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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{17 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 17 juin 2008~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de \og journées participant \fg{} est de $5 \times 10$ soit $50$. 
%
%Le tableau suivant donne le nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2004. L'année 1997 a le rang 0.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Années						&1997 	&1998	&1999	&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
%Nombre de \og journées 
%participant \fg{} : $y_{i}$	&50		&130	&200	&240	&250	&280	&300	& 320\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de \og journées participant \fg{} de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2003
De 1997 à 2000, augmentation de $\dfrac{240 - 50}{50} \times 100 = 380$\,\%.

De 2000 à 2003, $\dfrac{300 - 240}{240}\times 100 = 25$\,\%. 
\item  %Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint.

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
%\begin{pspicture}(-1,-50)(10,400)
%\psframe(-1,-50)(10,400)
%\multido{\n=0+50}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(8,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=0,Dy=50]{->}(0,0)(10,400)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,50)(1,130)(2,200)(3,240)(4,250)(5,280)(6,300)(7,320)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

%On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
%L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme $y =  k\ln (ax + b)$ où $k,~a$ et $b$ sont trois nombres réels. Pour cela on pose : $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$.
%
%\textbf{Dans cette question les calcul. seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.}

	\begin{enumerate}
		\item~  %Recopier et compléter le tableau suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline	
Rang de l'année : $x_{i}$		&	0	&1		&2		&3	&4		&5		&6 		&7\\ \hline
Nombre de \og journées 
participant \fg{} : $y_{i}$		&50		&130	&200	&240&250	&280	&300 	&320\\ \hline
\rule[0.3cm]{0pt}{5pt}$z_{i}
 = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$&1,65	&3,67	&7,39	&11,02&12,18&16,44	&20,09&25,43\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  ~$z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$%Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthonormal (unités : 1~cm)
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(10,26)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](0,0)(10,26)
\multido{\n=0.5+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(10,26)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,1.65)(1,3.67)(2,7.39)(3,11.02)(4,12.18)(5,16.44)(6,20.09)(7,25.43)
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,25.6){$z$}
\psdots[linecolor=blue](3.5,12.12)\uput[ul](3.5,12.12){\blue G}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.8}{3.22 x mul 0.85 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

		\item  %Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent.
		Le point moyen G a pour coordonnées (3,5~;~12,12).
		\item  %Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le graphique précédent.
		La calculatrice donne $z = 3,22x + 0,85$ comme équation de (D).
		\item  %Sachant que $z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$ déterminer l'expression de $y$ en fonction de $x$.
$z = \text{e}^{\frac{y}{100}} = 3,22x + 0,85 \iff \frac{y}{100} = \ln (3,22x + 0,85) \iff$

$  y = 100\ln (3,22x + 0,85)$.
	\end{enumerate}
\item %On suppose que l'évolution du nombre de \og journées participant \fg{} se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent.
	\begin{enumerate}
		\item  %Estimer, à l'unité près, quel serait le nombre de \og journées participant \fg{} prévu pour l'année 2007.
2007 correspond au rang $x = 10$. D'après ce modèle exponentiel le nombre de \og journées participant \fg{}  sera de :

$100\ln (3,22 \times 10 + 0,85) = 100\ln 40,05 \approx 349,8 \approx 350$.
		\item  %En réalité, le nombre de \og journées participant \fg{} en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieure à 10\,\% de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ?
Pourcentage d'erreur : $\dfrac{390 - 350}{390} \times 100 =  \dfrac{40}{390} \times 100 = \dfrac{4}{39} \times 100 \approx 10,26$\,\%.

Conclusion : le modèle n'est pas pertinent.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
%
%Son matériel est constitué de 50\,\% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
%
%Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
%
%Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation.
% 
%\medskip
% 
%Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] Sp : \og La fiche est celle d'une paire de skis de piste \fg{} ;
%\item[] Sn : \og La fiche est celle d'un snowboard \fg{} ;
%\item[] Sr : \og La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée \fg{} ; 
%\item[] R  : \og Le matériel nécessite une réparation \fg{} ; $\overline{\text{R}}$ est son évènement contraire.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\emph{Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item  ~%Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$Sp$~}\taput{0,50}}
	{\TR{$R$}\taput{0,50}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,50}
	}
\pstree{\TR{$Sn$}\taput{0,25}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac{2}{3}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
	}
\pstree{\TR{$Sr$~}\tbput{0,25}}
	{\TR{$R$}\taput{0,25}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,75}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item  %Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation.
On a $p\left(Sp \cap  \overline{R}\right) = p(Sp) \times p_{Sp}\left(\overline{R} \right) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$.
\item  %Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.
On a de même : $p\left(Sn \cap  \overline{R}\right) = p(Sn) \times p_{Sn}\left(\overline{R} \right) = 0,25 \times \frac{1}{3} = \frac{0,25}{3}$.

$p\left(Sr \cap  \overline{R}\right) = p(Sr) \times p_{Sr}\left(\overline{R} \right) = 0,25 \times 0,75 = \np{0,1875}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p\left(\overline{R}\right) = p\left(Sp \cap  \overline{R}\right) + p\left(Sn \cap  \overline{R}\right)  + p\left(Sr \cap  \overline{R}\right)  = 0,25 + \frac{0,25}{3} + \np{0,1875} = \frac{0,75 + 0,25 + 0,5625}{3} = \frac{\np{1,5625}}{3} = \frac{\np{15625}}{\np{30000}} = \dfrac{25}{48}$.
\item  %La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. 
On a $p(R) = 1 - p\left(\overline{R}\right) = 1 - \dfrac{25}{48} = \dfrac{23}{48}$.
%Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ?

Donc $p_{R}\left(Sn \right) = \dfrac{p\left(Sn \cap R \right)}{p(R)} = \dfrac{0,25 \times \frac{2}{3}}{\frac{23}{48}} = \dfrac{0,5 \times 48}{3 \times 23} =  \dfrac{8}{23}$.
\item  %Les paires de skis de piste, de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30~\euro{} pour la journée.

%Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20~\euro{} au loueur ?
Le gain pour un matériel loué est de 30~\euro{} s'il ne doit pas être réparé, probabilité de $\dfrac{25}{48}$ ou de 10~\euro{} s'il doit être réparé, probabilité de $\dfrac{23}{48}$

L'espérance de gain est donc :

E $ = 30 \times \dfrac{25}{48} + 10 \times \dfrac{23}{48} = \dfrac{750 + 230}{48} = \dfrac{980}{48} \approx 20,416$ soit environ 20,42~(\euro){} par matériel loué.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait $50$ adhérents en 2000.
%
%Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit $18$ ~nouvelles adhésions et que
%85\,\% des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
%
%On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année $2000 + n$ ;
%
%on a donc $a_{0} =  50$ et $a_{n+1} = 0,85a_{n} + 18$
%pour tout entier naturel $n$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n} = a_{n} - 120$ pour tout $n \geqslant  0$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout $n \geqslant  0$, \:$u_{n+1} = a_{n+1} - 120 = 0,85a_{n} + 18 - 120 = 0,85a_n - 102 = 0,85\left(a_n - \frac{102}{0,85}\right) = 0,85\left(a_n - 120\right) = 0,85u_n$.

L'égalité $u_{n+1} = 0,85u_n$ vraie pour tout $n \geqslant  0$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_0 = a_0 - 120 = 50 - 120 = - 70$.
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n} = 120 - 70 \times 0, 85^n$.
On sait que pour tout $n \geqslant  0$,\: $u_n = - 70 \times 0,85^n$.

Or $u_{n} = a_{n} - 120 \iff a_n = u_n + 120 = 120 - 70 \times 0,85^n$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat.
Comme $0< 0,85 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,85^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 120$.

Ceci signifie qu'à terme le nombre d'adhérents va plafonner à 119 (puisque 120 n'est jamais atteint).
	\end{enumerate}
\item %Chaque semaine, 60\,\% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40\,\% pour deux heures de gymnastique.
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer en fonction de $n$ le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'an $2000 + n$.
Au départ il faut $e_0 = 1\times 0,6 \times 50 + 2 \times 0,4 \times 50 = 50 \times 1,4 = 70$ heures de gymnastique.

Si la répartition se maintient avec les nouveaux adhérents il faudra prévoir un nombre d'heures $e_n$ tel que :

$e_n = 1 \times 0,6 \times a_n + 2\times 0,4 \times a_n = 1,4a_n$, soit 
$e_n = 1,4\left(120 - 70 \times 0,85^n \right) = 168 - 98\times 0,85^n$.
		\item %Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors $n$ doit vérifier l'inéquation $98 \times 0,85^n  < 8$.
On vient de voir que le nombre d'heures de gymnastique était pour l'année $2000 + n$, \: $e_n =   168 - 98\times 0,85^n$.

Donc à raison de 20 participants par heure il faut trouver un nombre entier $n$ de séances tel que :

$\dfrac{168 - 98\times 0,85^n}{20} > 8 \iff 168 - 98\times 0,85^n > 160 \iff 98 \times 0,85^n < 8 \iff 0,85^n < \frac{8}{98} \iff n \ln 0,85 < \ln \left(\frac{8}{98} \right)\iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{8}{98} \right)}{\ln 0,85} \approx 15,4$.

Le plus entier est $n = 16$, soit en 2016. 		
%Résoudre cette inéquation et conclure.
		 
%\emph{ Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un Q. C. M.  (Questionnaire à Choix Multiples).}
%
%\emph{Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\emph{Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
% 
%\bigskip
% {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{8cm}|X|}\hline
%&QUESTIONS& 	RÉPONSES\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q1}& \multirow{3}{8cm}{D'une année sur l'autre, un produit perd 10\,\% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70\,\% de sa valeur initiale au bout de :}&	\textbf{a.}~~  7 années\\
% 	&&\textbf{b.}~~11 années\\ 
%	&&\textbf{c.}~~ 12 années\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q2}& \multirow{3}{8cm}{Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :}&\textbf{a.}~~ $(0,4)^8$\\
%&&\textbf{b.}~~ $(0,6)^8$\\
%&&\textbf{c.}~~ $1 - (0,6)^8$\\ 
%&& \\\hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q3}& \multirow{3}{8cm}{$F$ est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 1$. On a }&\textbf{a.}~~ $F(0) = 1$\\
%&&\textbf{b.}~~ $F(0) = - \dfrac{4}{3}$\\	
%&&\textbf{c.}~~ $F(0) = \dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q4}& \multirow{3}{8cm}{$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{3x}$. On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère. La tangente ($\mathcal{T}$)  à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur :}&\textbf{a.}~~$0$\\
%&&\textbf{b.}~~ $1$\\
%&&\textbf{c.}~~ $3$\\ 
%&&\\ \hline
%\end{tabularx}}
\begin{enumerate}
\item Il faut résoudre l'inéquation $0,9^n < 0,3 \iff n \ln 0,9 < \ln 0,3 \iff n > \frac{\ln 0,3}{\ln 0,9}\approx 11,4$ : le plus petit entier est donc $n = 12$.
\item La probabilité que l'événement ne se produise jamais est $0,6^8$ ; donc la probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à $1 - 0,6^8$.
\item On a $F(x) = \frac{x^3}{3} + x  + C$, avec $C \in \R$.

Or $F(1) = 0 \iff \frac{1}{3} + 1 + C = 0 \iff C = - \frac{4}{3}$.

Donc $F(x) = \frac{x^3}{3} + x - \frac{4}{3}$ et $F(0) = - \frac{4}{3}$.
\item $f(0) < 0$ puisque $0 < 2$.
\item $x = 3$.
\item Par composition de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln [f(x)] = + \infty$.
\item Puisque $F'(x) = f(x)$, le signe de la dérivée de $F(x)$ est celui de $f(x)$.
Sur $]- 3~;~2[$, on a $f(x) < 0$, donc $F$ est décroissante sur cet intervalle.
%Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~ -  3[$. On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère.\\
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,3.5)
%\psframe(9,3.5) \psline(0,3)(9,3) \psline(1,0)(1,3.5)
%\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.45,3){$- \infty$} \uput[u](3,3){$-3$} \uput[u](5,3){$-2$} 
%\uput[u](7,3){$2$} \uput[u](8.8,3){$3$} \put(0.3,1.5){$f(x)$} \uput[d](1.45,3){$+ \infty$} 
%\rput(3,1.55){$0$} \uput[u](5,0){$-2$} \rput(7,1.65){0} \uput[d](8.6,3){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.7,2.5)(4.6,0.4)  \psline{->}(5.4,0.4)(8.3,2.7)
%\end{pspicture}
%\end{center}

%{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|X|}\hline
%&QUESTIONS& 	RÉPONSES\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q5}& \multirow{3}{7cm}{On peut affirmer que :}&\textbf{a.}~~  $f(0) < 0$\\
% 	&&\textbf{b.}~~$f(0) = 0$\\ 
%	&&\textbf{c.}~~ $f(0) > 0$\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q6}& \multirow{3}{7cm}{La courbe ($\mathcal{C}$) admet pour asymptote la droite d'équation :}&\textbf{a.}~~ $x = 0$\\
%&&\textbf{b.}~~ $x = 3$\\
%&&\textbf{c.}~~ $y = 3$\\ 
%&& \\\hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q7}& \multirow{3}{7cm}{$g$ est la fonction définie par $g(x) = \ln [f(x)]$ sur l'intervalle $]- \infty~;~-3[$. La limite de $g$ en $- \infty$ :}&\textbf{a.}~~ est $- \infty$\\
%&&\textbf{b.}~~ est $+ \infty$\\	
%&&\textbf{c.}~~ n'existe pas\\ \hline
%\multirow{3}{0.5cm}{Q8}& \multirow{3}{7cm}{$F$ désigne une primitive de $f$ sur $] - \infty~;~3[$. $F$ est : }&\textbf{a.}~~strictement décroissante sur $] - \infty~;~3[$\\
%&&\textbf{b.}~~ strictement décroissante sur $]-3~;~2[$\\
%&&\textbf{c.}~~ strictement croissante sur $]-2~;~3[$\\ 
%&&\\ \hline
%\end{tabularx}}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+\infty[$ par
%
% \[f(x) = -3x + 4 + 8 \ln (x + 1).\]
% 
%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la limite de $f$ en $-1$. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu.
		On a $\displaystyle\lim_{x \to - 1}- 3x + 4 = 7$ et   $\displaystyle\lim_{x \to - 1}\ln (x + 1) = - \infty$, donc par somme de limites $\ln (x + 1) f(x) = - \infty$.

		On en déduit que la droite dont une équation est $x  = - 1$ est asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.		 
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra utiliser $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$).
On a pour $x \ne 0$, \: $f(x) = x \left( - 3 + \frac{4}{x} + 8\frac{\ln (x  1)}{x} \right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln (x  1)}{x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 3 + \frac{4}{x} + 8\frac{\ln (x  1)}{x} = - 3$, puis par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. Démontrer que $f'(x) = \dfrac{5 - 3x}{x + 1}$.
On a $f'(x) = - 3 + 8\dfrac{1}{x + 1} = - 3 + \dfrac{8}{x + 1} = \dfrac{- 3x - 3 + 8}{x + 1} \dfrac{5 - 3x}{x + 1}$.
		\item  %Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$. On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
		Sur $]-1~;~+\infty[$, \:$x + 1 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $5 - 3x$.

$5 - 3x = 0 \iff x = \dfrac{5}{3}$. Donc :

$\bullet~~$ sur $\left]- 1~;~\frac{5}{3}\right[$, \: $f(x) > 0$ : la fonction est croissante ;

$\bullet~~$ sur $\left]\frac{5}{3}~;~+ \infty\right[$, \: $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante.

On a donc un maximum $f\left(\frac{5}{3} \right) = - 3\times \frac{5}{3} + 4 + 8 \ln (\frac{5}{3} + 1) = - 5 + 4 + 8\ln \frac{8}{3}=  8\ln \frac{8}{3} - 1 \approx 6,85 \approx 6,9$.
	\end{enumerate}

\item %On se place dans l'intervalle $\left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$.	Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $x_{0}$. Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{-2}$ près.
On a vu que sur l'intervalle $\left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$, la fonction est continue, car dérivable et strictement décroissante de $f\left(\frac{5}{3} \right) > 0$ à moins l'infini : d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe donc un seul réel $x_0 \in \left[\dfrac{5}{3}~;~+ \infty\right[$ tel que $f\left(x_0 \right) = 0$.

La calculatrice donne :

$f(6) \approx 1,5$ et $f(7) \approx - 0,4$, donc $6 < x_0 < 7$ ;

$f(6,8) \approx 0,03$ et $f(6,9) \approx - 0,2$ donc $6,8 < x_0 < 6,9 $ :

$f(6,81) \approx 0,001$ et $f(6,82) \approx - 0,05$, donc $6,81 < x_0 < 6,82$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que la fonction $F$ définie par
		 
%\[F(x) = - \dfrac{3}{2}x^2 - 4x + 8(x+1) \ln (x + 1)\]
		
%est une primitive de $f$ sur $]-1~;~ +\infty[$.
On a $f'(x) = - \dfrac{3}{2} \times 2x - 4  + 8\times 1 \times \ln (x + 1) + 8(x + 1) \times \dfrac{1}{x + 1} =$

$ - 3x - 4 + 8\ln (x + 1) + 8 = - 3x + 4 + 8\ln (x + 1) = f(x)$.

Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]-1~;~ +\infty[$..
		\item  %Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  0$ et $x =  5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près).
Sur l'intervalle [0~;~5], la fonction $f$ est décroissante de $f(0) = 4$ à 

$f(5) \approx 3,33$ ; elle est donc positive sur cet intervalle et l'aire demandée est donc égale à l'intégrale 

$\displaystyle\int_0^5 f(x) \:\text{d}x =  [F(x)]_0^5 = F(5) - F(0) =$

$ - \dfrac{3}{2} \times 5^2 - 4 \times 5  + 8\times (5 +1) \ln (5 + 1) - \left[- \dfrac{3}{2}\times 0  - 4\times 0 + 8(0+1) \ln (0 + 1) \right] = - \dfrac{75}{2}- 20  + 48 \ln 6 + 0 = 48 \ln 6 - \dfrac{115}{2} \approx 28,5$~unités d'aire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}