\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{latexsym} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-tree,pst-plot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Centres étrangers juin 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{17 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 17 juin 2008~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de \og journées participant \fg{} est de $5 \times 10$ soit $50$. % %Le tableau suivant donne le nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2004. L'année 1997 a le rang 0. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Années &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004\\ \hline %Rang de l'année : $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline %Nombre de \og journées %participant \fg{} : $y_{i}$ &50 &130 &200 &240 &250 &280 &300 & 320\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2003 De 1997 à 2000, augmentation de $\dfrac{240 - 50}{50} \times 100 = 380$\,\%. De 2000 à 2003, $\dfrac{300 - 240}{240}\times 100 = 25$\,\%. \item %Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint. %\medskip % %\begin{center} %\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm} %\begin{pspicture}(-1,-50)(10,400) %\psframe(-1,-50)(10,400) %\multido{\n=0+50}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(8,\n)} %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=0,Dy=50]{->}(0,0)(10,400) %\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,50)(1,130)(2,200)(3,240)(4,250)(5,280)(6,300)(7,320) %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip %On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent. %L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme $y = k\ln (ax + b)$ où $k,~a$ et $b$ sont trois nombres réels. Pour cela on pose : $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$. % %\textbf{Dans cette question les calcul. seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.} \begin{enumerate} \item~ %Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Nombre de \og journées participant \fg{} : $y_{i}$ &50 &130 &200 &240&250 &280 &300 &320\\ \hline \rule[0.3cm]{0pt}{5pt}$z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$&1,65 &3,67 &7,39 &11,02&12,18&16,44 &20,09&25,43\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item ~$z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$%Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthonormal (unités : 1~cm) \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(10,26) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](0,0)(10,26) \multido{\n=0.5+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,26)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(10,26) \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,1.65)(1,3.67)(2,7.39)(3,11.02)(4,12.18)(5,16.44)(6,20.09)(7,25.43) \uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,25.6){$z$} \psdots[linecolor=blue](3.5,12.12)\uput[ul](3.5,12.12){\blue G} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.8}{3.22 x mul 0.85 add} \end{pspicture} \end{center} \medskip \item %Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent. Le point moyen G a pour coordonnées (3,5~;~12,12). \item %Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le graphique précédent. La calculatrice donne $z = 3,22x + 0,85$ comme équation de (D). \item %Sachant que $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$ déterminer l'expression de $y$ en fonction de $x$. $z = \text{e}^{\frac{y}{100}} = 3,22x + 0,85 \iff \frac{y}{100} = \ln (3,22x + 0,85) \iff$ $ y = 100\ln (3,22x + 0,85)$. \end{enumerate} \item %On suppose que l'évolution du nombre de \og journées participant \fg{} se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent. \begin{enumerate} \item %Estimer, à l'unité près, quel serait le nombre de \og journées participant \fg{} prévu pour l'année 2007. 2007 correspond au rang $x = 10$. D'après ce modèle exponentiel le nombre de \og journées participant \fg{} sera de : $100\ln (3,22 \times 10 + 0,85) = 100\ln 40,05 \approx 349,8 \approx 350$. \item %En réalité, le nombre de \og journées participant \fg{} en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieure à 10\,\% de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ? Pourcentage d'erreur : $\dfrac{390 - 350}{390} \times 100 = \dfrac{40}{390} \times 100 = \dfrac{4}{39} \times 100 \approx 10,26$\,\%. Conclusion : le modèle n'est pas pertinent. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée. % %Son matériel est constitué de 50\,\% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée. % %Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé. % %Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation. % %\medskip % %Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[] Sp : \og La fiche est celle d'une paire de skis de piste \fg{} ; %\item[] Sn : \og La fiche est celle d'un snowboard \fg{} ; %\item[] Sr : \og La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée \fg{} ; %\item[] R : \og Le matériel nécessite une réparation \fg{} ; $\overline{\text{R}}$ est son évènement contraire. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %\emph{Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \begin{enumerate} \item ~%Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication). \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$Sp$~}\taput{0,50}} {\TR{$R$}\taput{0,50} \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,50} } \pstree{\TR{$Sn$}\taput{0,25}} {\TR{$R$}\taput{$\frac{2}{3}$} \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{1}{3}$} } \pstree{\TR{$Sr$~}\tbput{0,25}} {\TR{$R$}\taput{0,25} \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,75} } } \end{center} \medskip \item %Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation. On a $p\left(Sp \cap \overline{R}\right) = p(Sp) \times p_{Sp}\left(\overline{R} \right) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$. \item %Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation. On a de même : $p\left(Sn \cap \overline{R}\right) = p(Sn) \times p_{Sn}\left(\overline{R} \right) = 0,25 \times \frac{1}{3} = \frac{0,25}{3}$. $p\left(Sr \cap \overline{R}\right) = p(Sr) \times p_{Sr}\left(\overline{R} \right) = 0,25 \times 0,75 = \np{0,1875}$. D'après la loi des probabilités totales : $p\left(\overline{R}\right) = p\left(Sp \cap \overline{R}\right) + p\left(Sn \cap \overline{R}\right) + p\left(Sr \cap \overline{R}\right) = 0,25 + \frac{0,25}{3} + \np{0,1875} = \frac{0,75 + 0,25 + 0,5625}{3} = \frac{\np{1,5625}}{3} = \frac{\np{15625}}{\np{30000}} = \dfrac{25}{48}$. \item %La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. On a $p(R) = 1 - p\left(\overline{R}\right) = 1 - \dfrac{25}{48} = \dfrac{23}{48}$. %Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ? Donc $p_{R}\left(Sn \right) = \dfrac{p\left(Sn \cap R \right)}{p(R)} = \dfrac{0,25 \times \frac{2}{3}}{\frac{23}{48}} = \dfrac{0,5 \times 48}{3 \times 23} = \dfrac{8}{23}$. \item %Les paires de skis de piste, de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30~\euro{} pour la journée. %Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20~\euro{} au loueur ? Le gain pour un matériel loué est de 30~\euro{} s'il ne doit pas être réparé, probabilité de $\dfrac{25}{48}$ ou de 10~\euro{} s'il doit être réparé, probabilité de $\dfrac{23}{48}$ L'espérance de gain est donc : E $ = 30 \times \dfrac{25}{48} + 10 \times \dfrac{23}{48} = \dfrac{750 + 230}{48} = \dfrac{980}{48} \approx 20,416$ soit environ 20,42~(\euro){} par matériel loué. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait $50$ adhérents en 2000. % %Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit $18$ ~nouvelles adhésions et que %85\,\% des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. % %On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année $2000 + n$ ; % %on a donc $a_{0} = 50$ et $a_{n+1} = 0,85a_{n} + 18$ %pour tout entier naturel $n$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n} = a_{n} - 120$ pour tout $n \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout $n \geqslant 0$, \:$u_{n+1} = a_{n+1} - 120 = 0,85a_{n} + 18 - 120 = 0,85a_n - 102 = 0,85\left(a_n - \frac{102}{0,85}\right) = 0,85\left(a_n - 120\right) = 0,85u_n$. L'égalité $u_{n+1} = 0,85u_n$ vraie pour tout $n \geqslant 0$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_0 = a_0 - 120 = 50 - 120 = - 70$. \item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n} = 120 - 70 \times 0, 85^n$. On sait que pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n = - 70 \times 0,85^n$. Or $u_{n} = a_{n} - 120 \iff a_n = u_n + 120 = 120 - 70 \times 0,85^n$. \item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat. Comme $0< 0,85 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,85^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 120$. Ceci signifie qu'à terme le nombre d'adhérents va plafonner à 119 (puisque 120 n'est jamais atteint). \end{enumerate} \item %Chaque semaine, 60\,\% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40\,\% pour deux heures de gymnastique. \begin{enumerate} \item %Exprimer en fonction de $n$ le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'an $2000 + n$. Au départ il faut $e_0 = 1\times 0,6 \times 50 + 2 \times 0,4 \times 50 = 50 \times 1,4 = 70$ heures de gymnastique. Si la répartition se maintient avec les nouveaux adhérents il faudra prévoir un nombre d'heures $e_n$ tel que : $e_n = 1 \times 0,6 \times a_n + 2\times 0,4 \times a_n = 1,4a_n$, soit $e_n = 1,4\left(120 - 70 \times 0,85^n \right) = 168 - 98\times 0,85^n$. \item %Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors $n$ doit vérifier l'inéquation $98 \times 0,85^n < 8$. On vient de voir que le nombre d'heures de gymnastique était pour l'année $2000 + n$, \: $e_n = 168 - 98\times 0,85^n$. Donc à raison de 20 participants par heure il faut trouver un nombre entier $n$ de séances tel que : $\dfrac{168 - 98\times 0,85^n}{20} > 8 \iff 168 - 98\times 0,85^n > 160 \iff 98 \times 0,85^n < 8 \iff 0,85^n < \frac{8}{98} \iff n \ln 0,85 < \ln \left(\frac{8}{98} \right)\iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{8}{98} \right)}{\ln 0,85} \approx 15,4$. Le plus entier est $n = 16$, soit en 2016. %Résoudre cette inéquation et conclure. %\emph{ Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Cet exercice est un Q. C. M. (Questionnaire à Choix Multiples).} % %\emph{Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} % %\emph{Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} % %\bigskip % {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{8cm}|X|}\hline %&QUESTIONS& RÉPONSES\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q1}& \multirow{3}{8cm}{D'une année sur l'autre, un produit perd 10\,\% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70\,\% de sa valeur initiale au bout de :}& \textbf{a.}~~ 7 années\\ % &&\textbf{b.}~~11 années\\ % &&\textbf{c.}~~ 12 années\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q2}& \multirow{3}{8cm}{Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :}&\textbf{a.}~~ $(0,4)^8$\\ %&&\textbf{b.}~~ $(0,6)^8$\\ %&&\textbf{c.}~~ $1 - (0,6)^8$\\ %&& \\\hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q3}& \multirow{3}{8cm}{$F$ est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 1$. On a }&\textbf{a.}~~ $F(0) = 1$\\ %&&\textbf{b.}~~ $F(0) = - \dfrac{4}{3}$\\ %&&\textbf{c.}~~ $F(0) = \dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q4}& \multirow{3}{8cm}{$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{3x}$. On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère. La tangente ($\mathcal{T}$) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur :}&\textbf{a.}~~$0$\\ %&&\textbf{b.}~~ $1$\\ %&&\textbf{c.}~~ $3$\\ %&&\\ \hline %\end{tabularx}} \begin{enumerate} \item Il faut résoudre l'inéquation $0,9^n < 0,3 \iff n \ln 0,9 < \ln 0,3 \iff n > \frac{\ln 0,3}{\ln 0,9}\approx 11,4$ : le plus petit entier est donc $n = 12$. \item La probabilité que l'événement ne se produise jamais est $0,6^8$ ; donc la probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à $1 - 0,6^8$. \item On a $F(x) = \frac{x^3}{3} + x + C$, avec $C \in \R$. Or $F(1) = 0 \iff \frac{1}{3} + 1 + C = 0 \iff C = - \frac{4}{3}$. Donc $F(x) = \frac{x^3}{3} + x - \frac{4}{3}$ et $F(0) = - \frac{4}{3}$. \item $f(0) < 0$ puisque $0 < 2$. \item $x = 3$. \item Par composition de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln [f(x)] = + \infty$. \item Puisque $F'(x) = f(x)$, le signe de la dérivée de $F(x)$ est celui de $f(x)$. Sur $]- 3~;~2[$, on a $f(x) < 0$, donc $F$ est décroissante sur cet intervalle. %Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~ - 3[$. On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère.\\ % %\medskip % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(9,3.5) %\psframe(9,3.5) \psline(0,3)(9,3) \psline(1,0)(1,3.5) %\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.45,3){$- \infty$} \uput[u](3,3){$-3$} \uput[u](5,3){$-2$} %\uput[u](7,3){$2$} \uput[u](8.8,3){$3$} \put(0.3,1.5){$f(x)$} \uput[d](1.45,3){$+ \infty$} %\rput(3,1.55){$0$} \uput[u](5,0){$-2$} \rput(7,1.65){0} \uput[d](8.6,3){$+ \infty$} %\psline{->}(1.7,2.5)(4.6,0.4) \psline{->}(5.4,0.4)(8.3,2.7) %\end{pspicture} %\end{center} %{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|X|}\hline %&QUESTIONS& RÉPONSES\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q5}& \multirow{3}{7cm}{On peut affirmer que :}&\textbf{a.}~~ $f(0) < 0$\\ % &&\textbf{b.}~~$f(0) = 0$\\ % &&\textbf{c.}~~ $f(0) > 0$\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q6}& \multirow{3}{7cm}{La courbe ($\mathcal{C}$) admet pour asymptote la droite d'équation :}&\textbf{a.}~~ $x = 0$\\ %&&\textbf{b.}~~ $x = 3$\\ %&&\textbf{c.}~~ $y = 3$\\ %&& \\\hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q7}& \multirow{3}{7cm}{$g$ est la fonction définie par $g(x) = \ln [f(x)]$ sur l'intervalle $]- \infty~;~-3[$. La limite de $g$ en $- \infty$ :}&\textbf{a.}~~ est $- \infty$\\ %&&\textbf{b.}~~ est $+ \infty$\\ %&&\textbf{c.}~~ n'existe pas\\ \hline %\multirow{3}{0.5cm}{Q8}& \multirow{3}{7cm}{$F$ désigne une primitive de $f$ sur $] - \infty~;~3[$. $F$ est : }&\textbf{a.}~~strictement décroissante sur $] - \infty~;~3[$\\ %&&\textbf{b.}~~ strictement décroissante sur $]-3~;~2[$\\ %&&\textbf{c.}~~ strictement croissante sur $]-2~;~3[$\\ %&&\\ \hline %\end{tabularx}} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+\infty[$ par % % \[f(x) = -3x + 4 + 8 \ln (x + 1).\] % %On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la limite de $f$ en $-1$. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu. On a $\displaystyle\lim_{x \to - 1}- 3x + 4 = 7$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 1}\ln (x + 1) = - \infty$, donc par somme de limites $\ln (x + 1) f(x) = - \infty$. On en déduit que la droite dont une équation est $x = - 1$ est asymptote verticale à $(\mathcal{C})$. \item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra utiliser $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$). On a pour $x \ne 0$, \: $f(x) = x \left( - 3 + \frac{4}{x} + 8\frac{\ln (x 1)}{x} \right)$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln (x 1)}{x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 3 + \frac{4}{x} + 8\frac{\ln (x 1)}{x} = - 3$, puis par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. Démontrer que $f'(x) = \dfrac{5 - 3x}{x + 1}$. On a $f'(x) = - 3 + 8\dfrac{1}{x + 1} = - 3 + \dfrac{8}{x + 1} = \dfrac{- 3x - 3 + 8}{x + 1} \dfrac{5 - 3x}{x + 1}$. \item %Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$. On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. Sur $]-1~;~+\infty[$, \:$x + 1 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $5 - 3x$. $5 - 3x = 0 \iff x = \dfrac{5}{3}$. Donc : $\bullet~~$ sur $\left]- 1~;~\frac{5}{3}\right[$, \: $f(x) > 0$ : la fonction est croissante ; $\bullet~~$ sur $\left]\frac{5}{3}~;~+ \infty\right[$, \: $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante. On a donc un maximum $f\left(\frac{5}{3} \right) = - 3\times \frac{5}{3} + 4 + 8 \ln (\frac{5}{3} + 1) = - 5 + 4 + 8\ln \frac{8}{3}= 8\ln \frac{8}{3} - 1 \approx 6,85 \approx 6,9$. \end{enumerate} \item %On se place dans l'intervalle $\left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $x_{0}$. Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près. On a vu que sur l'intervalle $\left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$, la fonction est continue, car dérivable et strictement décroissante de $f\left(\frac{5}{3} \right) > 0$ à moins l'infini : d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe donc un seul réel $x_0 \in \left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$ tel que $f\left(x_0 \right) = 0$. La calculatrice donne : $f(6) \approx 1,5$ et $f(7) \approx - 0,4$, donc $6 < x_0 < 7$ ; $f(6,8) \approx 0,03$ et $f(6,9) \approx - 0,2$ donc $6,8 < x_0 < 6,9 $ : $f(6,81) \approx 0,001$ et $f(6,82) \approx - 0,05$, donc $6,81 < x_0 < 6,82$. \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que la fonction $F$ définie par %\[F(x) = - \dfrac{3}{2}x^2 - 4x + 8(x+1) \ln (x + 1)\] %est une primitive de $f$ sur $]-1~;~ +\infty[$. On a $f'(x) = - \dfrac{3}{2} \times 2x - 4 + 8\times 1 \times \ln (x + 1) + 8(x + 1) \times \dfrac{1}{x + 1} =$ $ - 3x - 4 + 8\ln (x + 1) + 8 = - 3x + 4 + 8\ln (x + 1) = f(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]-1~;~ +\infty[$.. \item %Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). Sur l'intervalle [0~;~5], la fonction $f$ est décroissante de $f(0) = 4$ à $f(5) \approx 3,33$ ; elle est donc positive sur cet intervalle et l'aire demandée est donc égale à l'intégrale $\displaystyle\int_0^5 f(x) \:\text{d}x = [F(x)]_0^5 = F(5) - F(0) =$ $ - \dfrac{3}{2} \times 5^2 - 4 \times 5 + 8\times (5 +1) \ln (5 + 1) - \left[- \dfrac{3}{2}\times 0 - 4\times 0 + 8(0+1) \ln (0 + 1) \right] = - \dfrac{75}{2}- 20 + 48 \ln 6 + 0 = 48 \ln 6 - \dfrac{115}{2} \approx 28,5$~unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}