\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {La Réunion juin 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2007} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion juin 2007~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-5~;~2]$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal. % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip %Un logiciel fournit le graphique qui figure en annexe page 6. % %En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Donner une estimation de $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0 ; ce coefficient semble être égal à $\dfrac{1}{1} = 1$. \item \begin{enumerate} \item %Donner un encadrement d'amplitude $1$ de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. Sur l'intervalle [0~;~2] la figure montre que $f(x) \geqslant 0$ ; donc l'aire de la surface limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. On peut compter les petites rectangles d'aire $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$~unité d'aire. il semble en contenir 71, donc l'aire est d'environ $71 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{71}{16} \approx 4,4$~unité d'aire donc entre 4 et 5. \item %Donner une valeur approchée à $0,5$ près de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est égale à : $\dfrac{1}{2 - 0}\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. D'après la question précédente cette valeur moyenne est donc comprise entre 2 et 2,5. Sur le graphique l'aire de la surface hachurée est à peu près égale à l'aire du rectangle bleu. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %Dans cette partie on sait que la fonction $f$ est définie par : % %\[\text{Pour tout élément}\: x \:\text{de}\: [- 5~;~2],\: f(x) = (2 - x) \text{e}^x\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On nomme $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $[-5~;~2]$. On a pour tout réel de [-5~;~2], $f'(x) = - \text{e}^x + (2 - x)\text{e}^x = \text{e}^x(- 1 + 2 - x) = (1 - x)\text{e}^x$. \item %Justifier l'affirmation : \og Sur l'intervalle $[-5~;~2]$, la fonction $f$ admet un maximum pour $x = 1$ et ce maximum est égal à e.\fg Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$ : $\bullet~~$$1 - x > 0 \iff 1 > x$, alors $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]- 5~;~1]$ ; $\bullet~~$$1 - x < 0 \iff 1 < x$, alors $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur ]1~;~2] ; $\bullet~~$$1 - x = 0 \iff 1 = x$, alors $f'(1) = 0$ ; $f(1)$ est le maximum de $f$ sur $[- 5~;~2]$ et $f(1) = (2 - 1) \text{e}^1 = \text{e}$. \end{enumerate} \item %Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $0$. Une équation de (T) est : $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ ; or $f(0) = 2$ et $f'(0) = 1$ ; une équation de (T) est donc : $y - 2 = 1(x - 0) \iff y = x + 2$. \item %Soit $g$ la fonction définie par : pour $x$ élément de $[-5~;~2],~ g(x)= (3 - x)\text{e}^x$. \begin{enumerate} \item %Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$. $g$ est dérivable sur $[-5~;~2]$ et sur cet intervalle : $g'(x) = - \text{e}^x + (x - 3)\text{e}^x = \text{e}^x(- 1 + 3 - x) = (2 - x)\text{e}^x = f(x)$ ; donc $g$ est une primitive de $f$ sur $[-5~;~2]$. \item %Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] (en donner la valeur exacte). D'après la partie A, la valeur moyenne $m$ est égale à : $m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}[g(x)]_0^2 = \dfrac{1}{2}[g(2) - g(0)] = \dfrac{1}{2}\left((3 - 2)\text{e}^2 - (3 - 0)\text{e}^0 \right) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - 3 \right)\approx 2,195$ valeur compatible avec la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Les deux parties sont totalement indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note $\overline{\text{T}}$ l'évènement contraire de l'évènement T. % %On donne l'arbre de probabilités suivant. % %\medskip \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}} { \TR{$T$}\taput{0,4} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\red 0,6} } \pstree{\TR{$B$~}\taput{\red 0,1}} { \TR{$T$}\taput{\red 0,8} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\red 0,2} } \pstree{\TR{$C$}\tbput{0,7}} { \TR{$T$~}\taput{0,2} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\red 0,8} } } \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item %Donner la probabilité $p_{A}(T)$ de l'évènement \og $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg. $p_{A}(T) = 0,4$ (énoncé). \item Calculer : \begin{enumerate} \item %la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ ; On a $p(B) = 1 - p(A) - p(C) = 1 - 0,2 - 0,7 = 0,1$. \item %la probabilité $p_{A}\left(\overline{T}\right)$ de l'évènement \og non $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg ; $p_{A}\left(\overline{T}\right) = 1 - p_{A}\left(T\right) = 1 - 0,4 = 0,6$. \item %la probabilité $p(A \cap T)$ de l'évènement \og $A$ et $T$ \fg. $p(A \cap T) = p(A) \times p_A(T) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$. \end{enumerate} \item %On sait que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est : $p(T) = 0,3$. \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité $p_{T}(A)$. $p_{T}(A) = \dfrac{p(T \cap A)}{p(T)} = \dfrac{p(A \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,08}{0,3} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$. \item %Calculer la probabilité $p_{B}(T)$. $p_{B}(T) = \dfrac{p(B \cap T)}{p(B)}$. Or d'après la loi des probabilités totales : $p(T) = p(A \cap T) + p(B \cap T) + p(C \cap T) \iff p(B \cap T) = $ $p(T) - p(A \cap T) - p(C \cap T) = 0,3 - 0,08 - 0,7 \times 0,2 = 0,22 - 0,14 = 0,08$. Donc $p_{B}(T) = \dfrac{p(B \cap T)}{p(B)} = \dfrac{0,08}{0,1} = \dfrac{4}{5} = 0,8$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %\parbox{0.75\linewidth}{Un domino est une petite plaque partagée en deux parties. % %Sur chacune des parties figure une série de points. % %Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. % %Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. } \hfill %\parbox{0.25\linewidth}{\begin{pspicture}(3,2.5) % %\psgrid %\psframe(2,1) \psframe(0,1.5)(2,2.5) \psline(1,0)(1,1) \psline(1,1.5)(1,2.5) %\qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt} %\qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt} %\end{pspicture}} %Lors d'une fête, on propose le jeu suivant : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, %\item il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Établir la loi de probabilité des gains possibles. On peut établir un tableau à double entrée avec les deux chiffres présents sur le domino : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{chiffre 1}{chiffre 2} &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 0 &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 1 & &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 2 & & &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 3 & & & &6 &7 &8 &9\\ \hline 4 & & & & &8 &9 &10\\ \hline 5 & & & & & &10 &11\\ \hline 6 & & & & & & &12\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le tableau de la loi de probabilité est donc : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline gain &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline probabilité&$\frac{1}{28}$&$\frac{1}{28}$&$\frac{2}{28}$&$\frac{2}{28}$&$\frac{3}{28}$&$\frac{3}{28}$&$\frac{4}{28}$&$\frac{3}{28}$&$\frac{3}{28}$&$\frac{2}{28}$&$\frac{2}{28}$&$\frac{1}{28}$&$\frac{1}{28}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte. % %Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue. % %\medskip % %\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item %Le nombre d'habitants d'une ville était : en 2002 et \np{139860} en 2006. Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est : $\dfrac{\np{139860} - \np{157500}}{\np{157500}}\times 100 = - 11,2\,\%$. %\medskip % %\begin{tabularx}{\0.8\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.} : 11,2\,\%.&\textbf{b.} : $-12,6$\,\%.& \textbf{c.} : $-11,2$\,\%. %\end{tabularx} % %\medskip \item %Effectuer une augmentation de 15\,\% suivie d'une baisse de 15\,\% revient à On multiplie d'abord par 1,15 puis par 0,85 soit finalement par $1,15 \times 0,85= \np{0,9775}$ soit une baisse de 2,25\,\%. % \begin{enumerate} % \item : ne procéder à aucune modification. % \item : effectuer une augmentation de 2,25\,\%. % \item : effectuer une diminution de 2,25\,\%. % \end{enumerate} \item %On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2\,\% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de : Le chiffre d'affaires sera multiplié par $1,032^{10} \approx 1,370$ soit une augmentation de 37\,\%. \medskip %\begin{tabularx}{\0.8\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.} : 32\,\%& \textbf{b.} : 29\,\% &\textbf{c.} : 37\,\% %\end{tabularx} \medskip \item %La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,~u_{n} = \text{e}^{- n \ln 2}$. On a pour tout naturel $n$, \:$u_{n} = \text{e}^{- n \ln 2} = \left(\text{e}^{\ln 2}\right)^{- n} = 2^{- n} = \dfrac{1}{2^n} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$. $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ % \begin{enumerate} % \item : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $-\ln 2$. % \item : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. % \item : $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite géométrique. % \end{enumerate} \item %On a représenté un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~\ln v_{i}\right)$ et effectué un ajustement affine : %\medskip % %\psset{unit=0.8cm} %\begin{center} %\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,4) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=4.5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-0.5)(8,4) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=1.5pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-0.5)(8,4) %\psdots[plotstyle=+](1,1.03)(2,1.52)(3,1.65)(4,2.03)(5,2.4)(6,2.7) %\psline[linecolor=blue](-0.5,0.57)(8,3.4) %\uput[l](0,0){4,5}\uput[l](0,1){5}\uput[l](0,2){5,5}\uput[l](0,3){6} %\uput[r](0,3.75){$y = \ln v$} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip %Selon cet ajustement, lorsque $x$ prendra la valeur 7, $y$ vaudra environ : \medskip \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.} : $1,8$ &\textbf{b.} : $6,1$ &\textbf{c.} : $445$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte. % %Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue. % %\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n, %\\ u_{n} = 1 - \dfrac{6}{n - 10,5}$. % \begin{enumerate} % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas monotone. % \end{enumerate} La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas monotone : $u_8 = 3,4 \quad u_9 = 5 \quad u_{10} = 13 \quad u_{11} = - 11\quad u_{2} = - 3$. \item % La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : %$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, ${u_{n+1}- u_{n}=-0,1u_{n}}$. % \begin{enumerate} % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique. % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique. % \item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique. % \end{enumerate} Pour tout naturel $n$, \: $u_{n+1}- u_{n}=-0,1u_{n} \iff u_{n+1} = 0,9u_n$ : la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,9$. \item %Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item le plan (P) d'équation $x + y + z - 2 = 0$, %\item la droite (D) d'équations cartésiennes $y =1$ et $z =1 - x$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % % \begin{enumerate} % \item : La droite (D) est sécante au plan (P). % \item : La droite (D) est incluse dans le plan (P). % \item : La droite (D) est strictement parallèle au plan (P). Les points $M(x~;~y~;~;z)$ communs au plan et à la droite ont des coordonnées qui vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x + y + z - 2 &=& 0\\ y &=&1\\ z &=&1 - x \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x + 1 + 1 - x - 2 &=& 0\\ y &=&1\\ z &=&1 - x \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y &=&1\\ z &=&1 - x \end{array}\right.$ Autrement les points communs au plan et à la droite sont les points de la droite : la droit(D) est donc incluse dans le plan (P). % \end{enumerate} \item %La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : %\medskip % %\[\begin{pmatrix} %0 &0 &1 &0 &1\\ %0 &0 & 1 & 1 &1\\ %1 &1 &0 &1 &0\\ %0 &1 & 1 & 0 &0\\ %1 & 1 & 0 &0 &0\\ %\end{pmatrix}\] % % \begin{enumerate} % \item : Le graphe G comporte 12 arêtes. % \item : Le graphe G admet une chaîne eulérienne. % \item : Le graphe G est complet. % \end{enumerate} Les sommets ont respectivement pour degrés : 2 ; 3 ; 3 ; 2 et 2. La somme des degrés étant égale à 12, le nombre d'arêtes est égal à 6. Ce graphe n'est pas complet : pas d'arête entre A et B. Le graphe est connexe, a deux sommets de degré impact il existe donc une chaîne eulérienne partant de B et arrivant en C (ou inversement). \item %Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2\,\% % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires. %Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est: %\medskip % %\begin{tabularx}{\0.8\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.} : \np{23900}&\textbf{b.} : \np{718927}&\textbf{c.} : \np{743306}\\ %\end{tabularx} % %\medskip Chaque semaine le nombre d'exemplaires vendus est multiplié par 1,02. Les nombres d'exemplaires vendus au cours des 45 premières semaines sont les 45 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \np{10000} et de raison 1,02. Ce total est donc égal à : \[\np{10000} \times \dfrac{1 - 1,02^{45}}{1 - 1,02} \approx \np{718927,1} \approx \np{718927}.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~50] par : %\[ %f(x)= x^2 + 72\ln (10x + 1)\quad \text{et} \quad g(x)=\dfrac{f(x)}{x}.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [1 ; 50]. $f$ est dérivable sur [1 ; 50] et sur cet intervalle : $f'(x) = 2x + \dfrac{72}{10x + 1} > 0$ car somme de termes supérieurs à zéro. La fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle [1 ; 50] de $f(1) = 1 + 72\ln 11 \approx 173,6$ à $f(50) = \np{2500} + 72\ln 501 \approx \np{2947,6}$. \item %La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~50] par : %\[h(x) = x^{2} + \dfrac{720x}{10x + 1} - 72 \ln (10x + 1).\] \begin{enumerate} \item %On admet que la dérivée de la fonction $h$ est la fonction $h'$ définie par : pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50], $h'(x) = \dfrac{2x(10x -59)(10x + 61)}{(10x + 1)^2}$. %Résoudre l'équation $h'(x)=0$ sur l'intervalle [1~;~50]. Comme $(10x + 1)^2 > 0$ sur [1~;~50], on a : $f'(x) = 0 \iff 2x(10x - 59)(10x + 61)\iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ x&=&\frac{59}{10}\\ x&=&- \frac{61}{10} \end{array}\right. \iff x = 5,9$ seule solution dans l'intervalle [1~;~50]. %Étudier le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle [1~;~50]. Comme $x > 0$, le signe de $h'(x)$ est celui du trinôme $(10x - 59)(10x + 61)$ qui est positif sauf entre les racines $- 6,1$ et $5,9$. Donc : $\bullet~~$sur [1~;~5,9], \: $h'(x) < 0$ : la fonction $h$ est décroissante sur [1~;~5,9] de $h(1) = \frac{731}{11} - 72\ln 11$ à $105,61 - 72\ln 60$ ; $\bullet~~$sur [5,9~;~50], \: $h'(x) > 0$ : la fonction $h$ est croissante sur [5,9~;~50] de $105,61 - 72\ln 60$ à $h(50) = \frac{\np{429500}}{167} - 72\ln 501$.; $\bullet~~$$h(5,9)$ est le minimum de $h$ sur [1~:~50]. \item %Dresser le tableau des variations de la fonction $h$. Voir la question précédente. \item %On admet que, dans l'intervalle [1~;~50], l'équation $h(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$. La calculatrice donne : $h(5,9) \approx -106$ et $h(50) \approx \np{2124}$, donc $5,9 < \alpha < 50$ ; $h(17)\approx - 10$ et $h(18) \approx 21$, donc $17 < \alpha < 18$ ; $h(17,3) \approx - 0,6$ et $h(17,4) \approx 2,5$, donc $17,3 < \alpha < 17,4$ ; $h(17,31) \approx - 0,3$ et $h(17,32) \approx 0,03$, donc $17,31 < \alpha < 17,32$. \item %Expliquer pourquoi : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1~;~\alpha],~ h(x) \leqslant 0$, %\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[\alpha~;~50],~ h(x) \geqslant 0$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} Sur $[1~;~\alpha]$, \: $h$ est croissante donc $h(x) \leqslant h(\alpha) = 0$ ; Sur $[\alpha~;~50]$, \: $h$ est croissante donc $h(\alpha) = 0 \leqslant h(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50],~ $g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$. Sur [1~;~50], \: $g(x) \dfrac{f(x)}{x}$, donc : $g'(x) = \dfrac{x f'(x) - f(x)}{x^2} = \dfrac{x\left(2x + \frac{720}{10x + 1} \right) - \left(x^2 + 72 \ln(10x + 1) \right)}{x^2} =$ $ \dfrac{2x^2 + \frac{720x}{10x + 1} - x^2 - 72\ln (10x + 1) }{x^2} = \dfrac{h(x)}{x^2}$. \item %Démontrer que la fonction $g$ admet un minimum pour $x = \alpha$. Comme $x^2 > 0$, le signe de $g'(x)$ est donc celui de $h(x)$. Donc : Sur $[1~;~\alpha]$,\:$g'(x) \leqslant 0$ : la fonction $g$ est donc décroissante ; Sur $[1~;~\alpha]$,\:$g'(x) \geqslant 0$ : la fonction $g$ est donc croissante. Donc $g(\alpha$ est le minimum de la fonction $g$ sur [1~;~50]. \item %En utilisant le fait que $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$, exprimer $g'(x)$ en fonction de $f'(x)$ puis déduire de la question précédente que $g(\alpha)= f'(\alpha)$. On a vu que $g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$, donc en particulier $g'(\alpha) = \dfrac{h(\alpha)}{\alpha^2} = 0$. Or $g'(x) = \dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2} \Rightarrow g'(\alpha) = \dfrac{\alpha f'(\alpha) - f(\alpha)}{\alpha^2} = 0 \Rightarrow $ $\alpha f'(\alpha) - f(\alpha) = 0 \iff f'(\alpha) = \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}$. $g(\alpha) = f'(\alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : application} \medskip %Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item le coût total de production C$_{\text{T}}$ est donné par C$_{\text{T}} = f(x)$, où $x$ est la quantité %produite exprimée en tonnes, %\item pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C$_{\text{M}}$ de production d'une tonne est donné par C$_{\text{M}} = g(x)$ et le coût marginal C de production est donné par C $=f'(x)$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{5mm} % %(\emph{Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis en annexe $2$. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie.}) % %\medskip \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de \np{38 000}~\euro{} la tonne. Pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C$_{\text{M}}$ est égal à $g(x)$. cette fonction a pour minimum $g(\alpha)$. Or on a démontré que $g(\alpha) = \dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + 72\ln (10\alpha + 1)}{\alpha}$. On a vu que $17,31 < \alpha < 17,32$ comme la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [17,31~;~17,32], on a : $f(17,31) < f(\alpha) < f(17,32)$ : d'autre part : $17,31 < \alpha < 17,32 \iff \dfrac{1}{17,32} < \dfrac{1}{\alpha} < \dfrac{1}{17,31}$ et par produit de nombres positifs on obtient : $\dfrac{f(17,31)}{17,32} < \dfrac{f(\alpha)}{\alpha} < \dfrac{f(17,32)}{17,31}$ ou encore : $38,7 < g(\alpha) < 38,8$. Conclusion : le coût moyen minimal est supérieur à $\np{38000}$~\euro{} la tonne. C'est le prix minimum pour espérer faire un bénéfice. \item %Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de \np{45000} euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice. Avec un prix de vente de \np{45000} euros la tonne, la recette sera de $R(x) = 45x$. Il y aura bénéfice si le coût total de production est inférieur à la recette soit : $f(x) < 45x \iff x^2 + 72\ln (10x + 1) < 45x$ : on peut utiliser la calculatrice. Il y aura bénéfice si le coût moyen de production est inférieur au prix de vente, soit si $g(x) < 45$. Or on a vu que la fonction $g$ a pour minimum $g(\alpha) \approx 38,75$. Avec la calculatrice on trouve sur les intervalles $[1~;~\alpha]$ et $[\alpha~;~50]$ deux solutions àl'équation $g(x) = 45$ : $x_1 \approx 9,04$ et $x_2 \approx 32,02$. Conclusion : $\bullet~~$sur $[9,1~;~\alpha], \: g(x) < 45$ (la fonction est décroissante) ; $\bullet~~$sur $[\alpha~;~32], \: g(x) < 45$ (la fonction est croissante). L'entreprise fera un bénéfice pour une production comprise entre 9,1 et 32 tonnes. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \bigskip \textbf{à utiliser pour l'exercice 1 et à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=1.4cm,yunit=2.8cm} \begin{pspicture}(-5.5,-0.25)(3,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=1.5pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-5.5,0)(3,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,0)(3,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul} \uput[u](2.7,0){$x$} \uput[r](0,3){$y$} \uput[ur](1.5,2){$(\mathcal{C})$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul} \psline(2,0)(0,0)} \psframe[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](2,2.195)\uput[l](0,2.195){$m$} \uput[dl](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture}\end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2} \bigskip \textbf{à utiliser pour l'exercice 4, partie B et à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.175cm,yunit=0.003cm} \begin{pspicture}(-7.5,-500)(55,3000) \psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x 2 exp add} \uput[u](55,0){$x$} \uput[r](0,3000){$y$} \multido{\n=0+2.5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3000)} \multido{\n=0+250}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt,linecolor=orange](0,\n)(55,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(55,3000) \end{pspicture} \newpage \textbf{Représentations graphiques de fonctions }\boldmath $f'$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $g$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=0.171cm,yunit=0.15cm} \begin{pspicture}(0,0)(70,60) \psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.15}{27.5}{720 x 10 mul 1 add div 2 x mul add} \rput(15,20){courbe de la fonction $f'$} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.5pt,plotpoints=8000]{5.2}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x div x add} \uput[u](70,0){$x$} \uput[r](0,60){$y$} \rput(40,40){courbe de la fonction $g$} \multido{\n=0+2.5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)} \multido{\n=0+2.5}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(70,60) \end{pspicture} \end{center} \end{document}