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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{15 juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers~\decofourright\\15 juin 2009}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposées, une seule des trois réponses A, B et C est exacte. Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) désignant la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée. 
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item  %$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{-x}$ est égale à : 

%Réponse \textbf{A} : $0$.
%
%Réponse \textbf{B} : $+ \infty$.
% 
%Réponse \textbf{C} : $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-x} = + \infty$ donc par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{-x} = - \infty$.
\item   %On considère une fonction $u$ définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note $u'$ sa fonction dérivée.
 
%On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à I par : $f(x) = \ln (u (x))$. Si l'on suppose que $u'$ est négative sur I alors : 

%Réponse \textbf{A} : on ne peut pas déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
%
%Réponse \textbf{B} : la fonction $f$ est décroissante sur I.
%  
%Réponse \textbf{C} : la fonction $f$ est croissante sur I. 
On a sur I, \:$f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} < 0$ car le numérateur est négatif et le dénominateur positif ; la dérivée est négative : la fonction $f$ est strictement décroissante sur I.
\item   %Dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$, l'ensemble des solutions de l'inéquation \mbox{$2 \ln x - 1 > 1$} est : 

%Réponse \textbf{A} : $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right]$
% 
%Réponse \textbf{B} : $]1~;~+ \infty[$.
%
%Réponse \textbf{C} : $]\text{e}~;~+ \infty[$.
$2 \ln x - 1 > 1 \iff 2\ln x > 2 \iff \ln x > 1 \iff \text{e}^{\ln x} > \text{e}^1 \iff x > \text{e}$ ; l'ensemble des solutions est $]\text{e}~;~+ \infty[$.   
\item   %Dans $\R$, l'équation $\text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} - 3 = 0$ : 

%Réponse \textbf{A} : admet une unique solution.
%
%Réponse \textbf{B} : admet exactement deux solutions.
% 
%Réponse \textbf{C} : n'admet aucune solution.
Posons $X = \text{e}^x$, alors l'équation s'écrit :

$X^2 + 2X - 3 = 0$. On a $\Delta = 4 - 12 = 16 = 4^2$ ; il y a deux solutions :

$X_1 = \dfrac{- 2 + 4}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{- 2 - 4}{2} = - 3$.

On a donc $X_1 = 1 = \text{e}^x \iff x = 0$ ou $X_2 = - 3 = \text{e}^x$ qui n'a pas de solution. Il y a une seule solution : 0. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.
%
%\medskip
%
%On note $A$ l'évènement : \og Une pièce prélevée au hasard  dans la collection présente le défaut $a$ \fg.
%
%On note $B$ l'évènement : \og Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut $b$ \fg. 
% 
%On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires respectifs de $A$ et $B$.
% 
%On donne les probabilités suivantes : $p(A) =  0,2 ~;~ p(B) = 0,1$ et $p(A\cup B) =  0,25$. 
%
%\emph{Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.} 
%
%\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que la probabilité de l'évènement : \og  une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts \fg{} est égale à $0,05$.
On sait que $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) \iff  p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cup B) = 0,2 + 0,1 - 0,25 = 0,05$.
\item %Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On a $p(A \cap B) = 0,05$ et $p(A) \times p(B) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$.

$p(A \cap B) \ne  p(A) \times p(B)$ : les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
\item %Démontrer que la probabilité de l'évènement \og une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts \fg{} est égale à $0,75$.
La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts est $p\left(\overline{A \cup B}\right) = 1 - p(A \cup B) = 1 - 0,25 = 0,75$. 
\item %Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut $b$. Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut $a$.
Il faut trouver $p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,05}{0,10} = \dfrac{1}{2} = 0,5$. 
\item %Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut $b$. Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut $a$.
Il faut trouver $p_{\overline{B}}(A) = \dfrac{p\left(\overline{B} \cap A\right)}{p\left(\overline{B}\right)}$.

Or d'après la loi des probabilités totales :

$p(A) = p(A \cap B) + p\left(A \cap \overline{B}\right) \iff  p\left(A \cap \overline{B}\right) = p(A) - p(A \cap B) = 0,2 - 0,05 = 0,15$.

Donc  $p_{\overline{B}}(A) = \dfrac{0,15}{1 - 0,1} = \dfrac{0,15}{0,9} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6} \approx 0,17$ au centième près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer la probabilité qu'une seule des trois pièces soit sans défaut.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n= 3$ et $p = p\left(\overline{A \cup B}\right) = 0,75$.

Donc la probabilité qu'une seule des pièces soit sans défaut est :
 
$3 \times 0,75 \times (1 - 0,75)^2 = 2,25 \times 0,0625 = \np{0,140625} \approx 0,14$. 
\item  %Calculer la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut.
La probabilité qu'aucune des trois pièces n'ait de défaut est $0,75^3$, donc la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut est égale à 

$1 - 0,75^3 = \np{0,578128} \approx 0,58$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 10\,\% des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus. 
%\item 15\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note, pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize} 
%\item $a_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois soit favorable à ce groupe politique. 
%\item $b_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois ne soit pas favorable à ce groupe politique. 
%\item $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$, la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de $n$ mois. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $M$ la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel $n$ : \mbox{$P_{n + 1} = P_{n} \times  M$}.
%
%\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la matrice $P_{0}$ donnant l'état probabiliste initial.
On a au départ $P_0 = \begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$. 
\item  ~%Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,9} \rput(5.2,1){0,85}
\rput(2.5,2){0,1} \rput(2.5,0){0,15}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  On admet que $M = \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,15&0,85 \end{pmatrix}$.

%Déterminer la matrice $P_{2}$ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).
On sait que $P_2 = P_0 \times M^2$ ; or 

$M^2 = \begin{pmatrix} 0,825&0,175\\\np{0,2625}&\np{0,7375}\end{pmatrix}$, donc 

$P_2 = \begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,825&0,175\\\np{0,2625}&\np{0,7375}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,54375}&\np{0,45625}\end{pmatrix}$ soit $M \approx \begin{pmatrix}0,54&0,46\end{pmatrix}$ en arrondissant au centième.
\item  %Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
Les coefficients de la matrice de transition ne sont pas nuls, donc la matrice $P_n$ converge vers la matrice stable $P = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ avec $a + b = 1$ telle que :

$P = P \times M \iff \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,15&0,85 \end{pmatrix}$ avec $a + b = 1$ soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
a		&=		&0,9a + 0,15b\\
b		&=		&0,1a + 0,85b\\
a + b	&=		&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,1a - 0,15b	&=& 0\\
-0,1a + 0,15b	&=& 0\\
a + b			&=&1
\end{array}\right. \iff$ 


$\left\{\begin{array}{l c l}
a - 1,5b	&=& 0\\
a + b		&=&1
\end{array}\right.\Rightarrow 2,5b = 1 \iff b = \dfrac{1}{2,5} = \dfrac{4}{10} = 0,4$, d'où $a = 0,6$. 

L'état stable est $P = \begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}$. À terme le groupe politique aura 60\,\% d'opinions favorables.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,15$ pour tout entier naturel $n$.
La matrice $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ avec $a_n + b_n = 1$ traduit l'état probabiliste au bout de $n$ mois et l'on sait que :

$P_{n+1} = P_n \times M \iff  \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,15&0,85 \end{pmatrix}$donc on a le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,9a_n + 0,15b_n\\
b_{n+1}&=&0,1a_n + 0,85b_n\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,9a_n + 0,15(1 - a_n)\\
b_{n+1}&=&0,1a_n + 0,85b_n\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&0,75a_n + 0,15\\
b_{n+1}&=&0,1a_n + 0,85b_n\\
b_n&=&1 - a_n
\end{array}\right.$.

Conclusion : pour tout entier $n, \: a_{n+1} = 0,75a_n + 0,15$.
\item  %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n} = a_{n} - 0,6$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,75$.
Pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = a_{n+1} - 0,6 = 0,75a_n + 0,15 - 0,6 =  0,75a_n - 0,45 = 0,75\left(a_n - \frac{0,45}{0,75}\right) = 0,75\left(a_n - 0,6\right) = 0,75u_n$.

L'égalité $u_{n+1} = 0,75u_n$, vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $u_0 = a_0 - 0,6 = 0,5 - 0,6 = - 0,1$.
		\item %En déduire que $a_{n} = - 0,1 \times (0,75)^n + 0,6$ pour tout entier naturel $n$.
On sait que pour tout naturel $n,\: u_n = u_0 \times 0,75^n = - 0,1 \times 0,75^n$.
		
Or $u_{n} = a_{n} - 0,6 \iff a_{n} = u_n + 0,6 = - 0,1 \times 0,75^n + 0,6 = 0,6 - 0,1 \times 0,75^n$. 
		\item %Calculer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.
Comme $0 < 0,75 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,75^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = 0,6$.

Ce résultat est cohérent avec le résultat trouvé plus haut.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.
% 
%Le tableau suivant indique la quantité extraite $y_{i}$ en tonnes durant l'année désignée par son rang $x_{i}$ : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 					&1963 &1968 &1973 	&1978 &1983 &1988 &1993 &1998 &2003 &2008\\ \hline 
%Rang $x_{i}$ de l'année	&0 	  &1 	&2 		&3 		&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline 
%Quantité extraite 
%$y_{i}$ en tonnes		& 18,1&15,7 &13,3 	&11		&9,3 &7,8 &7,1 &6,1 &5,2 &4,3 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O~;~I,~J) de \textbf{l'annexe 1}. Les unités graphiques de ce repère sont 1~cm en abscisse et 0,5~cm en ordonnée. 
%
%Dans cet exercice, on désigne par la variable $y$ la quantité extraite en tonnes et par la variable $x$ le rang de l'année.
%
%\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
%En première approximation, on envisage de représenter $y$ en tant que fonction affine de $x$.
% 
%La droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation $y = -1,5 x + 16,5$ dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.
%
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de \textbf{l'annexe 1}.
On a G$(4,5~;~9,79)$. Voir la figure ci-dessous. 
\item  %Tracer la droite $D$ dans le repère de \textbf{l'annexe 1}.
Voir la figure ci-dessous.  
\item  %En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ? 
2013 correspond au rang $x = 10$, d'où suivant ce modèle :

$- 1,5 \times 10 + 16,5 = 1,5$~tonne de minerai.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%On admet que la courbe tracée en \textbf{annexe 1} représente un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$ et que son équation est de la forme $y = k \text{e}^{px}$ où $k$ est un entier naturel et $p$ un nombre réel.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013. 
On lit à peu près 3,7~tonnes de minerai.
\item  %En supposant que la courbe passe par les points A(0~;~18) et B(3~;~11,2), calculer l'entier naturel $k$ et le réel $p$ dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième. 

$\left\{\begin{array}{l c l}
\text{A}&\in&C\\
\text{B}&\in&C\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
18	&=&k \text{e}^{p\times 0}\\
11,2&=&k \text{e}^{p\times 3}\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
18	&=&k\\
11,2&=&18 \text{e}^{3p}\\
\end{array}\right.\iff$


$\left\{\begin{array}{l c l}
18	&=&k\\
\dfrac{11,2}{18}&=&\text{e}^{3p}\\
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
18	&=&k\\
\ln \left(\frac{11,2}{18} \right)&=&3p\\
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
18	&=&k\\
\dfrac{1}{3}\ln \left(\frac{11,2}{18} \right)&=&p\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
18		&=		&k\\
- 0,158	&\approx& p\\
\end{array}\right.$

On a donc comme équation de la courbe :

\[y = 18 \text{e}^{-0,16x}.\]

\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip

%On effectue le changement de variable $z = \ln y$ et on pose $z_{i}= \ln y_{i}$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0	&1		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 \\ \hline
$z_{i}$&2,90&2,75	&2,59	&2,40	&2,23	&2,05	&1,96	&1,81	&1,65	&1,46 \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\item  %À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne en arrondissant les coefficients au centième :

 $z = - 0,16x + 2,89$. 
\item  %En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k\text{e}^{px}$ et retrouver ainsi, en arrondissant $k$ au dixième, les coefficients $k$ et $p$ calculés à la question 2. de la deuxième partie.
Pour $y > 0$, on a $z = \ln y  = - 0,16x + 2,89 \iff y = \text{e}^{- 0,16x + 2,89} = \text{- 0,16x} \times  \text{e}^{2,89}$

Or $\text{e}^{2,89} \approx 17,993 \approx 18,0$ arrondi au dixième près.

Donc $y = 18\text{e}^{- 0,16x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
%\[f(x) = \dfrac{5\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\] 
%
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0) = 0$. 
%
%Dans le repère orthonormal d'unité 2~cm de l'annexe 2, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée représente la fonction $f$  et la droite $D$ est sa tangente au point A$\left(0~;~\dfrac{5}{2}\right)$. 
%
%\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
\begin{enumerate}
\item  %La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptotes en $- \infty$ la droite d'équation $y = 0$ et en $+ \infty$ la droite d'équation $y = 5$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = 5$.
\item  %Démontrer que, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) = \dfrac{5\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
Le dénominateur étant supérieur à 1 donc non nul $f$ est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = \dfrac{5\text{e}^x\left(\text{e}^x + 1 \right) - 5\text{e}^x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{5\text{e}^{2x} + 5\text{e}^x - 5\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{5\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
Quotient de deux termes positifs quel que soit le réel $x$, $f'(x) > 0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante de $\dfrac{5}{2}$ à 5. 
\item  %En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite $D$.
Une équation de $D$ est de la forme  : $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

On a $f(0) = \dfrac{5}{2}$ (énoncé) et $f'(0) = \dfrac{5}{(1 + 1)^2} = \dfrac{5}{4}$, d'où :

$y -  \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{4}x \iff y = \dfrac{5}{4}x + \dfrac{5}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$, exprimer $F(x)$ en fonction de $x$. 
Posons $u(x) = \text{e}^x + 1$, alors $u'(x) = \text{e}^x$, donc $f(x) = 5\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ qui est la dérivée de $5\ln [u(x)] = 5\ln \left[ \text{e}^x + 1 \right]$.

Donc on a $F(x) = 5\ln \left[ \text{e}^x + 1 \right] + K$, avec $K \in \R$ et comme 

$F(0) = 0 \iff 5\ln \left[ \text{e}^0 + 1 \right] + K = 0 \iff 5\ln 2 + K = 0 \iff K = - 5\ln 2$, on a finalement :

$F(x) = 5\ln \left[ \text{e}^x + 1 \right] - 5\ln 2$ ou encore $F(x) = 2\left(\left[ \text{e}^x + 1 \right] - \ln 2 \right) = 5 \left(\ln \dfrac{\text{e}^x + 1}{2}\right)$.
\item %Vérifier que $F(1) = 5\ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$.
On a $F(1) =  5 \left(\ln \dfrac{\text{e}^1 + 1}{2}\right) =  5\ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$.
\item  %Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
On a vu que la fonction $f$ ne prend que des valeurs positives donc l'aire de la surface est égale, en unités d'aire à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = 5\ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right) - 0 = 5\ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)  \approx 3,100$ soit 3,1~unités d'aire. (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure)
%Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième. 
 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

(À remettre avec la copie)

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-1,-5)(17,20)
\multido{\n=-0+0.5}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,20)}
\multido{\n=-0+1}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(17,20)
\psdots[dotstyle=+](0,18.1)(1,15.7)(2,13.3)(3,11)(4,9.3)(5,7.8)(6,7.1)(7,6.1)(8,5.2)(9,4.3)
\psdots[dotstyle=+,linecolor=blue](4.5,9.79)\uput[ul](4.5,9.79){\blue G}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{17}{18 2.71828 x 0.158153 mul exp div}
\uput[d](17,0){$x$} \uput[l](0,19.5){$y$}
\uput[d](8.5,-2){\small rang de l'année}
\rput(3,19){\small quantité en tonnes}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=1.33333cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,5)
\multido{\n=-4.5+0.25}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-1.5)(\n,5)}
\multido{\n=-1.5+0.25}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](-4.5,\n)(4.5,\n)}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3.2}{2}{2.5 x 1.25 mul add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{4.5}{2.71828 x  exp 5 mul  2.71828 x  exp 1 add div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,5)
\uput[d](4.5,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](-2.5,-0.7){$D$} \uput[d](3.5,4.8){$\mathcal{C}_{f}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{2.71828 x  exp 5 mul  2.71828 x  exp 1 add div}
\psline(1,0)(0,0)
}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=1.25pt](0,\n)(1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}