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% Tapuscrit François Hache
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole Réunion},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L - Métropole - La Réunion~\decofourright\\[5pt]
21 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\begin{enumerate}
\item \emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.}

On considère l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
{\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0,2$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,8$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\textbf{Affirmation 1}: La probabilité de $\overline{R}$ sachant $S$ est $0,06$.

\medskip

On a $P_S\left(\overline{R}\right) = \dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)}$.

$\bullet~~$ $P\left(S \cap \overline{R}\right) = P\left(\overline{R} \cap S\right) = P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,3 \times 0,2 : 0,06$.

$\bullet~~$ D'après la loi des probabilités totales :

$P(S) = P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S \right) = P(R) \times P_R (S) + P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,7 \times 0,4 + 0,3 \times 0,2 = 0,28 + 0,06 = 0,34$.

Donc $\dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)} = \dfrac{0,28}{0,34} = \dfrac{28}{34} = \dfrac{14}{17} \approx 0,82$ : l'affirmation est fausse.

\medskip

\item Soit $k$ un réel tel que $0 \leqslant k < 18$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left [k~;\, 18\strut\right ]$. On suppose que l'espérance de $X$ est égale à 12.

%L'espérance de $X$ sur $[k~;~18]$ est égale à $\dfrac{k + 18}{2} = 12 \iff k +18 = 24 \iff k = 6$ : l'affirmation est fausse.
\smallskip

\textbf{Affirmation 2}: La valeur de $k$ est 9.

L'espérance de $X$sur $[k~;~18]$ est égale à $\dfrac{k + 18}{2} = 12 \iff k +18 = 24 \iff k = 6$ : l'affirmation est fausse.

\medskip

\item On considère l'équation suivante:

\[\ln\left (x^2\right ) - \ln \left ( \dfrac{x^5}{\e}\right ) + \ln(2) = \ln(2x) +5.\]

\smallskip

\textbf{Affirmation 3}: $\dfrac{1}{\e}$ est l'unique solution de cette équation.

On cherche des solutions dans l'intervalle $\left ] 0~;\, +\infty \right [$ pour que $\ln\left (\dfrac{x^5}{\e} \right )$ et $\ln(2x)$ soient définis. 

$\ln\left (x^2\right ) - \ln \left ( \dfrac{x^5}{\e}\right ) + \ln(2) = \ln (2x) + 5 \iff \ln \dfrac{x^2}{\frac{x^5}{\text{e}}} + \ln 2 - \ln (2x) = 5 \iff \ln \dfrac{\text{e}}{x^3} + \ln \dfrac{2}{2x} = 5 \iff \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x^3}\right) + \ln \left(\dfrac{1}{x}\right) = 5 \iff \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x^3} \times \dfrac{1}{x} \right) = 5 \iff \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x^4} \right) = 5 \iff \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x^4} \right) = \ln \left(\text{e}^5 \right)$, d'où par croissance de la fonction logarithme :

$\dfrac{\text{e}}{x^4} = \text{e}^5 \iff \dfrac{1}{x^4} = \text{e}^4 \iff \dfrac{1}{x} = \text{e} \iff  x = \dfrac{1}{\text{e}}$ : l'affirmation est vraie.
\medskip

\item Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée $f'$, est continue sur $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}\hline
 x & 0 & \esp & 5 & \esp & 15 \\\hline
  & \Rnode{max1}{30}  &  &  &  & \Rnode{max2}{20}   \\
f'(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-5} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Affirmation 4}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\smallskip

D'après le tableau de variations de $f'$, cette dérivée s'annule sur l'intervalle [0~;~5] et sur l'intervalle [5~;~15]. Il existe donc $a \in [0~;~5[$ tel que $f'(a) = 0$ et $b \in ]5~;~15]$ tel que $f'(b) = 0$. En ces deux points distincts le nombre dérivé est nul ce qui signifie que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ sont horizontales : l'affirmation est fausse.

\textbf{Affirmation 5}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.

D'après le tableau de variations $f$ est décroissante sur $[5~;~b]$ et croissante sur $[b~;~15]$ ; comme $f'$ est croissante sur [5~;~15], la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle : affirmation vraie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}

\medskip

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l'agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu'il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence élimine 4\,\% des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l'année $2018+n$. On a ainsi $u_0=300$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on an $u_{n+1}=0,96u_n + 22$.
Soit $u_n$ le nombre de pommier par hectare l'année $n$ ; l'année suivante supprimer 4\,\% revient à multiplier $u_n$ par $1 - \dfrac{4}{100} = 1 - 0,04 = 0,96$.

Il restera donc $0,96 \times u_n$ et en plantant 22 pommiers il y aura donc l'année $n +1$ :

\[u_{n+1} = 0,96u_n + 22.\]
\item %Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en 2020.
$\bullet~~$En 2019, $n = 1$, donc $u_1 = 0,96u_0 + 2 = 0,96 \times 300 + 22 = 288 + 22 = 310$ ; 

$\bullet~~$En 2020, $n= 2$, donc $u_2 = 0,96u_1 + 22 = 0,96 \times 310 + 22 = 297,6 + 22 = 319,6$ soit 320 pommiers à l'unité près. 
\end{enumerate}

\item ~%Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela on utilise l'algorithme suivant:

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus pour qu'il détermine le rang de l'année cherchée.
%\begin{center}
\hfill{}
\begin{tabular}[t]{|l|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 300$\\
Tant que $U {\blue \leqslant 400}$\\
\hspace*{1cm} $N \leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U \leftarrow {\blue 0,96 \times U + 22}$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\hfill{}
%\end{center}

\item %Quelle est la valeur de $N$ en sortie d'algorithme?
On peut programmer l'algorithme et faire afficher la valeur de $N$.

Sur une calculatrice en entrant 300, puis $*0,96 + 22$, il faut appuyer 13 fois sur la touche Entrée pour obtenir plus de 400 : $u_{12} \approx 396,8$ et $u_{13} \approx 402$, donc $N = 13$.
\end{enumerate}

\item %On définit la suite $(v_n)$ en posant $v_n=u_n-550$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

On a quel que soit le naturel $n$, $v_{n + 1} = u_{n+1} - 550 = 0,96u_n + 22 - 550$

$v_{n+1} = 0,96u_n - 528 = 0,96 \left(u_n - \dfrac{528}{0,96}\right) = 0,96\left(u_n - 550\right)
= 0,96 v_n$.

Quel que soit $n \in \N$, \: $v_{n+1} = 0,96v_n$ : cette relation montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96, de premier terme $v_0 = u_0 - 550 = 300 - 550 = -250$.
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démonter que:
On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$, \: $v_n = v_0 \times 0,96^n$, soit :

\[v_n = - 250 \times 0,96^n.\]

Or $v_n=u_n-550 \text{ donc }  u_n = v_n + 550 = - 250 \times 0,96^n + 550$.

Finalement quel que soit $n \in \N$, \: $u_n = 550 - 250 \times 0,96^n$.
%\[u_n=550 - 250\times 0,96^{n}.\]
\item %Estimer le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025.
2025 correspond à $n = 7$.

$u_7 = 550 - 250 \times 0,96^7 \approx 362,1$, donc 362 pommiers à l'unité près par hectare.

Or l'exploitation de Laurence a une superficie de 14 hectares.

Elle devrait donc avoir en 2025 :

$14 \times u_7 = 14\left(550 - 250 \times 0,96^7\right) \approx \np{5069,9}$ soit \np{5070} pommiers à l'unité près.
\item %En résolvant l'inéquation $u_n>400$, retrouver le résultat obtenu à la question \textbf{2.b.}
On a $u_n > 400 \iff 550 - 250\times 0,96^{n} > 400 \iff 150 > 250 \times 0,96^n \iff \dfrac{150}{250} > 0,96^n \iff 0,6 > 0,96^n  \iff \ln 0,6 > n \ln 0,96$ (par croissance de la fonction logarithme népérien), d'où

$n > \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96}$ (car $\ln 0,96 < 0$).

Or $\dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \approx 12,5$. On retrouve bien que la plus petite valeur solution de l'inéquation est 13.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Pour se rendre à l'université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l'un passant par les routes départementales, l'autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.

Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu'elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$.

Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu'elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.

Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $D$ l'évènement \og Julie emprunte les routes départementales \fg{};
\item $R$ l'évènement \og Julie emprunte la voie rapide \fg{}.  
\end{list}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item ~%Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et $R$.

\medskip
\begin{center}
$\begin{psmatrix}[mnode=circle,colsep=3]
D & R \\
\end{psmatrix}$
\psset{nodesep=0pt,arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,2}^{0,2}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.5}_{0,8}
\ncarc[arcangle=20]{1,2}{1,1}^{0,4}
\nccircle[angleA=-90]{1,2}{0.5}_{0,6}
\end{center}
\medskip
\item %Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l'ordre alphabétique.
On a $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\item %Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice
%$P_n = \begin{pmatrix} d_n & r_n \end{pmatrix}$
%où $d_n$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le $n$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item %Donner $P_1$.
$P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$
\item %Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3\ieme$ jour.
$M^2 = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,64 + 0,08&0,16+0,12\\0,32+0,24&0,08 + 0,36\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}$.

On a donc $P_3 = P_1 \times M^2 = \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,56&0,44\end{pmatrix}$.

La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3$\up{e} jour est égale à 0,44.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en déduire les expressions de $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $d_n$ et $r_n$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n+1} = P_n \times M$ ou encore 

$\begin{pmatrix}d_{n+1}&r_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d_{n}&r_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8d_n + 0,4r_n&0,2d_n+0,6r_n\end{pmatrix}$. Conclusion :

quel que soit  $n$ naturel non nul, $\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1}&=&0,8d_n + 0,4r_n\\
r_{n+1}&=&0,2d_n + 0,6r_n
\end{array}\right.$.
		\item %Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$?

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}
%\hline
%Algorithme 1 & Algorithme 2 & Algorithme 3\\
%\hline
%$D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$\\
%$R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$\\
%Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 2 à 3\\
%\hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$\\
%\hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 0,2 D + 0,6 R$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1-D$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1-D$ \\
%Fin Pour & Fin Pour  & Fin Pour \\
%\hline
%\end{tabularx}
L'algorithme 1 ne calcule ni $d_3$ ni $r_3$.

L'algorithme 2 calcule $d_4$ et $r_4$ (trois étapes).

Seul l'algorithme 3 calcule $d_3$ et $r_3$.
\medskip
	\end{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,4 r_n + 0,2$.
On a démontré que quel que soit $n$ naturel non nul, $r_{n+1} = 0,2d_n + 0,6r_n$.

Or on sait que $d_n + r_n = 1 \iff d_n = 1 - r_n$, soit en remplaçant dans la première égalité :

$r_{n+1} = 0,2\left(1 - r_n \right) + 0,6r_n = 0,2- 0,2r_n + 0,6r_n = 0,2 + 0,4r_n$.

On a donc quel que soit le naturel $n$ non nul : $r_{n+1} = 0,4r_n + 0,2$.
\item On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
Au rang $n + 1$, on a donc :

$v_{n+1} = r_{n+1} - \dfrac{1}{3}$ et en utilisant le résultat de la question précédente :

$v_{n+1} = 0,4r_n + 0,2 - \dfrac{1}{3} = 0,4r_n + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} = 0,4r_n + \dfrac{3 - 5}{15} = 0,4r_n - \dfrac{2}{15} = \dfrac{2}{5}r_n -  \dfrac{2}{15} = \dfrac{2}{5}\left(r_n - \dfrac{1}{3} \right)$.

Conclusion quel que soit le naturel $n$ non nul : 

$v_{n+1} = \dfrac{2}{5}v_n$, égalité qui montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$, de premier terme $v_1 = r_1 - \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul:
On sait que quel que soit le naturel $n \geqslant 1$, \: $v_n = v_1 \times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}$, soit $v_n = \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}$.

Or $v_n  = r_n - \dfrac{1}{3} \iff r_n = v_n + \dfrac{1}{3}$ donc 
$r_n=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{2}\times \left (\dfrac{2}{5}\right )^{n} =\dfrac{1}{3}+ \dfrac{5}{3}\times \left (\dfrac{2}{5}\right )^{n} $,

ce qui donne bien $r_n=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{3}\times 0,4^{n}$.

	\item %Que peut-on prévoir à long terme ?
Comme $0 < \dfrac{2}{5} < 1$, \:$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} = 0$, d'où 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} r_n = \dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

%Les cours d'eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou de pénurie d'eau.
%
%Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d'une rivière.
%
%Ce débit en mètre cube par seconde (m$^3$.s$^{-1}$) peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 15,5$ et $\sigma = 6$.
%
%On estime qu'il y a pénurie d'eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à 8~m$^3$.s$^{-1}$.
%
%On estime qu'il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à 26~m$^3$.s$^{-1}$.
%
%Entre ces deux débits, il n'y a pas de vigilance particulière.

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau.
La probabilité qu'il y ait pénurie d'eau est égale à $P(D < 8) = P(D \leqslant 5,5) - P(8 \leqslant D \leqslant 15,5)  \approx  0,5 - 0,39$ d'après la calculatrice.
La probabilité qu'il y ait pénurie d'eau est environ 0,11.
\item %Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière.
Il n'y a pas de problème quand $8 \leqslant D \leqslant 26$. Or d'après la calculatrice $P(8 \leqslant D \leqslant 15,5) \approx 0,85$.
\item %Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$~m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$~m$^3$.s$^{-1}$ est d'environ $0,95$. 
On sait que $P(\mu - 2\sigma \leqslant D \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$.

Or ici $\mu - 2\sigma = 3,5$ et $\mu + 2\sigma = 27,5$.

Donc au centième près $P(3,5 \leqslant D \leqslant 27,5) \approx 0,95$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

%Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d'eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
%
%Un quart des relevés est effectué par l'équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.
%
%On choisit 10 relevés au hasard sur l'ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 10 tirages avec remise.
%On s'intéresse au nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi ces 10 relevés.

\begin{enumerate}
\item %Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.
À chaque relevé la probabilité que ce soit l'équipe de Sébastien qui effectue celui-ci est égale à $\dfrac{1}{4} = 0,25$ et les choix relevant du hasard, on peut dire que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,25$.
\item %Calculer la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien.
On a $P(x = 4) = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} \times 0,25^4 \times (1 - 0,25)^4 \approx \np{0,1459}$ soit environ 0,15.
\item %Calculer la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien.
On a $P(X \geqslant 2) = 1- P(X \leqslant 1) \approx 1 - 0,244 \approx 0,76$.

La probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien est environ $0,76$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

%Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l'eau: \og satisfaisante \fg{} ou \og non satisfaisante \fg{}  . On s'intéresse à la proportion de relevés de qualité \og satisfaisante \fg{}. Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95\,\%$ dont l'amplitude est inférieure à $0,1$ ?
Si l'échantillon est de taille $n$, l'amplitude de l'intervalle de confiance est égale à 
$\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

Il faut donc résoudre $\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,1 \iff \dfrac{20}{\sqrt{n}} < 1 \iff 20 < \sqrt{n} \Rightarrow 400 < n $.

Conclusion : il faut plus de 400 relevés pour obtenir une estimation de la proportion $p$ de relevés de qualité \og satisfaisante \fg{} avec une précision inférieure à $0,1$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d'un fauteuil (ébauche du fauteuil en \textbf{annexe 1}).
%On modélise l'accoudoir à l'aide de la fonction $f$ définie sur $\left [0~;\, 60\strut\right ]$ par;
%
%\[f(x) = 70 + \left (14x+42\right) \e^{-\frac{x}{5}}.\]
%
%La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ est donnée en \textbf{annexe 2}.
%
%On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.
%
%\begin{flushleft}
%\textbf{Partie A}
%\end{flushleft}
%
%\emph{Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en \textbf{annexe 2}.}
%
%\smallskip
%
%On admet que le point A de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 7 est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une valeur approchée de $f(0)$ et $f(60)$.
On lit $f(0) \approx 112$ et $f(60) \approx 70$.
\item %Déterminer $f''(7)$.
Puisque A de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 7 est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$, on sait que $f''(7) = 0$.
\item %On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$, et les droites d'équation $x=0$ et $x=60$.
\begin{enumerate}
\item %Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l'\textbf{annexe 2}.
Voir l'annexe 2.
\item %L'ébéniste estime l'aire de cette surface à \np{3800} unités d'aire. Cette estimation est-elle correcte?
La surface contient le rectangle de dimensions 70 et 60 soit une aire d'au moins \np{4200} unités d'aire : l'estimation de l'ébéniste est inférieure à la réalité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item %Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;\, 60\strut\right]$ on a:
La fonction $f$ est dérivable car produit de sommes de fonctions dérivables sur $\R$, donc sur [0~;~60].

La dérivée de la constante étant nulle, il faut dériver $u(x) \times v(x)$, avec 

$u(x) = 14x + 42$ et $v(x) = \e^{-\frac{x}{5}}$, on obtient :

$u'(x) = 14$ et $v'(x) = - \dfrac{1}{5}\e^{-\frac{x}{5}}$. Donc 

$f'(x) = 14\e^{-\frac{x}{5}} + (14x + 42)\times \left(- \dfrac{1}{5} \right)\e^{-\frac{x}{5}} = \e^{-\frac{x}{5}}\left(14 - \dfrac{14x + 42}{5}  \right) = 
\e^{-\frac{x}{5}}\left(\dfrac{70 -14x - 42}{5}  \right) \\
\phantom{f'(x)}
 = \e^{-\frac{x}{5}}\left(\dfrac{28 -14x }{5} \right)$. 

%\[f'(x)= \dfrac{1}{5}\left ( -14x+28\right )\e^{-\frac{x}{5}}.\]

\item
\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
Comme $5 > 0$ et que quel soit le réel $x$, \: $\e^{-\frac{x}{5}} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $28 - 14x = 14(2 - x)$.

On voit aisément que si $0 \leqslant x < 2$, alors $2 - x > 0$ : la dérivée est positive sur [0~;~2[ ; 

$f'(2) = 0$ ;

si $x > 2$, alors $2 - x < 0$ : la dérivée est négative sur ]2~;~60].
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.

%On arrondira à l'unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
On déduit des résultats précédents le tableau de variations de la fonction $f$ :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 2 & \esp & 60 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\approx 117}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{112} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\approx 70} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

Avec $f(0) = 70 + 42 = 112$ ; $f(2) = 70 + 70\text{e}^{-0,4} \approx 116,922$ et $f(60) = 70 + 882\text{e}^{- 12}\approx 70,0054$.
\end{enumerate} 

\item %Un logiciel de calcul formel permet d'afficher les lignes suivantes:

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabular}{|c|l}
%\hline
%1       & Dérivée $\left (\text{Dérivée }\left (70+\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}\right )\right )$\\
%$\circ$ & \boldmath{$\rightarrow\quad\dfrac{1}{25}\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\e^{-\frac{1}{5}x}$}\\
%\hline
%2      & Factoriser $\left (\dfrac{1}{25}\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5}\e^{-\frac{1}{5}x} \right )$\\
%$\circ$ & \boldmath{$\rightarrow\quad 14\e^{-\frac{1}{5}x}.\dfrac{x-7}{25\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$}\\
%\hline
% \end{tabular}
%\end{center}

%En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de $f$.
Le logiciel indique que $f''(x) = 14\e^{-\frac{1}{5}x}\times \dfrac{x - 7}{25}$.

Comme $\dfrac{14}{25} > 0$ et que quel soit le réel $x$, \: $\e^{-\frac{1}{5}x} > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x - 7$.

Donc $f''(x) = 0 \iff x = 7$, ce qui montre que la fonction a un point d'inflexion pour $x = 7$.

De plus $f''(x) < 0 \iff x - 7 < 0 \iff x < 7$, donc la fonction est concave sur [0~;~7] ;

$f''(x) > 0 \iff x - 7 > 0\iff x > 7$, donc la fonction est convexe sur [7~;~60].

\item %Pour tout nombre réel de l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$, on pose:

%\[g(x) = \left ( 14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}\]
%
%\hfill{}et\hfill{}
%
%\[G(x)=\left (-70x-560\right ) \e^{-\frac{x}{5}}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
$G$ produit de fonctions dérivables sur [7~;~60] est dérivable et sur cet intervalle :

$G'(x) = - 70\e^{-\frac{x}{5}} - \dfrac{1}{5}\times (- 70x - 560)\e^{-\frac{x}{5}} = - 70\e^{-\frac{x}{5}} +   (14x + 112)\e^{-\frac{x}{5}} = \e^{-\frac{x}{5}}(- 70 + 14x + 112) = \e^{-\frac{x}{5}}(14x + 42) = g(x)$, ce qui démontre que $G$ est une primitive de $g$ sur [0~;~60].
\item %En déduire une primitive de $f$ sur l'intervalle $\left [0~;\, 60\strut\right ]$.
Comme pour tout $x$ de [0~;~70], $f(x) = g(x) + 70$, une primitive de $f$ est la fonction $G(x) + 70x = 70x + \left (-70x-560\right ) \e^{-\frac{x}{5}}$.
\item %Calculer la valeur exacte de 
%$\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x$,
%puis en donner une valeur approchée à l'unité d'aire près.
D'après la question précédente :

$\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x = \left[70x + \left (-70x-560\right ) \e^{-\frac{x}{5}} \right]_0^{60} \\
\phantom{\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x}
= \left (70\times 60 + \left (-70 \times 60 - 560\right ) \e^{-\frac{60}{5}} \right )- \left(70\times 0 + \left (-70\times 0 -560\right ) \e^{-\frac{0}{5}} \right) \\
\phantom{\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x}
= \np{4200} - \np{4760}\e^{-12} - (- 560) = \np{4760} - \np{4760}\e^{-12}$.

Comme $\np{4760}\e^{-12} \approx 0,03$, on a donc 
$\ds\int_{0}^{60} f(x) \d x  \approx \np{4760}$ à l'unité près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

L'ébéniste découpe 2 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l'annexe 2 en choisissant comme unité le cm.

Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (\textbf{annexe 1}) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à \np{5400}~cm$^2$. Or il lui reste le quart d'un petit pot de vernis pouvant couvrir $10$~m$^2$.% Aura-t-il suffisamment de vernis?

Il y a 2 accoudoirs à vernir sur les 2 faces, ce qui fait 4 faces en tout.
La surface à vernir est, en cm$^2$, d'environ $4\times \np{4760} + \np{5400} = \np{24440}$ soit  $\np{2,444}$~m$^2$.

Il a un quart de pot qui couvre 10~m$^2$ donc il peut vernir $2,5$~m$^2$.

L'ébéniste aura donc assez de vernis.

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes: à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 4}

\textbf{Annexe 1: ébauche du fauteuil}

%\begin{center}
%\includegraphics*[scale=0.3]{metro.eps}
%\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(9,13)
\newrgbcolor{C0}{0.28 0.25 .35}
\newrgbcolor{C1}{.78 .75 .75}
\newrgbcolor{C2}{1 .26 .28}
\newrgbcolor{C3}{.88 .86 .84}
\newrgbcolor{C4}{.92 .91 .89}
\newrgbcolor{C5}{.92 .92 .92}
\psset{Alpha=150,Beta=35,linecolor=C0, linewidth=1pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\pstThreeDLine(.2,0.8,11.6922)(.2,5,11.6922)(.2,5,0)(.2,.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,5,0)(.1,5,11.58)(.1,5.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0.1,6){t 5.8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5.8,0)(6,5,0)(0,5.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 5 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5,0)(0,5,0)(0,5,11.2)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\pstThreeDLine(6,0,5)(6,5,5)(0,5,5)(0,0,5)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,0,0)(.1,0,11.58)(.1,0.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0.1,6){t .8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0.8,0)(6,0,0)(0,0.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 0 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0,0)(0,0,0)(0,0,11.2)
}
\pstThreeDLine(6,0,7)(6,0.8,7)\pstThreeDLine(6,5,7)(6,5.8,7)
\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,0,0)(0,5,0)(0,5,5)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,5,0)(3.5,5,0)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,4,5)(0,.8,5)(6,.8,5)
\rput(-3,3){\rnode{A}{\psframebox{\parbox{1.5cm}{\centering{\sf{\small{Face d'un accoudoir}}}}}}}
\pnode(1,3){B}
\ncline[linewidth=1.5pt]{->}{A}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm, yunit=0.05cm}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {62}
\def\ymin {-10}   \def\ymax {145}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=2cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(7,8) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,Dx=10,Dy=20]{->}%
(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{60}{70 14 x mul 42 add 2.7183 x -5 div exp mul add}
\uput[u](25,72,64){\blue $\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{60}{70 14 x mul 42 add 2.71828 x  5 div exp div add}
\psline(60,0)(0,0)}
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{38}{-3.45 x mul 128.69 add}
\psdots(7,104.52) \uput[ur](7,104.52){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}