\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole--La Réunion septembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat ES } \lfoot{\small Métropole--La Réunion} \rfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]septembre 2007}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. % %\textbf{ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} % %\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.} % %\medskip %Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble $]-6~;~-3[ \cup ] -3~;~+\infty[$. Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant : % %\bigskip % %\begin{pspicture}(12,3) %\psframe(12,3) %%\psgrid %\psline(0,2.5)(12,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline(6.9,0)(6.9,2.5)\psline(7.1,0)(7.1,2.5) %\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$-6$} \uput[u](4.5,2.5){$-4$} \uput[u](5.75,2.5){$-3,5$} \uput[u](7,2.5){$-3$} \uput[u](9.5,2.5){$2$} %\uput[u](11.7,2.5){$+ \infty$} %\rput(1,1.5){Variations} \rput(1,0.5){de $f$} %\rput(2.2,0.4){$7$} \rput(4.5,2.2){$8$} \rput(5.75,1.15){$0$} \rput(6.5,0.4){$- \infty$} %\rput(7.4,2.25){$+ \infty$} \rput(9.5,0.4){$3$} \rput(11.75,2.25){$5$} %\psline{->}(2.4,0.4)(4.3,2.1) \psline{->}(4.7,2.1)(6.3,0.6) \psline{->}(7.5,2)(9.3,0.4) %\psline{->}(9.7,0.4)(11.5,2.1) %\end{pspicture} \begin{enumerate} \item %On peut affirmer que : %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %Réponse A : $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty$.&Réponse B : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 5$\\ %Réponse C : $\displaystyle\lim_{x \to -6} f(x) = - \infty$.& Réponse D : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to -3\\ x < -3}} f(x) = 0$.\\ %\end{tabularx} Réponse B évidente. \item %La courbe représentative de $f$ admet pour asymptotes les droites d'équation :\\ %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %Réponse A : $x =5$ et $y = -3$ & Réponse B : $x = -3$ et $y = 5$.\\ %Réponse C : $y = 8$ et $y =3$ &Réponse D : $x = -6$ et $y = 5$.\\ %\end{tabularx} Réponse B. \item %Dans l'ensemble $]-6~;~ -3[ \cup ] -3~ ;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = 4$ admet\\ %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %Réponse A : $0$ solution &Réponse B : $1$ solution\\ %Réponse C : $2$ solutions &Réponse D : $3$ solutions\\ %\end{tabularx} Réponse D. \item %On considère le nombre réel $I = \displaystyle\int_{2}^4 f(x) \:\text{d}x$. On peut affirmer que :\\ %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %Réponse A : $0 \leqslant I \leqslant 3$ & Réponse B : $6\leqslant I \leqslant 10$\\ %Réponse C : $3 \leqslant I \leqslant 6$ & Réponse D : $I \geqslant 10$.\\ %\end{tabularx} Sur l'intervalle [2~;~4] la fonction varie au maximum de 3 à 5. L'intégrale est majorée par l'aire du rectangle de longueur $4 - 2 = 2$ et de hauteur $5$. L'aire de ce rectangle est égale à 10 unités d'aire. Elle est minorée par l'aire du rectangle de longueur $4 - 2 = 2$ et de hauteur 3, donc d'aire 6~unités d'aire. Réponse B. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France : % %\medskip % %\medskip \begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Années&2000&2001&2002&2003 &2004\\ \hline %Rang de l'année, $x_{i}$& 0&1&2&3&4\\ \hline %Nombres de PACS en milliers, $y_{i}$ & 22,1 &19,4& 25& 31,1& 39,6\\ \hline %\end{tabularx} %\begin{flushright}Source INSEE.\end{flushright} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004. Le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité entre 2000 et 2004 est : $\dfrac{39,6 - 22,1}{22,1}\times 100 \approx 79,1855$ soit 79,2\,\% à 0,1 près. \item \textbf{On envisage un ajustement affine} \begin{enumerate} \item %À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Par la suite, on pose $f(x) = ax + b$. La calculatrice donne $y = 4,67x + 18,1$. \item %En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007. 2007 correspond au rang $x = 7$, ce qui donne d'après l'ajustement affine : $4,67 \times 7 + 18,1 = 50,79$, soit environ \np{50790} pactes signés. \end{enumerate} \item \textbf{On envisage un autre type d'ajustement} %On modélise le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés durant l'année $2000+x$ % ($x$ entier) à l'aide de la fonction $g$ définie par % \[g(x) = 1,6x^2 - 1,8x + 21,4.\] \begin{enumerate} \item %En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2007. Avec $x = 7$, on obtient $g(7) = 1,6 \times 7^2 - 1,8 \times 7 + 21,4 = 87,2$~milliers de pactes signés en 2007. \item %On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015. %Le nombre de milliers de Pactes civils de solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à \np{100000} ? Justifier. 2010 correspond au rang $x = 10$, ce qui donne : $g(10) = 1,6 \times 10^2 - 1,8 \times 10 + 21,4 = 163,4$~milliers de pactes signés en 2010 soit \np{163400} pactes donc plus de \np{100000}. \end{enumerate} \item \textbf{Comparaison des deux ajustements} %Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$x_{i}$& 0&1&2& 3&4\\ \hline %$\left[(y_{i} - f(x_{i})\right]^2$& 16& 11,36& 5,95& 1,02& 7,95\\ \hline %\end{tabularx} %\medskip %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$x_{i}$ &0 &1 &2 & 3&4\\ \hline %$\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$ &0,49 &3,24 &0,64 &0,49&0,04 \\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item ~%Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. \medskip \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &0 &1 &2 & 3&4\\ \hline $\left[(y_{i} - g(x_{i})\right]^2$ &0,49 &3,24 &0,64 &0,49&0,04 \\ \hline \end{tabularx} \item %Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier. Pour l'ajustement par la fonction $f$ la somme des carrés des écarts est égale à : $16 + 11,36 + 5,95 + 1,02 + 7,95 = 42,28$ ; et pour la fonction $g$ cette somme est égale à : $0,49 + 3,24 + 0,64 + 0,49 + 0,04 = 4,9$. C'est donc l'ajustement par la fonction $g$ (ajustement parabolique) qui est le meilleur. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie I} \medskip %Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues. % %\begin{center} %\begin{pspicture}(8,3.25) %\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE %\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED %\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF %\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} %\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets. Ce graphe a 6 sommets, son ordre est 6. Les sommets dans l'ordre alphabétique ont pour degré 4 ; 3 ; 4 ; 3 ; 3 ; 3. \item %Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse. Il faut trouver une chaîne eulérienne. Or quatre sommets ont un degré impair, donc cette chaîne n'existe pas.Il n'est pas possible de parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip %Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues. % %\begin{center} %\psset{arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25) %\pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} %\pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F} %\pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B} %\pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F} %\pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C} %\pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B} %\pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A} %\pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A} %\pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C} %\pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N} \ncline{N}{D} %\pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E} %\pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E} %%\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE % %\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Écrire la matrice M associée à ce graphe. %(On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique). La matrice $M$ associée à ce graphe est $M = \begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\end{pmatrix}$. \item \begin{enumerate} \item %Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ? Les trajets de longueur 2 reliant D à B sont : D--A--B et D--C--B. \item %Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ? Dans la matrice $M^2$ le nombre situé à la quatrième ligne et la deuxième colonne donne le nombre de chaînes de longueur 2 reliant D à B. $M^2 = \begin{pmatrix}0&0&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&1\\1&2&0&0&1&0\\1&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0\end{pmatrix}$. Ce nombre est bien 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $R$. On note $f'$ sa fonction dérivée. % %Les points A (3 ; e) et B (4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe. % %La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6. % %\medskip \textbf{PARTIE I : lecture graphique} \medskip Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier. \medskip \begin{enumerate} \item %Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [3~;~10] a-t-on $f(x) \leqslant 2$ ? On a $f(x) \leqslant 2$ pour $x \in [4~;~10]$. \item %Déterminer $f'(3)$ et $f'(4)$. Le nombre dérivé $f'(3)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 3, donc $f'(3) = 0$. $f'(4) = \dfrac{-2}{2} = - 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE II étude de la fonction} \medskip %La fonction $f$ représentée dans l'ANNEXE, est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par % %\[f(x) = (x - 2) \text{e}^{(- x + 4)}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer $f(0)$. Donner la valeur décimale arrondie à l'unité. $f(0) = - 2\text{e}^{4} \approx - 109,196 \approx - 109$ à l'unité près \item %On donne $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat. $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ signifie géométriquement que l'axe des abscisses est asymptote à ($\mathcal{C}$) au voisinage de plus l'infini. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que %$f'(x) = (3 - x) \text{e}^{(- x + 4)}$. Produit de fonctions dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, la fonction $gf$ est dérivable et sur cet intervalle : $f'(x) = 1\text{e}^{(- x + 4)} + (x- 2)\times (- 1)\text{e}^{(- x + 4)} = \text{e}^{(- x + 4)}(1 - x + 2) = (3 - x)\text{e}^{(- x + 4)}$. \item %Sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Quel que soit le réel $x$, on sait que $\text{e}^{(- x + 4)} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - x$. $\bullet~~$si $x < 3$, alors $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur [0~;~3] ; $\bullet~~$si $x > 3$, alors $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[3~;~+ \infty[$ $\bullet~~$si $x = 3$, alors $f'(3) : 0$ : $f(3) = (3 - 2)\text{e}^{- 3 + 4} = \text{e}$ est le maximum de la fonction sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item %On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par %\[g(x) = (1 - x) \text{e}^{(-x + 4)}\] %est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty[$. %En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [2 ; 10]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième. %Rappel : Soit $f$ une fonction et $[a~;~ b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable. %La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a ~;~b]$ est le nombre $m$ tel que : %\[ m = \dfrac{1}{b - a} \times \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] On a $m = \dfrac{1}{10 - 2} \times \displaystyle\int_{2}^{10} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{8}[g(x)]_2^{10} = \dfrac{1}{8}[g(10) - g(2)] = \dfrac{1}{8}(1 - 10) \text{e}^{(- 10 + 4)} - \dfrac{1}{8}(1 - 2) \text{e}^{(- 2 + 4)} = - 9\dfrac{1}{8}\text{e}^{- 6} + \dfrac{1}{8}\text{e}^{(2)} = \dfrac{1}{8}\left[\text{e}^{(2)} - 9\text{e}^{- 6}\right] \approx \np{0,9208}$ soit environ 0,921 au millième près. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE III : étude d'un bénéfice} \medskip %Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour $1,8 \leqslant x \leqslant 4,5$. % %Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$ pour $x \in $[1,8~;~4,5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins $180$ litres et au plus $450$ litres. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de $400$ litres (soit 4 centaines de litres). Le bénéfice en euros est donc $f(4) = 2\text{e}^{2} \approx \np{14,7781}$~milliers d'euros soit à l'euro près \np{14778}~\euro. \item %Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. On a vu que le maximum de la fonction $f$ est $f(3) = \text{e}$. Il faut donc produire 3 centaines de litres, soit 300 litres de parfum. %Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1~\euro). $f(3) = \text{e} \approx \np{2,71828}$ milliers d'euros soit à l'euro près \np{2728}~\euro. \item %À partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend-elle pas à perte ? Il faut résoudre $f(x) \geqslant 0 \iff (x - 2)\text{e}^{- x + 4} \geqslant 0 \iff x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2$ \quad (car $\text{e}^{- x + 4} > 0$ pour tout réel $x$). Il faut donc produire au moins 2 centaines soit 200 litres de parfum par jour pour ne pas vendre à perte. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but. % %Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égal à $0,8$ ; %\item s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,7$ ; %\item s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est $0,5$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On note R$_{1}$ l'évènement : \og le premier tir au but est réussi \fg{} et $\overline{\text{R}_{1}}$ son évènement contraire, % %R$_{2}$ l'évènement: \og le second tir au but est réussi \fg{} et $\overline{\text{R}_{2}}$ son évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R_1$~}\taput{0,8}} {\TR{$R_2$}\taput{0,7} \TR{$\overline{R_2}$}\tbput{0,3} } \pstree{\TR{$\overline{R_1}$~}\tbput{0,2}} {\TR{$R_2$}\taput{0,5} \TR{$\overline{R_2}$}\tbput{0,5} } } \end{center} \bigskip \item %Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis. On a $p\left(R_1 \cap R_2 \right) = p\left(R_1 \right)\times p_{R_1}\left(R_2\right) = 0,8 \times 0,7 = 0,56$. \item \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que le second tir au but soit réussi. On a $p\left(\overline{R_1} \cap R_2 \right) = p\left(\overline{R_1} \right)\times p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right) = 0,2 \times 0,5 = 0,1$. D'après la loi des probabilités totales : $p\left(R_2\right) = p\left(R_1 \cap R_2 \right) + p\left(\overline{R_1} \cap R_2 \right) = 0,56 + 0,1 = 0,66$. \item %Les évènements $\text{R}_{1}$ et $\text{R}_{2}$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. On a $p\left(R_1\right) = 0,8$ ; $p\left(R_1\right) = 0,66$ et $p\left(R_1 \cap R_2 \right) = 0,56 \ne p\left(R_1\right) \times p\left(R_1\right) = 0,528$, donc les évènements ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \item %On note A l'évènement : \og Jean a réussi exactement un tir au but \fg. %Montrer que $p (\text{A}) = 0,34$. On a $p(A) = p\left(R_1 \cap \overline{R_2}\right) + p\left(\overline{R_1} \cap R_2 \right)$. Or $p\left(R_1 \cap \overline{R_2}\right) = p\left(R_1 \right) \times p_{R_1}\left(\overline{R_2} \right) = 0,8 \times 0,3 = 0,24$. $p\left(\overline{R_1} \cap R_2 \right) = p\left(\overline{R_1} \right) \times p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right) = 0,2 \times 0,5 = 0,1$. Donc $p(A) = 0,24 + 0,1 = 0,34$. \end{enumerate} %\newpage %\begin{center} %\textbf{ANNEXE} % %\bigskip % %\textbf{EXERCICE 3} % %\bigskip % %\textbf{Commun à tous les candidats} % %\bigskip % %\psset{unit=1.125cm} %\begin{pspicture}(-0.666,-8.3)(10,3.66) %\multido{\d=-0.6666+0.3333}{33}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\d,-8.333)(\d,3.666)} %\multido{\d=-8.3333+0.3333}{37}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.666,\d)(10,\d)} %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.666,-8.3)(10,3.66) %\psplot{2.333}{9.666}{6 x sub} %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{1.39}{9.666}{2.71828 4 x sub exp x 2 sub mul} %\uput[d](3,2.666){A} \uput[ur](4,2){B} \uput[u](8,0.25){$(\mathcal{C})$} %\uput[d](8,-2.4){(T)} \uput[dl](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{center} \end{document}