\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqué par Laurence Surivi et Clotilde Rouchon %Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small 19 novembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ 19 novembre 2012} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Un article paru en 2008 dans le journal \emph{Les Échos} indiquait les coûts (en milliards d'euros) des derniers Jeux Olympiques depuis 1984. Ces données sont résumées dans le tableau suivant : % %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline %Lieu &\footnotesize Los Angeles &\small Séoul &\small Barcelone &\small Atlanta &\small Sydney & \small Athènes &\small Pékin\\ \hline %Année &1984 &1988 &1992 &1996 &2000 &2004 &2008\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline %Coût $y_{i}$ &0,45 &0,96 &1,67 &2,75 &4,5 &11,6 &26,3 \\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip % \begin{enumerate} \item % %On a tracé ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{1}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas justifié. % %\begin{center} %\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} %\begin{pspicture}(-0.4,-2)(7,28) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(7,28) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.4,-1.9)(7,28) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-0.4,-1.9)(7,28) %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,0.45)(1,0.96)(2,1.67)(3,2.75)(4,4.5)(5,11.6)(6,26.3) %\uput[dr](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{center} \item Une première modélisation : ajustement exponentiel %Pour $0 \leqslant i \leqslant~ 6$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item ~%Recopier le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs $z_{i}$, arrondies au centième. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 & 2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ &$- 0,80$ &$- 0,04$ &0,51 &1,01 &1,50 &2,45 &3,27\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième). La calculatrice livre : $z = 0,649x - 0,819$ (coefficients au millième près). \item %En déduire une approximation des coûts $y$, en milliards, sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ où les coefficients $A$ et $B$ seront arrondis au centième. On a donc $z = \ln y = 0,649x - 0,819 \iff y = \text{e}^{0,649x - 0,819} = \text{e}^{0,649x} \times \text{e}^{-0,819} = 0,44\text{e}^{0,649x} \approx 0,44\text{e}^{0,65x}$ avec des coefficients arrondis au centième près. \item %On suppose que cette modélisation reste acceptable jusqu'en 2012. Quelle estimation des coûts peut-on alors faire pour les Jeux Olympiques de Londres de 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). 2012 correspond à l'olympiade suivant, soit au rang $x = 7$. L'estimation des coûts est donc $y = 0,44\text{e}^{0,65 \times 7} = 0,44\text{e}^{4,55} \approx 42$~(milliards). \end{enumerate} \item Une deuxième modélisation: \begin{enumerate} \item %Trouver le pourcentage d'augmentation des coûts entre 1984 et 1988. L'augmentation des coûts entre 1984 et 1988 est égale à : $\dfrac{0,96 - 0,45}{0,45} \times 100 \approx 113,3\,\%$ \item %Justifier qu'entre 1984 et 2008 le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade (période de 4 ans), arrondi à l'unité, est de 97\,\%. Si $t$ est le taux moyen d'augmentation par olympiade entre 1984 et 2008, on a : $0,45 \times t^6 = 26,3 \iff t^6 = \dfrac{26,3}{0,45} \iff 6\ln t = \ln \left(\frac{26,3}{0,45} \right) \iff \ln t = \dfrac{1}{6}\ln \left(\frac{26,3}{0,45} \right) \iff t = \text{e}^{\frac{1}{6}\ln \left(\frac{26,3}{0,45}\right)} \approx 1,97$ qui correspond bien à une augmentation moyenne en pourcentage par olympiade de 97\,\%. \item %Si cette évolution des coûts continue suivant la même progression, donner une estimation des coûts pour les Jeux Olympiques de Londres en 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). Avec cette augmentation moyenne le coût à l'olympiade suivante sera de $26,3 \times t \approx 26,3 \times 1,97 \approx 51,8$. \end{enumerate} \item %Un journal anglais a déclaré que les coûts des Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 45~milliards d'euros. Laquelle des deux modélisations semble la plus cohérente avec cette affirmation ? La première modélisation exponentielle semble la plus proche de l'affirmation du journal anglais. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip %Une enquête a été réalisée auprès de français s'étant rendus à Londres pour des raisons touristiques. % %Cette enquête révèle que, pour se rendre dans la capitale anglaise, % %30\,\% de ces touristes ont utilisé l'avion, % %50\,\% ont utilisé le train passant par le tunnel sous la Manche % %et les autres touristes ont traversé la Manche par bateau. % %Sur l'ensemble de tous les touristes interrogés, 40\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. % %Parmi les touristes interrogés ayant utilisé l'avion, 20\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine et parmi ceux qui ont choisi le train, 60\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. % %On interroge au hasard un touriste ayant répondu à l'enquête. On suppose que chaque touriste avait la même probabilité d'être choisi. % %On note : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en avion \fg. %\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en train \fg. %\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en bateau \fg. %\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og Le touriste interrogé est resté en Angleterre plus d'une semaine \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre. On sait que $p(A) + p(T) + p(B) = 1 \iff p(B) = 1 - (p(A) + p(T)) = 1 - 0,3 - 0,5 = 0,2$. \item \begin{enumerate} \item %Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $A \cap S$. $A \cap S$ est l'évènement : \og Le touriste interrogé a voyagé en avion et est resté en Angleterre plus d'une semaine \fg. \item ~%Déterminer les probabilités $p(A \cap S)$ et $p(T \cap S)$. (On pourra utiliser un arbre pondéré). \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$} \taput{0,3}} { \TR{$S$}\taput{0,2} \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,8} } \pstree{\TR{$T$} \taput{0,5}} { \TR{$S$}\taput{0,6} \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,4} } \pstree{\TR{$B$} \tbput{0,2}} { \TR{$S$}\taput{} \TR{$\overline{S}$}\tbput{} } } \end{center} $p(A \cap S) = p(A) \times p_A(S) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$ ; $p(T \cap S) = p(T) \times p_T(S) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$ \end{enumerate} \item %Montrer que $P(B \cap S) = 0,04$. D'après la loi des probabilités totales : $p(S) = p(A \cap S) + p(T \cap S) + p(B \cap S) \iff p(B \cap S) = p(S) - p(A \cap S) - p(T \cap S) = 0,4 - 0,06 - 0,3 = 0,04$. \item %Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu'il est resté plus d'une semaine en Angleterre. Il faut trouver : $p_S(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)} = \dfrac{0,04}{0,4} = 0,1$. \item %On interroge au hasard 3 touristes ayant répondu à l'enquête de façon indépendante. On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à l'enquête est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard à un tirage avec remise. %Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes se trouve un seul touriste étant resté en Angleterre plus d'une semaine. On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(S) = 0,4$. Les issues favorables sont : $S\overline{S}\overline{S},\,\overline{S}S\overline{S}$ et $\overline{S}\overline{S}S$, chacun de probabilité $p(S) (1 - p(S))^2$. La probabilité cherchée est donc égale à : $3 \times 0,4 \times 0,6^2 = 1,2 \times 0,36 = 0,432$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Afin d'être performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes. % %On constate que : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] S'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,75$. %\item[$\bullet~~$] S'il ne réalise pas moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,5$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse. % %Soit $n$ un entier naturel non nul. On note : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $a_{n}$, la probabilité que Christophe réalise moins de 10~secondes le $n$-ième jour. %\item[$\bullet~~$] $b_{n}$, la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le n-ième jour. %\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n \quad } b_{n}\right)$, la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item %Écrire la matrice ligne $P_{1}$ de l'état probabiliste initial. La matrice ligne de l'état probabiliste initial est $P_{1} = \begin{pmatrix}0&1 \end{pmatrix}$ \item ~%Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Christophe réalise moins de 10 secondes au 100 mètres \fg, B représentant l'état \og Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au 100 mètres\fg). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,2) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(-0.15,1){0,75} \rput(5.2,1){0,5} \rput(2.5,2){0,25} \rput(2.5,0){0,5} \end{pspicture} \end{center} \item %Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. La matrice de transition $M$ de ce graphe vérifie $P_{n+1} = P_n \times M$ ; $M = \begin{pmatrix}0.75&0,25\\0,5&0,5 \end{pmatrix}$. \item %Déterminer la matrice ligne $P_{3}$. Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ? On a $P_3 = P_1 \times M^2 = \begin{pmatrix}0&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0.75&0,25\\0,5&0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix}$. \item %Soit $P = (a \quad b)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable. \begin{enumerate} \item %Justifier que $a$ et $b$ vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}0,25 a - 0,5 b &=&0\\ a + b &=& 1 \end{array}\right.$. Les termes de $M$ étant non nuls, on sait que l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}a&b \end{pmatrix}$, avec $a + b = 1$. On a $P = P \times M \iff \begin{pmatrix}a&b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,75&0,25\\0,5&0,5 \end{pmatrix} \iff$ $\left\{\begin{array}{l c l} a &=&0,75a + 0,5b\\ b &=&0,25 + 0,5b\\ a + b &=&1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 0,25a - 0,5b &= &0 \\ -0,25a + 0,5b &= &0\\ a + b &= &1 \end{array}\right. \iff$ $\left\{\begin{array}{l c l} 0,25 a - 0,5 b &=&0\\ a + b &=&1 \end{array}\right.$. \item %Lors d'une interview à un journaliste sportif, Christophe déclare : \og Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer à ce grand évènement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10~secondes sur 100~mètres lors de la compétition \fg. %Cette affirmation vous paraît-elle justifiée ? En résolvant le système précédent : $\left\{\begin{array}{l c l}0,25 a - 0,5 b &=&0\\ a + b &=& 1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}0,5 a - b &=&0\\ a + b &=& 1 \end{array}\right. \Rightarrow 1,5a = 1 \iff$ $ 3a = 2 \iff a = \dfrac{2}{3}$ et par suite $b = \dfrac{1}{3}$. On a donc $P = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}& \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$. Christophe a donc raison (en fait le troisième jour il est déjà à 62,5\,\% de chances de réussir 10 s soit un peu moins de 66,666\,\%). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} %\medskip %On considère la fonction $f$ définie sur $[3~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{x + 5 \ln x}\] \begin{enumerate} \item %On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à $1$. Puisque $x \geqslant 3$, \, $ x > 0$, donc en factorisant $x$ on peut écrire $f(x) = \dfrac{1}{1 + \frac{5\ln x}{x}}$. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ implique donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. \item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Le dénominateur est supérieur ou égal à $3 + 5\ln 3$ et n'est donc pas nul ; $f$ est donc dérivable sur $[3~;~+ \infty[$ comme quotient de fonctions dérivables et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{1 \times (x + 5\ln x) - x \times (1 + \dfrac{5}{x})}{(x + 5\ln x)^2} = \dfrac{x + 5\ln x - x - 5}{(x + 5\ln x)^2} = \dfrac{5(\ln x - 1)}{(x + 5\ln x)^2}$. %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[3~;~+ \infty[$ on a $f'(x) = \dfrac{5(\ln x - 1)}{(x + 5\ln x)^2}$. \item %Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[3~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. Le dénominateur de la dérivée est positif, son signe est donc celui de son numérateur et comme $5 > 0$ de celui de $\ln x - 1$. $\ln x - 1 > 0 \iff \ln x > 1 \iff x > \text{e} \approx 2,718$. Donc la dérivée est positive puisque $f$ est définie pour $x > 3$. Conclusion : la fonction $f$ est strictement croissante sur $[3~;~+ \infty[$ de $f(3) = \dfrac{3}{3 + 5\ln 3} \approx 0,353$ à 1 (limite trouvée à la question \textbf{1.}) \item %Montrer que sur l'intervalle [3~;~50] l'équation $f(x) = 0,5$ possède une unique solution $\alpha$ puis, à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l'entier supérieur par excès de $\alpha$. D'après la question précédente, la fonction $f$ est continue car dérivable sur $[3~;~+ \infty[$ et strictement croissante de $f(3) < 0,5$ à $1 > 0,5$ : il existe donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\alpha$, tel que $f(\alpha) = 0,5$. La calculatrice donne $f(12) \approx 0,49$ et $f(13) \approx 0,503$. Donc $\alpha \approx 13$ valeur approchée à l'entier supérieur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %L'organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d'un grand évènement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves. % %Une étude, portant sur la progression des ventes de ces billets, à partir du troisième jour de mise en vente, a permis de modéliser l'évolution des ventes des billets selon la fonction $f$ étudiée dans la partie A. % %La proportion des ventes effectuées par rapport à l'ensemble des billets $x$ jours après le début de la mise en vente, est donnée par la valeur $f(x)$, arrondie au millième, pour tout $x$ entier de l'intervalle $[3~;~700]$. % %Ainsi la valeur approchée de $f(3)$, arrondie au millième, est $0,353$ ; cela signifie que trois jours après le début de la mise en vente des billets, 35,3\,\% des billets étaient déjà vendus. % %\medskip \begin{enumerate} \item %En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50\,\% de l'ensemble des billets. On a vu que $f(\alpha) = 0,5$ qui correspond à 50\,\% des ventes et on a vu que $\alpha \approx 13$ (par excès : il faudra donc attendre le 13\up{e} jour pour vendre plus de la moitié des billets. \item %On considère l'algorithme suivant (la fonction $f$ est celle qui est définie dans la partie A). %\vspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l l} %Initialisation :& Affecter à $X$ la valeur 3.\\ % &Affecter à Y la valeur f(X).\\ %~&\\ %Saisie :& Afficher \og Entrer un nombre $P$ compris entre 0 et 1 \fg.\\ %& Lire $P$.\\ %~&\\ %Traitement : & Tant que $Y < P$\\ %&\hspace{0,75cm}- Affecter à $X$ la valeur $X + 1$.\\ %&\hspace{0,75cm}- Affecter à $Y$ la valeur $f(X)$.\\ %&Fin du Tant que\\ %~&\\ %Sortie :& Afficher $X$.\\ %\end{tabular} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,9$ comme valeur de $P$, la valeur de sortie de l'algorithme est $249$. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ? Cela signifie que le 249\up{e} jour le nombre de billets vendus sera de 90\,\% au moins. \item %Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,5$ comme valeur de $P$, quelle valeur de $X$ apparaîtra à la sortie de l'algorithme ? On a vu que la moitié des places seront vendues au bout de 13 jours. Le nombre affiché en sortie sera donc 13. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. % %Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. % %\medskip % %\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue.} % %\medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[f(x) = x\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ on a : %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~} $f'(x) = \text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = (x - 1)\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = (x + 1)\text{e}^x$ %\end{tabularx} %\medskip On a $f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x = \text{e}^x(x + 1)$. \item %Le nombre de solutions réelles de l'équation $f(x) = 2x$ est %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $1$& \textbf{c.~~} $2$ %\end{tabularx} %\medskip $f(x) = 2x \iff x\text{e}^x = 2x \iff x\text{e}^x - 2x = 0 \iff x\left(\text{e}^x - 2\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ \text{e}^x&=&2 \end{array}\right. $ $ \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ x&=&\ln 2 \end{array}\right.$. Il y a deux solutions \item %La valeur exacte de $f(- \ln 2)$ est %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~}$2\ln 2$&\textbf{b.~~} $- \dfrac{\ln 2}{2}$& \textbf{c.~~} $- 0,346$ %\end{tabularx} %\medskip $f(- \ln 2) = - \ln 2 \text{e}^{- \ln 2} = - \ln 2 \times \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} = - \ln 2 \times \dfrac{1}{2} = - \dfrac{\ln 2}{2}$. \item %Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$. %Laquelle ? On a de façon simple $f(x) \geqslant 0$ si $x \geqslant 0$. Pour tout nombre positif $x$, \: $f(x)$ représente le nombre dérivé de $F$ primitive donc la fonction $F$ doit être croissante sur $[0~;~+ \infty[$ : la courbe \textbf{a.} est éliminée. Pour $x < 0$, \: $f(x) < 0$, donc la primitive $F$ est décroissante sur $]- \infty~;~0[$ ce qui n'est pas le cas de la courbe \textbf{c.} Il reste donc la courbe \textbf{b.} \end{enumerate} %\medskip % %\begin{tabular}{*{3}{c}} %\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} %\begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1pt] %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) %\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.62}{x 1 add 2.71828 x exp mul neg} %\rput(-1,-3.5){\textbf{a.}}\uput[dr](0,0){O} %\end{pspicture}& %\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} %\begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1.pt] % %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) %\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.716}{x 1 sub 2.71828 x exp mul} %\rput(-1,-3.5){\textbf{b.}}\uput[dr](0,0){O} %\end{pspicture}& %\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} %\begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1pt] % %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) %\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.135}{x dup mul 2.71828 x exp mul} %\rput(-1,-3.5){\textbf{c.}}\uput[dr](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{tabular} \end{document}