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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\section*{\decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat ES  Liban 2009  ES}~\decofourright}\end{center}

\subsection*{\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses \textbf{A,  B} ou \textbf{C} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $0$.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Dans $\R$, l'équation $\ln (x +4)+ \ln (x - 2) =  \ln (2x + 1)$

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] \textbf{A} :~~ n'a pas de solution. 
%\item[] \textbf{B} :~~ admet exactement une solution. 
%\item[] \textbf{C} :~~ admet exactement deux solutions. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Il faut que $x - 2> 0 \iff x > 2$ ; on cherche donc les solutions sur $[2~;~+ \infty[$.

$\ln (x + 4)+ \ln (x - 2) =  \ln (2x + 1) \iff \ln [(x + 4)(x - 2)] = \ln 2x + 1 \iff (x + 4)(x - 2) = 2x + 1 \iff x^2 + 4x - 2x - 8 = 2x + 1\iff x^2 - 9 = 0 \iff (x + 3)(x - 3) = 0 \iff x = - 3$ ou $x = 3$.

La solution $- 3$ n'est pas valable ; il y a donc une seule solution $3$.

\item  %On connait la représentation graphique de deux fonctions $f$et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~7]
%\begin{center} 
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-3)(7,5.25)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(7,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.5,-3)(7,5.25)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{x 2 exp x 6 sub mul 12 div}
%\end{pspicture}& \psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-3)(7,5.25)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(7,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.5,-3)(7,5.25)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.9}{x 2 exp 4 div  x sub}
%\end{pspicture}\\
%fonction $f$& fonction $g$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] \textbf{A} :~~ Les fonctions $f$ et $g$ ont le même sens de variation sur l'intervalle [0~;~7].
%\item[] \textbf{B} :~~ La fonction $f$ est la dérivée de la fonction $g$. 
%\item[] \textbf{C} :~~ La fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Le A est faux  : $f$ décroit sur [0~;~4], alors que $g$ décroit sur [0~;~2].

Si $f$ est la dérivée de $g$, $f(x) < 0$ sur [0~;~6] : la fonction $g$ serait décroissante sur cet intervalle ce qui est faux.

Reste $f$ est une primitive de la fonction $g$ qui est plausible ; $g$ est négative sur [0~;~4] donc $f$ est décroissante sur cet intervalle et ensuite croissante.
\item  %On sait que $f$ est une fonction strictement positive sur $\R$ et que 
%$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] \textbf{A} :~~  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \ln \left[f(x)\right] = 1$.
%\item[] \textbf{B} :~~ La limite de $\ln(f)$ en $- \infty$ n'existe pas. 
%\item[] \textbf{C} :~~ $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \ln \left[f(x)\right] = - \infty$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Par composition des limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ entreaîne que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln [f(x)] = - \infty$.
\item  %L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^0 \text{e}^{-x}\:\text{d}x$ est égale à :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] \textbf{A} :~~ $\text{e}-1$. 
%\item[] \textbf{B} :~~ $1 - \text{e}$. 
%\item[] \textbf{C} :~~ $1 + \text{e}$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On a $\displaystyle\int_{-1}^0 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-x} \right]_{-1}^0 = \text{e}^{-0} - \text{e}^{-(- 1)} = 1 - \text{e}^1 = 1 - \text{e}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\subsection*{\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un magasin de vêtements démarqués a reçu un lot important de chemisiers en coton. Le propriétaire du magasin constate que les chemisiers peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de coloris ou un bouton manquant. Il note aussi que : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 4\,\% de ces chemisiers présentent un défaut de coloris,
%\item[$\bullet~$] 3\,\%  des chemisiers ont un bouton manquant, 
%\item[$\bullet~$] 2\,\% des chemisiers ont à la fois un défaut de coloris et un bouton manquant.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize} 
%\item[] B : \og le chemisier a un bouton manquant \fg, 
%\item[] C : \og le chemisier présente un défaut de coloris \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer la probabilité des évènements suivants : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize} 
%\item[] D : \og cette cliente prend un chemisier ayant au moins un défaut \fg, 
%\item[] E : \og cette cliente prend un chemisier ayant un seul défaut \fg, 
%\item[] F : \og cette cliente prend un chemisier sans défaut \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On peut dresser un tableau pour un total de 100 chemisiers :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{bouton}{coloris}	&défaut &pas de défaut	&Total\\ \hline
défaut						&2		&1			&3\\ \hline
pas de défaut				&2		&95			&97\\ \hline
Total						&4		&96			&\diagbox{100}{100}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On a $p(\text{D}) = p(\text{B} \cup \text{C})  = p(\text{B}) + p(\text{C}) - p(\text{B} \cap \text{C}) = 0,04 + 0,03 - 0,02 = 0,05$.

Dans le tableau $2 + 1 + 2 = 5$ sur 100 ont au moins un défaut.
\item  %On sait que le chemisier qui intéresse la cliente présente un défaut de coloris. Quelle est la probabilité qu'il manque un bouton à ce chemisier ?
$p_{\text{C}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{B} \cap \text{C})}{p(\text{C})} = \dfrac{0,02}{0,03} =  \dfrac{2}{3}$. 
\item  %Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent être assimilés à un tirage au hasard avec remise dans le lot de chemisiers.
 
%Quelle est la probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 2$ et $p = p(\text{B}) = 0,03$.

La probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant est :

$0,03 \times (1 - 0,03) = 0,03 \times 0,97 = 0,291$. 
\item  %Le propriétaire du magasin vend un chemisier sans défaut 40~euros, il fait une remise de 20\,\% si le chemisier a un seul défaut, et de 50\,\% s'il a les deux défauts.
 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté $X$, d'un chemisier.
		\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de défauts&0&1&2\\ \hline
prix de vente&40&32&20\\ \hline
probabilité&0,95&0,03&0,02\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %Quel chiffre d'affaires le propriétaire peut-il espérer faire sur la vente de cent chemisiers ?
L'espérance de la variable aléatoire prix de vente est :

E $ = 40 \times 0,95 + 32 \times 0,03 + 20 \times 0,02 = 38 + 0,96 + 0,2 = 39,16$~\euro ; ceci représente le prix moyen de vente d'un chemisier pour un grand nombre de ventes, donc pour 100 chemisiers le chiffre moyen devrait être de \np{3916}~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On considère la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(x) =  10 + (x - 3)\text{e}^x\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to + \infty} (x - 3) = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Démontrer que $f'(x) = (x - 2)\text{e}^x$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
En dérivant le produit :

$f'(x) = 1\text{e}^x + (x - 3)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 3) = (x - 2)\text{e}^x$. 
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 2$ :

$\bullet~~$si $0 \leqslant x < 2, \:x - 2 < 0$ : la dérivée est négative donc la fonction est décroissante de $f(0) = 10 + (- 3)\times 1  = 7$ à $f(2) = 10 - \text{e}^2 \approx 2,61$ ;

$\bullet~~$si $x > 2, \: x - 2 > 0$ : la dérivée est positive donc la fonction est croissante de $f(2)$ à plus l'infini.
		\item %En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On constate que pour tout $x$ positif la fonction est positive : $f(x) > 0$ sur $[0~;~+\infty[$ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que la fonction $G : x \longmapsto  (x - 4 )\text{e}^x$ est une primitive sur $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g : x \longmapsto (x - 3 )\text{e}^x$.
On a $G'(x) = 1\times \text{e}^x + (x - 4)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 4) = (x - 3)\text{e}^x = g(x)$.

Donc $G$ est bien une primitive de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Comme $f(x) = 10 + g(x)$, une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par :

$F(x) = 10x + G(x) + C = 10x + (x - 4 )\text{e}^x + K$, avec $K \in \R$.
	\item %Étudier le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Comme $F'(x) = 10 + g(x) = f(x) > 0$, la dérivée de $F$ étant supérieure à zéro, la fonction $F$ est strictement croissante.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Une entreprise fabrique $x$ tonnes d'un certain produit, avec $x \in [0~;~4]$. Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ tonnes est donné par $f(x)$ exprimé en \textbf{milliers d'euros}, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à \np{20000}~euros. On assimile le coût total $C$ à une primitive du coût marginal. 

%En utilisant les résultats de la question A  2., déterminer le coût total de fabrication $C(x)$, exprimé en milliers  d'euros.
On a vu qu'une primitive de $f(x)$ est $F(x) = 10x + (x - 4 )\text{e}^x + K$.

Les coûts fixes, soit pour $x = 0$ objets produits sont égaux à \np{20000}~\euro, ou 20 milliers d'euros soit :

$F(0) = 20 \iff - 4 + K = 20 \iff K = 24$.

Donc pour $x \in [0~;~4], \: C(x) = 10x + (x - 4 )\text{e}^x + 24$.
\item  %L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de \np{11292}~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item  %En utilisant la partie A  démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de \np{11292}~euros. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
On veut que $f(x) = \np{11,292} \iff 10 + (x - 3)\text{e}^x = \np{11,292}$.

Or on a vu dans la partie A que sur l'intervalle [2~;~4], la fonction $f$ est croissante de $f(2) = 2,61$~milliers d'euros à $f(4) = 10 + 1\text{e}^4 \approx 64,6$~milliers d'euros.

Comme la fonction $f$ est continue car dérivable sur [2~;~4], strictement croissante est que $\np{7000} < \np{11292} < \np{64600}$, il existe un réel unique $x_0 \in [0~;~4]$ tel que $f\left(x_0 \right) = 11,292$.
% \iff  (x - 3)\text{e}^x = \np{11282}$
		\item %Déterminer la production correspondante, à 10~kg près.
La calculatrice donne :

$f(3) = 10$ et $f(4) \approx 64,6$, donc $3 < x_0 < 4$ ;

$f(3) = 10$ et $f(3,1) \approx 12,22$, donc $3 < x_0 < 3,1$ ;

$f(3,06) \approx 11,28$ et $f(3,07) \approx 11,29$, donc $3,06 < x_0 < 3,07$ ;

$f(3,060) \approx 11,28$ et $f(3,061) \approx 11,302$, donc $3,060 < x_0 < 3,061$.

Soit en kilos : $\np{3060} < x_0 < \np{3061}$. 
		\item %Quel est alors le coût moyen de fabrication ? 
		
%On rappelle que le quotient $\dfrac{C(x)}{x}$ est appelé coût moyen de fabrication pour une production de $x$ tonnes de produit.
Pour $x = 3,06,\: C(3,06) \approx \np{2014,55}$ et $\dfrac{C(3,06)}{3,06} \approx 658,35$.

Pour $x = 3,061,\: C(3,061) \approx \np{2014,56}$ et $\dfrac{C(3,06)}{3,06} \approx 658,14$.

Le coût moyen de fabrication par tonne est à l'euro près  658~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la production d'énergie d'origine éolienne en France, exprimée en milliers de tonnes d'équivalent pétrole (Ktep) :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 			&2000 &2002 &2003 &2004 	&2005&2006 &2007 \\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$	& 0 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 \\ \hline
%Production  $y_{i}$		& 7 	&23	&34 	&51 	&83 	&188 	&348 \\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\small Source : INSEE avril 2008}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le pourcentage d'augmentation de la production entre 2000 et 2007.
$\dfrac{348 - 7}{7}\times 100 = \dfrac{341}{7}\times 100 \approx \np{4871}\,\%$ d'augmentation de la production entre 2000 et 2007.
		\item  %Justifier que le pourcentage d'augmentation annuel moyen de la production entre 2000 et 2007 est 74,72\,\%, valeur arrondie au centième.
Il faut trouver le nombre $t$ tel que :

$(1 + t)^7 = \np{4871} \iff 1 + t = \np{4871}^{\frac{1}{7}} \iff t = \np{4870}^{\frac{1}{7}} - 1 \approx 74,72$.

Le pourcentage annuel moyen d'augmentation sur la période 2000-2006 est 74,72\,\%.
 
		\item  %En utilisant ce pourcentage d'augmentation annuel moyen de 74,72\,\%, déterminer la valeur obtenue en partant de l'année 2000 pour la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 ? On donnera la valeur arrondie à l'unité.
	 
%Quel est le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur réelle ?
Avec cette valeur la production en 2005 aurait du être  : 
$7 \times \np{1,7472}^5 \approx 113,975$~Ktep ; elle n'a été que de 83 soit une erreur de :

$\dfrac{113,975 - 83}{83} \approx 37,32$\,\%.
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on se propose de réaliser un ajustement de type exponentiel.

On pose $z = \ln y$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au centième. 
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&0 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 \\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&1,95	&3,14	&3,53	&3,93	&4,42	&5,24	&5,85 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\item %Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; les résultats seront arrondis au centième.
La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au centième : $z =  0,54x + 1,92$.
	\item %En déduire que : $y = 6,82  \times 1,72^x$, les résultats étant arrondis au centième.
On a $z = \ln y =  0,54x + 1,92 \iff y = \text{e}^{0,54x + 1,92} = \text{e}^{0,54x} \times \text{e}^{1,92}$.

Or $\text{e}^{1,92} \approx 6,820$, donc $y = 6,82 \times \text{e}^{0,54x} = 6,82 \times \left(\text{e}^{0,54} \right)^x \approx 6,82 \times 1,716^x$, soit en arrondissant au centième :

$y = 6,82  \times 1,72^x$.
	\item %En utilisant cet ajustement, déterminer la valeur arrondie à l'unité obtenue pour 2005.
2005 correspond au rang $x = 5$, d'où une production de $y = 6,82  \times 1,72^x5 \approx 102,6$ soit à peu près 103~Ktep.
	\end{enumerate} 
\item %On a représenté le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ainsi que l'ajustement précédent dans un repère semi-logarithmique donné en annexe. 
	\begin{enumerate}
	\item %À l'aide du graphique, estimer la production pour l'année 2009. Placer le point correspondant sur le graphique.
Voir le graphique à la fin. On lit à peu près 900~Ktep. 
	\item %À l'aide du graphique, déterminer à partir de quelle année la production de 2007 sera multipliée par dix. On mettra en évidence sur le graphique toute trace utile pour la réponse.
On part de l'ordonnée  $348 \times 10 = 3480$ ; la ligne horizontale coupe la droite en un  point ddont l'abscisse est à peu près 11,5. Il faut prendre $x = 12$, donc attendre 2012.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l'entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de $x$ heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de $y$ heures. La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée en centaines de m$^2$, est donnée par la fonction
% 
%\[f(x~;~y) = \sqrt{2xy}~~ \text{où}~x~ \text{et}~y~\text{sont exprimées en heures.}\]
%
%\medskip
%
%Une heure de travail coûte 15~euros et une heure de location du matériel coûte 30~euros. Les contraintes matérielles imposent que $0 \leqslant x \leqslant 120$ et $0 \leqslant y \leqslant 100$.
%
%La figure 1 donnée en annexe représente la surface $\mathcal{S}$  d'équation $z = f(x~;~y)$.
%
%La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan $(x\text{O}y)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour $z$ variant de 10 en 10.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Les points A$\left(20~;~40~;~z_\text{A}\right)$ et B$\left(60~;~y_\text{B}~;~60\right)$ sont des points de la surface $\mathcal{S}$.
		
%Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.
$z_\text{A} = \sqrt{2 \times 20 \times 40 } = \sqrt{\np{1600}} = 40$ ;

$60 = \sqrt{2 \times 60 y_\text{B}} \iff \np{3600} = 120y_\text{B} v\iff y_\text{B} = 30$.
		\item %Lire sur la figure 1 les coordonnées du point C et en donner une interprétation concrète.
		\item %Placer sur la figure 1 le point D de coordonnées $(10~;~80~;~40)$.
Voir à la fin.
		\item %Donner la nature de la courbe de niveau $z = 50$.
Les points ont des coordonnées qui vérifient $z = 50$ et $\sqrt{2xy} = 50 \Rightarrow 2xy = \np{2500} \iff y = \dfrac{\np{1250}}{x}$ : c'est une hyperbole.
	\end{enumerate}
\item %Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à \np{2400}~euros.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $x$ et $y$ sont liés par la relation $y = - \dfrac{1}{2}x + 80$.
Le coût hebdomadaire est égal à $15x + 30y$.

On a donc $15x + 30y = \np{2400} \iff 5x + 10y = \np{800} \iff x + 2y = 160 \iff 2y = 160 - x \iff y = - \dfrac{1}{2}x + 80$.
		\item %Quelle est la nature de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M(x~;~y~;~z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient  $y = - \dfrac{1}{2}x + 80$ ?
$(\mathcal{E})$ est un plan parallèle  à l'axe O$z$.
		\item %Représenter l'ensemble $(\mathcal{E})$ sur la figure 2 de l'annexe.
Voir la figure.

L'intersection du plan $(\mathcal{E})$ avec le plan $x$O$y$ est une droite  contenant les points de coordonnées (0~;~80) et (120~;~20).
\item %En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de \np{2400} euros.
On voit sur le dernier graphique que la cote la plus grande correspond au point où la surface $\mathcal{S}$ coupe le plan $\mathcal{P}$. On voit que ce point a pour coordonnées (80~;~40), ce qui correspond à une surface de $z = \sqrt{2\times 80 \times 40} = \sqrt{6400} = 80$, soit \np{8000}~m$^2$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, sous la contrainte  $y = - \dfrac{1}{2}x + 80,~z$ peut s'écrire sous la forme $z = g(x)$, $g$ étant la fonction définie sur [0~;~120] par $g(x) = \sqrt{160x - x^2}$.
On a avec $0\leqslant x \leqslant 120$, \:$\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac{1}{2}x + 80\\
z = \sqrt{2xy}
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac{1}{2}x + 80\\
z &=& \sqrt{2x\left(- \dfrac{1}{2}x + 80 \right)}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac{1}{2}x + 80\\
z &=& \sqrt{-x^2 + 160x }
\end{array}\right.$
		\item %Démontrer que sur ]0~;~120], $g'(x) = \dfrac{80 - x}{\sqrt{160x - x^2}},~g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, puis démontrer que la fonction $g$ admet un maximum sur l'intervalle [0~;~120].
La fonction $g$ est dérivable sur [0~;~120] et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{- 2x + 160}{2\sqrt{- x^2 + 160x}} = \dfrac{80 - x}{\sqrt{- x^2 + 160x}}$.

Comme $\sqrt{- x^2 + 160x} > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $80 - x$ :

$\bullet~~$si $x < 80$, alors $g'(x) > 0$, la fonction est croissante sur [0~;~80] ;

$\bullet~~$si $x > 80$, alors $g'x) < 0$, la fonction est décroissante sur [80~;~120]

$\bullet~~$si $x = 80$, alors $g'(80) = 0$, $g(80)$ est donc le maximum de la fonction sur [0~;~120].
		\item %En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum.
$g(80) = \sqrt{160 \times 80 - 80^2} = \sqrt{\np{12800} - \np{6400}} = \sqrt{\np{6400}} = 80$centaines de m$^2$, soit \np{8000}~m$^2$.

Pour un coût de \np{2400}~\euro, on peut traiter un maximum de \np{8000}~m$^2$ pour 80 heures de travail salarié et 40 heures de location de matériel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Enseignement de spécialité : exercice 4}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\textbf{Figure 1 :}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-10.5,-1)(15,23)
\psset{Beta=40,Alpha=225}
%\psset{Beta=90,Alpha=180} %pour contours
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=12,yMax=10,zMax=16,drawing=false]
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,10,0)(0,0,0)(12,0,0)(12,0,16)(12,10,16)(0,10,16)(0,10,0)
 
\pstThreeDPut(6,-1.5,-1){$x$}
\pstThreeDPut(-1,5,-1){$y$}
\pstThreeDPut(-1,11.5,8){$z$}

%\pstThreeDLine(1,10,0)(1,10,7)
\psset{linewidth=0.5pt}
\multido{\n=0+1}{17}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(-0.5,10.5,\n){\tiny{\z}}}
\multido{\n=0+1}{13}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(\n,-0.5,-0.5){\tiny{\z}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(-0.5,\n,-0.5){\tiny{\z}}}
\multido{\n=0+1}{16}{\pstThreeDLine(0,10,\n)(12,10,\n)(12,0,\n)}
%z<=160
\newgray{gris}{0.90}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,12){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){12 t 24 t mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=150
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,11.25){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](11.25,12){t 225 t 2 mul div 15}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=140
\newgray{gris}{0.8}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,9.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](9.8,12){t 196 t 2 mul div 14}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.1667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=130
\newgray{gris}{0.2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,8.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](8.45,12){t 169 t 2 mul div 13}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.04167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=120
\newgray{gris}{0.8}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,7.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](7.2,12){t 144 t 2 mul div 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=110
\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,6.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](6.05,12){t 121 t 2 mul div 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5.0417,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=100
\newgray{gris}{0.9}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,5){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](5,12){t 100 t 2 mul div 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=90
\newgray{gris}{0.6}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,4.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](4.05,12){t 81 t 2 mul div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=80
\newgray{gris}{0.2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,3.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](3.2,12){t 64 t 2 mul div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=70
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,2.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](2.45,12){t 49 t 2 mul div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.041667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=60
\newgray{gris}{0.6}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,1.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1.8,12){t 36 t 2 mul div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=50
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,1.25){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1.25,12){t 25 t 2 mul div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.041667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=40
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.8,12){t 16 t 2 mul div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.6667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=30
\newgray{gris}{0.95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.45,12){t 9 t 2 mul div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=20
\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.2,12){t 4 t 2 mul div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.1667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=10
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.05,12){t 1 t 2 mul div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.04167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}

%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black,plotpoints=1000,plotstyle=curve}
\psplotThreeD[xPlotpoints=12,yPlotpoints=10,drawStyle=xyLines,linecolor=black](0,12)(0,10){x y mul 2 mul sqrt}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){12 t t 24 mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){t 10 t 20 mul sqrt }
%\psSurface[ngrid=12 10](0,12)(0,10){x y mul 2 mul sqrt}
%le point C
\pstThreeDDot[dotstyle=*,dotscale=0.5,linewidth=2pt](9,2,6)
\pstThreeDDot[dotstyle=*,dotscale=0.5,linewidth=2pt](1,8,4)
\pstThreeDPut(9.2,2.3,6.6){\large{\bf{$C$}}}
\pstThreeDPut(1.2,8.3,4.6){\large{\bf{$D $}}}
\psset{linewidth=1pt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](11.25,12){t 225 t 2 mul div 15}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.8,12){t 196 t 2 mul div 14}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.45,12){t 169 t 2 mul div 13}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.2,12){t 144 t 2 mul div 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6.05,12){t 121 t 2 mul div 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5,12){t 100 t 2 mul div 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.05,12){t 81 t 2 mul div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.2,12){t 64 t 2 mul div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.45,12){t 49 t 2 mul div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.8,12){t 36 t 2 mul div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.25,12){t 25 t 2 mul div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.8,12){t 16 t 2 mul div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.45,12){t 9 t 2 mul div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.2,12){t 4 t 2 mul div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.05,12){t 1 t 2 mul div 1}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%\newpage
\textbf{Figure 2 :}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(15,12)
%\psset{Beta=40,Alpha=225}

\psset{Beta=90,Alpha=180} %pour contours
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=12,yMax=10,zMax=16,drawing=false]
\psset{linecolor=gray}
\pstThreeDLine(0,10,0)(0,0,0)(12,0,0)(12,0,16)(12,10,16)(0,10,16)(0,10,0)
 
\pstThreeDPut(6,-1.5,-1){$x$}
\pstThreeDPut(-1.5,5,-1){$y$}

\psset{linewidth=0.5pt}

\multido{\n=0+1}{13}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(\n,-0.5,-0.5){\tiny{\z}}}
\multido{\n=0+1}{11}{\fpMul{\z}{\n}{10}\pstThreeDPut(-0.5,\n,-0.5){\tiny{\z}}}
\multido{\n=0+1}{16}{\pstThreeDLine(0,10,\n)(12,10,\n)(12,0,\n)}
%z<=160
\newgray{gris}{0.90}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,12){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){12 t 24 t mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=150
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,11.25){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](11.25,12){t 225 t 2 mul div 15}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=140
\newgray{gris}{0.8}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,9.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](9.8,12){t 196 t 2 mul div 14}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.1667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=130
\newgray{gris}{0.2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,8.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](8.45,12){t 169 t 2 mul div 13}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.04167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=120
\newgray{gris}{0.8}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,7.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](7.2,12){t 144 t 2 mul div 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=110
\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,6.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](6.05,12){t 121 t 2 mul div 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5.0417,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=100
\newgray{gris}{0.9}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,5){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](5,12){t 100 t 2 mul div 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=90
\newgray{gris}{0.6}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,4.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](4.05,12){t 81 t 2 mul div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=80
\newgray{gris}{0.2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,3.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](3.2,12){t 64 t 2 mul div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=70
\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,2.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](2.45,12){t 49 t 2 mul div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.041667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=60
\newgray{gris}{0.3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,1.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1.8,12){t 36 t 2 mul div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=50
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,1.25){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](1.25,12){t 25 t 2 mul div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.041667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=40
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.8){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.8,12){t 16 t 2 mul div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.6667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=30
\newgray{gris}{0.95}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.45){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.45,12){t 9 t 2 mul div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.375,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=20
\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.2){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.2,12){t 4 t 2 mul div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.1667,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}
%z<=10
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,.05){t 10 20 t mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0.05,12){t 1 t 2 mul div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.04167,0){12 t t 24 mul sqrt}
\pstThreeDLine(12,0,0)(0,0,0)(0,10,0)
}

%surface
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black,plotpoints=1000,plotstyle=curve}
\psplotThreeD[xPlotpoints=12,yPlotpoints=10,drawStyle=xyLines,linecolor=black](0,12)(0,10){x y mul 2 mul sqrt}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){12 t t 24 mul sqrt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){t 10 t 20 mul sqrt }
%\psSurface[ngrid=12 10](0,12)(0,10){x y mul 2 mul sqrt}
%le point A
%\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2)
%\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}}
\psset{linewidth=1pt}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](11.25,12){t 225 t 2 mul div 15}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.8,12){t 196 t 2 mul div 14}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.45,12){t 169 t 2 mul div 13}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.2,12){t 144 t 2 mul div 12}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6.05,12){t 121 t 2 mul div 11}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5,12){t 100 t 2 mul div 10}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.05,12){t 81 t 2 mul div 9}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.2,12){t 64 t 2 mul div 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.45,12){t 49 t 2 mul div 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.8,12){t 36 t 2 mul div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.25,12){t 25 t 2 mul div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.8,12){t 16 t 2 mul div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.45,12){t 9 t 2 mul div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.2,12){t 4 t 2 mul div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.05,12){t 1 t 2 mul div 1}
\pstThreeDLine[linecolor=red](0,8,0)(12,2,0)
\pstThreeDLine[linecolor=red,linestyle=dashed](8,0,0)(8,4,0)(0,4,0)
\end{pspicture*}
\par\end{center}

\vfill

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe}}

\bigskip

\textbf{À remettre avec la copie}

\begin{flushleft}\textbf{Enseignement obligatoire : exercice 4} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=2.4cm}
\begin{pspicture}(14,4)
%\psgrid
\psline(0,0.833)(13.445,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0.845)(2,1.3617)(3,1.5315)(4,1.7076)(5,1.9191)(6,2.2742)(7,2.5416)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,4)}
\psaxes[axesstyle=frame,logLines=y,ylogBase=10,xsubticks=1,ysubticks=10](14,4)
\psline[linestyle=dashed](9,0)(9,2.952)(0,2.952)\uput[l](0,2.85){900}
\psline[linestyle=dashed](0,3.55)(11.5,3.55)(11.5,0)\uput[l](0,3.55){\np{3480}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}