\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Tapuscrit de Denis Vergès \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small novembre 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2009} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip %Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. % %\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $0,5$ point; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse $0$ point.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %J'ouvre un livret d'épargne rémunéré à un taux annuel de 3,8\,\% et je place de l'argent pendant deux ans : 750~\euro{} dès la première année et 850~\euro{} supplémentaires la deuxième année. %À la fin des deux ans, je possède : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} 1660,80~\euro& \textbf{b.~~} 1690,38~\euro& \textbf{c.~~} 1723,91~\euro.\\ %\end{tabularx} À la fin des deux ans, je possède : $750 \times 1,038^2 + 750 \times 1,038 = \np{1690,38}$~\euro. %\medskip \item %$\ln\left(\text{e}^2 + \text{e}\right)$ est égal à : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} $\ln \text{e}^2 + \ln \text{e}$ %&\textbf{b.~~} 2,31 %&\textbf{c.~~} $1 + \ln(\text{e} + 1)$\\ %\end{tabularx} $\ln\left(\text{e}^2 + \text{e}\right) = \ln\left(\text{e}[\text{e} + 1]\right) = \ln [\text{e}] + \ln [\text{e} + 1] = 1 + \ln [\text{e} + 1]$ %\medskip \item %L'égalité $\ln \left(x^2 + 3x\right) = \ln x + \ln (x + 3)$ est vraie : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} pour tout $x$ réel %&\textbf{b.~~} si $x > 0$ %&\textbf{c.~~} si $x < -3$ ou si $x > 0$\\ %\end{tabularx} $\ln \left(x^2 + 3x\right)$ existe si $x^2 + 3x > 0 \iff x(x + 3) > 0 \iff x \in ]- \infty~;~- 3[ \cup ]0~;~+ \infty[$ ; $\ln x$ existe si $x > 0$ et $\ln (x + 3)$ existe si $x > - 3$,donc l'égalité est vraie uniquement si $x > 0$. %\medskip \item %On donne ci-dessous la fréquentation mensuelle des cinémas en France en 2006 en millions d'entrées : %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %janv.& fév.& mars& avril &mai &juin &juil. &août &sept. &oct. &nov. &déc.\\ \hline% %14,01 &22,8 &15 &20,9 &18,4 &11,9 &10,2 &15,2 &9,9 &13,5 &16,7 &20,4\\ \hline% %\multicolumn{12}{r}{Sources : CNC/DEPS}\\ %\end{tabularx} % %\medskip % %On appelle M la médiane de cette série et Q$_{1}$ le premier quartile. On a : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} M = 2Q$_{1}$ %&\textbf{b.~~} M $= \dfrac{(11,9+10,2)}{2}$ %&\textbf{c.~~} M = 15,1\\ %\end{tabularx} Il y a 12 valeurs ; la médiane est la moyenne des sixième et septième valeurs : M = $\dfrac{15 + 15,2}{2} = 15,1$. %\medskip \item %L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} $\dfrac{- 1 + \text{e}^2}{2}$ %&\textbf{b.~~} $1 - \text{e}^2$ %&\textbf{c.~~} $2\text{e}^2 - 2$\\ %\end{tabularx} Une primitive de $x \longmapsto \text{e}^{2x}$ est $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$, donc : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 1} - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{e}^{2} - 1}{2}$. %\medskip \item %$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. %La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de cette fonction $f$ dans un repère du plan a comme équation réduite : $y = - x + 3 $. %Alors on peut dire que : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$ %&\textbf{b.~~} $f'(1) = - 1$ %&\textbf{c.~~} $f(1) = 3$\\ %\end{tabularx} % %\medskip Le coefficient de la tangente au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé de la fonction en 1, donc $f'(1) = - 1$. \item %La fonction $F : x \longmapsto 5 + \ln (2x + 10)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} $f(x) = \dfrac{1}{x + 5}$ %&\textbf{b.~~} $f(x) = \dfrac{1}{2x + 10}$ %&\textbf{c.~~} $f(x) = 5 + \dfrac{1}{x + 5}$ %\end{tabularx} % %\medskip On a $F'(x) = \dfrac{2}{2x + 10} = \dfrac{1}{x + 5}$. \item %A et B sont deux évènements indépendants associés à une expérience aléatoire tels que : %\[P(\text{A}) \neq 0~ \text{et}~ P(\text{B}) = \dfrac{1}{2} \] % %\medskip % %\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{XXX} %\textbf{a.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})= P(\text{A}) \times P(\text{B})$ %&\textbf{b.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A})+P(\text{B})$ %&\textbf{c.~~} $P_{\text{A}} (B)= \dfrac{1}{2}$\\ %\end{tabularx} % %\medskip Comme les événements sont indépendants on a $P_{\text{A}}(\text{B}) = P(\text{B})$, d'où $P_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip %Le tableau ci-dessous donne les taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD, de 1998 à 2006. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %année &1998 &1999 &2000 &2001&2002& 2003& 2004& 2005& 2006 \\ \hline% %rang de l'année $x$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline% %pourcentage $y$& 0,2 &1,5 &4,9 &12,0 &23,3 &41,6 &59,9 &75,0 &76,9\\ \hline% %\multicolumn{10}{r}{Sources : GIK-CNC/DEPS}\\ %\end{tabularx} % %\medskip \fbox{\textbf{PARTIE I}} \medskip \begin{enumerate} \item %Représenter la série $(x~;~y )$ sur le graphique en annexe 1. Voir à la fin. \item %Donner, sans justification, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $0,001$ près). En arrondissant les coefficients au millième on obtient avec la calculatrice : $y = 11,115x - 11,649$. \item %Donner une estimation du taux d'équipement des ménages français en 2010 en utilisant cet ajustement. Que pensez-vous du résultat ? 2010 correspond au rang $x = 12$, d'où un taux d'équipement estimé de : $11,115\times 12 - 11,649 = 121,731$ ce qui est stupide. Le modèle n'est pas bon. \end{enumerate} \bigskip \fbox{\textbf{PARTIE II}} \medskip %On admettra que la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par % %\[f(t) = \dfrac{82,75}{1+116,8\text{e}^{-t}}\] % %représentée sur le graphique en annexe 1 réalise un bon ajustement de cette série. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le sens de variation de cette fonction. La fonction $t \longmapsto \text{e}^{-t}$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ de même que la fonction $t \longmapsto 1 + 116,8\text{e}^{-t}$ . Et comme la fonction $u \longmapsto \dfrac{1}{u}$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ on en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$. On peut aussi calculer : $f'(t) = - \dfrac{82,75 \times \left(- 116,8\text{e}^{-t} \right)}{\left(1+116,8\text{e}^{-t} \right)^2} = \dfrac{\np{9665,2}\text{e}^{-t}}{\left(1+116,8\text{e}^{-t} \right)^2} > 0$ car tous les termes sont supérieurs à zéro. Donc $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$. \item %Donner, en utilisant ce nouvel ajustement, le taux d'équipement prévu en 2010 et en 2012. En 2010, on peut prévoir $\dfrac{82,75}{1 + 116,8\text{e}^{- 12}} \approx 82,690$ soit au centième près 82,69\,\% comme taux d'équipement. En 2012, on peut prévoir $\dfrac{82,75}{1 + 116,8\text{e}^{- 14}} \approx 82,742$ soit au centième près 82,74\,\% comme taux d'équipement. %(On arrondira le résultat au centième). \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %En utilisant ce modèle, peut-on estimer que le taux d'équipement des ménages atteindra 90\,\% ? Si oui, en quelle année ? Il faut résoudre l'équation : $\dfrac{82,75}{1+116,8\text{e}^{-t}} = 90 \iff 1+116,8\text{e}^{-t} = \dfrac{82,75}{90} \iff 116,8\text{e}^{-t} = \dfrac{82,75}{90} - 1 \iff \text{e}^{-t} = \dfrac{\frac{82,75}{90} - 1}{116,8} \iff \text{e}^{t} = \dfrac{116,8}{\frac{82,75}{90} - 1}$. Or $\dfrac{116,8}{\frac{82,75}{90} - 1} < 0$ et la fonction exponentielle est positive : cette équation n'a pas de solution. Le taux d'équipement de 90\;\% ne sera jamais atteint comme le suggère la figure. On pouvait également montrer que la limite de la fonction $f$ était égale à 82,75 au voisinage de plus l'infini et comme la fonction est croissante la valeur 90 ne peut être atteinte. Le taux maximal d'équipement est de 82,75\,\%. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Le tableau ci-dessous donne, d'après un échantillon de 800~personnes interrogées en 2005, un aperçu de la lecture de la presse quotidienne en France. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline %&\footnotesize Tous les jours ou presque &\footnotesize Une ou deux fois par semaine& %\footnotesize Seulement pendant certaines périodes &\footnotesize Rarement &\footnotesize Jamais &\footnotesize Total \\ \hline% %Agriculteurs exploitants & 1 &10 &2 &8 &79 &100 \\ \hline% %Artisans, commerçants, chefs d'entreprise &11 &11 &5 &7 &66 &100 \\ \hline% %Cadres &17 &16 &10 &18 &39 &100 \\ \hline% %Professions intermédiaires &8 &15 &7 &15 &55 &100 \\ \hline% %Employés &6 &7 &4 &9 &74 &100 \\ \hline% %Ouvriers (y compris agricoles) & 4 &5 &3 &5 &83 &100 \\ \hline% %Retraités &6 &7 &2 &6 &79 &100 \\ \hline% %Autres inactifs &5 &9 &4 &9 &73 &100\\ \hline% %Total en effectif &58 &80 &37 &77 &548&800 \\ \hline% %Pourcentages du total &7,25\:\% &10\:\% &4,625\:\%&&& \\ \hline% %\multicolumn{7}{r}{Sources : INSEE/DEPS}\\ %\end{tabularx} % %\medskip % %\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et éventuellement arrondis à $0,001$ près.} % %\bigskip \fbox{\textbf{PARTIE I}} \medskip \begin{enumerate} \item %La dernière ligne du tableau ci-dessus représente la part de chaque catégorie par rapport à l'échantillon total. Calculer les valeurs manquantes de cette dernière ligne. Les valeurs manquantes sont 9,625\,\%, \: 68,5\,\% et 100\,\%. \item %Donner la probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais. La probabilité est égale à $\dfrac{39}{100} = 0,39$. \end{enumerate} \bigskip \fbox{\textbf{PARTIE II}} \medskip %On choisit au hasard une personne dans cet échantillon de 800~personnes. Dans cette partie, on note les évènements suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[] B l'évènement : \og la personne choisie ne lit jamais \fg{}; %\item[] R l'évènement : \og la personne choisie est retraitée\fg{} ; %\item[] C l'évènement : \og la personne choisie est cadre \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité de l'évènement B $\cap$ R. $p(\text{B} \cap \text{R}) = \dfrac{79}{800} = \np{0,09875}$. \item %Calculer la probabilité de l'évènement B $\cup$ C. $p(\text{B} \cup \text{C}) = p(\text{B}) + p(\text{C}) - p(\text{B} \cap \text{C})$. On a $p(\text{B}) = 0,685\:;\: p(\text{C}) = \dfrac{100}{800} = 0,125$ et $p(\text{B} \cap \text{C}) = \dfrac{39}{800} = \np{0,04875}$. Donc $p(\text{B} \cup \text{C}) = 0,685 + 0,125 - \np{0,04875} = \np{0,76125}$, soit au millième près : $p(\text{B} \cup \text{C}) \approx 0,761$. \end{enumerate} \bigskip \fbox{\textbf{PARTIE III}} \medskip %On s'intéresse maintenant uniquement aux personnes lisant la presse tous les jours ou presque. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On choisit au hasard une personne dans cet ensemble. Quelle est la probabilité que cette personne soit cadre ? Il y a sur les 58 personnes 17 cadres, donc la probabilité est égale à $\dfrac{17}{58} \approx 0,293$. \item %On choisit au hasard et de manière indépendante trois de ces personnes. Calculer la probabilité que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres. On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p =\dfrac{17}{58}$. La probabilité que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres est égale à : $3 \times \left( \dfrac{17}{58}\right)^2\left(1 - \dfrac{17}{58} \right) = 3 \times \left( \dfrac{17}{58}\right)^2 \times \dfrac{41}{58} = \dfrac{\np{2091}}{\np{195112}} \approx 0,1821$ soit au millième près 0,182. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Par suite d'une forte augmentation du prix des carburants de 2007 à 2008, certains salariés d'une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail. % %En 2007, 60\,\% des salariés utilisaient leur voiture personnelle. % %En 2008, 30\,\% des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l'utilisent plus et 5\,\% des personnes ne l'utilisant pas en 2007 l'utilisent en 2008. % %\medskip % %On appelle les états suivants: % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[] A l' état : \og la personne utilise sa voiture \fg{} ; %\item[] B l' état : \og la personne n'utilise pas sa voiture \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2008 et on appelle, pour tout entier naturel $n,~ P_{n}$, la matrice ligne donnant l'état probabiliste des moyens de déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l'année $(2007 + n)$. % %On pose $P_{n} = \left(a_{n} ~~ b_{n}\right)$ et on a $P_{0} = (0,6 ~~ 0,4)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(0,1){$0,7$} \rput(5.2,1){$0,95$} \rput(2.5,2.2){$0,3$} \rput(2.5,-0.2){$0,05$} \end{pspicture} \end{center} \item %Donner la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets. En respectant l'ordre alphabétique des sommets, la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste est $M = \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}$. \item %En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente, quelle est la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 ? En 2010 ? On a en 2009, $P_2 = P_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0,336&0,664\end{pmatrix}$. % (On arrondira les résultats obtenus au centième). Puis en 2010, $P_3 = P_2 \times M = \begin{pmatrix}0,336&0,664\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,2684}&\np{0,7316}\end{pmatrix}$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a la relation : $a_{n+1} = 0,7a_{n} + 0,05b_{n}$. %En déduire que $a_{n+1} = 0,65a_{n} + 0,05$. Si $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ traduit l'état probabiliste en $2007 + n$, alors pour tout naturel $n$, $P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}$ et $a_n + b_n = 1 \iff \left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,05b_n\\ b_{n+1}&=&0,3a_n + 0,95b_n\\ a_n + b_n&=&1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,05\left(1 - a_n \right)\\ b_{n+1}&=&0,3\left(1 - b_n \right) + 0,95b_n\\ b_n&=&1 - a_n \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1}&=&0,65a_n + 0,05\\ b_{n+1}&=&0,65b_n + 0,3\\ b_n&=&1 - a_n \end{array}\right.$ En particulier on a pour tout naturel $n$, \:$a_{n+1} = 0,65a_n + 0,05$. \item %On admet que $a_{n}$ peut alors s'écrire, pour tout entier naturel $n,$ Si $a_{n} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n$. $\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^0= \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} = \dfrac{21}{35} : \dfrac{3}{5} = 0,6 = a_0$ ; $\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^1 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{10,4}{35} = \dfrac{15,4}{35} = \dfrac{2,2}{5} = \dfrac{4,4}{10} = 0,44$. Or $a_1 = 0,65a_0 + 0,05 = 0,65 \times 0,6 + 0,05 = 0,39 + 0,05 = 0,44$. $\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^2 = 0,336$. Or $a_2 = 0,65a_1 + 0,05 = 0,65 \times 0,44 + 0,05 = 0,286 + 0,05 = 0,336$. La formule est donc vérifiée au rang 0 , 1 et 2. %Vérifier la validité de cette formule pour $a_{0},~ a_{1}$ et $a_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. Comme $0 < 0,65 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = 0,65^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n = \dfrac{1}{7}$. La suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{1}{7}$. \item %En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail ? %Justifier la réponse. On vient de voir que la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $\dfrac{1}{7}$ ; il est donc impossible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \fbox{\textbf{PARTIE I : ÉTUDE D'UNE FONCTION}} \medskip %On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle : % %\[f(x) = 5(1 - \ln x)(\ln x - 2)\] % %et dont la représentation graphique est donnée en annexe 2. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. $f(x) = 0 \iff 5(1 - \ln x)(\ln x - 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1 - \ln x&=&0\\ \ln x - 2&=&0 \end{array}\right. \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l} 1 &=&\ln x\\ \ln x &=&2 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \text{e} &=&x\\ x &=&\text{e}^2 \end{array}\right.$ On a donc $S = \left\{\text{e}~;~\text{e}^2\right\}$ \item \begin{enumerate} \item ~%Déterminer le signe de l'expression $5(1- X)(X - 2)$ suivant les valeurs du réel $X$. Le trinôme $5(1- X)(X - 2)$ a pour racines 1 et 2 ; on sait que ce trinôme est négatif, sauf entre les racines. \item %En déduire que le signe de $f(x)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par le tableau suivant : Avec $X = \ln x$, on voit que le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $\ln x $ par rapport à 1 et à 2, donc de la valeur de $x$ par rapport à e et $\text{e}^2$ : $f(x)$ est négatif sauf sur $]\text{e}~;~\text{e}^2[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,2.6) \psframe(8,2.6)\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(2.15,0)(2.15,2)\psline(2.2,0)(2.2,2) \psline(4,0)(4,2) \psline(6,0)(6,2) \uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.175,2){$0$}\uput[u](4,2){e}\uput[u](6,2){$\text{e}^2$} \uput[u](7.6,2){$+ \infty$} \rput(1,1){signe de $f(x)$} \rput(3,1){$-$} \rput(4,1){0}\rput(5,1){$+$} \rput(6,1){$0$}\rput(7,1){$-$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. %Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{5(3 - 2\ln x)}{x}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Sur $]0~;~+ \infty[$, on a : $f’(x) = 5\times \left(- \dfrac{1}{x} \right)(\ln x - 2) + 5(1 - \ln x)\times \dfrac{1}{x} = 5\dfrac{- \ln x + 2 + 1 - \ln x}{x} = \dfrac{5(3 - 2\ln x)}{x}$. \item %En déduire les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint. Comme $x > $, le signe de $f’(x)$ est celui de $3 - 2\ln x$. $\bullet~~$$3 - 2\ln x >0 \iff 2\ln x < 3 \iff \ln x < \dfrac{3}{2} \iff x < \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ; $\bullet~~$$3 - 2\ln x = 0 \iff x = \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ; $\bullet~~$$3 - 2\ln x < 0 \iff x > \text{e}^{\frac{3}{2}}$. Donc la fonction $f$ est croissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{2}}\right[$ et décroissante sur $\left]\text{e}^{\frac{3}{2}}~;~+ \infty\right[$. $f\left(\text{e}^{\frac{3}{2}} \right) = 5\left(1 - \ln \text{e}^{\frac{3}{2}}\right)\left(\ln \text{e}^{\frac{3}{2}} - 2 \right) = 5\left(1 - \frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - 2\right) = \dfrac{5}{4}$ est le maximum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item %Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. Limite en 0 : comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 - \ln x) = + \infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0}(\ln x - 2) = - \infty$, donc par produit des limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$. Limite en plus l’infini : comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(1 - \ln x) = - \infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(\ln x - 2) = + \infty$, d’où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$. \item %Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ puis donner une valeur approchée arrondie à $0,01$ près de ces solutions. On a vu que le maximum de la fonction est égal à $\frac{5}{4} = 1,25$. Sur l’intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{2}}\right[$, la fonction $f$ continue car dérivable strictement croissante d’une valeur inférieure à 1 à une valeur supérieure à 1, il existe un réel unique $\alpha$ de l’intervalle tel que $f(\alpha) = 1$. Même raisonnement sur l’intervalle $\left]\text{e}^{\frac{3}{2}}~;~+ \infty\right[$ où il existe un réel unique $\beta$ tel que $f(\beta) = 1$. La calculatrice donne $\alpha \approx 3,58$ et $\beta \approx 5,60$. \end{enumerate} \bigskip \fbox{\textbf{PARTIE II : APPLICATION}} \medskip %Une entreprise fabrique et revend des jouets. % %$f(x)$ représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d'euros qu'elle réalise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de jouets, pour $x$ compris entre 1 et 10, $f$ désignant la fonction étudiée dans la partie I. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte. On a vu que $f(x) \geqslant 0$ sur $\left[\text{e}~;~\text{e}^2\right]$. Or $\text{e} \approx 2,718$ et $\text{e}^2 \approx 7,389$. Pour ne pas travailler à perte, il faut produire de 272 à 738 jouets. %Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique ? \item %Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à \np{1000}~euros. On a un bénéfice supérieur ou égal à \np{1000}~euros si $f(x) > 1$, donc d’après la partie I, si $x \in ]\alpha~;~\beta[$ soit si on produit de 359 à 737 jouets. %Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 ( à compléter et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 (commun à tous les candidats)} \end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.972cm,yunit=0.13cm} \begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(12,90) \multido{\n=0.0000+0.3333}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,90)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,90)} \multido{\n=0.0+2.5}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(12,90) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{0}{12}{82.75 116.8 2.71828 x exp div 1 add div} \uput[d](12,0){$x$}\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,90){$y$} \psdots(0,0.2)(1,1.5)(2,4.9)(3,12)(4,23.3)(5,41.6)(6,59.9)(7,75)(8,76.9) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 ( à compléter et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)} \end{flushleft} \vfill \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-12)(15,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8](0,0)(0,-12)(15,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-12)(15,3) \uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.88}{15}{x ln 2 sub 1 x ln sub mul 5 mul} \end{pspicture} \end{center} \vfill \end{document}