\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-3dplot,pst-slpe} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole juin 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat ES } \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 14 juin 2007} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole 14 juin 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{QCM} \medskip %Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. % %Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. % %Aucune justification n'est demandée. % %\emph{NOTATION : une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout nombre réel $a$ et pour tout nombre réel $b$, on peut affirmer que $\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$ est égal à : Réponse B (cours) %\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} %Réponse A :~$\text{e}^{\left(\frac{a}{b}\right)}$ &Réponse B :~ $\text{e}^{(a - b)}$ &Réponse C : ~$\text{e}^{a} - \text{e}^{b}$ \\ %\end{tabularx} \item %On considère trois fonctions $f,~ g$ et $h$ définies sur $\R$ telles que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$.\\ %Si l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$ alors on peut en déduire que : %\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} %Réponse A :~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ &Réponse B : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = -\infty$ &Réponse C : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = +\infty$ \\ %\end{tabularx} Réponse C \item %On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. On donne ci-dessous son tableau de variations.\\ %\begin{center}\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture}(14,4.5) %\psframe(14,4.5) \psline(2,0)(2,4.5) \psline(0,2.5)(14,2.5) %\psline(0,3.5)(14,3.5) %\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.6,0.5)(5.7,2.1) %\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6.3,2.1)(9.7,0.5) %\psline[linewidth=1.5pt]{->}(10.3,0.5)(13.3,2.1) %\rput(1,4){$x$} \rput(1,3){$f'(x)$} \rput(1,1.25){$f(x)$} %\uput[u](2.3,3.7){$- \infty$ } \uput[u](6,3.7){$-1$} \uput[u](10,3.7){$1$} %\uput[u](13.6, 3.7){$+ \infty$} \uput[u](4,2.7){$+$} \uput[u](6,2.7){$0$} %\uput[u](8,2.7){$-$} \uput[u](10,2.7){$0$} \uput[u](12,2.7){$+$} %\uput[u](2.2,0){$0$} \uput[d](6,2.5){e} \uput[u](10,0){$\sqrt{2}$} \uput[d](13.6,2.5){$+ \infty$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %L'équation $f(x) =1$ admet dans $\R$: %\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} %Réponse A :~trois solutions &Réponse B : deux solutions &Réponse C : une solution \\ %\end{tabularx} Une solution inférieure à $- 1$. Réponse C. \item %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij.\\ %La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ peut avoir pour équation : %\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %Réponse A :~$y=-3x+2$ &Réponse B : $y = 3x+2$ &Réponse C : $y= -4$ \\ %\end{tabularx} Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est : $y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y = xf'(0) + f(0)$. On lit sur le tableau : $\sqrt{2} \approx 1,414 {\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année & 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline %Montant des recettes touristiques $y_{i} $ en millions d'euros&\np{24495}& \np{26500}& \np{29401}& \np{33299}& \np{33675}& \np{34190}\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. %Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième. La calculatrice donne après arrondi des coefficients au centième : $y = \np{2111,37}x + \np{24981,57}$. \item %En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au million d'euros. 2007 correspond au rang $x = 7$, d'où $y = \np{2111,37}\times 7 + \np{24981,57} = \np{39761,16}$ soit au million près \np{39761}~millions d'euros. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre entier $n$ par % %\[f(n) = \text{e}^{10,13 + 0,07n}.\] % %On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen. Ainsi $f(n)$ représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année $2000 + n$. \begin{enumerate} \item %Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Arrondir le résultat au million d'euros. Pour $n = 7$, on obtient $f(n) = \text{e}^{10,13 + 0,07\times 7} = \text{e}^{10,62} \approx \np{40945,6}$ soit environ \np{40946}~millions d'euros au million près. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le nombre entier $n$ à partir duquel $f(n) > \np{45000}$. Il faut résoudre l'inéquation : $f(n) > \np{45000} \iff \text{e}^{10,13 + 0,07n}> \np{45000} \iff 10,13 + 0,07n > \ln \np{45000} \iff$ $0,07n > \ln \np{45000} - 10,13 \iff n > \dfrac{\ln \np{45000} - 10,13}{0,07}$. Or $\dfrac{\ln \np{45000} - 10,13}{0,07} \approx 8,3$ : il faut donc attendre 9 ans. \item %En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait \np{45 000} millions d'euros. $n = 9$ correspond à l'année 2009. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs %: le travail de la main d'{\oe}uvre et l'utilisation des machines. On %désigne : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item par $x$ la durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre, exprimée %en heure; $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~10]$ %\item par $y$ la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée %en heures; $y$ appartient à l'intervalle $]0~;~12]$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation %: %\[f\left(x~;~y\right)=\frac{3xy}{x + y}\mbox{ avec }0 < x\leqslant 10\mbox{ et }0 < y \leqslant 12.\] % % %La figure ci-dessous représente la surface $\left(\mathcal{S}\right)$ %d'équation : $z = f\left(x~;~y\right)$ pour $0 < x\leqslant10$ et % %$0 < y\leqslant 12$. % %\begin{center} %\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.8cm} %\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(20,13) %\psset{Beta=15,Alpha=165} %%\psset{Beta=90,Alpha=180} pour tests %\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=12,zMax=9,drawing=false] %\psset{linecolor=gray} %\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,12,9)(10,12,9)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0) %\pstThreeDPut(-0.5,0,2){4} %\pstThreeDPut(-0.5,0,4){8} %\pstThreeDPut(-0.5,0,6){12} %\pstThreeDPut(-0.5,0,1){2} %\pstThreeDPut(-0.5,0,3){6} %\pstThreeDPut(-0.5,0,5){10} %\pstThreeDPut(-0.5,0,0){0} %\pstThreeDPut(-0.5,0,7){14} %\pstThreeDPut(-0.5,0,8){16} %\pstThreeDPut(-0.5,0,9){18} %\pstThreeDPut(5,0,-1.5){\footnotesize{$x$ : durée journalière de travail de la main d'{\oe}uvre}} %\pstThreeDPut(12.5,6,0){\scriptsize{$y$: durée journalière}} %\pstThreeDPut(12.5,5.5,-0.5){\scriptsize{d'utilisation des machines}} %%\pstThreeDPut(-1,0,1) %\rput{90}(-1,5){\footnotesize{$z$ : quantité journalière produite}} %\rput(8,12){\bf{surface $(\mathcal{S})$ d'équation $z=\dfrac{3xy}{x + y}$}} %\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,9) %\psset{linewidth=0.5pt} %\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}} %\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDPut(10.5,\n,0){\tiny{\n}}} %\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(10,12,\n)} %\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,9)} %\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(10,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,9)} %%z est divisé par 2 %%z=0-2 %\newgray{gris}{0.15} % %\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1} %%pscustom semble avoir besoin de ceci pour "démarrer" %\psset{linecolor=red,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200}%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment. %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ %%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](12,2){2 t mul 3 t mul 2 sub div t 1} %%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=200](0.70588,10){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1} %%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment. %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.7142857,0){10 t 15 t mul 10 t add div} %\pstThreeDLine(10,0,0)(0,0,0)(0,12,0) %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,0.70588){t 12 18 t mul t 12 add div} %} % %%z=2-4 %\newgray{gris}{0.25} %\pscustom[fillstyle=crosshatch,hatchcolor=gris,hatchsep=4pt]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=200](10,0.70588){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1} %%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1){t 2 t mul 3 t mul 2 sub div 1} %%\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2,12){2 t mul 3 t mul 2 sub div t 1} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0.70588,1.5){t 12 18 t mul t 12 add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,10){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.53846,0.7142857){10 t 15 t mul 10 t add div} % %} %%z=4-6 %\newgray{gris}{0.75} %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.5,1.53846){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,1.5){t 4 t mul 3 t mul 4 sub div 2} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](1.5,2.4){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%z=6-8 %\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=gris]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,10){t 6 t mul 3 t mul 6 sub div 3} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.5,3.6364){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,3.42857){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2.4,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%z=8-10 %\newgray{gris}{0.30} %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.42857,10){t 8 t mul 3 t mul 8 sub div 4} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](3.6364,5){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,4.61538){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.61538,3.42857){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%z=10-12 %\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=gris]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.61538,10){t 10 t mul 3 t mul 10 sub div 5} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](5,6.6667){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,4.61538){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%z=12-14 %\newgray{gris}{0.60} %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=12pt]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6,10){t 12 t mul 3 t mul 12 sub div 6} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](6.6666,8.75){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,7.63636){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.63636,6){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%z=14-16 %\newgray{gris}{0.25} %\pscustom[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt]{ %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](7.6364,10){t 14 t mul 3 t mul 14 sub div 7} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](8.75,11.42857){10 t 15 t mul 10 t add div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,9.6){t 16 t mul 3 t mul 16 sub div 8} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](9.6,7.6364){t 12 18 t mul t 12 add div}} %%surface %\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black} %\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,linecolor=black,plotstyle=curve](0.001,10)(0.001,12){% %3 x y mul mul x y add div 2 div} %% le bord de la surface : %\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div} %\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div} %%le point A %\pstThreeDDot[dotstyle=x,dotscale=2,linewidth=2pt](6,1.7142857,2) %\pstThreeDPut(5.8,1.5,2.55){\large{\bf{$A$}}} %%la légende %\psset{linewidth=0.5pt, linecolor=black} %\psframe(15.5,2)(19.8,12) %\newgray{gris}{0.25} %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,2.5)(16.5,3.3) \rput[l](17,2.9){$0\leqslant z\leqslant 2$} %\psframe[fillstyle=crosshatch,hatchcolor=gris,hatchsep=4pt](15.7,3.5)(16.5,4.3) \rput[l](17,3.9){$2\leqslant z\leqslant 4$} %\newgray{gris}{0.75} %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,4.5)(16.5,5.3) \rput[l](17,4.9){$4\leqslant z\leqslant 6$} %\psframe[fillstyle=vlines,fillcolor=gris](15.7,5.5)(16.5,6.3) \rput[l](17,5.9){$6\leqslant z\leqslant 8$} %\newgray{gris}{0.30} %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,6.5)(16.5,7.3) \rput[l](17,6.9){$8\leqslant z\leqslant 10$} %\psframe[fillstyle=hlines,fillcolor=gris](15.7,7.5)(16.5,8.3) \rput[l](17,7.9){$10\leqslant z\leqslant 12$} %\newgray{gris}{0.60} %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](15.7,8.5)(16.5,9.3) \rput[l](17,8.9){$12\leqslant z\leqslant 14$} %\newgray{gris}{0.25} %\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=gris,hatchcolor=white,hatchsep=3pt,hatchwidth=1.8pt](15.7,9.5)(16.5,10.3) \rput[l](17,9.9){$14\leqslant z\leqslant 16$} %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.7,10.5)(16.5,11.3) \rput[l](17,10.9){$16\leqslant z\leqslant 18$} %\end{pspicture*} %\par\end{center} \textbf{\large Partie 1 :} Le point $A$ représenté par une croix est un point de la surface $\left(\mathcal{S}\right)$. \begin{enumerate} \item %Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote %du point $A$. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième). On lit $x = 6$ et $z = 4$. On a donc $z = \dfrac{3xy}{x + y} \iff 4 = \dfrac{18y}{6 + y} \iff 4(6 + y) = 18y \iff 24 + 4y = 18y \iff 24 = 14y \iff y = \dfrac{24}{14} = \dfrac{12}{7} \approx 1,7$ au dixième près. \item %Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise. Pour une durée de travail de 6 heures et 1,7~h d'utilisation de machines, on produit 4~tonnes. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie 2 :} %Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros. %L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche %à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a %alors $4x + y = 36$. % %La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte %de coût peut donc être modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle %$]0~;~10]$ par $g(x)={\displaystyle \frac{4x^{2}- 36x}{x-12}}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$. \medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, calculer $g'(x)$ et montrer que %$g'(x) = {\displaystyle \frac{4\left(x-6\right)\left(x-18\right)}{\left(x-12\right)^{2}}}$. $g'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = 4x^{2}- 36x$, d'où $u'(x) = 8x - 36$ et $v(x) = x - 12$, d'où $v'(x) = 1$. $g'(x) = \dfrac{(8x - 36)(x - 12) - \left(4x^{2}- 36x\right)}{(x - 12)^2} = \dfrac{8x^2 - 96x - 36x + 432 - 4x^2 + 36x}{(x - 12)^2} = \dfrac{4x^2 - 96x + 432}{(x - 12)^2}$. Or d'après l'indication du résultat : $4\left(x-6\right)\left(x-18\right) = 4\left(x^2 - 18x - 6x + 108 \right) = 4\left(x^2 - 24x + 108 \right) = 4x^2 - 96x + 432$. Donc on a bien $g'(x) = \frac{4(x - 6)(x - 18)}{(x - 12)^{2}}$. \medskip \item %Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~10]$. Comme $x - 12)^2 >0$, le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur donc de $(x - 6)(x - 18)$, trinôme qui est positif (car $a = 1 > 0$) sauf entre les racines 6 et 18, donc entre 6 et 10. On a donc : $\bullet~~$$g'(x) > 0$ sur [0~;~6] : $g$ est croissante sur cet intervalle ; $\bullet~~$$g'(x) < 0$ sur [6~;~10] : $g$ est décroissante sur cet intervalle ; $\bullet~~$$g'(x) = 0$ pour $x = 6$ : la fonction a donc un maximum en $x = 6$. \end{enumerate} \medskip \item \begin{enumerate} \item %En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros. La production est maximale pour $x = 6$, d'où $y = 36 - 4x = 36 - 24 = 12$. La production est maximale pour 6 heures de main d'œuvre et 12 heures de machines. \item %Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes. On a vu que le maximum de la fonction $g$ est $g(6) = \frac{4\times 6^{2}- 36 \times 6}{6 - 12} = \dfrac{144 - 216}{- 6} = \dfrac{- 72}{-6} = 12$~(tonnes). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet. % %40\,\% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\,\% sont de niveau moyen et 30\,\% de niveau difficile. % % Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95\,\% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60\,\% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40\,\% des cas. % %Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire. % %On considère les évènements suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[~] $F$ : \og la grille est de niveau facile \fg %\item[~] $M$ : \og la grille est de niveau moyen \fg %\item[~] $D$ : \og la grille est de niveau difficile \fg %\item[~] $R$ : \og Pierre réussit la grille \fg ~et $\overline{R}$ son évènement contraire. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item ~%Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$~}\taput{0,4}} {\TR{$R$}\taput{0,95} \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,05} } \pstree{\TR{$M$~}\taput{0,3}} {\TR{$R$}\taput{0,6} \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,4} } \pstree{\TR{$D$~}\tbput{0,3}} {\TR{$R$}\taput{0,4} \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,6} } } \end{center} \medskip \item \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. On a $p(D \cap R) = p(D) \times p_{D}(R) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$. \item %Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas. $p\left(F \cap \overline{R} \right) = p(F) \times p_F(\left(\overline{R} \right) = 0,4 \times 0,05 = 0,02$. \item %Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68. D'après la loi des probabilités totales : $p(R) = p(F \cap R) + p(M \cap R) + p(D \cap R)$ $p(F \cap R) = 0,4 \times 0,95 = 0,38$ ; $p(M \cap R) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$, donc $p(R) = 0,38 + 0,18 + 0,12 = 0,68$. \end{enumerate} \item %Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ? D'après la question précédente $p\left(\overline{R}\right) = 1 - p(R) = 1 - 0,68 = 0,32$. D'autre part $p\left(\overline{R} \cap M \right) = p\left( M \cap \overline{R}\right) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$. Donc $p_{\overline{R}}(M) = \dfrac{p\left(\overline{R} \cap M \right)}{p\left(\overline{R}\right)} = \dfrac{0,12}{0,32} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0,375$. \item %Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite s{\oe}ur affirme: \og Je pense que ta grille était facile \fg. %Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul. Calculons la probabilité que Pierre ait résolu une grille facile : $p_R(F) = \dfrac{p(R \cap F)}{p(R)} = \dfrac{0,38}{0,68} = \dfrac{38}{68} = \dfrac{19}{34}$ soit un peu plus d'une chance sur deux. Sa sœur n'a donc pas raison. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes. % %\medskip \textbf{Partie I : étude des coûts hebdomadaires de production} \medskip \begin{enumerate} \item %Le coût marginal de production est fonction de la quantité $x$ de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_{m}$ définie pour les nombres réels $x$ de l'intervalle [0~;~10] par : %\[C_{m}(x) = x + \dfrac{16}{x + 1}.\] %($C_{m}(x)$ est exprimé en centaines d'euros, $x$ en kilogrammes). Étudier les variations de la fonction $C_{m}$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [0~;~10]. Comme $x + 1 \geqslant 1 > 0$, la fonction $C_m$ est défivable sur [0~;~10] et sur cet intervalle : $C'_m(x) = 1 - \dfrac{16}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x + 1)^2 - 16}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x + 1)^2 - 4^2}{(x 1)^2} = \dfrac{(x + 1 + 4)'x + 1 - 4)}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x + 5)(x - 3)}{(x + 1)^2}$. Comme le dénominateur est positif, le signe de $C'_m(x)$ est celui du numérateur qui un trinôme du second degré. On sait que celui-ci est positif (car $a = 1 > 0$), sauf entre les racines $- 5$ et $3$. Donc : $\bullet~~$$C'_m(x) < 0$ si $0 \leqslant x \leqslant 3$ : la fonction $C_m$ est décroissante sur [0~;~3] ; $\bullet~~$$C'_m(x) > 0$ si $3 \leqslant x \leqslant 10$ : la fonction $C_m$ est croissante sur [3~;~10] ; $\bullet~~$$C'_m(x) = 0$ si $x = 3$. Il y a un minimum de la fonction pour $x = 3$. Ce minimum est égal à $C_m(3) = 3 + \dfrac{16}{3 + 1} = 3 + 4 = 7$. \item %En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction $C_{m}$. %Déterminer la fonction $C$, primitive de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [0~;~10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre $0$ et $10$ kilogrammes, sachant que $C(0) = 0$. Une primitive de la fonction $x \longmapsto C_m(x)$ est la fonction $x \longmapsto C(x) = \dfrac{x^2}{2} + 16\ln (x + 1) + K$, avec $K \in \R$. La condition $C(0) = 0$ implique $\dfrac{0^2}{2} + 16\ln (0 + 1) + K = 0 \iff K = 0$. Conclusion : $C(x) = \dfrac{x^2}{2} + 16\ln (x + 1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II : étude du bénéfice hebdomadaire.} \medskip %On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse $x$ (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par : % % \[B(x) = 9x - 0,5x^2 - 16\ln (x + 1).\] % %La représentation graphique de la fonction $B$ dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe $(\Gamma)$ donnée ci-dessous. % %\begin{center} %\psset{unit=0.9cm} %\begin{pspicture}(-1,-3)(11,6) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-3)(11,6) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(11,6) %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{9 x mul 0.5 x 2 exp mul sub x 1 add ln 16 mul sub} %\uput[u](10.7,0){$x$} \uput[r](0,5.7){$y$} \uput[u](9.5,3){$(\Gamma)$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On admet que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle [1~;~7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7~;~10]. %En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal. La fonction $B$ admet donc un maximum pour $x = 7$ \item %Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro). Ce maximum est égal à $B(7) = 9\times 7 - 0,5 \times 7^2 - 16\ln (7 + 1) = 63 - 24,5 - 16\ln 8 =$ $ 38,5 - 16\ln 8 \approx 5,228$ soit 5,23~centaines d'euros à l'euro près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Utiliser la courbe $(\Gamma)$ pour déterminer un encadrement d'amplitude $0,5$ de la plus petite quantité $x_{0}$ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent. On voit que la courbe $\Gamma$ coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse $x_0$ est telle que $2,5 < x_0 < 3$. \item %Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de $x_{0}$ approchée au centième. La calculatrice donne : $f(2,8) \approx - 0,08$ et $f(2,9) \approx 0,12$, donc $2,8 < x_0 < 2,9$ ; $f(2,84) \approx - 0,0004$ et $f(2,85) \approx 0,04$, donc $2,84 < x_0 < 2,85$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}