}\left(V_2 \right) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{48} = \dfrac{5}{16} = \np{0,3125}$. \item %Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ? $p\left(V_2\right) = p\left(V_1 \cap V_2\right ) + p\left(R_1 \cap V_2\right) + p\left(O_1 \cap V_2\right)$. $p\left(V_1 \cap V_2\right ) = \dfrac{5}{16}$ ; $p\left(R_1 \cap V_2\right) = p\left(R_1 \right) \times p_{R_1}\left(V_2\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{16}$ ; $p\left(O_1 \cap V_2\right) = p\left(O_1 \right) \times p_{O_1}\left(V_2\right) = 0 \times \dfrac{7}{8} = 0$. Donc $p\left(V_2\right) = \dfrac{5}{16} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 4} \hfill{\bf 7 points} {\bf Commun à tous les candidats} \medskip %Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre $100$ et $600$ pièces. Elle vend tout ce qui est produit. % %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par % %\[f(x) = - x^2 +10x - 9 - 8 \ln (x).\] % %$f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de $x$ centaines de pièces. % %La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6]. On note $f'$ sa fonction dérivée. % %\medskip % %\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], %$f'(x) = \dfrac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$. On a $f'(x) = - 2x + 10 - 8 \times \dfrac{1}{x} = - 2x + 10 - \dfrac{8}{x} = \dfrac{x(- 2x + 10) - 8}{x} = \dfrac{- 2x^2 + 10x - 8}{x} =$ $ \dfrac{2\left(- x^2 + 5x - 4\right)}{x} = \dfrac{- 2\left(x^2 - 5x + 4\right)}{x}$. Or d'après l'indication : $(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$, donc on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- 2(x - 1)(x - 4)}{x}$. \item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~6]. Comme $x$ est supérieur à zéro, le signe de $f'(x)$ est celui de $- 2(x - 1)(x - 4)$ : ce trinôme est négatif sauf entre les racines 1 et 4, donc : $\bullet~~$sur [1~;~4], $f'(x) \geqslant 0$ ; $\bullet~~$sur [4~;~5], $f'(x) \leqslant 0$ ; $\bullet~~$$f'(1) = f'(4) = 0$. \item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6]. La fonction $f$ est donc croissante sur [1~;~4] de $f(0) = - 9$ à $f(4) = - 16 + 40 - 9 - 8\ln 4 = 15 - 8\ln 4 \approx 3,9$, puis décroissante de $f(4)$ à $f(5) = - 25 + 50 - 9 - 8\ln 5 = 16 - 8\ln 5 \approx \np{3,0909}$. \item %Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près. On a vu dans la question précédente que le bénéfice maximal est obtenu pour $x = 4$, soit 400~pièces vendues et un bénéfice de $f(4) \approx \np{3,90965}$~dizaines de milliers d'euros, soit \np{39097}~\euro{} environ. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Prouver que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = x \ln(x) - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On a sur $]0~;~+ \infty[$, $g'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ ; donc la fonction $g$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6]. Donc la fonction $F$ définie sur [1~;~6] par : $F(x) = - \dfrac{x^3}{3} + 10\dfrac{x^2}{2} - 9x - 8(x \ln (x) - x) = - \dfrac{x^3}{3} + 5x^2 - 9x - 8x \ln(x) + 8x =$ $ - \dfrac{x^3}{3} + 5x^2 - x - 8x \ln (x)$ est une primitive de la fonction $f$. \item %Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] (donner la valeur décimale arrondie au dixième). On a $m = \dfrac{1}{6 - 1}\displaystyle\int_{1}^6 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{5}[F(x)]_1^6 = \dfrac{1}{5}(F(6) - F(1)) = $ $\dfrac{1}{5}\left( - \dfrac{6^3}{3} + 5 \times 6^2 - 6 - 8 \times 6 \ln(6)\right) - \dfrac{1}{5}\left[- \dfrac{1^3}{3} + 5\times 1^2 - 1 - 8 \times 1 \times \ln(1)\right] =$ $- \dfrac{216}{15} + \dfrac{1}{15} + 36 - 1 + 0,2 - 3,4 - 9,6\ln 6 = - \dfrac{215}{15} + 52 - 9,6\ln 6 = \dfrac{59}{3} - 9,6\ln 6 \approx \np{2,46}$ soit au dixième près 2,5. \end{enumerate} \end{enumerate} %\textbf{Rappel :} Soit $f$ une fonction et $[a~;~b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable. % %La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a~;~b]$, est le nombre $m$ tel que : % %\[m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] \end{document}