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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Métropole--La Réunion~\decofourright\\septembre 2009}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
%
%On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
%La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
%
%On note e le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par les points B(0~;~2) et A($- 1~;~\text{e})$.
%
%Elle admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
%
%La tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ passe par le point D(2~:~0).
%
%\medskip
%
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-0.5)(4.25,3.25)
\psplot[plotpoints=3000, linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{x  2 add 2.71828 x exp div}
\psplot{-1.2}{2.5}{2 x sub}
\uput[ul](-1,2.71828){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ur](2,0){D} \uput[u](3,0.25){$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$} \uput[dl](0,0){O}
\psline{<->}(-1.75,2.71828)(-0.25,2.71828)
\psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=cyan](-1,2)(0,3)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan](-1,0)(0,2) 
\end{pspicture*}
\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :

	\begin{enumerate}
		\item %le nombre de solutions sur l'intervalle $[-2~;~4]$ de l'équation $f(x) = 1$ et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.
L'équation a deux solutions : $- 2 < \alpha < - 1,75$ et $1 < \beta < 1,25$.
		\item %la valeur de $f^{\prime}(-1)$.
		Le nombre dérivé en $- 1$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $- 1$ soit $0$.
		\item %le signe de la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
La fonction est croissante sur $[- 2~;~- 1[$, donc $f'(x) > 0$ sur cet intervalle ;
		
$f'(- 1) = 0$ ;

La fonction est décroissante sur $[- 1~;~4[$, donc $f'(x) < 0$ sur cet intervalle
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Donner en justifiant :

	\begin{enumerate}
		\item %le coefficient directeur de la tangente $(T)$.
Le coefficient directeur de la tangente $(T)$ est celui de la droite (BD) soit $\dfrac{0 - 2}{2 - 0} = - 1$.
		\item %l'encadrement par deux entiers naturels consécutifs de l'intégrale $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.
On a (voir la figure) $2 < \displaystyle \int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x < 3$.		
		\item %celle des trois courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right),~\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{3}\right)$ données en annexe qui représente la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$.
Ce n'est pas $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ car elle est positive sur [2~;~4].

On a vu que $f'(0) = - 1$, ce qui n'est pas le cas de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$.

Il ne reste que $\left(\mathcal{C}_{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\bigskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.56}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div 1.5 mul neg}
\uput[l](-1.3,2){$\left(\mathcal{C}_{1}\right)$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.56}{4}{x 1 add 2 x mul 3 sub mul .7 x mul 8 add mul 12 x mul 24 add div }
\uput[l](-1.4,2){$\left(\mathcal{C}_{2}\right)$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture*}(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.25,-2)(4.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=2](0,0)(-2.25,-2)
(4.25,4.25)
\psplot[plotpoints=200, linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.75}{4}{x  1 add 2.71828 x exp div neg}
\uput[l](-1.4,2.5){$\left(\mathcal{C}_{3}\right)$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}

\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Dans un lycée général et technologique, il y a \np{1400} lycéens : des élèves de seconde, première ou terminale, et des étudiants en section de technicien supérieur (STS).
%
%Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire et payer une location  annuelle d'un montant de 50~\euro{} pour les élèves et 60~\euro{} pour les étudiants.
%
%Sur l'ensemble des adhérents à la coopérative scolaire, 62,5\:\% sont les élèves de seconde, première ou terminale. Les autres sont les étudiants de STS.
%
%Depuis quelques années, les élèves de seconde, première ou terminale disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent régler cette location :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 40\,\% paient leur location à l'aide de chèques-lire,
%\item[$\bullet~$] 56\,\% paient par chèque bancaire,
%\item[$\bullet~$] les autres paient par mandat ou en liquide.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Les étudiants de STS ne disposent pas de chèques-lire :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 96\,\% paient par chèque bancaire,
%\item[$\bullet~$] les autres paient par mandat ou en liquide.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\bigskip

Les parties I et II sont indépendantes

\bigskip

\textbf{Partie I}

%Les \np{1400}~lycéens, élèves comme étudiants, adhèrent à cette coopérative.

\begin{enumerate}
\item %Calculer le montant des versements effectués par chèque bancaire.
Il y a $\np{1400} \times 0,625 = 875$ élèves de lycée.

Parmi ceux-ci 56\,\% vient par chèque bancaire soit $875 \times 0,56 = 490$ élèves qui paient chacun 50~\euro, soit en tout : 

$50 \times 490 = \np{24500}$~\euro.

\item %Calculer le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente.
Les étudiants sont $\np{1400} - 875 = 525$ ; ils paient chacun 60~\euro{} soit en tout $525 \times 60 = \np{31500}$~\euro.

96\,\% des étudiants paient par chèque bancaire ce qui représente $\np{31500} \times 0,96 = \np{30240}$~\euro.

Le montant total des locations s'élève à : $875 \times 50 + 525 \times 60 = \np{43750} + \np{31500} = \np{75250}$~\euro.

Le pourcentage des paiements par chèque bancaire est donc :

$\dfrac{\np{24500} + \np{30240}}{\np{75250}} \times 100 = \dfrac{\np{54740}}{\np{75250}} \approx 
72,7$~\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%On prend au hasard la fiche d'un adhérent à la coopérative scolaire parmi les \np{1400}~fiches.

%On note :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] L l'évènement « l'adhérent est un élève » ;
%\item[$\bullet~$] E l'évènement « l'adhérent est un étudiant en STS » ;
%\item[$\bullet~$] C l'évènement « l'adhérent paie avec ses chèques-lire » ;
%\item[$\bullet~$] B l'évènement « l'adhérent paie avec un chèque bancaire » ;
%\item[$\bullet~$] A l'évènement « l'adhérent paie par un autre moyen de paiement ».
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item ~Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{L}\taput{0,625}}
	{\TR{C}\taput{0,4}
	\TR{B}\taput{0,56}
	\TR{A}\tbput{0,04}	
	}
\pstree{\TR{E}\tbput{0,375}}
	{\TR{C}\taput{0}
	\TR{B}\taput{0,96}
	\TR{A}\tbput{0,04}	
	}
}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire.
		On a $p(\text{L} \cap \text{C}) = p(\text{L}) \times p_{\text{L}}(\text{L}) = 0,625 \times 0,4 = 0,25$.
		\item %Calculer la probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire.
$p(\text{E} \cap \text{B}) = p(\text{E}) \times p_{\text{E}}(\text{B}) = 0,375 \times 0,96 = 0,36$.		
		\item %Démontrer que la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est de 0,71.
On a d'après la loi des probabilités totales :
		
$p(\text{B}) = p(\text{L} \cap \text{B}) + p(\text{E} \cap \text{B})$.
		
Or $p(\text{L} \cap \text{B}) = p(\text{L}) \times p_{\text{L}}(\text{B}) = 0,635 \times 0,56 = 0,35$, donc 

$p(\text{B}) = p(\text{L} \cap \text{B}) + p(\text{E} \cap \text{B}) = 0,35 + 0,36 = 0,71$.
	\end{enumerate}
\item %Un adhérent a payé par chèque bancaire. Calculer le probabilité que ce soit un élève.
Il faut trouver $p_{\text{B}}(\text{L}) = \dfrac{p(\text{L} \cap \text{B})}{p(\text{B})} = \dfrac{0,35}{0,71} \approx 0,49$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
%
%Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0~;~2~;~0), B(0~;~0~;~6), C(4~;~0~;~0), D(0~;~4~;~0) et E(0~;~0~;~4).
%
%Soit $(P)$ le plan d'équation $3y + z = 6$.
%
%Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l'on notera (CDE).
On a $\vect{\text{CD}}(- 4~;~4~;~0)$ et  $\vect{\text{CE}}(- 4~;~0~;~4)$ qui ne sont manifestement pas colinéaires, donc les points C, D et E ne sont pas alignés et déterminent un plan unique (CDE).
		\item %Vérifier que le plan (CDE) a pour équation $x + y + z = 4$.
		
On a : $4 + 0 + 0 = 4$ est vraie 

$0 + 4 + 0 = 4$ est vraie 

$0 + 0 + 4 = 4$ est vraie.

Les coordonnées de C, D et E vérifient l'équation $x + y + z = 4$ qui est bien une équation du plan (CDE).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que les plans $(P)$ et (CDE) sont sécants. On note $(\Delta)$ leur intersection.
On voit que le point de coordonnées (2~;~2~;~0) appartient aux deux plans ; ces deux plans ne sont parallèles : ils sont donc sécants en $(\Delta)$.
		\item %Sans justifier, représenter $(\Delta)$ en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe.
(CDE) coupe le plan O$xy$ suivant la droite (CD) et le plan (P) coupe le plan O$xy$ suivant la droite d'équation $y = 2$. Ces deux droites sont sécantes au point précédent P de coordonnées (2~;~1~;~3).

De même le plan (CDE) coupe le plan $y$O$z$ suivant la droite (DE) et le plan (P) coupe le plan $y$O$z$ suivant la droite d'équation $3y + z = 0$. ces deux droites sont sécantes au point Q de coordonnées (0~;~2~;~0).

La droite $(\Delta)$ est la droite (PQ).

Voir la figure à la fin.
	\end{enumerate}
\item %On considère les points F(2~;~0~;~0) et G(0~;~3~;~0).

%On note $(Q)$ le plan parallèle à l'axe $\left(\text{O};~\vect{k}\right)$ et contenant les points F et G.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer sur la figure en annexe les points F et G.
		
%Sans justifier, représenter le plan $(Q)$ par ses traces sur les plans de base, d'une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe.
Voir à la fin.
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $ax + by = 6$ soit une équation du plan $(Q)$.
On a F$(2~;~0~;~0) \in (\text{Q}) \iff 2a = 6 \iff a = 3$ et 
		
et G$(0~;~3~;~0) \in (\text{Q}) \iff 3 \times 0  + 3b = 6 \iff b = 2$.

Une équation du plan (Q) est donc $3x + 2y = 6$.
	\end{enumerate}
\item %L'intersection des plans (CDE) et ($Q$) est la droite $\left(\Delta'\right)$.

%Sans justifier, représenter la droite $\left(\Delta'\right)$, d'une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe.
Voir la figure en vert. 
\item %On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :

%\[\left\{\begin{array}{r c l}
%\phantom{3x+}3y + z&=&6\\
%x + y + z&=&4\\
%3x + 2y\phantom{z}&=&6
%\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre ce système.
$\left\{\begin{array}{r c l}
\phantom{3x+}3y + z&=&6\\
x + y + z&=&4\\
3x + 2y\phantom{z}&=&6
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{r c l}
\phantom{3x}3y + z&=&6\\
- x + 2y + z&=&2\\
3x + 2y\phantom{z}&=&6
\end{array}\right. \Rightarrow 4x = 4 \iff x = 1$, puis $2y = 6 - 3 = 3 \iff y = \dfrac{3}{2}$ et enfin $z = 6 - 3y = 6 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2}$.
		\item %Que peut-on alors en déduire pour les droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ ?
		La question précédente montre que les plans (CDE), (P) et (Q) ont en commun le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{3}{2} \right)$.
		
Par définition des droites ($\Delta$) et ($\Delta'$), ces deux droites sont sécantes au point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{3}{2} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.
%
%Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Prix en euros : $x_{i}$&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline
%Nombre d'acheteurs en milliers : $y_{i}$&125&120&100&80&70&50&40&25\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthonormal d'unités 1~cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.
\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(14,135)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.9,-5)(14,135)
\psdots(4,125)(5,120)(6,100)(7,80)(8,70)(9,50)(10,40)(11,25)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{12.6}{189 15 x mul sub}
\uput[ur](12,10){\blue $D$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à l'unité.
La calculatrice donne après arrondi des coefficients à l'unité : $y = -15x + 189$.
		\item %Tracer la droite $(D)$ dans le plan $(P)$.
Voir ci-dessus
		\item %En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
		À leur près le prix maximal pour avoir encore des acheteurs est 12~\euro.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R(x)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire $x$ d'un objet, exprimé en euros, vérifie :
		
%\[R(x) = - 15x^2 + 189x.\]
$x$ produits vendus $15x + 189$ donnent une recette de : $x\times (15x + 189) = - 15x^2 + 189x.$ 		
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
		 
		%\[f(x) = - 15x^2 + 189x.\]
Cette fonction est un trinôme qui a pour maximum en $x = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{189}{2 \times (- 15)} = \dfrac{189}{30} = \dfrac{63}{10} = 6,3$.

La fonction est croissante de $f(0) = 0$ à $f(6,3) = - 15 \times 6,3^2 + 189 \times 6,3 = 595,35$ puis décroissante jusqu'à $- \infty$.		
		\item %Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.
La question précédente montre que la société aura une recette maximale pour un prix de vente de 6,30~\euro.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par 
%
%\[f(x) = \left(x^2 - x + 1 \right)\text{e}^{-x}.\]
%
%On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthogonal.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
On a $x^2 - x + 1 = x\left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\frac{1}{x} = 0$, d'où par somme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x - 1 + \frac{1}{x} = - \infty$ et enfin par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %En remarquant que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}} - \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On peut écrire : $f(x) = x^2\text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2\text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.		
%Interpréter graphiquement le résultat.
Ce résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 + 3x - 2\right)\text{e}^{-x}$.
En dérivant le produit, on a :

$f'(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x} - \left(x^2 - x + 1 \right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(2x - 1 - x^2 + x - 1 \right) = \text{e}^{-x}\left(- x^2 + 3x - 2 \right)$.


		\item %Établir le tableau de variations de la fonction $f $ sur l'ensemble des nombres réels.
Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $- x^2 + 3x - 2$.

On a $\Delta = 3^2 - 4 \times (- 1) \times (- 2) = 9 - 8 = 1 > 0$ : le trinôme a deux racines : $\dfrac{- 3 + 1}{2 \times (- 1)} = 1$ et $\dfrac{- 3 - 1}{2 \times (- 1)} = 2$.

On sait que $- x^2 + 3x - 2 \leqslant 0 $, sauf sur $]1~;~2[$ où $- x^2 + 3x - 2 > 0$.

La fonction $f$ est donc décroissante sauf sur l'intervalle $]1~;~2[$ où elle est croissante.

On a $f(1) = \text{e}^{-1}$ et $f(2) = (4 - 2 + 1)\text{e}^{-2} = 3\text{e}^{-2}$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$1$} \uput[u](5,2.4){$2$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$+$}\rput(6,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(3,2.25){$0$}\rput(5,2.25){$0$}
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](3,0){$\text{e}^{-1}$} \uput[d](5,2){$3\text{e}^{-2}$}
\uput[u](6.75,0){0}
\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item %Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $0$.
Une équation de $(T)$ est $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, soit avec 

$f(0) = 1$ et $f'(0) = \text{e}^{-0}\left(- 0^2 + 3\times 0 - 2 \right) = - 2$,

$y - 1 = - 2x \iff y = - 2x + 1$.
\item ~%On prend comme unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 20~cm sur l'axe des ordonnées.

%Tracer la droite $(T)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sur l'intervalle $\left[0~;~8\right]$  dans le plan $(P)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(8,1.05)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.1)(8,1.05)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{x dup mul x sub 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot{0}{0.5}{1 x 2 mul sub}\uput[r](0.4,0.1){$T$}\uput[u](7.5,0.04){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.368)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,0.406)
\psline{<->}(0.5,0.368)(1.5,0.368) \psline{<->}(1.5,0.406)(2.5,0.406)
\psline[linecolor=red](0,0.4)(8,0.4) 
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red](2.30,0)(2.30,0.4)
\uput[d](2.3,0){\red $\approx 2,30$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[0~;~8\right]$ de l'équation $f(x) = 0,4$.
On \og voit \fg{} trois solutions.
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l'équation considérée à la question 5. a.
Soit $\alpha$ la plus grande des solutions. La calculatrice donne :

$f(2) \approx 0,406$ et $f(3) \approx 0,349$, donc $2 < \alpha < 3$ ;

$f(2,3) \approx \np{0,40003}$ et $f(2,4) \approx 0,396$, donc $2,3< \alpha < 2,4$ ;

$f(2,30) \approx \np{0,40003}$ et $f(2,31) \approx \np{0,3996}$, donc $2,30< \alpha < 2,31$.

$f(2,300) \approx \np{0,40003}$ et $f(2,301) \approx \np{0,39999}$, donc $2,300 < \alpha < 2,301$.

Au centième près on a donc $\alpha \approx 2,30$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\emph{Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe de l'exercice 2}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.75)(4.25,6.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10](0,0)(4.25,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(0,6.25)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-2.625)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(1,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4](0,0)(-4,-2.75)(4.25,6.25)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.75,-0.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](2,0)(0,6)(-3,-2)(4,0)(0,4)(-1.5,-1)(3,0)
\uput[dr](2,0){A} \uput[ul](0,6){B}\uput[dr](-3,-2){C}\uput[d](4,0){D}\uput[l](0,4){E}
\uput[dr](-0.375,-0.25){$\vect{\imath}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon(-3,-2)(4,0)(0,4)
\psline(-2.125,-2.75)(2,0)(0,6)(-4,3.375)
\uput[dr](-4,3.375){$(P)$}
\uput[dr](0.5,-1){\red P}\uput[ur](1,3){\red Q}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1.5}{8 x mul 5 sub}
\uput[r](1.4,5.75){\red $(\Delta)$}
\uput[ul](-1.5,-1){F} \uput[ur](3,0){G}
\psline[linecolor=cyan](-1.5,6)(-1.5,-1)(3,0)(3,5)
\psline[linecolor=green](-4,1)(4,1)\uput[ul](4,1){\green $(\Delta')$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}