\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pstricks-add,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Centres étrangers juin 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage [alwaysadjust]{paralist} \setdefaultenum {\bf 1.}{\bf a)}{}{} \newcommand{\e}{\mathrm {e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers~\decofourright\\13 juin 2012}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. \\ %Pour chaque question, indiquer par a., b., c. l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\ %Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} % %\medskip % %On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$. % %La courbe $C_f$ tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. % %Le point $A$ a pour coordonnées $(-2;0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0;4)$, le point $C$ a pour coordonnées $\left(1~;~\dfrac{7}{2} \right)$, le point $D$ a pour coordonnées $(5;0)$ et le point $E$ a pour coordonnées $(6~;~0)$. % %On précise que la droite $(CE)$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $C$ et que la courbe $C_f$ admet au point $B$ une tangente horizontale. % %\begin{center} %\psset{unit=.45cm} %\begin{pspicture}(-7,-7)(14,10) %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\def\f{.4*(x+2)*(5-x)*(35/48)^x} %\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-7)(14,10) %\psset{unit=.9cm} %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(7,5) %\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}} %\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}} %\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{6}{\f} %\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-1,4)(1,4) %\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-1,4.9)(7,-.7) %\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2.5,-3.3)(6,-.48) %\uput[ur](-3,-2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} %%pb de décalage vertical avec les points + %%\psdots[dotstyle=B+, linecolor=bleu,linewidth=2pt,dotscale=.8](-2,0)(0,4)(1,3.5)(5,0)(6,0) %\psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](1,3.35)(1,3.65) %\psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](.85,3.5)(1.15,3.5) %\uput[ul](-2,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \uput[ul](0,4){\footnotesize{\bleu{$B$}}} \uput[ur](1,3.5){\footnotesize{\bleu{$C$}}} \uput[ur](5,0){\footnotesize{\bleu{$D$}}} \uput[ur](6,0){\footnotesize{\prune{$E$}}} %\end{pspicture} %\end{center} % %On note $g$ et $h$ les fonctions définies respectivement par $g(x)=\ln \left[ f(x) \right]$ et \mbox{$h(x) = \e^{f(x)}$}. \begin{enumerate} \item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle : %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} %\textbf{a.}\quad $\left] -2~;~5 \right[$ & \textbf{b.}\quad $\left[ -2~;~5 \right]$ & \textbf{c.}\quad $\left[ -\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$ \\ %\end{tabularx} La fonction $g$ est définie quand $f(x) > 0$, donc sur $]- 2~;~5[$. Réponse \textbf{a.} \item Le nombre $g(1)$ est égal à : %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} %\textbf{a.}\quad $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ & \textbf{b.}\quad $\ln 7 - \ln 2$ & \textbf{c.}\quad $\dfrac{7}{2}$ \\ %\end{tabularx} $g(1) = \ln [f(1)] = \ln \frac{7}{2} = \ln 7 - \ln 2$. Réponse \textbf{b.} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, le nombre $f'(1)$ est égal à : %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} %\textbf{a.}\quad 3,5 & \textbf{b.}\quad $-\dfrac{10}{7}$ & \textbf{c.}\quad $-0,7$ \\ %\end{tabularx} Le nombre dérivé $f'(1)$ est égal au coefficient directeur de la tangente en C, coefficient qui vaut $\dfrac{-3,5}{5} = \dfrac{- 7}{10} = - 0,7$. Réponse \textbf{c.} \item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$, le nombre $h'(0)$ est égal à : %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} %\textbf{a.}\quad $\e^0$ & \textbf{b.}\quad 0 & \textbf{c.}\quad $\e^4$ \\ %\end{tabularx} On a quel que soit $x$, \: $h'(x) = f'(x) \times \text{e}^{f(x)}$, donc $h'(0) = f'(0) \times \text{e}^{f(0)}$. Or $f'(0) = 0$ (tangente en B horizontale. Donc $h'(0) = 0$. Réponse \textbf{b.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip %Le tableau suivant donne la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat, série ES, entre 2002 et 2009. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline %Rang de l'année $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline %Proportion $y_i$ en \% & 25,5 & 28,6 & 30 & 33,1 & 36,8 & 41 & 41,1 & 44,1 \\ \hline %\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{\emph{Source : ministère de l'\'Education nationale et ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche}}} %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009. On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l'unité. Le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009 est égal à $\dfrac{44,1 - 25,5}{25,5} \approx 73\,\%$. \item %Dans cette question, on envisage un ajustement affine et on admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $y = 2,73x + 25,47$ (les coefficients étant arrondis à $0,01$ près). %En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes : \begin{enumerate} \item %Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012. 2012 correspond au rang 10 ; donc $y_{10} = 2,73 \times 10 + 25,47 = 27,3 + 25,47 = 52,77\,\%$. \item %Estimer l'année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60\,\%. Il faut résoudre l'inéquation : $2,73x + 25,47 > 60 \iff 2,73x > 34,53 \iff x > \dfrac{34,53}{2,73} \approx 12,6$. Il faut attendre le rang 13 soit en 2015. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose $z=\ln y$. \begin{enumerate} \item %Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $z_i = \ln y_i$ &3,239 &3,353 &3,401 &3,500 &3,606 &3,714 &3,716 &3,786\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près. La calculatrice donne $z = 0,08x + 3,26$ (coefficients arrondis à 0,01 près). \item %En déduire que $y = A \times B^x$ où $A$ et $B$ sont deux réels à déterminer. On arrondira à $0,01$ près. On a $z = \ln y = 0,08x + 3,26 \iff y = \text{e}^{0,08x + 3,26} = \text{e}^{3,26} \times \text{e}^{0,08x} = \text{e}^{3,26} \times \left( \text{e}^{0,08}\right)^x =$ $y = 26,05 \times 1,08 \text{e}^x$. \[y = 26,05 \times 1,08 \text{e}^x.\] \item %En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1\,\%, de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012. Avec cet ajustement exponentiel en 2012 qui correspond au rang 10, on trouve un pourcentage de : \[26,05 \times 1,08^{10} \approx 56,24\,\%.\] En 2012 selon ce modèle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES sera d'environ 56,2\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip %Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat. % %Ce sondage révèle que 55\,\% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10\,\% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi). % % \medskip % %Ce sondage révèle aussi que : % %\begin{itemize} % \item 45\,\% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation. % \item 30\,\% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation. % \item 15\,\% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation. %\end{itemize} % % \medskip % %On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note : % %\begin{itemize} % \item[] $F$ l'évènement : \og l'ancien élève poursuit ses études à la faculté \fg{} ; % \item[] $I$ l'évènement : \og l'ancien élève a intégré une école d'ingénieur \fg{} ; % \item[] $T$ l'évènement : \og l'ancien élève est sur le marché du travail \fg{} ; % \item[] $C$ l'évènement : \og l'ancien élève vit en colocation \fg. %\end{itemize} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. \begin{center} \psset{unit=1cm} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$}\taput{0,55}} { \TR{$C$} \taput{0,45} \TR{$\overline{C}$} \tbput{0,55} } \pstree{\TR{$I$}\taput{0,10}} { \TR{$C$} \taput{0,30} \TR{$\overline{C}$} \tbput{0,70} } \pstree{\TR{$T$}\tbput{0,35}} { \TR{$C$} \taput{0,15} \TR{$\overline{C}$} \tbput{0,85} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité. $F \cap C$ désigne l'évènement : \og L'ancien élève poursuit ses études en faculté et vit en colocation \fg. $p(F \cap C) = 0,55 \times 0,45 = \np{0,2475}$. \item %Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$. D'après la loi des probabilités totales on a : $p(C) = p(F \cap C) + p(I \cap C) + p(T \cap C) = \np{0,2475} + 0,10 \times 0,30 + 0,35 \times 0,15 = \np{0,2475} + 0,03 + \np{0,0525} = \np{0,33}$. \end{enumerate} \item %Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté. Il faut calculer : $p_C(F) = \dfrac{p(C \cap F)}{p(C)} = \dfrac{\np{0,2475}}{0,33} = 0,75$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Le responsable du sondage affirme : \og Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études \fg{}. %Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier. On a vu que $p(C) = 0,33$, donc $p\left(\overline{C} \right) = 1 - 0,33 = 0,67$. La probabilité qu'un étudiant poursuive des études et ne soit pas en colocation est $p\left(F \cap \overline{C} \right) + p\left(I \cap \overline{C} \right)$ ; $p\left(F \cap \overline{C} \right) = p_F\left(\overline{C} \right) \times p(F) = 0,55 \times 0,55 = \np{0,3025}$ ; $p\left(I \cap \overline{C} \right) = p_I\left(\overline{C} \right) \times p(I) = 0,1 \times 0,7 = 0,07$. La probabilité qu'un étudiant poursuive des études et ne soit pas en colocation est donc $\np{0,3025} + 0,07 = \np{0,3725}$. La probabilité de trouver un ancien élève qui n'est pas en colocation et qui poursuit ses études est donc égale à $0,67 - \np{0,2975} = \np{0,3725}$ qui représente plus de la moitié de 0,67. L'affirmation est donc exacte. \item %On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante. %Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. On a donc une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p(C) = 0,33$. Le contraire de l'évènement \og au moins un des trois vit en colocation \fg{} est l'événement \og aucun des trois ne vit en colocation \fg{} de probabilité $0,67^3 = \np{0,300763}$. La probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation est donc égale à $1 - \np{0,300763} \approx 0,70$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip %Au rugby, réussir une transformation consiste à faire passer le ballon entre deux poteaux verticaux et au dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux. % %\medskip % %Basile est un joueur de rugby, il envisage de devenir professionnel. % %Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants : % %\begin{itemize} % \item Lors d'un match, la probabilité que Basile réussisse la première transformation est égale à $0,5$. % \item Si Basile réussit une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,8$. % \item Si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,6$. %\end{itemize} % %\medskip % %Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel. % %On considère que lors du match, $n$ transformations sont tentées avec $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1. % %On note T l'état : \og Basile réussit sa transformation \fg. % % \medskip % %Pour $n \geqslant 1$, on note : % %\begin{itemize} % \item $p_n$ la probabilité que Basile réussisse la n-ième transformation. % \item $q_n$ la probabilité que Basile ne réussisse pas la n-ième transformation. % \item $P_n=\begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} \\ \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors de la n-ième transformation. %\end{itemize} % %On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ \end{pmatrix}$. % %\medskip \textbf{\textsc{Partie a}} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et $\overline{\mathrm{T}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,2) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{T}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\mathrm{T}}$}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(-0.15,1){0,8} \rput(5.2,1){0,4} \rput(2.5,2){0,2} \rput(2.5,0){0,6} \end{pspicture} \end{center} \item %Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste. La matrice de transition $M$ vérifie $P_{n+1} = P_n \times M$, avec $M = \begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix}$. \item %Déterminer l'état probabiliste $P_2$. $P_2 = P_1 \times M = \begin{pmatrix} 0,5&0,5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,7&0,3\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Partie b}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %En utilisant l'égalité $P_{n+1} = P_{n} \mathrm{M}$, montrer que $p_{n+1} = 0,8 p_n + 0,6 q_n$. $P_{n+1} = P_{n} \mathrm{M} \iff \begin{pmatrix} p_{n+1}&q_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{n}&q_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8p_n + 0,6q_n&0,2p_n + 0,4q_n$. Conclusion : pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $p_{n+1} = 0,8 p_n + 0,6 q_n$. \item %En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0,2 p_n + 0,6$. On sait de plus que $p_n + q_n = 1 \iff q_n = 1 - p_n$, donc l'égalité précédente s'écrit : $p_{n+1} = 0,8 p_n + 0,6\left( 1 - p_n \right) = 0,8p_n + 0,6 - 0,6p_n = 0,2p_n + 0,6$. \end{enumerate} \item %Soit la suite $\left(u_n \right)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par $u_n = p_n - 0,75$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,2. $u_{n+1} = p_{n+1} - 0,75 = 0,2p_n + 0,6 - 0,75 = 0,2p_n - 0,15 = 0,2\left(p_n - \frac{0,15}{0,2} \right) = 0,2\left(p_n - \frac{3}{4} \right) = 0,2\left(p_n - 0,75 \right) = 0,2u_n$. L'égalité $u_n+1} =0,2u_n$ montre que la suite (\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Son premier terme est $u_1 = p_1 - 0,75 = 0,5 - 0,75 = - 0,25$. On sait qu'alors pour $n \geqslant 1$, \, u_n = - 0,25 \times 0,2^{n - 1}$. \item %En déduire que la suite $\left(p_n \right)$ converge et donner sa limite. Comme $0 < 0,2 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,2^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = u_n + 0,75 = 0,75$. La suite $\left( u_n \right)$ converge vers $0,75 = \dfrac{3}{4}$. \item %Interpréter le résultat précédent. Le dernier résultat montre que à partir d'un grand nombre de tentatives, Basile réussira à peu près 3 transformations sur 4 tentatives. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{\textsc{Partie A}} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (ax + b) \text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. % %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=(a-b-ax)\text{e}^{-x}$. On dérive le produit : $f'(x) = a\text{e}^{-x} + (ax + b)\times (- 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(a - ax- b) = (- ax + a - b)\text{e}^{-x}$. \item %On donne $f(0) = 1$ et $f'(0)=3$. En déduire $a$ et $b$. $\left\{\begin{array}{l c l} f(0) &=& 1\\ f'(0)&=&3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} b&=&1\\ a - b&=&3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} b &=&1\\ a &=&4 \end{array}\right.$ Conclusion Pour tout réel $x$, \:, f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-x}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Partie B}} \medskip %Dans cette partie, on admettra que $a = 4$ et $b = 1$. %Donc pour tout réel $x$, $f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{n \to - \infty} (4x + 1) = - \infty$ et que $\displaystyle\lim_{n \to - \infty}\text{e}^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{n \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (On pourra utiliser le fait que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{4x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$). On a $f(x) = 4x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$. Or on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f(x) = 0$ \item %Étudier les variations de $f$ sur $\R$. On a vu que $f'(x) = (a - b - ax)\text{e}^{-x} = (4 - 1 - 4x)\text{e}^{-x} = (3 - 4x)\text{e}^{-x}$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - 4x$. Or $3 - 4x > 0 \iff 3 > 4x \iff \dfrac{3}{4} > x \iff x < \dfrac{3}{4}$ et de même $3 - 4x < 0 \iff 3 < 4x \iff \dfrac{3}{4} < x \iff x > \dfrac{3}{4}$. Conclusion : $f$ est croissante sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{4}\right[$ et décroissante sur $\left]\dfrac{3}{4}~;~+ \infty\right[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{partie C}} \medskip %Une entreprise produit $x$ centaines d'objets chaque semaine. % %Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle $[0~;~5]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B. \begin{enumerate} \item %Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près. On a vu que $f$ était croissante puis décroissante, donc $f\left( \dfrac{3}{4}\right)$ est le maximum de $f$. $f\left( \dfrac{3}{4}\right) = \left(4 \times \frac{3}{4} + 1\right)\text{e}^{- \frac{3}{4}} = 4\text{e}^{- \frac{3}{4}} \approx \np{1,8894}$ millier d'euros soit environ \np{1889}~\euro{} pour une production de 75 objets. \item %Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~5]$ par $F(x) = (- 4x - 5) \text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur ce même intervalle. On a $F'(x) = - 4\text{e}^{-x} - (- 4x - 5)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(- 4 + 4x + 5) = (4x + 1)\text{e}^{-x} = f(x)$. $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item %Calculer $\dfrac{1}{5} \displaystyle\int_0^{5}{f(x) \; \mathrm{d} x}$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. $\dfrac{1}{5} \displaystyle\int_0^{5}{f(x) \; \mathrm{d} x} = \dfrac{1}{5}\left[F(x) \right]_0^5 = \dfrac{1}{5}[F(5) - F(0)] = \dfrac{1}{5}\left[25\text{e}^{-5} + 5\text{e}^{0}\right] = 1 - 5\text{e}^{-5} \approx \np{0,9963} $ soit 0,996 au millième près c'est-à-dire 996~\euro. \item %Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ? Le résultat précédent représente le coût de production moyen pour une production comprise entre 0 et 500 objets. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}