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%Tapuscrit de Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2009}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2009} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
% 
%\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $0,5$ point; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse $0$ point.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %J'ouvre un livret d'épargne rémunéré à un taux annuel de 3,8\,\% et je place de l'argent pendant deux ans : 750~\euro{} dès la première année et 850~\euro{} supplémentaires la deuxième année.
 
%À la fin des deux ans, je possède : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} 1660,80~\euro& \textbf{b.~~} 1690,38~\euro& \textbf{c.~~} 1723,91~\euro.\\
%\end{tabularx}
À la fin des deux ans, je possède : $750  \times 1,038^2 + 750 \times 1,038  = \np{1690,38}$~\euro.
%\medskip
 
\item  %$\ln\left(\text{e}^2 + \text{e}\right)$ est égal à : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} $\ln \text{e}^2 + \ln \text{e}$ 
%&\textbf{b.~~} 2,31 
%&\textbf{c.~~} $1 + \ln(\text{e} + 1)$\\
%\end{tabularx}
$\ln\left(\text{e}^2 + \text{e}\right) = \ln\left(\text{e}[\text{e} + 1]\right)  = \ln [\text{e}] + \ln [\text{e} + 1] = 1 + \ln [\text{e} + 1]$
%\medskip 
\item  %L'égalité $\ln \left(x^2 + 3x\right) = \ln x + \ln (x + 3)$ est vraie :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.~~} pour tout $x$ réel 
%&\textbf{b.~~} si $x > 0$ 
%&\textbf{c.~~} si $x < -3$ ou si $x > 0$\\
%\end{tabularx}
$\ln \left(x^2 + 3x\right)$ existe si $x^2 + 3x > 0 \iff x(x + 3) > 0 \iff x \in ]- \infty~;~- 3[ \cup ]0~;~+ \infty[$ ; 

$\ln x$ existe si $x > 0$ et $\ln (x + 3)$ existe si $x > - 3$,donc l'égalité est vraie uniquement si $x > 0$.
%\medskip
 
\item %On donne ci-dessous la fréquentation mensuelle des cinémas en France en 2006 en millions d'entrées :

%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%janv.& fév.& mars& avril &mai &juin &juil. &août &sept. &oct. &nov. &déc.\\  \hline%
%14,01 &22,8 &15 &20,9 &18,4 &11,9 &10,2 &15,2 &9,9 &13,5 &16,7 &20,4\\ \hline%
%\multicolumn{12}{r}{Sources : CNC/DEPS}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%On appelle M la médiane de cette série et Q$_{1}$ le premier quartile. On a : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.~~} M = 2Q$_{1}$ 
%&\textbf{b.~~} M $= \dfrac{(11,9+10,2)}{2}$ 
%&\textbf{c.~~} M = 15,1\\
%\end{tabularx}
Il y a 12 valeurs ; la médiane est la moyenne des sixième et septième valeurs : M = $\dfrac{15 + 15,2}{2} = 15,1$.
%\medskip
 
\item  %L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}  
%\textbf{a.~~} $\dfrac{- 1 + \text{e}^2}{2}$
%&\textbf{b.~~} $1 - \text{e}^2$
%&\textbf{c.~~} $2\text{e}^2 - 2$\\
%\end{tabularx}
Une primitive de $x \longmapsto \text{e}^{2x}$ est $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$, donc :

$\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 1} - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{e}^{2} - 1}{2}$.
%\medskip
\item %$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
 
%La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de cette fonction $f$ dans un repère du plan a comme équation réduite : $y = - x + 3 $.

%Alors on peut dire que :
% 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$ 
%&\textbf{b.~~} $f'(1) = - 1$ 
%&\textbf{c.~~} $f(1) = 3$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Le coefficient de la tangente au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé de la fonction en 1, donc $f'(1) = - 1$. 
\item %La fonction $F : x \longmapsto 5 + \ln (2x + 10)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.~~} $f(x) = \dfrac{1}{x + 5}$
%&\textbf{b.~~} $f(x) = \dfrac{1}{2x + 10}$
%&\textbf{c.~~} $f(x) = 5 + \dfrac{1}{x + 5}$
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
On a $F'(x) = \dfrac{2}{2x + 10} = \dfrac{1}{x + 5}$.
\item  %A et B sont deux évènements indépendants associés à une expérience aléatoire tels que : 

%\[P(\text{A}) \neq 0~ \text{et}~ P(\text{B}) = \dfrac{1}{2} \]
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})= P(\text{A}) \times P(\text{B})$ 
%&\textbf{b.~~} $P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A})+P(\text{B})$ 
%&\textbf{c.~~} $P_{\text{A}} (B)= \dfrac{1}{2}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
Comme les événements sont indépendants on a $P_{\text{A}}(\text{B}) = P(\text{B})$, d'où 

$P_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 
 
%Le tableau ci-dessous donne les taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD, de 1998 à 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%année &1998 &1999 &2000 &2001&2002& 2003& 2004& 2005& 2006 \\ \hline% 
%rang de l'année $x$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline%
%pourcentage $y$& 0,2 &1,5 &4,9 &12,0 &23,3 &41,6 &59,9 &75,0 &76,9\\ \hline%
%\multicolumn{10}{r}{Sources : GIK-CNC/DEPS}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE I}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter la série $(x~;~y )$ sur le graphique en annexe 1.
Voir à la fin. 
\item %Donner, sans justification, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $0,001$ près).
En arrondissant les coefficients au millième on obtient avec la calculatrice : $y = 11,115x - 11,649$. 
\item %Donner une estimation du taux d'équipement des ménages français en 2010 en utilisant cet ajustement. Que pensez-vous du résultat ?
2010 correspond au rang $x = 12$, d'où un taux d'équipement estimé de :

$11,115\times 12  - 11,649 = 121,731$ ce qui est stupide. Le modèle n'est pas bon.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II}}

\medskip
 
%On admettra que la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
%
%\[f(t) = \dfrac{82,75}{1+116,8\text{e}^{-t}}\]
%
%représentée sur le graphique en annexe 1 réalise un bon ajustement de cette série.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le sens de variation de cette fonction.
La fonction $t \longmapsto 	\text{e}^{-t}$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ de même que la fonction $t \longmapsto 	1 + 116,8\text{e}^{-t}$	. Et comme la fonction $u \longmapsto \dfrac{1}{u}$ est décroissante sur  $[0~;~+ \infty[$ on en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$.

On peut aussi calculer :

$f'(t) = - \dfrac{82,75 \times \left(- 116,8\text{e}^{-t} \right)}{\left(1+116,8\text{e}^{-t} \right)^2} = \dfrac{\np{9665,2}\text{e}^{-t}}{\left(1+116,8\text{e}^{-t} \right)^2} > 0$ car tous les termes sont supérieurs à zéro. Donc $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %Donner, en utilisant ce nouvel ajustement, le taux d'équipement prévu en 2010 et en 2012.
En 2010, on peut prévoir $\dfrac{82,75}{1 + 116,8\text{e}^{- 12}} \approx 82,690$ soit au centième près 82,69\,\% comme taux d'équipement.

En 2012, on peut prévoir $\dfrac{82,75}{1 + 116,8\text{e}^{- 14}} \approx 82,742$ soit au centième près 82,74\,\% comme taux d'équipement.
		
%(On arrondira le résultat au centième).
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%En utilisant ce modèle, peut-on estimer que le taux d'équipement des ménages atteindra 90\,\% ? Si oui, en quelle année ?
Il faut résoudre  l'équation :

$\dfrac{82,75}{1+116,8\text{e}^{-t}} = 90 \iff 1+116,8\text{e}^{-t} = \dfrac{82,75}{90} \iff 116,8\text{e}^{-t} = \dfrac{82,75}{90} - 1 \iff \text{e}^{-t} = \dfrac{\frac{82,75}{90} - 1}{116,8} \iff \text{e}^{t} = \dfrac{116,8}{\frac{82,75}{90} - 1}$.

Or $\dfrac{116,8}{\frac{82,75}{90} - 1} < 0$ et la fonction exponentielle est positive : cette équation n'a pas de solution. Le taux d'équipement de 90\;\% ne sera jamais atteint comme le suggère la figure.

On pouvait également montrer que la limite de la fonction $f$ était égale à 82,75 au voisinage de plus l'infini et comme la fonction est croissante la valeur 90 ne peut être atteinte.

Le taux maximal d'équipement est de 82,75\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
%Le tableau ci-dessous donne, d'après un échantillon de 800~personnes interrogées en 2005, un aperçu de la lecture de la presse quotidienne en France.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline 
%&\footnotesize Tous les jours ou presque &\footnotesize Une ou deux fois par semaine& 
%\footnotesize Seulement pendant certaines périodes &\footnotesize Rarement &\footnotesize Jamais &\footnotesize Total \\ \hline%
%Agriculteurs exploitants					& 1 &10 &2 	&8 	&79 &100 \\ \hline%
%Artisans, commerçants, chefs d'entreprise 	&11 &11 &5 	&7 	&66 &100 \\ \hline%
%Cadres 										&17 &16 &10 &18 &39 &100 \\ \hline%
%Professions intermédiaires 					&8 	&15 &7 	&15 &55 &100 \\ \hline%
%Employés 									&6 	&7 	&4 	&9 	&74 &100 \\ \hline%
%Ouvriers (y compris agricoles)				& 4 &5 	&3 	&5 	&83 &100 \\ \hline%
%Retraités 									&6 	&7 	&2 	&6 	&79 &100 \\ \hline%
%Autres inactifs 							&5 	&9 	&4 	&9 	&73 &100\\ \hline%
%Total en effectif 							&58 &80 &37 &77 &548&800 \\ \hline%
%Pourcentages du total 						&7,25\:\% &10\:\% &4,625\:\%&&& \\ \hline%
%\multicolumn{7}{r}{Sources : INSEE/DEPS}\\
%\end{tabularx} 
%
%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et éventuellement arrondis à $0,001$ près.}
%
%\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE I}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La dernière ligne du tableau ci-dessus représente la part de chaque catégorie par rapport à l'échantillon total. Calculer les valeurs manquantes de cette dernière ligne.
Les valeurs manquantes sont 9,625\,\%, \: 68,5\,\% et 100\,\%. 
\item %Donner la probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais.
La probabilité est égale à $\dfrac{39}{100} = 0,39$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II}}

\medskip

%On choisit au hasard une personne dans cet échantillon de 800~personnes. Dans cette partie, on note les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] B l'évènement : \og la personne choisie ne lit jamais \fg{}; 
%\item[] R l'évènement : \og la personne choisie est retraitée\fg{} ; 
%\item[] C l'évènement : \og la personne choisie est cadre \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité de l'évènement B $\cap$ R.
$p(\text{B} \cap \text{R}) = \dfrac{79}{800} = \np{0,09875}$. 
\item %Calculer la probabilité de l'évènement B $\cup$ C.
$p(\text{B} \cup \text{C}) = p(\text{B}) + p(\text{C}) - p(\text{B} \cap \text{C})$.

On a $p(\text{B}) = 0,685\:;\: p(\text{C}) = \dfrac{100}{800} = 0,125$ et $p(\text{B} \cap \text{C}) = \dfrac{39}{800} = \np{0,04875}$.

Donc $p(\text{B} \cup \text{C}) = 0,685 + 0,125 - \np{0,04875} = \np{0,76125}$, soit au millième près : 

$p(\text{B} \cup \text{C}) \approx 0,761$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE III}}

\medskip

%On s'intéresse maintenant uniquement aux personnes lisant la presse tous les jours ou presque.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard une personne dans cet ensemble. Quelle est la probabilité que cette personne soit cadre ?
Il y a sur les 58 personnes 17 cadres, donc la probabilité est égale à $\dfrac{17}{58} \approx 0,293$. 
\item %On choisit au hasard et de manière indépendante trois de ces personnes. Calculer la probabilité que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p =\dfrac{17}{58}$.

La probabilité  que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres est égale à :

$3 \times \left( \dfrac{17}{58}\right)^2\left(1 - \dfrac{17}{58} \right) = 3 \times \left( \dfrac{17}{58}\right)^2 \times \dfrac{41}{58} = \dfrac{\np{2091}}{\np{195112}} \approx 0,1821$ soit au millième près 0,182.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
%Par suite d'une forte augmentation du prix des carburants de 2007 à 2008, certains salariés d'une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail.
% 
%En 2007, 60\,\% des salariés utilisaient leur voiture personnelle.
% 
%En 2008, 30\,\% des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l'utilisent plus et 5\,\% des personnes ne l'utilisant pas en 2007 l'utilisent en 2008.
%
%\medskip
% 
%On appelle les états suivants:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A l' état : \og la personne utilise sa voiture \fg{} ; 
%\item[] B l' état : \og la personne n'utilise pas sa voiture \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2008 et on appelle, pour tout entier naturel $n,~ P_{n}$, la matrice ligne donnant l'état probabiliste des moyens de déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l'année $(2007 + n)$.
% 
%On pose $P_{n} = \left(a_{n} ~~ b_{n}\right)$ et on a $P_{0} = (0,6 ~~ 0,4)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(0,1){$0,7$} \rput(5.2,1){$0,95$}
\rput(2.5,2.2){$0,3$} \rput(2.5,-0.2){$0,05$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Donner la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
En respectant l'ordre alphabétique des sommets, la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste est $M = \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}$.  
\item %En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente, quelle est la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 ? En 2010 ?
On a en 2009,  $P_2 = P_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0,336&0,664\end{pmatrix}$.
% (On arrondira les résultats obtenus au centième).

Puis en 2010, $P_3 = P_2 \times M =  \begin{pmatrix}0,336&0,664\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}\np{0,2684}&\np{0,7316}\end{pmatrix}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a la relation : $a_{n+1} = 0,7a_{n} + 0,05b_{n}$.
		
%En déduire que $a_{n+1} = 0,65a_{n} + 0,05$.
Si $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ traduit l'état probabiliste en $2007 + n$, alors pour tout naturel $n$,

$P_{n+1} = P_n \times M \iff  \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,05&0,95\end{pmatrix}$ et $a_n + b_n = 1 \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,05b_n\\
b_{n+1}&=&0,3a_n + 0,95b_n\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,7a_n + 0,05\left(1 - a_n \right)\\
b_{n+1}&=&0,3\left(1 - b_n \right) + 0,95b_n\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,65a_n + 0,05\\
b_{n+1}&=&0,65b_n + 0,3\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right.$

En particulier on a pour tout naturel $n$, \:$a_{n+1} = 0,65a_n + 0,05$.
		\item  %On admet que $a_{n}$ peut alors s'écrire, pour tout entier naturel $n,$
		
Si $a_{n} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n$.

$\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^0= \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} = \dfrac{21}{35} : \dfrac{3}{5} = 0,6  = a_0$ ;

$\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^1 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{10,4}{35} = \dfrac{15,4}{35} = \dfrac{2,2}{5} = \dfrac{4,4}{10} = 0,44$.

Or $a_1 = 0,65a_0 + 0,05 = 0,65 \times 0,6 + 0,05 = 0,39 + 0,05 = 0,44$.

$\dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^2 = 0,336$.

Or $a_2 = 0,65a_1 + 0,05 = 0,65 \times 0,44 + 0,05 = 0,286 + 0,05 = 0,336$.

La formule est donc vérifiée au rang 0 , 1 et 2.  		
%Vérifier la validité de cette formule pour $a_{0},~ a_{1}$ et $a_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
Comme $0 < 0,65 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = 0,65^n = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n = \dfrac{1}{7}$.

La suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{1}{7}$.
		\item %En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail ?
		 
%Justifier la réponse.
On vient de voir que la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $\dfrac{1}{7}$ ; il est donc impossible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
\fbox{\textbf{PARTIE I : ÉTUDE D'UNE FONCTION}}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle :
% 
%\[f(x) = 5(1 - \ln x)(\ln x - 2)\]
% 
%et dont la représentation graphique est donnée en annexe 2.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. 
$f(x) = 0 \iff 5(1 - \ln x)(\ln x - 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 - \ln x&=&0\\
\ln x - 2&=&0
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
1  &=&\ln x\\
\ln x  &=&2
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}  &=&x\\
x  &=&\text{e}^2
\end{array}\right.$

On a donc $S = \left\{\text{e}~;~\text{e}^2\right\}$
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~%Déterminer le signe de l'expression $5(1- X)(X - 2)$ suivant les valeurs du réel $X$.
Le trinôme $5(1- X)(X - 2)$  a pour racines 1 et 2 ; on sait que ce trinôme est négatif, sauf entre les racines.  
		\item %En déduire que le signe de $f(x)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par le tableau suivant : 
Avec $X = \ln x$, on voit que le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $\ln x $ par rapport à 1 et à 2, donc de la valeur de $x$ par rapport à e et $\text{e}^2$ : $f(x)$ est négatif sauf sur $]\text{e}~;~\text{e}^2[$.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.6)
\psframe(8,2.6)\psline(0,2)(8,2)
\psline(2,0)(2,2.6) \psline(2.15,0)(2.15,2)\psline(2.2,0)(2.2,2)
\psline(4,0)(4,2) \psline(6,0)(6,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.175,2){$0$}\uput[u](4,2){e}\uput[u](6,2){$\text{e}^2$} \uput[u](7.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){signe de $f(x)$} \rput(3,1){$-$} \rput(4,1){0}\rput(5,1){$+$} \rput(6,1){$0$}\rput(7,1){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		 
%Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{5(3 - 2\ln x)}{x}$		pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Sur  $]0~;~+ \infty[$, on a :

$f’(x) = 5\times \left(- \dfrac{1}{x} \right)(\ln x - 2) + 5(1 - \ln x)\times \dfrac{1}{x} = 5\dfrac{- \ln x + 2 + 1 - \ln x}{x} = \dfrac{5(3 - 2\ln x)}{x}$.
		\item %En déduire les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint.
		Comme $x > $, le signe de $f’(x)$ est celui de $3 - 2\ln x$.
		
$\bullet~~$$3 - 2\ln x >0 \iff 2\ln x < 3 \iff \ln x < \dfrac{3}{2} \iff x < \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ;

$\bullet~~$$3 - 2\ln x = 0 \iff x = \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ;

$\bullet~~$$3 - 2\ln x < 0 \iff x > \text{e}^{\frac{3}{2}}$.

Donc la fonction $f$ est croissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{2}}\right[$ et décroissante sur $\left]\text{e}^{\frac{3}{2}}~;~+ \infty\right[$.

$f\left(\text{e}^{\frac{3}{2}} \right) = 5\left(1 - \ln  \text{e}^{\frac{3}{2}}\right)\left(\ln \text{e}^{\frac{3}{2}} - 2 \right) = 5\left(1 - \frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - 2\right) = \dfrac{5}{4}$ est le maximum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
Limite en 0 : comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, on a :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 - \ln x) = + \infty$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to 0}(\ln x - 2) = - \infty$, donc par produit des limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

Limite en plus l’infini : comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty$, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(1 - \ln x) = - \infty$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(\ln x - 2) = + \infty$, d’où par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$.
\item %Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ puis donner une valeur approchée arrondie à $0,01$ près de ces solutions.
On a vu que le maximum de la fonction est égal à $\frac{5}{4} = 1,25$.

Sur l’intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{2}}\right[$, la fonction $f$ continue car dérivable strictement croissante d’une valeur inférieure à 1 à une valeur supérieure à 1, il existe un réel unique $\alpha$ de l’intervalle tel que $f(\alpha) = 1$.

Même raisonnement sur l’intervalle $\left]\text{e}^{\frac{3}{2}}~;~+ \infty\right[$ où il existe un réel unique $\beta$ tel que $f(\beta) = 1$.

La calculatrice donne $\alpha \approx 3,58$ et $\beta \approx 5,60$.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\fbox{\textbf{PARTIE II : APPLICATION}}

\medskip
 
%Une entreprise fabrique et revend des jouets.
% 
%$f(x)$ représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d'euros qu'elle réalise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de jouets, pour $x$ compris entre 1 et 10, $f$ désignant la fonction étudiée dans la partie I. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte.
 On a vu que $f(x) \geqslant 0$ sur $\left[\text{e}~;~\text{e}^2\right]$.
 
 Or $\text{e} \approx 2,718$ et $\text{e}^2 \approx 7,389$.
 
Pour ne pas travailler à perte, il faut produire de 272 à 738 jouets.
%Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique ? 
\item %Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à \np{1000}~euros.
On a un bénéfice supérieur ou égal à \np{1000}~euros si $f(x) > 1$, donc d’après la partie I, si $x \in ]\alpha~;~\beta[$ soit si on produit de 359 à 737 jouets.
 
%Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 ( à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 (commun à tous les candidats)}
\end{flushleft}
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.972cm,yunit=0.13cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(12,90)
\multido{\n=0.0000+0.3333}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0.0+2.5}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(12,90)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{0}{12}{82.75 116.8 2.71828 x exp div 1 add div}
\uput[d](12,0){$x$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,90){$y$}
\psdots(0,0.2)(1,1.5)(2,4.9)(3,12)(4,23.3)(5,41.6)(6,59.9)(7,75)(8,76.9)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 ( à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)}
\end{flushleft}

\vfill
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-12)(15,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8](0,0)(0,-12)(15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-12)(15,3)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.88}{15}{x ln 2 sub  1 x ln sub mul 5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\end{document}