\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small 20 juin 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf Corrigé du baccalauréat Asie ES 20 juin 2011} \end{center} \bigskip {\bf \blue \large Exercice 1} \hfill{\bf 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\bigskip % %Le tableau ci-dessous indique, pour une année donnée, l'évolution de l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) des années 2000 à 2009. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &2000 & 2001 &2002 &2003 & 2004 & 2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline %Rang de l'année : $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline %Indice : $y_{i}$ &100 &114,14 &131,17 &147,06 &166,56 &189,63 &219,38 &251,01 &268,14\\ \hline %\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : Insee comptes nationaux - base} 2000}\\ %\end{tabularx} % %\medskip \textbf{Partie A : ajustement exponentiel} \medskip \begin{enumerate} \item %Pour $i$ entier variant de $0$ à $8$, construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal fourni en annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie}. Voir l'annexe. \item %Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = 101 \text{e}^{0,13x}$. On suppose que la fonction $f$ modélise un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Sa courbe représentative est tracée dans l'annexe 1. \begin{enumerate} \item %Déterminer les variations de la fonction $f$. Sur $[0~;~+\infty[$, \:$f$ est dérivable et sur cet intervalle : $f'(x) = 101 \times 0,13\text{e}^{0,13x} = 13,13\text{e}^{0,13x}$ : les deux termes de ce produit sont supérieurs à zéro, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ de $f(0) = 101$ à plus l'infini. \item %Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant 350$. Interpréter le résultat obtenu. $f(x) \geqslant 350 \iff 101 \text{e}^{0,13x} \geqslant 350 \iff \text{e}^{0,13x} \geqslant \dfrac{350}{101} \iff 0,13x \geqslant \ln \left(\dfrac{350}{101} \right) \iff$ $ x \geqslant \dfrac{1}{0,13}\ln \left(\dfrac{350}{101} \right)$. Or $\dfrac{1}{0,13}\ln \left(\dfrac{350}{101} \right) \approx 9,56$ Il faut donc prendre $x = 10$ : l'indice dépassera la valeur 350 à compter de 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : ajustement affine} \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ($i$ entier variant de 0 à 8) puis le placer dans le graphique de l'annexe 1. On a $x_G = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6+ 7 + 8}{9} = 4$ et $y_G = \dfrac{100 + 114,14 + 131,17 + 147,06 + 166,56 + 189,63 + 219,38+251,01+268,14}{9} \approx 176,34$. Au centième prés on a $G(4~;~176,34)$. \item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ de ce nuage par la méthode des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à} $10^{-2}$. La calculatrice donne $y = 21,7x + 89,53$ en prenant des coefficients arrondis au centième. %Tracer cette droite dans le graphique de l'annexe 1. Voir plus bas. \item %On suppose que le modèle affine reste valable jusqu'en 2014. %Déterminer à partir de quelle année, l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350. Justifier votre réponse. Il faut résoudre, avec $x \leqslant 14$, l'inéquation : $21,7x + 89,53 > 350 \iff 21,7x > 260,47 \iff x > \dfrac{260,47}{21,7}$ ; or $\dfrac{260,47}{21,7} \approx 12,003$. Il faut donc prendre $x = 13$, soit l'année 2013. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Comparaison des modèles} \medskip %On sait que pour l'année 2009, l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) est de $284,24$. Des deux ajustements précédents, lequel donne l'estimation la plus proche de la réalité ? Justifier votre réponse. 2009 correspond au rang $x = 9$. Avec l'ajustement exponentiel : $y = 101\text{e}^{0,13 \times 9} \approx 325,42$. Avec l'ajustement affine : $y = 21,7 \times 9 + 89,53 = 284,83 \approx 284,24$. C'est donc l'ajustement affine qui est le plus proche de la réalité. \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip %On considère une fonction $f$ : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] définie, continue et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ ; %\item[$\bullet~~$] strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~2]$ ; %\item[$\bullet~~$] strictement décroissante sur les intervalles $[1~;~0]$ et $[2~;~+ \infty[$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$ qui s'annule en $0$. % %La courbe $\mathcal{C}$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. % %Elle passe par les points A$(-1~;~6)$, B$(0~;~-2)$, D(1~;~2) et E(2~;~6). % %Elle admet au point D une tangente passant par le point G$(0~;~-4)$. % %Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale. % %\medskip % %\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} %\begin{center} %\begin{pspicture*}(-1.5,-5)(4,8) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] %\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,8)} %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-5)(4,8) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\psframe[fillstyle=vlines](3,6.5)(4,7.5) %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} %\psplot{-0.2}{2}{6 x mul 4 sub} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{x dup mul 6 mul x 3 exp 2 mul sub 2 sub} %\uput[r](0,-4){G}\uput[r](1,2){D}\uput[u](2,6){E}\uput[u](-1,6){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,-2){B} %\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1.5,6)(2.5,6)\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-2)(0.5,-2) %\end{pspicture*} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$. Justifier les réponses. Le coefficient directeur de la tangente en D est égal à : $\dfrac{6}{1} = 6$ ; $f'(1) = 6$ ; $f'(2) = 0$ (tangente horizontale). \item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point D. La droite contient D(1~;~2) et a pour coefficient directeur 6 ; elle a donc une équation de la forme $y - 2 = 6(x - 1) \iff y = 2 + 6x - 6 \iff y = 6x - 4$. \item %Montrer que sur l'intervalle $[-1~;~0]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $x_{1}$. Sur l'intervalle $[-1~;~0]$ la fonction $f$ est continue, strictement décroissante de 6 à $- 2$ ; d'après la théorème de la valeur intermédiaire il existe un réel unique $x_1$ tel que $f\left(x_1 \right) = 0$. \item %On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$, deux autres solutions que l'on notera $x_{2}$ et $x_{3}$, avec $x_{2} < x_{3}$. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$. On a donc le tableau de signes suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,1.5) \psline(0,1)(9,1)\psline(1,0)(1,1.5) \uput[u](0.5,0.9){$ x$} \uput[u](1.25,0.9){$- 1 $} \uput[u](3,0.9){$x_1 $} \uput[u](5,0.9){$x_2 $} \uput[u](7,0.9){$x_3 $}\uput[u](8.9,0.9){$3 $} \rput(0.5,0.5){$f(x)$} \rput(2,0.5){$+$} \rput(4,0.5){$-$} \rput(6,0.5){$+$} \rput(8,0.5){$-$} \rput(3,0.5){$0$}\rput(5,0.5){$0$}\rput(7,0.5){$0$} \end{pspicture} \end{center} \item %Parmi les trois courbes suivantes, $\mathcal{C}_{1},\, \mathcal{C}_{2},\, \mathcal{C}_{3}$, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente $F$, et celle qui représente $f'$. %\medskip %\begin{center} %\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm} %\begin{pspicture*}(-1.5,-5)(4,6.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] %\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,6.5)} %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-4.9)(4,6.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{2 x sub x mul 6 mul} %\rput(3,-3){Courbe $\mathcal{C}_{1}$} %\end{pspicture*} % % %\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm} % %\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(4,8) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] %\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,8)} %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-2.9)(4,8) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[dl](0,0){O} %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.84}{x 3 exp 2 mul x 4 exp 2 div sub x 2 mul sub} %\rput(2,-2){Courbe $\mathcal{C}_{2}$} %\end{pspicture*} % %\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm} %\begin{pspicture*}(-1.5,-6.25)(4,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] %\multido{\n=-1.25+.50}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-6.25)(\n,4.5)} %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-6.25)(4,4.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.15}{x 2 sub x mul 6 mul} %\rput(2.5,-5.5){Courbe $\mathcal{C}_{3}$} %\end{pspicture*} %\end{center} \end{enumerate} Comme $F'(x) = f(x)$, d'après le tableau de signes précédent la fonction doitêtre croissante, décroissante, croissante et enfin décroissante : ce ne peut être ni la courbe $\mathcal{C}_1$ ni $\mathcal{C}_3$ ; c'est donc la courbe $\mathcal{C}_2$. D'après le graphe de $f$, $f'(x)$ doit être successivement négative, positive et négative : seule $\mathcal{C}_1$ a cette propriété. \vspace{0,5cm} {\bf Exercice 2} \hfill{\bf 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip %\emph{Les parties \text{I} et \text{II} sont indépendantes} % %\medskip % %Le graphe $\Gamma$ suivant représente le plan d'un zoo. % %Le sommet A représente son accès. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo. % %Une arête représente l'allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours, exprimée en mètres, entre ces deux secteurs. % % %AB = 90,\,AC = 290,\,AD = 175,\,AE = 150,\,BC = 185,\,BD = 155,\,BE = 180,\,CD = 120,\,CG =260,\, % %DE = 110,\,DF = 105,\,EF = 135,\,FG = 230. % %\medskip % \textbf{Partie 1 :} %Pour mieux visualiser sur le plan les différents secteurs du zoo, on veut les colorier de telle sorte que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur. \begin{enumerate} \item %Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan ? Justifier la réponse. ABCD est un sous-graphe complet d'ordre 4 : il faut donc au minimum 4 couleurs. \item %Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe $\Gamma$. Le nombre chromatique $\chi$ du graphe $\Gamma$ vérifie $\chi \geqslant 4$ et le sommet D a pour degré 5, donc finalement $4 \leqslant \chi \leqslant 6$. %Justifier la réponse. \item %Proposer alors une telle coloration. Voici une coloration possible. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(8,6) \cnodeput[linecolor=red](0,4.5){A}{A}\cnodeput[linecolor=blue](1.5,6){B}{B}\cnodeput[linecolor=green](5.5,5.5){C}{C} \cnodeput[linecolor=yellow](4,2.5){D}{D}\cnodeput[linecolor=cyan](1.25,0){E}{E}\cnodeput[linecolor=blue](3.75,0.25){F}{F} \cnodeput[linecolor=red](7,1.5){G}{G} \ncline{A}{B}\ncput*{90} \ncline{C}{D}\ncput*{120} \ncline{A}{C}\ncput*{290} \ncline{A}{D}\ncput*{175} \ncline{A}{E}\ncput*{150} \ncline{B}{C}\ncput*{185} \ncline{B}{D}\ncput*{155} \ncline{B}{E}\ncput*{180} \ncline{C}{D}\ncput*{120} \ncline{C}{G}\ncput*{260} \ncline{D}{E}\ncput*{110} \ncline{D}{F}\ncput*{105} \ncline{E}{F}\ncput*{135} \ncline{F}{G}\ncput*{230} \end{pspicture} \end{center} \medskip Le nombre chromatique du graphe est égal à 4. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II :} \medskip \begin{enumerate} \item %Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile. %Est-il possible que cette balayeuse n'emprunte chaque allée qu'une fois et une seule ? Si oui, proposer un tel chemin, sinon justifier votre réponse. En partant de A on peut passer par tous les points en suivant la chaîne ABCDEFG. le graphe est donc connexe. Les degrés des points A, B, C, D, E, F, et G sont respectivement : 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2. le graphe est connexe et admet deux sommets de degré impair : il a donc une chaîne eulérienne comme D-A-B-C-A-E-B-D-E-F-D-C-G-F. \item %Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer, à l'aide d'un algorithme, l'itinéraire le plus court. On utilise l'algorithme de Dijkstra pour déterminer l'itinéraire le plus court : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|l|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&Sommet choisi\\ \hline 0 &$\infty$ &$\infty$ &$\infty$ &$\infty$&$\infty$ &$\infty$ &A 0\\ \hline &90 A &290 A &175 A &150 A &$\infty$ &$\infty$ &B 90\\ \hline & &275 B &175 B &150 A &$\infty$ &$\infty$ &E 150\\ \hline & &275 B &175 A & &285 E &$\infty$ &D 175\\ \hline & &275 B & & &280 D &$\infty$ &C 275\\ \hline & & & & &280 D &535 C &F 280\\ \hline & & & & & &510 F &G 510\\ \hline \end{tabularx} \end{center} À partir de G on remonte pour avoir les prédécesseurs : on obtient la chaîne A - D - F - G pour une distance de 510~m. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65\,\% de son personnel travaille dans le secteur A et 35\,\% dans le secteur B. % %Cette entreprise s'intéresse au niveau de stress de son personnel. % %Une enquête, menée sous la forme d'un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs. Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20\,\% du personnel se dit stressé, tandis que, dans le secteur B, ce taux est de 30\,\%. % %On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. % %On note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] A : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur A \fg. %\item[$\bullet~~$] B : \og le questionnaire est celui d'un employé du secteur B \fg. %\item[$\bullet~~$] S : \og le questionnaire est celui d'un employé stressé \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item ~%Construire un arbre pondéré décrivant la situation. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{A}\taput{0,65}} { \TR{S} \taput{0,2} \TR{$\overline{\text{S}}$} \tbput{0,8} } \pstree{\TR{B}\tbput{0,35}} { \TR{S} \taput{0,3} \TR{$\overline{\text{S}}$} \tbput{0,7} } } \end{center} \item %Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé. Il faut trouver $p(\text{B} \cap \text{S}) = p(\text{B}) \times p_{\text{B}}(\text{S}) = 0,35 \times 0,3 = 0,105$. \item %\emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} %L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25\,\%, cette salle sera installée. %L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse. D'après la loi des probabilités totales : $p(\text{S}) = p(\text{A} \cap \text{S}) + p(\text{B} \cap \text{S})$. De la même façon que dans la question précédente : $p(\text{A} \cap \text{S}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}(\text{S}) = 0,65 \times 0,2 = 0,13$. Donc $p(\text{S}) = 0,105 + 0,13 = 0,235$, soit 23,5\,\% : la salle de relaxation ne sera pas installée. \item %Sachant que le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé, quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$) % Il faut trouver $p_{\text{S}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{S} \cap \text{A}}{p(\text{A})} = \dfrac{0,13}{0,235} = \dfrac{130}{235} = \dfrac{26}{47} \approx 0,55$ au centième près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\bf Exercice 4} \hfill{\bf 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip %Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit \og alpha\fg{} fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production. % %\medskip % %Le coût marginal de fabrication du produit \og alpha\fg{} par l'entreprise est modélisé par la fonction $C_{m}$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par % %\[C_{m}(q) = 4 + \left(0,2q^2 - 2q\right)\text{e}^{- 0,2q},\] % % $q$ étant la quantité exprimée en tonnes et $C_{m}(q)$ son coût exprimé en milliers d'euros. %\medskip \begin{enumerate} \item %La fonction coût total est modélisée par la fonction $C_{T}$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par : %\[C_{T}(q) = 4q - q^2\text{e}^{-0,2q}.\] %Vérifier que cette fonction $C_{T}$ est une primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [1~;~20]. La fonction $C_{T}$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~20] et sur cet intervalle : $C'_T(q) = 4 - 2q\text{e}^{-0,2q} - q^2 \times (- 0,2) \text{e}^{-0,2q} = 4 + \left(0,2q^2 - 2q\right)\text{e}^{- 0,2q} = C_{m}(q)$. Cette dernière égalité montre que $C_T$ est une primitive de $C_m$ sur [1~;~20]. \item %La fonction coût moyen, notée $C_{M}$, est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~20] par: %\[C_{M}(q) = \dfrac{C_{T}(q)}{q}.\] \begin{enumerate} \item %Vérifier que $C_{M}(q) = 4 - q\text{e}^{-0,2q}$. On a $C_{M}(q) = \dfrac{C_{T}(q)}{q} = \dfrac{4q - q^2\text{e}^{-0,2q}}{q} = 4 - q\text{e}^{-0,2q}$. \item %Déterminer la fonction dérivée $C'_{M}$ de la fonction $C_{M}. La fonction $C_M$ est dérivable sur [1~;~20] et sur cet intervalle : $C'_M(q) = -\text{e}^{-0,2q} - q \times (- 0,2)\text{e}^{-0,2q} = \text{e}^{-0,2q}(0,2q - 1)$. \item %Pour quelle production mensuelle $q_{0}$ (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ? %Quel est ce coût ? Pour cette production $q_{0}$, quelle est la valeur du coût marginal ? Comme $\text{e}^{-0,2q} > 0$, quel que soit le réel $q$, le signe de $C'_M(q)$ est celui de $0,2q - 1$. Or $0,2q - 1 < 0 \iff 0,2q < 1 \iff q < 5$ : la fonction $C_M$ est décroissante sur [1~;~5]. $0,2q - 1 > 0 \iff 0,2q > 1 \iff q > 5$ : la fonction $C_M$ est croissante sur [5~;~20]. La fonction $C_M$ a donc un minimum pour $q_0 = 5$ égal à $C_M(5) = 4 - 5\text{e}^{-0,2\times 5} = 4 - 5\text{e}^{- 1} \approx \np{2,1606}$ soit environ \np{2161}~\euro. \end{enumerate} \item %\emph{Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip %On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle. %Chaque tonne du produit \og alpha\fg{} est vendu \np{4000}~euros. %On désigne par $R(q)$ la recette mensuelle obtenue pour la vente de $q$ tonnes du produit \og alpha\fg{} et par $B(q)$ le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé. %Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie. %Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié. Il faut trouver le bénéfice le plus grand sur la plage [1~;~20], soit si on appelle $C$ et $R$ les points intersections de la droite verticale d'équation $x = q$ avec la fonction coût et la fonction recette, le segment $[CR]$ le plus long. On peut trouver visuellement que ceci se produit entre 9 et 11 et pour 10 le segment mesure plus de $5 \times 2,5 \times \np{1000} = \np{12500}$~\euro. La recette est définie par $R(q) = 4q$ soit une recette marginale de 4 (soit \np{4000}~\euro la tonne). On compare le prix de vente au coût marginal : tant qu'il est plus grand on peut augmenter la production et le profit augmente. Quand le coût marginal est supérieur au prix de vente, l'augmentation de la produira conduira à une diminution du bénéfice. On aura donc un profit maximal quand le coût marginal est égal au prix de vente. Pour chaque point de la courbe coût total, le coût marginal est représenté par le coefficient directeur de la tangente à la courbe coût total. Conclusion : il faut trouver un point de la courbe où la tangente a un coefficient directeur de 4. Avec la précision permise par la figure, on constate bien que c'est pour $q = 10$ soit un bénéfice maximal de $B(10) = 4 \times 10 - \left(4 \times 10 - 10^2\text{e}^{-0,2\times 10}\right) = 100\text{e}^{-2}) \approx 13,534$ soit un bénéfice de \np{13534}~\euro. \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe 1 Exercice 1 à rendre avec la copie} \vspace{2.5cm} \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0375cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(15,350) \multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,350)} \multido{\n=0+10}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=100,Dy=50]{->}(0,0)(15,350) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=100,Dy=50](0,0)(15,350) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.5}{101 2.71828 0.13 x mul exp mul 100 sub} \psdots(0,0)(1,14.14)(2,31.17)(3,47.06)(4,66.56)(5,89.63)(6,119.38)(7,151.01)(8,168.14) \psdots[linecolor=red](4,76.34)\uput[ul](4,76.34){\textcolor{red}{$G$}} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{15}{21.7 x mul 10.47 sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{Annexe 2 Exercice 4 à rendre avec la copie} \vspace{2.5cm} \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.12cm} \begin{pspicture}(-1,-2.5)(21,85) \multido{\n=0.0+0.5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,85)} \multido{\n=0.0+2.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(21,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(21,85) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5](0,0)(21,85) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{4 x mul} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{1}{20}{4 x mul x dup mul 2.71828 0.2 x mul exp div sub} \psline(5,6.4665)(15,46.4665) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](10,0)(10,26.4665) \psline[linewidth=1pt](10,26.4665)(10,40) \uput[r](10,26.4665){$C$} \uput[r](10,40){$R$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}