\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \makeindex \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow,multicol,colortbl} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-func} %Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël et Yohann Dolivet %Tapuscrit : François Hache, relecture Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie 26 novembre 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %Tapuscrit : François Hache %Relecture : Denis Vergès \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small 26 novembre 2019} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt] 26 novembre 2019} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\large Exercice 1\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.} %Chaque question comporte quatre réponses possibles. %Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ % \textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\\ %Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} % %\smallskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0,9x^3 + 1,5 x^2 + 1,5$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $y=2$ est:\index{equation@équation} \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item 0 \item 1 \item 2 \item \fbox{3} \end{enumerate} \end{multicols} \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Le nombre de points d'intersection est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$.\\ Comme on ne demande pas de justification, on peut utiliser la calculatrice pour trouver les solutions de l'équation $f(x)=2$.\\ On trouve 3 solutions qui sont environ $1,37$; $0,80$ et $-0,51$.\\ \textbf{Réponse d.} \end{tabular} \medskip \item Une des solutions de l'inéquation $1-0,85^n > 0,99$ d'inconnue $n$ entier naturel est:\index{inequation@inéquation} \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item 28$\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$ \item \fbox{29}$\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$ \item $\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}$ \item $28,336\vphantom{\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}}$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Les réponses \textbf{c} et \textbf{d} sont à éliminer puisque les nombres ne sont pas entiers.\\ On a $1-0,85^{28} \approx 0,989<0,99$ et $1-0,85^{29} \approx 0,991>0,99$.\\ \textbf{Réponse b.} \end{tabular} \medskip \item Esteban va à l'école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de $0,2$. Dans l'année le nombre de jours d'école est de 162.\\ On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres.\\ La probabilité qu'il oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ:\index{loi binomiale} \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $0,19$ \item \fbox{$0,07$} \item $0,60$ \item $0,36$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Le nombre de jours pendant lesquels Esteban oublie sa trousse peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=162$ et $p=0,2$.\\ $P(X=30) = \ds\binom{162}{30}\, 0,2^{30} \left (1-0,2\right ) ^{162-30} \approx 0,07$.\\ \textbf{Réponse b.} \end{tabular} \medskip \item Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël.\index{intervalle de confiance} Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,001$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, la taille de l'échantillon doit être égale à: \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item \fbox{\np{4000000}} \item \np{1000} \item \np{2000} \item \np{1000000} \end{enumerate} \end{multicols} \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\,\% a pour amplitude $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\ $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,001 \iff \dfrac{2}{0,001} = \sqrt{n} \iff \np{2000} = \sqrt{n} \iff \np{4000000} = n$\\ \smallskip\\ \textbf{Réponse a.} \end{tabular} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} %\medskip % %\textbf{\emph{Les parties {\bf A} et {\bf B} peuvent être traitées de manière indépendante.}} % %\smallskip % %\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.} \begin{flushleft} \textbf{Partie A} \end{flushleft} La responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action particulière la population d'une espèce de poisson augmente de $20\,\%$ par an. Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0=150$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1\ier{} janvier de l'année $2018+n$.\index{suite} \begin{enumerate} \item% Calculer $u_1$ et $u_2$. Pour estimer le nombre $u_1$ de poissons en 2019, on ajoute 20\,\% à $u_0=150$ puis on soustrait 28: $u_1= 150 + 150\times \dfrac{20}{100} - 28 = 152$. Pour estimer le nombre $u_2$ de poissons en 2020, on ajoute 20\,\% à $u_1=152$ puis on soustrait 28: $u_2= 152 + 152\times \dfrac{20}{100} - 28 \approx 154$. \item% Justifier que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = 1,2u_n - 28$. Pour estimer le nombre $u_{n+1}$ de poissons en $2018+(n+1)$, on ajoute 20\,\% à $u_n$ puis on soustrait 28. Mais ajouter 20\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{20}{100} = 1,2$. Donc pour tout $n$, $u_{n+1}= 1,2u_n - 28$. \item On définit la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = u_n - 140$ pour tout $n\in\N$. Donc $u_n=w_n+140$. \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$. % %Préciser son terme initial.\index{suite geometrique@suite géométrique} \begin{list}{\textbullet}{} \item $w_{n+1} = u_{n+1} -140 = 1,2u_n - 28-140 = 1,2(w_n+140) - 168 = 1,2 w_n +168-168\\ \phantom{w_{n+1}} = 1,2w_n$ \item $w_0 = u_0 - 140 = 150 - 140 = 10$ \end{list} Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $w_0=10$. \item %Exprimer pour tout $n\in\N$, $w_n$ en fonction de $n$. On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $w_n = w_0 \times q^n = 10\times 1,2^n$. %En déduire $u_n$ en fonction de $n$. Comme $u_n=w_n+140$, on déduit que $u_n=10\times 1,2^n + 140$. \end{enumerate} \item %Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons, la responsable doit-elle prévoir l'achat d'un autre aquarium dans les années à venir? Si oui, en quelle année? À la calculatrice, on trouve $u_{9}\approx 192$ et $u_{10}\approx 202$ donc il faut prévoir l'achat d'un autre aquarium au plus tard en $2018+9$ soit en $2027$. \end{enumerate} \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} On sait qu'il y a eu \np{1350} visiteurs le premier mois et que le prix d'entrée est fixé à 8 euros. La responsable fait l'hypothèse d'une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de $12\,\%$. Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois. \begin{enumerate} \item On complète l'algorithme suivant pour qu'il détermine la recette cherchée. \index{algorithme} \begin{center} \fbox{ \begin{tabular}{l} $S \leftarrow 0$\\ $V \leftarrow \np{1350}$\\ Pour $N$ allant de 1 à $\blue 6$ \quad\\ \qquad $S \leftarrow \blue S+V$\\ \qquad $V \leftarrow 1,12 V$\\ Fin Pour\\ $S \leftarrow 8S$\\ \end{tabular} } \end{center} \begin{list}{\textbullet}{Explications} \item On cherche la recette totale sur 6 mois donc on cumule pour $N$ variant de 1 à 6. \item Dans l'algorithme, sauf à la dernière ligne, $S$ désigne le total des visiteurs. \item À la dernière ligne, on calcule la somme encaissée en multipliant le nombre total de visiteurs par 8, qui est le prix d'entrée. On remet cette somme dans la variable $S$. \end{list} \item On cherche le montant de la recette en faisant tourner l'algorithme; \begin{center} $\begin{array}{|c|c|c|} \hline N & S & V\\ \hline & 0 & \np{1350}\\ \hline 1 & \np{1350} & \np{1512}\\ \hline 2 & \np{2862} & \np{1693}\\ \hline 3 & \np{4555} & \np{1896}\\ \hline 4 & \np{6451} & \np{2124}\\ \hline 5 & \np{8575} & \np{2379}\\ \hline 6 & \np{10954} & \np{2664}\\ \hline \end{array}$ \end{center} $\np{10954}\times 8 = \np{87632}$ La somme cherchée est $\np{87632}$~\euro. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} %\smallskip % %\textbf{\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Partie A} \end{flushleft} Sur son lieu de vacances d'été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous.\index{graphe}\\ Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10.5,7) \psset{nodesep=0pt, radius=2pt} %\psgrid \Cnode*(0.5,4){A} \uput[l](A){\blue A} \Cnode*(3,6.5){B} \uput[u](B){\blue B} \Cnode*(6.5,6){C} \uput[70](C){\blue C} \Cnode*(9,4.5){D} \uput[ur](D){\blue D} \Cnode*(4.5,3.5){E} \uput[ul](E){\blue E} \Cnode*(6,2.5){F} \uput[ul](F){\blue F} \Cnode*(3.5,1.5){G} \uput[dl](G){\blue G} \Cnode*(7,0.5){H} \uput[d](H){\blue H} \Cnode*(10,2){I} \uput[r](I){\blue I} \ncline{A}{B}\ncput*{5} \ncline{A}{C}\ncput*{8} \ncline{A}{D}\ncput*{12} \ncline{A}{G}\ncput*{8} \ncline{B}{C}\ncput*{2} \ncline{C}{D}\ncput*{5} \ncline{C}{F}\ncput*[npos=0.2]{2} \ncline{D}{E}\ncput*[npos=0.8]{6} \ncline{D}{F}\ncput*{2} \ncline{D}{H}\ncput*{1} \ncline{D}{I}\ncput*{7} \ncline{E}{G}\ncput*{2} \ncline{F}{G}\ncput*{2} \ncline{F}{H}\ncput*{5} \ncline{G}{H}\ncput*{6} \ncline{H}{I}\ncput*{7} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item% Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu'une fois sur chacun d'entre eux? Justifier. On cherche les degrés de chaque sommet: \begin{center} \begin{tabular}{|*{11}{c|}} \hline Sommet & A & B & C & D & E & F & G & H & I \\ \hline Degré & 4 & 2 & 4 & 6 & 2 & 4 & 4 & 4 & 2\\ \hline \end{tabular} \end{center} Tous les sommets sont de degré pair, donc d'après le théorème d'Euler on peut explorer tous les sentiers en y passant une et une seule fois. On peut partir de n'importe quel sommet et on se retrouve au même sommet à la fin du cycle. Exemple d'un cycle partant du sommet A: \hfill{}A - B - C - A - D - C - F - D - E - G - F - H - I - H - G - A\hfill{} \item Inaé se trouve en A et a rendez-vous au point I. Elle veut s'y rendre en empruntant l'itinéraire le plus court. \\ On va utiliser l'algorithme de Dijkstra pour déterminer cet itinéraire le plus court. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \small%%% \scriptsize \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%% surlignage \newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%% cellule grisée avec package colortbl %%% on barre avec \sout du package ulem \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline A & B & C & D & E & F & G & H & I & {On garde} \\ \hline \sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & A \\ \hline \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \sur{5 A} & 8 A & 12 A & & & 8 A & & & B (5) \\ \hline \cgr & \cgr & \sout{8 A} & 12 A & $\infty$ & $\infty$ & 8 A & $\infty$ & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \sur{7 B} & & & & & & & C (7) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & 12 A & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & \sur{8 A} & $\infty$ & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & 12 C & & 9 C & & & & G (8) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & 12 A & \sout{ $\infty$ } & \sur{9 C} & \cgr & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & & 10 G & \sout{10 G} & \cgr & 14 G & & F (9) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \sout{12 A} & \sur{10 G} & \cgr & \cgr & 14 G & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & 11 F & & \cgr & \cgr & 14 H & & E (10) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \sur{11 F} & \cgr & \cgr & \cgr & 14 G & $\infty$ & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & \sout{16 E} & \cgr & \cgr & \cgr & & & D (11) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{14 G} & \sout{ $\infty$ } & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sur{12 D} & 18 D & H (12) \\ \hline \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{18 D} & \\[-5pt] \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sur{19 H} & I (18) \\ \hline \end{tabularx} } \end{center} L'itinéraire le plus court est: A $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ I; sa longueur est de 18 km. \end{enumerate} \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement $10\,\%$ des clients ont loué des vélos électriques. \begin{list}{\textbullet}{On admet que tous les clients louent un vélo et que:} \item $85\,\%$ des clients ayant loué un vélo électrique une année en relouent un l'année suivante; \item $70\,\%$ des clients ayant loué un vélo classique une année en relouent un l'année suivante. \end{list} On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s'intéresse à la répartition des clients dans les années à venir. \begin{list}{\textbullet}{On note pour tout entier naturel $n$:} \item $c_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo classique l'année $2018+n$;\index{probabilites@probabilités} \item $e_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo électrique l'année $2018+n$; \item $P_n=\begin{pmatrix} c_n & e_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste l'année $2018+n$. \end{list} \begin{enumerate} \item On note $C$ l'évènement \og le client loue un vélo classique \fg{} et $E$ l'évènement \og le client loue un vélo électrique \fg. On représente la situation par un graphe probabiliste: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2) \psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}% paramètres du graphe \newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche %%% mettre 0 0 0 pour le noir %%%% G pour Gauche, D pour Droit %%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut ! \def\nomG{$C$}% nom du sommet de gauche \def\nomD{$E$}% nom du sommet de droite \def\valGD{$0,3$}% poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit \def\valDG{$0,15$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche \def\valGG{$0,7$}% poids de la boucle autour du sommet gauche \def\valDD{$0,85$}% poids de la boucle autour du sommet droit %%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous \Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD} % définition des sommets \ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G \ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D \nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm} \Bput{\colorG \valGG}% boucle autour de G \nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}% boucle autour de D \end{pspicture} \end{center} \item %Donner la matrice $P_0$ traduisant l'état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition $M$ en respectant l'ordre $C$ puis $E$ des sommets. En 2018 $10\,\%$ des clients ont loué des vélos électriques donc $e_0=0,1$ et donc $c_0=0,9$.\\ On en déduit que $P_0= \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \end{pmatrix}$ \smallskip D'après le texte, on a: $\left \lbrace \begin{array}{l !{=} l} c_{n+1} & 0,7\,c_n + 0,15\,e_n\\ e_{n+1} & 0,3\,c_n + 0,85\,e_n \end{array} \right .$ Ce qui s'écrit sous forme matricielle: $\begin{pmatrix} c_{n+1} & e_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{n} & e_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}$ Donc la matrice de transition du graphe est $M = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}$ \item $P_1 = P_0\times M = \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,645 & 0,355 \end{pmatrix}$ \item L'état stable du graphe probabiliste est l'état $P= \begin{pmatrix} c & e \end{pmatrix}$ tel que $P\times M = P$ sachant que $c+e=1$. $ P\times M = P \iff \begin{pmatrix} c & e \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & e \end{pmatrix} \iff \left \lbrace \begin{array}{l !{=} l} 0,7 c + 0,15 e & c\\ 0,3 c + 0,85 e & e \end{array} \right .\\ \phantom{P\times M = P} \iff \left \lbrace \begin{array}{r !{=} l} -0,3 c + 0,15 e & 0\\ 0,3 c - 0,15 e & 0 \end{array} \right . \iff 0,3 c = 0,15 e \iff 2c = e$ Comme de plus $c+e=1$, on arrive à $3c=1$ donc à $c=\dfrac{1}{3}$ et $e=\dfrac{2}{3}$. L'état stable est donc $P= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$. Cela veut dire qu'à terme, il y aura en location un tiers de vélos classiques et deux tiers de vélos électriques. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\smallskip % %\textbf{\emph{Les parties {\bf A, B} et {\bf C} peuvent être traitées de manière indépendante.}} % %\emph{Les résultats seront arrondis au centième.} \begin{flushleft} \textbf{Partie A} \end{flushleft} \begin{list}{\textbullet}{Lors d'un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d'éléphants. Le guide leur explique que:} \item la probabilité de voir des éléphants adultes dans la journée est de $0,85$; \item la probabilité de voir des bébés éléphants sachant que l'on voit des éléphants adultes est de $0,5$; \item la probabilité d'observer des bébés éléphants mais pas d'adultes éléphants dans la journée est de $0,015$. \end{list}\index{probabilites@probabilités} \begin{list}{}{On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants:} \item $A$: \og Le touriste voit des éléphants adultes dans la journée \fg{}; \item $B$: \og Le touriste voit des bébés éléphants dans la journée \fg. \end{list} %\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.} \begin{enumerate} \item La probabilité d'observer des bébés éléphants mais pas d'adultes éléphants dans la journée est de $0,015$ donc $p\left (\overline{A}\cap B \right )=0,015$. \item On représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré qui sera complété {\blue en bleu} au fur et à mesure de l'exercice: \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,85$}} { \TR{$B$}\naput{$0,5$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{$1-0,5=0,5$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$1-0,85=0,15$}} { \TR{$B$}\naput{\blue $0,1$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,1=0,9$} } } %\bigskip \end{center} \item% Montrer que $p(B)=0,44$. D'après la formule des probabilités totales:\\ $p(B) = p\left (A\cap B\vphantom{\overline{A}}\right ) + p\left ( \overline{A}\cap B\right ) = p(A)\times p_{A}(B) + p\left ( \overline{A}\cap B\right ) = 0,85\times 0,5 + 0,015 = 0,44$ \item \begin{enumerate} \item $p_{\overline{A}}(B)= \dfrac{p\left ( \overline{A}\cap B\right )}{p\left ( \overline{A}\right )} = \dfrac{0,015}{0,15} = 0,1$; on peut donc compléter l'arbre pondéré. \item Il y a donc 10\,\% de chances de voir des bébés éléphants quand on n'a pas vu d'adultes éléphants. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} À 20~h, le groupe de touristes fait une pause autour d'un point d'eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d'attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,90]$.\index{loi uniforme} \begin{enumerate} \item Si on appelle $T$ la variable aléatoire qui donne le temps d'attente, la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants est $p(60330)$ (domaine hachuré en bleu) et $p(Y>330)$(domaine quadrillé en rouge et bleu). On déduit que $p(X>330) > p(Y>330)$. \item \begin{enumerate} \item Sachant que $\mu'=268$ et $\sigma'=50$, on a $p(Y>330)\approx 0,11$ . \item Cela signifie qu'il y a environ 11\,\% des éléphants d'Asie qui ont une taille en centimètre supérieure à 330. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = (-5x^2+5)\e^{x}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ la fonction dérivée seconde.\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan, donnée en \textbf{annexe 2}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point A est l'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées, donc il a pour abscisse 0. Ce point a pour ordonnée: $f(0)=5\e^{0}=5$. Donc le point A a pour coordonnées $(0~;\,5)$. \item La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en des points d'ordonnées nulles. On résout l'équation $f(x)=0$. Comme pour tout $x$, $\e^{x}>0$, on résout $-5x^2+5=0$: $-5x^2+5=0 \iff 5(1-x^2)=0 \iff 5(1+x)(1-x)=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1$ Les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont $\text{B }(-1~;\,0)$ et $\text{C }(1~;\,0)$ \item Pour tout $x\in\R$, $f'(x)= (-10x)\times \e^{x} + (-5x^2+5)\times \e^{x}=(-5x^2-10x+5)\e^{x}$. \item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;\, 2]$. Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-5x^2-10x+5$ Le discriminant vaut $(-10)^2 - 4 \times (-5)\times 5 = 200$ donc le polynôme $-5x^2-10x+5$ admet deux racines $x_1=\dfrac{10 + \sqrt{200}}{-10} = \dfrac{10+10\sqrt{2}}{-10}= -1-\sqrt{2}$ et $x_2=-1+\sqrt{2}$. Ce trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur des racines donc: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline x & -5 & \esp & -1-\sqrt{2} & \esp & -1+\sqrt{2} & \esp & 2 \\ \hline -5x^2-10x+5 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \begin{list}{\textbullet}{On peut donc en déduire que:} \item la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left [-5~;\, -1-\sqrt{2}\strut\right ]$; \item la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left [-1-\sqrt{2}~;\, -1+\sqrt{2}\strut\right ]$; \item la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left [-1+\sqrt{2}~;\, 2\strut\right ]$; \end{list} \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.\index{tangente} \begin{enumerate} \item Une équation de $\Delta$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. $f(0)=5$ et $f'(0) = 5$ donc $\Delta$ a pour équation $y=5(x-0)+5$ soit $y=5x+5$. \item On détermine deux points de $\Delta$ pour la tracer: on sait que $\text A \in\Delta$, et pour $x=-1$, $y=0$ donc $\Delta$ passe par le point B de coordonnées $(-1~;\, 0)$. Voir \textbf{annexe 2} pour le tracé. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l'on pourra utiliser sans justification: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{l|l} \cellcolor{lightgray}1 & $f(x)$\\ \cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: (-5x^2+5)\e^{x}$\\ \hline \cellcolor{lightgray}2 & $f''(x)$\\ \cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: -20 x \e^{x} - 5 x^2 \e^{x} -5\e^{x}$\\ \hline \cellcolor{lightgray}3 & $\text{Résoudre }(f''(x)=0,x)$\\ \cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: \left \lbrace x=-\sqrt{3}-2\,,\, x=\sqrt{3}-2 \strut \right \rbrace$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item D'après le logiciel de calcul formel, $f''(x)=-20 x \e^{x} - 5 x^2 \e^{x} -5\e^{x} = -(5x^2+20x+5)\e^{x}$. \item %Étudier la convexité de le fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;\,2]$.\index{convexite@convexité} D'après le logiciel de calcul formel, l'équation $f''(x)=0$ admet deux solutions $x_1=-\sqrt{3}-2$ et $x_2=\sqrt{3}-2$. Or pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $f''(x)$ est du signe du polynôme du second degré $-(5x^2+20x+5)$ qui a pour racines $x_1=-\sqrt{3}-2$ et $x_2=\sqrt{3}-2$. Ce polynôme est du signe du coefficient de $x^2$, donc négatif, à l'extérieur des racines: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline x & -5 & \esp & -\sqrt{3}-2 & \esp & \sqrt{3}-2 & \esp & 2 \\ \hline -(5x^2+20x+5) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline \e^{x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\ \hline f''(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \begin{list}{\textbullet}{Donc:} \item $f''(x)<0$ sur $\left [ -5~;\, -\sqrt{3}-2 \strut \right [$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle; \item $f''(x)>0$ sur $\left ] -\sqrt{3}-2 ~;\, \sqrt{3}-2 \strut \right [$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle; \item $f''(x)<0$ sur $\left ] \sqrt{3}-2 ~;\,2 \strut \right ]$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle. \end{list} \end{enumerate} \item On s'intéresse à l'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =- 1$ et $x = 0$. \begin{enumerate} \item On hachure sur \textbf{l'annexe 2} ce domaine. \item On admet que sur l'intervalle $[-1~;\, 0]$, la droite $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.\\ L'aire $\mathcal{A}$ est donc inférieure à l'aire du triangle rectangle OAB. L'aire de OAB est $\dfrac{\text{OA}\times\text{OB}}{2} = \dfrac{5\times 1}{2} = 2,5$. Donc l'aire $\mathcal{A}$ est inférieure à $2,5$ unités d'aire. \item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (-5x^2+10x-5)\e^{x}$ est une primitive de $f$, donc: $\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x = F(0) - F(-1) = \left (-5\e^{0}\right ) - \left ( (-5 - 10 -5)\e^{-1} \right ) = -5+20\e^{-1} \approx 2,36$ %On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.\index{integrale@intégrale} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 1} \textbf{Exercice 3} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.05cm, yunit=300cm, comma, arrowsize=3pt 3,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin} \def\xmin {181} \def\xmax {450} \def\ymin {-0.0019} \def\ymax {0.012} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,linecolor=blue] { \psGauss[mue=330,sigma=50]{330}{\xmax} \psplot{\xmax}{330}{0} \closepath % indispensable ! } \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.6pt, hatchcolor=red,linecolor=red] { \psGauss[mue=268,sigma=50]{330}{\xmax} \psplot{\xmax}{330}{0} \closepath % indispensable ! } \multido{\n=220+20}{12}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.012)} \multido{\n=0.002+0.002}{5}{\psline[linecolor=lightgray](200,\n)(450,\n)} \psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=20, Dy=0.002,Ox=200]{->}(200,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psGauss[mue=268,sigma=50,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax} \uput[u](268,0.008){\red $\mathcal{C}_2$} \psGauss[mue=330,sigma=50,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax} \uput[u](330,0.008){\blue $\mathcal{C}_1$} \end{pspicture*} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 2} \textbf{Exercice 4} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,comma,labelFontSize=\scriptstyle} \def\xmin {-4.55} \def\xmax {3} \def\ymin {-7} \def\ymax {7} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\f{-5 x dup mul mul 5 add 2.7183 x exp mul} \pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,linecolor=blue] { \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-1}{0}{\f} \psplot{0}{-1}{0} \closepath % indispensable ! } \psgrid[unit=0.8cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-9,-7)(6,7) \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5](0,0)(-4.49,-6.95)(2.95,6.95) \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f} \uput[ur](0.7,5.4){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{5 x mul 5 add} \psdots(0,5)(1,0)(-1,0) \uput[r](0,5){\blue A} \uput[ul](-1,0){\blue B} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,0){\blue C} \end{pspicture*} \end{center} %\newpage %\printindex \end{document}