\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} %Tapuscrit de Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small novembre 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[4pt]novembre 2008} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $]- \infty~;~ - 5[ ~\cup~ ]-5~;~+\infty[$. % %On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ dans un repère donné du plan. % %On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$ : % %\begin{center} %\psset{xunit=1.25cm} %\begin{pspicture}(9,3) %%\psgrid %\psframe(9,3) \psline(0,2.5)(9,2.5) %\psline(2,0)(2,3) %\psline(4.45,0)(4.45,2.5) \psline(4.55,0)(4.55,2.5) %\rput(1,2.75){Valeurs de $x$} %\rput(1,1.25){Variations de $g$} %\uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](4.5,2.5){$-5$} \uput[u](5.8,2.5){$-1$} \uput[u](7,2.5){$4$} \uput[u](8.6,2.5){$+ \infty$} %\rput(2.3,0.3){$- \infty$} \rput(4.1,2.3){$+ \infty$} %\rput(4.9,0.3){$- \infty$} \rput(6,1.2){$0$}\rput(7,2.25){$5$} %\rput(8.8,0.3){$1$} %\psline{->}(2.6,0.3)(3.85,2.2) \psline{->}(5.2,0.3)(6.8,2.1) %\psline{->}(7.2,2.1)(8.6,0.3) %\end{pspicture} %\end{center} % %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). % %Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie : % %VRAI ou FAUX ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE RÉPONDRE. % %Aucune justification n'est demandée, % %\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.} % %\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout réel $ x \in ]-1~;~+\infty[,\: g(x) \leqslant 5$. VRAI : sur $]-1~;~+\infty[,\: 0 \leqslant f(x) \leqslant 5$. \item %Pour tout réel $x \in ]- 5~;~4],\: g'(x) \geqslant 0\: (g'$ désigne la fonction dérivée de $g$). VRAI : sur l'intervalle la fonction est croissante. \item %La droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. FAUX : on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 1$. La droite dont une équation est $y = 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. \item %La courbe $(\mathcal{C})$ admet une droite asymptote en $- \infty$. FAUX. \item %On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln [g(x)]$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien : Sur l'intervalle $g(x) > 0$, donc la fonction $f$ est bien définie. \begin{enumerate} \item %Pour tout réel $x \in [4~;~+ \infty[,\: f(x) \geqslant 0$ ; VRAI : la fonction ln est croissante et la fonction $g$ est décroissante, donc par composition la fonction $f$ est décroissante de $\ln 5$ à $\ln 1 = 0$ \item %La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[4~;~+ \infty[$ ; VRAI : déjà vu. \item %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ ; FAUX : par composition $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \ln 1 = 0$. \item %$\displaystyle\lim_{\substack{x \to - 1\\ x > -1}} f(x) = - \infty$. VRAI : limite de la fonction ln en 0. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la facture de gaz (en milliers d'euros) d'une entreprise pour les années 2000 à 2007. % %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{1.3} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année&2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006&2007\\ \hline %Rang $x_{i}$ de l'année& 0& 1& 2&3&4& 5& 6& 7\\ \hline %Montant $y_{i}$ (en milliers d'euros) de la facture de gaz&\multirow{2}{0.96875cm}{ 105}& \multirow{2}{0.96875cm}{ 112} &\multirow{2}{0.96875cm}{116}&\multirow{2}{0.96875cm}{120}& \multirow{2}{0.96875cm}{124} &\multirow{2}{0.96875cm}{131} &\multirow{2}{0.96875cm}{139}& \multirow{2}{0.96875cm}{148}\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~milliers d'euros sur l'axe des ordonnées en commençant à 50~milliers). Voir à la fin de l'exercice. \item On utilise un ajustement affine comme premier modèle. \begin{enumerate} \item %Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite ($D$) de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième. La calculatrice donne après arrondi des coefficients au dixième : $y = 5,8x + 104,2$. \item %Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l'année 2012. 2012 correspond au rang $x = 12$, d'où une facture de $y = 5,8 \times 12 + 104,2 = 69,6 + 104,2 = 173,8 \approx 174$ au millier d'euros près. \end{enumerate} \item %Déterminer le pourcentage annuel moyen d'augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l'unité). L'augmentation est en pourcentage le nombre $p$ tel que : $105 \times p^7 = 148 \iff p^7 = \dfrac{148}{105} \iff p = \left(\dfrac{148}{105}\right)^{\frac{1}{7}}$ soit $p \approx 1,05$ soit une augmentation annuelle moyenne de 5\,\%. \item %On envisage un second modèle pour prévoir l'évolution de cette facture ; on considère qu'à partir de 2007, la facture augmentera de 5\:\% chaque année. %Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n}$ le montant (en milliers d'euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l'année $2007 + n$. Ainsi, $u_{0} = 148$. \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{1}$. $u_1 = 1,05u_0 = 1,05 \times 148 = 155,4$. \item %Justifier que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$. D'une année à l'année suivante le montant est multiplié par le même nombre 1,05 : la suite est donc géométrique de premier terme $u_0 = 148$ et de raison $r = 1,05$. \item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. On sait qu'alors pour tout naturel $n, \:\: u_n = u_0 \times r^n = 148 \times 1,05^n$. \item %Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce second modèle pour l'année 2012. 2012 correspond ici au rang 5, donc $u_5 = 148 \times 1,05^5 \approx 188,89 \approx 189$~milliers d'euros au millier près. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.09cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,55) \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,50)} \multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,55) \psdots(0,5)(1,12)(2,16)(3,20)(4,24)(5,31)(6,39)(7,48) \uput[u](7,0){rang de l'année} \uput[r](0,53){Montant de la facture de gaz en milliers d'euros} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : % %\og Le premier jour, nous vous offrons 100 \euro{} puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5\,\% de plus que la veille et une somme fixe de 20 \euro. % %Au bout de combien de jours aurez-vous gagné \np{10000}~\euro{} \fg ? % %\medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_{n}$ le montant total en \euro{} versé à Marc le $n$-ième jour. Ainsi, $u_{1} = 100$. \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{2}$. $u_2 = u_1 \times 1,05 + 20 = 100 \times 1,05 + 20 = 125$~\euro. \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 1,05u_{n} +20$. Si un jour on verse $u_n $ le lendemain on verse 5\,\% de plus soit $1,05u_n$ plus 20~\euro{} soit $u_{n+1} = 1,05u_n + 20$. \end{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_{n} = u_{n} + 400$. \begin{enumerate} \item %Calculer $v_{1}$. $v_1 = u_1 + 400 = 100 + 400 = 500$. \item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison. $v_{n+1} = u_{n+1} + 400 = 1,05u_{n} + 20 + 400 = 1,05u_n + 420 = 1,05\left(u_n + \frac{420}{1,05}\right) = 1,05\left(u_n + 400\right) = 1,05v_n$. L'égalité, vraie pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = 1,05v_n$, montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05, de premier terme $v_1 = 500$. \item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ puis en déduire que On sait que $v_n = 1,05^{n-1}v_1 = 500 \times 1,05^{n-1}$. Or $v_n = u_n + 400 \iff u_n = v_n - 400 = 500 \times 1,05^{n-1} - 400$ % $u_{n} = 500 \times 1,05^{n-1} - 400$. \item %Déterminer, en fonction de $n$, la somme $v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n}$. $v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n} = 500 + 500 \times 1,05^{2-1} + 500 \times 1,05^{3-1} + \cdots + 500 \times 1,05^{n-1} = 500 \times \dfrac{1 - 1,05^n}{1 - 1,05} = \dfrac{500}{- 0,05}\left(1 - 1,05^n \right) = - \np{10000}\left(1 - 1,05^n \right) = \np{10000}\left(1,05^n - 1\right)$. \end{enumerate} \item %Quelle réponse Marc doit-il donner ? Au bout de $n$ jours Marc aura reçu : $u_1 + u_2 + \cdots + u_n = v_1 - 400 + v_2 - 400 + \cdots v_n - 400 = v_1 + v_2 + \cdots + v_n - 400n = \np{10000}\left(1,05^n - 1\right) - 400n$. Il faut donc trouver le plus petit entier $n$ tel que : $\np{10000}\left(1,05^n - 1\right) - 400n \geqslant \np{10000} \iff 1,05^n - 1 - 0,04n\geqslant 1 \iff 1,05^n \geqslant 2 + 0,04n$. La calculatrice donne $1,05^{21} \approx 2,786$ et $2 + 0,04\times 21 = 2,84 >2,786$ ; $1,05^{22} \approx 2,925$ et $2 + 0,04\times 22 = 2,88 < 2,925$. La somme reçue dépassera \np{10000}~\euro au bout de 22 jours. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Deux joueurs Roger et Raphaël disputent un match de tennis. % %Dans cet exercice, on s'intéresse aux points gagnés par Roger lorsqu'il sert (c'est-à-dire lorsqu'il effectue la mise en jeu). % %\medskip % %À chaque point disputé, Roger dispose de deux essais pour son service. S'il rate ces deux essais, il perd le point (on parle de double faute). % %\medskip % %Roger s'apprête à servir. On note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item A l'évènement \og Roger réussit son premier service \fg, %\item B l'évènement \og Roger réussit son second service \fg, %\item G l'évènement \og Roger gagne le point \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On note respectivement $\overline{\text{A}},~\overline{\text{B}}$ et $\overline{\text{G}}$ les évènements contraires respectifs des événements A, B et G. % %Une étude sur les précédents matchs de Roger a permis d'établir que, lorsque Roger sert : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] il réussit dans 75\,\% des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point dans 92\,\% des cas. %\item[$\bullet~$] s'il ne réussit pas son premier essai, il réussit le second dans 96\,\% des cas et lorsque ce %second service est réussi, il gagne le point dans 70\,\% des cas. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On va décrire la situation précédente par un arbre pondéré: % \begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$~}\taput{0,75}} { \TR{$G$}\taput{0,92} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,08} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{0,25}} { \pstree{\TR{$B$~}\taput{0,96}} {\TR{$G$}\taput{0,70} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,30} } \pstree{\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,04}} { \Tn \Tn } } } \end{center} % %\emph{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale arrondie, si nécessaire, au millième.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Reproduire l'arbre ci-dessus et le pondérer à l'aide des données du texte. Voir ci-dessus. \item %Quelle est la probabilité que Roger fasse une double faute ? On a $p\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,25 \times 0,04 = 0,01$. \item %Quelle est la probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point ? Il faut trouver : $p\left(\overline{A} \cap B \cap G \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}(B) \times p_{B}(G) = 0,25 \times 0,96 \times 0,70 = 0,24 \times 0,7 = 0,168$. \item %Montrer que la probabilité que Roger gagne le point est de $0,858$. D'après la loi des probabilités totales : $p(G) = p(A \cap G) + p\left(\overline{A} \cap B \cap G \right)$. Or $p(A \cap G) = p(A) \times p_{A}(G) = 0,75 \times 0,95 = \np{0,7125}$. Donc $p(G) = \np{0,69} + 0,168 = 0,858$. \item %Sachant que Roger a gagné le point joué, quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ? On a $p_{G}(A) = \dfrac{p(G \cap A)}{p(G)} = \dfrac{0,69}{0,858} \approx 0,804$. \item %Les deux joueurs disputent quatre points de suite (Roger servant à chaque fois). On admet que chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. Quelle est la probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des quatre points ? La probabilité est celle de perdre au moins un point. La variable égale au nombre de point(s) gagné(s) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0,858$. La probabilité de gagner les quatre points est : $0,858^4$, donc celle de perdre au moins un point est : $1 - 0,858^4 \approx \np{0,458063} \approx 0,458$ au millième près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1~;~15]$ par : \[B(x) = (x - 5)\text{e}^{u(x)} + 2\quad \text{avec} ~~ u(x) = - 0,02x^2 + 0,2x - 0,5.\] Si $B(x)$ est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte. \medskip \begin{enumerate} \item %On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ et $u'$ la fonction dérivée de la fonction $u$. \begin{enumerate} \item %Calculer $u'(x)$ et démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~15]$, on a : %\[B'(x) = (- 0,04x^2 + 0,4x)\text{e}^{u(x)}.\] $u$ est dérivable sur $[1~;~15]$ et sur cet intervalle : $u'(x) = - 2 \times 0,02x + 0,2 = 0,2 - 0,04x$. De même sur $[1~;~15]$, $B$ est dérivable et : $B'(x) = 1\text{e}^{u(x)} + u'(x) \times (x- 5) \text{e}^{u(x)} = $ $\text{e}^{u(x)}(1 + u'(x)(x - 5)) = \text{e}^{u(x)}\left[ 1 + (0,2 - 0,04x)(x - 5)\right] = \text{e}^{u(x)}\left(1 + 0,2x - 1 - 0,04x^2 + 0,2x\right) = \text{e}^{u(x)}\left(- 0,04x^2 + 0,4x \right)$. \item %Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[1~;~ 15]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $B$. Comme $\text{e}^{u(x)} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $B'(x)$ est celui de $0,4x - 0,04x^2 = 0,04x(10 - x)$. D'où : $\bullet~~$Si $x < 10$, \:$B'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur [1~;~10] de $B(1) = - 5 \text{e}^{u(1)} + 2 = $ $- 5\text{e}^{- 0,32} + 2 \approx - 0,905$ à $B(10)$ ; $\bullet~~$Si $x > 10$, \:$B'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur [10~;~15] de $B(10)$ à $B(15) =$ $ 10\text{e}^{u(15)} + 2 = 10\text{e}^{- 2} \approx 3,35$ ; $\bullet~~$Si $x = 10$, \:$B'(x) = 0$ : $B(10) = 5 \text{e}^{u(10)} = 5 \text{e}^{- 2 + 2 - 0,5} + 2 = 5 \text{e}^{-0,5} + 2 \approx 5,03$ est le maximum de $B$ sur [1~;~15] ; \end{enumerate} \item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. Sur l'intervalle [0~;~10], la fonction $B$ est continue car dérivable strictement croissante d'une valeur $B(0) < 0$ à $B(10) > 0$ : d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe une valeur unique $\alpha \in [0~;~10]$ telle que $f(\alpha) = 0$. La calculatrice donne : $B(2) \approx - 0,5$ et $B(3) \approx 1,2$, donc $2 < \alpha < 3$ ; $B(2,7) \approx - 0,07$ et $B(2,8) \approx 0,003$, donc $2,7 < \alpha < 2,8$ ; $B(2,79) \approx - 0,004$ et $B(2,80) \approx 0,003$, donc $2,79 < \alpha < 2,80$. $x$ étant en centaines le nombre minimal d'objets à produire pour réaliser un bénéfice est donc de 280. %Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près) ? On a vu que le maximum de $B$ est obtenu pour $x = 10$ soit la production de \np{1000} pièces. Ce bénéfice maximum est $B(10) \approx 5,033$ soit \np{5033}~\euro. \item %La valeur moyenne $m$ d'une fonction $f$ qui admet des primitives sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ est : %$m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que $B(x) = - 25 \times u'(x)\text{e}^{u(x)} + 2$. On a : $- 25 \times u'(x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = - 25(0,2 - 0,04x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = (-0,5 + x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = (x - 0,5)\text{e}^{u(x)} + 2 = B(x)$ \item %En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de $B$ sur $[1~;~15]$. D'après le résultat précédent, une primitive de $B(x)$ est la fonction définie sur [1~;~15] par $x \longmapsto A(x) = - 25\text{e}^{u(x)} + 2x$. Donc $m = \dfrac{1}{15 - 1}\displaystyle\int_{0}^{15} B(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{14}\left[A(t) \right]_1^{15} = \dfrac{1}{15}\left[A(15) - A(1)\right] =$ $ \dfrac{1}{15}\left[- 25\text{e}^{u(15)} + 2\times 15 - \left(- 25\text{e}^{u(1)} + 2\times 1 \right) \right] =$ $ \dfrac{1}{14}\left(2 - 25\text{e}^{-0,5} + 25\text{e}^{-0,32} - 2 \right) = \dfrac{1}{14}\left(28 - 25\text{e}^{- 2} + 25\text{e}^{- 0,32}\right) \approx 3,055$. \item %Interpréter ce résultat pour l'entreprise. Le bénéfice étant en milliers d'euros le résultat précédent signifie qu'en moyenne le bénéfice de la société sera de \np{3055}~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}