\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache %\setlength\paperheight{297mm} %\setlength\paperwidth{210mm} %\setlength{\textheight}{23,5cm} \usepackage{vmargin} \setmarginsrb{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} % 1 est la marge gauche % 2 est la marge en haut % 3 est la marge droite % 4 est la marge en bas % 5 fixe la hauteur de l'entéte % 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte % 7 fixe la hauteur du pied de page % 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page \setlength\parindent{0mm} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 116 novembre 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } %%% commandes à placer après hyperref \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna -- Corrigé}} \rfoot{\small 16 novembre 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright \\[10pt] 16 novembre 2016} \end{center} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. % %Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte %ni n'enlève aucun point. % %Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. % %Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{enumerate} \item On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 3)\e^{-x}$. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~} $f'(x) = 2\e^{-x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\e^{- x}$\\ \hline \textbf{c.~~} $f'(x) = (2x + 5)\e^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f'(x) = (- 2x - 1 ) \e^{-x}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Réponse d.} $f'(x)=2\times \e^{-x} + (2x+3)\times (-1)\e^{-x} = (2 - 2x - 3)\e^{-x} = (-2x-1)\e^{-x}$ \medskip \item On considère le nombre $I = \displaystyle\int_0^1 \left(2\text{e}^{2x} + 3\right)\:\text{d}x$. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~}$I = \text{e}^2 + 3$&\textbf{b.~~}$I = \text{e}^2 + 2$\\ \hline \textbf{c.~~} $I = 2\text{e}^2 + 3$&\textbf{d.~~} $I = 2\text{e}^2 - 2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Réponse b.} Une primitive de $x \longmapsto 2\e^{2x}+3$ est $x \longmapsto \e^{2x} + 3x$, donc $I= \left [ \e^{2x} + 3x \rule{0pt}{10pt}\right ]_{0}^{1} = \left ( \e^{2} + 3\right ) - \left ( \e^{0} + 0 \right ) = \e^{2} + 2$. \medskip \item On considère $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 5\e^x + 3$. La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$ passe par le point : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~}A$(1~;~5\e + 3)$&\textbf{b.~~}B$(-1~;~5)$\\ \hline \textbf{c.~~}C(1~;~13)& \textbf{d.~~}D(0~;~ 3)\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Réponse c.} La tangente en 0 a pour équation $y=g'(0)\left (x-0\right ) + g(0)$. $g(0)=8$; $g'(x)= 5\e^{x}$ donc $g'(0)=5$. D'où l'équation de la tangente: $y=5x+8$. \medskip \item On considère $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x^3 - 6x + 3$. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~} $h$ est strictement croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} $h$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$\\ \hline \textbf{c.~~} $h$ est concave sur $\R$& \textbf{d.~~} $h$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$\\\hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Réponse d.} $h(x) = x^3 - 6x + 3$ donc $h'(x)=3x^2-6$ et $h''(x)=6x >0$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$. Donc la fonction $h$ est convexe sur $\cd 0~;~+\infty\cd$. \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 350$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,5u_n + 100$. \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer $u_1$ et $u_2$. $u_1=0,5\times 350+100=275$ et $u_2=0,5\times 275+100=237,5$. \item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = u_n - 200$. Donc, pour tout $n$, $u_n=w_n+200$. \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. $w_{n+1}=u_{n+1}-200 = 0,5 u_n +100-200 = 0,5\left ( w_n+200\right ) - 100 = 0,5 w_n +100-100 = 0,5 w_n$ $w_0 = u_0-200 = 350-200=150$ Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $w_0=150$. On en déduit que, pour tout $n$, $w_n=w_0\times q^n = 150\times 0,5^n$. \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, On a à la fois $w_n= 150\times 0,5^n$ et $u_n=w_n+200$ donc on peut en conclure que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=200+150\times 0,5^n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d'enfants inscrits dans cette association est $500$ dont $350$ filles. Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre d'adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année $100$ nouvelles filles. \item D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10\,\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $\left(F_n\right)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année $2015 + n$. On a donc $F_0 = 350$. La moitié des filles ne renouvellent pas leur inscription d'une année sur l'autre donc il faut multiplier le nombre de filles l'année $n$ par 0,5 pour avoir le nombre de filles qui renouvellent leur inscription. De plus chaque année l'association accueille 100 nouvelles filles donc il faudra rajouter 100 pour obtenir le nombre de filles l'année $n+1$. Autrement dit, pour tout $n$, $F_{n+1} = 0,5 F_n + 100$. %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n+1}$ en fonction de $F_n$. \item On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $\left(G_n\right)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l'association l'année $2015 + n$. \begin{enumerate} \item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_n$ en fonction de $n$. D'après le texte, $G_0=500-350=150$. Augmenter de 10\,\%, c'est multiplier par 1,1 donc, pour tout $n$, $G_{n+1} = 1,1G_n$. La suite $(G_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $G_0=150$ donc, pour tout $n$, $G_n=G_0\times q^n=150\times 1,1^n$. \item% À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de $300$ garçons ? On cherche $n$ tel que $G_n>300$; on résout cette inéquation: $\begin{array}{l !{\iff} l l} G_n > 300 & 150 \times 1,1^n > 300\\ & 1,1^n>2\\ & \ln(1,1^n) > \ln(2) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0~;~+\infty\cd \\ & n \ln(1,1 > \ln(2) & \text{propriété de la fonction ln}\\[4pt] & n > \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,1)} \end{array}$ $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,1)} \approx 7,27$ donc c'est à partir de 8, c'est-à-dire de l'année $2015+8=2023$ que le nombre de garçons dépassera 300. \end{enumerate} \item On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Initialisation}\\ \hspace{5mm} Affecter à $n$ la valeur 0\\ \hspace{5mm} Affecter à $G$ la valeur 150\\ \hspace{5mm} Affecter à $F$ la valeur 350\\ \textbf{Traitement}\\ \hspace{5mm} Tant que $G \leqslant F$\\ \hspace{10mm} $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \hspace{10mm} $G$ prend la valeur $1,1G$\\ \hspace{10mm} $F$ prend la valeur $0,5F + 100$ \hspace*{1cm}{} \\ \hspace{5mm} Fin tant que\\ \textbf{Sortie}\\ \hspace{5mm} Afficher le nombre $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item On complète le tableau suivant (résultats arrondis à l'unité): \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $n$ &0 &1 &2 & 3 & 4 \\ \hline Valeur de $G$ &150 &165 &182 & 200 & 220\\ \hline Valeur de $F$ &350 &275 &238 & 219 & 209\\ \hline Condition $G \leqslant F$ & vrai &vrai &vrai & vrai & \textcolor{red}{\textbf{faux}}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item% En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé. L'affichage obtenu est donc 4 ce qui signifie qu'en 2019 le nombre de garçons aura dépassé le nombre de filles dans le club. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} % %\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons. Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre,lorsqu'il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon est égale à 0,2. On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon. L'état \og plongeon réussi \fg{} est noté $R$; l'état \og plongeon non réussi \fg{} est noté $\overline{R}$. Pour tout entier naturel $n > 1$, la probabilité que Pierre réussisse son $n$-ième plongeon est notée $a_n$, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son $n$-ième plongeon est notée $b_n$. La matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du système lors du $n$-ième plongeon. \medskip \begin{enumerate} \item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $R$ et $\overline{R}$: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(4,1.2) \psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}% paramètres du graphe \newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche %%% mettre 0 0 0 pour le noir %%%% G pour Gauche, D pour Droit %%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut ! \def\nomG{$R$}% nom du sommet de gauche \def\nomD{$\overline R$}% nom du sommet de droite \def\valGD{0,3}% poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit \def\valDG{0,2}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche \def\valGG{0,7}% poids de la boucle autour du sommet gauche \def\valDD{0,8}% poids de la boucle autour du sommet droit %%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous \Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD} % définition des sommets \ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G \ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D \nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm} \Bput{\colorG \valGG}% boucle autour de G \nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}% boucle autour de D \end{pspicture} \end{center} \item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $R$ et $\overline{R}$ étant classés dans cet ordre. D'après le texte, on a: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} a_{n+1} & 0,7 a_n + 0,2 b_n\\ b_{n+1} & 0,3 a_n + 0,6 b_n \end{array} \right. $ ce qui s'écrit sous forme matricielle: $\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$ Donc la matrice de transition de ce graphe est $M= \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$ \item% Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}$. On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon donc $a_1=1$ et $b_1=0$, donc $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}$. \item La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon est $P_4$: $P_2=P_1\times M$ ; $P_3=P_2\times M = P_1\times M^2$ et $P_4=P_3\times M = P_1\times M^3$ On trouve à la calculatrice $P_4= \begin{pmatrix} 0,475 & 0,525 \end{pmatrix}$. \item% Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$. D'après le texte, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$. On a vu que $a_{n+1} = 0,7 a_n + 0,2 b_n$ donc $a_{n+1} = 0,7 a_n + 0,2 \left (1-a_n\right )$ ou encore $a_{n+1} = 0,5 a_n + 0,2$. On a donc démontré que, pour tout $n \pg 1$, $a_{n+1} = 0,5 a_n + 0,2$. \item Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à $0,41$, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause. On veut alors déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de plongeons. On cherche donc le plus petit entier naturel $n \geqslant 1$ tel que $a_n \leqslant 0,41$. On complète l'algorithme proposé dans le texte: \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Initialisation}\\ \hspace{0.5cm}Affecter à $N$ la valeur $1$\\ \hspace{0.5cm}$A$ prend la valeur $1$\\ \textbf{Traitement}\\ \hspace{0.5cm}Tant que {\red $A>0,41$}\\ \hspace{1cm}$N$ prend la valeur {\red $N+1$}\\ \hspace{1cm}$A$ prend la valeur {\red $0,5 A + 0,2$} \hspace*{1cm}{}\\ \hspace{0.5cm}Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}\\ \hspace{0.5cm}Afficher {\red $N$} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n = a_n - 0,4$; donc $a_n=u_n+0,4$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. $u_{n+1} = a_{n+1}-0,4 = 0,5 a_n + 0,2-0,4 = 0,5\left (u_n+0,4\right ) -0,2 = 0,5 u_n +0,2-0,2 = 0,5 u_n$ $u_1=a_1-0,4 = 1-0,4 = 0,6$ Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_1=0,6$. On en déduit que, pour tout $n\pg 1$, $u_n=u_1\times q^{n-1} = 0,6 \times 0,5^{n-1}$. \item% Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_n = 0,6 \times 0,5^{n-1} + 0,4$. On sait que pour tout $n\pg 1$, $u_n= 0,6 \times 0,5^{n-1}$, et que $a_n=u_n+0,4$, donc on en déduit que, pour tout $n\pg 1$, $a_n = 0,6 \times 0,5^{n-1} + 0,4$. \item% Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \leqslant 0,41$. On résout l'inéquation $a_n \leqslant 0,41$: $\begin{array}{l !{\iff} l l} a_n \pp 0,41 & 0,6 \times 0,5^{n-1} + 0,4 \pp 0,41 &\\ & 0,6 \times 0,5^{n-1} \pp 0,01 & \\ & 0,5^{n-1} \pp \dfrac{0,01}{0,6} & \\ & \ln\left (0,5^{n-1}\right ) \pp \ln \left (\dfrac{0,01}{0,6}\right ) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0~;~+\infty\cd\\[5pt] & \left (n-1\right )\ln\left (0,5\right ) \pp \ln \left (\dfrac{0,01}{0,6}\right ) & \text{propriété de la fonction ln}\\ & n-1 \pg \dfrac{\ln \left (\dfrac{0,01}{0,6}\right )}{\ln(0,5)} & \text{car } \ln(0,5)<0\\ \end{array}$ \smallskip $\dfrac{\ln \left (\dfrac{0,01}{0,6}\right )}{\ln(0,5)} \approx 5,9$ on doit donc avoir $n-1\pg 5,9$, c'est-à-dire $n \pg 6,9$.\\[3pt] Le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pp 0,41$ est $n=7$. \item% Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? $n=7$ est la première valeur pour laquelle la probabilité de réussir le plongeon est inférieure à $0,41$, Pierre arrêtera ses plongeons après le 7\ieme. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Les trois parties A, B et C sont indépendantes. % %\medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip Une enquête révèle que dans un lycée, 67\,\% des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo. On sait de plus que 57\,\% des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49\,\% jouent régulièrement aux jeux vidéo. On choisit au hasard un élève du lycée. On note : $J$ l'évènement: \og l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo \fg, et $F$ l'évènement : \og l'élève est une fille \fg. \medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre proposé grâce aux données du texte: \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$F$}\naput{$0,57$}} { \TR{$J$}\naput{$0,49$} \TR{$\overline{J}$}\nbput{$1-0,49=0,51$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline F$}\nbput{$1-0,57=0,43$}} { \TR{$J$} \TR{$\overline{J}$} } } \end{center} \item L'événement \og l'élève est une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo\fg{} est $F\cap J$: $p(F\cap J) = p(F)\times p_F(J) = 0,57\times 0,49 = \np{0,2793}$ \item L'événement \og l'élève est un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo\fg{} est $\overline F \cap J$. D'après la formule des probabilités totales: $p(J) = p(F\cap J) + p(\overline{F} \cap J)$. On sait que 67\,\% des élèves jouent aux jeux vidéo, donc $p(J)=0,67$. On a démontré dans la question précédente que $p(F\cap J) = \np{0,2793}$. On déduit donc que $p(J) - p(F\cap J) = p(\overline{F} \cap J) \iff 0,67-\np{0,2793} = p(\overline{F} \cap J)$ autrement dit $p(\overline{F} \cap J) = \np{0,3907}$. La probabilité que l'élève soit une garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est $\np{0,3907}$. \item La probabilité que l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c'est un garçon est $p_{\overline{F}}(J)$: $p_{\overline{F}}(J) = \dfrac{p(\overline{F}\cap J)}{p(\overline{F}} = \dfrac{\np{0,3907}}{0,43} \approx \np{0,9086}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s'offrir une tablette numérique pour son anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha. Elle s'inquiète quant à l'autonomie de sa tablette en mode veille. On admet que l'on peut modéliser la durée d'autonomie de chaque tablette de marque Alpha en mode veille par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 10$. La durée $X$ est exprimée en heures. \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours. Une durée de 5 jours correspond à $5\times 24=120$ heures. On cherche donc $p(X<120)$. D'après le cours, comme 120 correspond à la moyenne de la loi normale, $p(X<120)=0,5$. La probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours est de $0,5$. \item À la calculatrice, on trouve $p(96 \leqslant X \leqslant 144) \approx 0,984$. %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. La durée $X$ s'exprime en heures; 96 heures correspondent à 4 jours et 144 heures correspondent à 6 jours. La probabilité que la tablette numérique ait, en mode veille, une autonomie entre 4 et 6 jours est de 0,984. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91\,\% des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat. Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation. Il interroge au hasard $150$~clients ayant acheté cette tablette; parmi eux, $130$ se déclarent satisfaits de leur acquisition; la fréquence de clients satisfaits dans cet échantillon est donc $f=\dfrac{130}{150} \approx 0,867$. \smallskip On sait que $p=0,91$ et $n=150$. $n=150\pg 30$; $np=136,5 \pg 5$ et $n(1-p)=13,5 \pg 5$ Les conditions sont vérifiées donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%: \smallskip \hspace*{1cm}$I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} ~;~ p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]\\[5pt] \phantom{I} \hspace*{1cm} = \left [ 0,91-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,91(1-0,91)}}{\ds\sqrt{150}} ~;~ 0,91+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,91(1-0,91)}}{\ds\sqrt{150}}\right ] \approx \cd 0,864~;~0,956\cg$ \medskip %Peut-on valider l'affirmation du service des ventes de la société ? Justifier. $0,867 \in \cd 0,864~;~0,956\cg$ c'est-à-dire $f \in I$ donc on peut valider l'affirmation du service des ventes de la société. \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} % %\textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante} % %\medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle \cd 0,5~;~10\cg{} par: $f(x) = ax + 2 + b \ln (x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé: \begin{itemize} \item la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ ; \item la droite $d$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point A de coordonnées (1~;~1) ; \item la droite $d'$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 3. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-2)(13,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4,gridwidth=0.3pt] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2)(13,5) \psline(-3,2.29584)(13,2.29584) \psplot{-0.5}{3}{x 2 mul 1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{10}{x ln 3 mul x sub 2 add} \uput[u](7.5,0.5){\blue $\Gamma$} \uput[ul](2.7,4.5){$d$}\uput[u](9.5,2.29584){$d'$} \uput[ul](1,1){A} \uput[ur](3,2.29584){B}\uput[dr](0,-1){E} \psdots(1,1)(3,2.29584)(0,-1) \end{pspicture} \end{center} On sait de plus que : \begin{itemize} \item la tangente au point A passe par le point E de coordonnées $(0~;~-1)$. \item la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item% Donner par lecture graphique la valeur de $f'(1)$, puis celle de $f'(3)$. On peut lire sur le graphique que $f'(1)=2$ et $f'(3)=0$. \item% Calculer $f'(x)$. La fonction $f$ est dérivable sur \cd 0,5~;~10 \cg{} et $f'(x)=a+\dfrac{b}{x}$. \item% En déduire les valeurs des nombres $a$ et $b$. $f'(1) = 2 \iff a + b = 2$ ; $f'(3) = 0 \iff a + \dfrac{b}{3} = 0$ On résout le système $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} a+b & 2\\ a+\dfrac{b}{3} & 0 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} a+b & 2\\ \dfrac{2b}{3} & 2 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} a & -1\\ b & 3 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle \cd 0,5~;~10\cg{} par : $f(x) = - x + 2 + 3\ln (x)$. \begin{enumerate} \item% Montrer que pour $x$ dans [0,5~;~10], La fonction $f$ est dérivable sur \cd 0,5~;~10\cg{} et $f'(x)=-1+\dfrac{3}{x} = \dfrac{-x+3}{x}$. \item La tangente à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y=f'(1)\left (x-1\right )+f(1)$. C'est-à-dire $y=2(x-1)+1$ donc $y=2x-1$. \item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. La fonction dérivée $f'$ est du signe de $-x+3$ sur \cd 0,5~;~10\cg{} donc s'annule et change de signe pour $x=3$. $f(0,5)=1,5 +3 \ln (0,5)\approx -0,58$; $f(3)= -1+3\ln(3) \approx 2,30$ ; $f(10) = -8+3\ln(10)\approx -1,09$ On établit le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0,5 & \hspace*{\esp} & 3 & \hspace*{\esp} & 10 \\ \hline -x+3 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{3 \ln 3 - 1} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{1,5 + 3 \ln 0,5} & & & & \Rnode{min2}{3 \ln 10 - 8} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item% Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~3] l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième. On sait que $f(0,5) \approx -0,58 <0$ et $f(3)\approx 2,30>0$. On complète le tableau de variations de la fonction $f$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0,5 & \hspace*{\esp} & 3 & \hspace*{\esp} & 10 \\ %\hline %-x+3 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{3 \ln 3 - 1} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{1,5 + 3 \ln 0,5} & & & & \Rnode{min2}{3 \ln 10 - 8} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-7,0.8){\Rnode{zero}{\blue 0}} \rput(-7,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} %\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}} %\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} D'après le tableau de variations de $f$, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\cd 0,5~;~3\cg$. La calculatrice donne la valeur approchée de cette solution: $\alpha _approx 0,63$. \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|Xr|}\hline 1 &\emph{intégrer} $[3\ln (x) - x + 2]$& \\ \hline &&$3x\ln (x) - x -\dfrac{x^2}{2}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} %Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 8$. %On donnera la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie au centième. La fonction $f$ est positive sur \cd 1~;~8\cg{} donc l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équations $x=1$ et $x=8$ est $\mathcal A = \ds\int_{1}^{8} f(x) \d x$. D'après le logiciel de calcul formel, la fonction $F$ définie par $F(x)=3x\ln x -x -\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de la fonction $f$. Donc $\mathcal A = F(8)- F(1) = \left ( 24 \ln 8 - 8 - \dfrac{64}{2}\right ) - \left ( 3 \ln 1 -1 - \dfrac{1}{2} \right ) = 24 \ln 8 - 38,5 \approx 11,41$ unités d'aire. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de $f$ est située en dessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme : \og La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $\cd 0,5~;~10\cg$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. \fg %Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte. \smallskip $f'(x) = \dfrac{-x+3}{x} = -1 + \dfrac{3}{x}$ donc $f''(x) = -\dfrac{3}{x^2}<0$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$. \smallskip La fonction $f$ est donc concave sur $\cd 0,5~;~10\cg$ ce qui veut dire que, sur cet intervalle, la courbe représentant $f$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. \end{document}