\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text} %Tapuscrit de Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small novembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[4pt]novembre 2007} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip %Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. % %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. % %La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous. % %Elle passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right)$, B(1 ; 0), C(2 ; 1) et D$\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right)$. % %\medskip % %\parbox{0.5\linewidth}{E est le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$. % %La courbe $\Gamma$ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses. % %La droite (AE) est tangente à la courbe $\Gamma$ au point A.}\hfill %\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture*}(-0.75,-4.5)(6.5,4) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-4.5)(6.5,4) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4.5)(6.5,4) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.14285}{1.3571}{7 x mul 5.5 sub} %\pscurve(0.2,-4.5)(0.5,-2)(1,0)(1.5,0.75)(2,1)(2.5,0.8)(3,0.44)(3.5,0)(4,-0.5)(5,-1.9)(6,-3.5) %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.5,-2)(1,0)(1,1.5)(2,1)(3.5,0) %\uput[dl](0,0){O} \uput[r](0.5,-2){A} \uput[u](1,0){B} \uput[u](2,1){C} \uput[ur](3.5,0){D} \uput[ul](1,1.5){E} %\psline{<->}(1,1)(3,1) \uput[ur](5,-2){$\Gamma$} %\end{pspicture*}} %\medskip % %Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe, à rendre avec la copie. % %Les réponses ne seront pas justifiées. % %NOTATION : \emph{une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte retire $0,25$ point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ V : la droite d'équation $y = - 1$ coupe la courbe $\Gamma$ en deux points. \item %Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$. F : Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1,5 - (- 2)}{1 - 0,5} = \dfrac{3,5}{0,5} = 7$. \item %Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2]. V : sur [1~;~2], $f$ est croissante et positive donc $f$ et $f'$ sont toutes les deux positives. \item %Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$. V : Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'(x) = f(x) \geqslant 0$ sur $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle. \item %On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$. F : Sur ]0~;~1[, $f(x) < 0$, donc $\ln [f(x)]$ n'existe pas. \item %La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle. F :Sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ la fonction exponentielle est croissante et la fonction $f$ est décroissante, donc par composition la fonction $\text{e}^{f(x)}$ est décroissante. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits. % %Le tableau cl-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %année & 2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline %rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline %nombre d'adhérents $y_{i}$ &140 &165 &220 &240 &260 &310\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip % %\emph{Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.} \begin{enumerate} \item ~%Représenter dans un repère orthogonal \Oij{} le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique. %On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.04cm} \begin{pspicture}(-0.5,-10)(5.5,200) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=120,Dy=40]{->}(0,0)(0,0)(5.5,200) \psdots(0,20)(1,45)(2,100)(3,120)(4,140)(5,190) \psdots[linecolor=cyan](1,55)(4,150) \uput[ul](1,55){\cyan G$_1$} \uput[ul](4,150){\cyan G$_2$} \uput[u](5,0){rang de l'année}\uput[r](0,195){nombre d'adhérents} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{5}{95 x mul 3 div 430 3 div add 120 sub} \end{pspicture} \end{center} \medskip \item Un premier ajustement du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ \begin{enumerate} \item %On désigne par G$_{1}$, le point moyen des trois points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des trois points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$ du nuage. Calculer les coordonnées respectives de G$_{1}$ et de G$_{2}$ dans le repère \Oij. On a G$_1(1~;~175)$ et G$_2(4~;~270)$. \item %Déterminer l'équation réduite $y = Ax +B$ de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) dans le repère \Oij. Les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ vérifient l'équation $y = Ax + B$ soit : $\left\{\begin{array}{l c l} 175&=&A + B\\ 270&=&4A + B \end{array}\right. \Rightarrow 95 = 3A \iff A = \dfrac{95}{3}$, puis $B = 175 - A = 175 - \dfrac{95}{3} = \dfrac{525 - 95}{3} = \dfrac{430}{3}$. %Les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles. L'équation réduite de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est donc $y = \dfrac{95}{3}x + \dfrac{430}{3}$. %Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique. \item %En utilisant la droite (G$_{1}$G$_{2}$) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007. 2007 correspond au rang $x = 7$, d'où $y = \dfrac{95}{3}\times 7 + \dfrac{430}{3} = \dfrac{665}{3} + \dfrac{430}{3} = \dfrac{\np{1095}}{3} = 365$~adhérents. \end{enumerate} \item Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés, \begin{enumerate} \item %Soit $\Delta$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\Delta$ dans le repère \Oij. La calculatrice donne $y = 33x + 140$. \item %En utilisant la droite $\Delta$, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007. Pour $x = 7$, on obtient $y = 33 \times 7 + 140 = 231 + 140 = 371$~adhérents. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à $t$\,\%, quelle serait la valeur de $t$ arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ? Augmenter chaque année de $\dfrac{t}{100}$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; $t$ vérifie donc : $140 \times \left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = 310 \iff \left( 1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = \dfrac{310}{140} \iff 1 + \dfrac{t}{100} = \left( \frac{310}{140}\right)^{\frac{1}{5}}$. Or $\left( \frac{310}{140}\right)^{\frac{1}{5}} \approx \np{1,17232}$. Donc au centième près le taux moyen d'augmentation sur les cinq années est environ de 17,23\,\%. \item %Avec ce même taux d'augmentation $t$, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ? En continuant avec ce taux d'augmentation le nombre d'adhérents en 2007 sera environ de : $310 \times 1\np{1,1723}^2 \approx 426$. Avec une augmentation moyenne annuelle de 17,23\,\% on peut espérer avoir en 2007, 426 adhérents. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %\parbox{0.5\linewidth}{Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, %C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.}\hfill %\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5) %%\psgrid %\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB %\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC %\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD %\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE %\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} %\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} %\end{pspicture}} % %\emph{Les questions $1,~2$ et $3$ sont indépendantes.} % \medskip \begin{enumerate} \item %Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ? Oui par exemple : A -- B -- G -- D -- F -- E -- C -- A. \item %On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique. %On donne M$^3 =\begin{pmatrix} %0 & 7 &6 & 1 &0 &4 &2\\ %7 &2 &1 &10 &9 &1 &5\\ %6 &1 &0 &9 &8 &0 &3\\ %1 &10 &9 &2 &1 &7 &5\\ %0 &9 &8 &1 &0 &6 &3\\ %4 &1 &0 &7 &6 &0 &2\\ %2 & 5&3 &5 &3 &2 &2\\ %\end{pmatrix}$ %Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F. %Les citer tous. Aucune justification n'est demandée. Le nombre de chemins longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F est le nombre situé sur la première ligne et la sixième colonne soit 4 : A-- B-- D-- F ; A--B--E--F ; A--C--D--F et A--C--E--F. %\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{3.} On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre %deux villes pour lesquelles il existe une liaison : % %AB : 5 ; AC : 7 ; % %BD : 8 ; BE: 15 ; % %BG : 6 ;CD : 10 ; % %CE : 15 ; DF : 20 ; % %DG : 10 ; EF : 5 ; % %Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.} \hfill %\parbox{0.38\linewidth}{ \begin{pspicture}(4,5) %%\psgrid %\psline(0.5,3)(2,4)(2.8,0.3)(3.8,3)(3.8,1.7)(0,1.7)(2,4)%ABECDGB %\psline(0.5,3)(3.8,3)%AC %\psline(2,4)(3.8,1.7)%BD %\psline(3.8,1.7)(0.7,0.3)(2.8,0.3)%DFE %\uput[ul](0.5,3){A} \uput[u](2,4){B} \uput[ur](3.8,3){C} \uput[r](3.8,1.7){D} %\uput[dr](2.8,0.3){E} \uput[d](0.7,0.3){F} \uput[l](0,1.7){G} %\rput(1.2,3.7){5} \rput(1.6,3.2){7} \rput(3.1,2.85){8} \rput(0.6,2.6){6} \rput(4,2.4){10} %\rput(2.2,2.2){15} \rput(1.2,1.9){10} \rput(3.2,0.9){15} \rput(1.5,0.9){20} \rput(1.8,0.5){5} %\end{pspicture}} %\medskip % %En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance. On utilise l'algorithme de Dijkstra : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{2cm}|}\hline A &B &C&D&E&F& G&Sommet sélectionné\\ \hline 0 &$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A (0) \\ \hline &A 5&A 7 &$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&B \\ \hline & &A 7 &B 13 &B 20 &$\infty$&B 11 &C \\ \hline & & &B 13 &B 20 &$\infty$&B 11 &G \\ \hline & & &B 13 &B 20 &$\infty$& &D \\ \hline & & & &B 20 &D 33 & &E \\ \hline & & & & &E 25 & &F \\ \hline \end{tabularx} On remonte les sommets F--E--B--A, donc le trajet le plus court est A--B--E--F dont la longueur est 25 centaines de km soit \np{2500}~km. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip %Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55\,\% des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98\,\% possèdent un téléphone portable. % %De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur. % %Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité. % %\emph{Les parties A et B sont indépendantes.} % %\medskip % %\textbf{Partie A :} on choisit au hasard un élève de ce lycée.\\ %On note : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item M l'évènement : \og L'élève possède un ordinateur \fg{} ; %\item T l'évènement : \og L'élève possède un téléphone portable \fg{} ; %\item $\overline{\text{M}}$ l'évènement contraire de M ; %\item $\overline{\text{T}}$ l'évènement contraire de T. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable. Il faut trouver : $p(M \cap T) = p(M) \times p_{M}(T) = 0,55 \times 0,98 = 0,539$. \item %En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable. Parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60\,\% possèdent un ordinateur, donc on a $p_{T}(M) = 0,6$. Mais : $p_{T}(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)}$. On a donc $p(T) = \dfrac{p(M \cap T)}{p_{T}(M)} = \dfrac{0,54}{0,6} = 0,9$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On prend $0,90$ comme valeur de la probabilité de l'évènement T. %Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable. D'après la loi des probabilités totales : $p(T) = p(M \cap T) + p\left(\overline{M} \cap T\right)$ ou encore $p\left(\overline{M} \cap T\right) = p(T) - p(M \cap T) = 0,9 - 0,54 = 0,36$. \item %En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur. On a $p_{\overline{M}}(T) = \dfrac{p\left(T \cap \overline{M} \right)}{p\left(\overline{M}\right)} = \dfrac{p\left(T \cap \overline{M} \right)}{1 - p(M)} = \dfrac{0,36}{1 - 0,55} = \dfrac{0,36}{0,45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{4}{5} = 0,8$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} %%on choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres. %On note E l'évènement : \og Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur \fg. %Calculer la probabilité de l'évènement E. La loi associée au nombre d'ordinateurs possédés par les élèves est une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = p(M) = 0,55$. La probabilité de l'évènement E est égale à $3 \times 0,55^2 (1 - 0,55) = \np{0,408375} \approx 0,41$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur R par % %\[h(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} +6.\] % %On note $h'$ sa fonction dérivée. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{x} =0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{2x} = 0$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = 6$. \item %Calculer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$ ; on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel $x\::\: h(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 7 + 6\text{e}^{-x}\right)$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x}\text{e}^x = + \infty$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$. \end{enumerate} \item %Calculer $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right],~ h(0)$ puis $h(\ln 6)$. $\bullet~~$$h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right] = \text{e}^{2\times \ln\left(\frac{7}{2}\right)} - 7\text{e}^{\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)} + 6 = \text{e}^{\frac{49}{4}} - 7\text{e}^{\ln \frac{7}{2}} + 6 = \frac{49}{4} - 7 \times \frac{7}{2} + 6 = \frac{49 - 98 + 24}{4}= - \frac{25}{4}$. $\bullet~~$$h(0) = 1 - 7 + 6 = 0$ ; $\bullet~~$$h(\ln 6) = \text{e}^{2\ln 6} - 7 \text{e}^{\ln 6} + 6 = \text{e}^{\ln 36} - 7 \text{e}^{\ln 6} + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$. \item %Déterminer par le calcul l'image $h'(x)$ d'un réel $x$ par la fonction $h'$ et étudier les variations de la fonction $h$. %Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $h'(x) = 2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - 7 \right)$. Comme $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $h'(x) $ a le signe de $2\text{e}^{x} - 7$. $\bullet~~$$h'(x) > 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 > 0 \iff 2\text{e}^{x} > 7 \iff \text{e}^{x} > \frac{7}{2} \iff x > \ln \frac{7}{2}$ : la fonction $h$ est croissante sur $\left]\ln \frac{7}{2}~;~+ \infty\right[$ de $- \dfrac{25}{4}$ à plus l'infini. De même : $\bullet~~$$h'(x) < 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 < 0 \iff 2\text{e}^{x} < 7 \iff \text{e}^{x} < \frac{7}{2} \iff x < \ln \frac{7}{2}$ : la fonction $h$ est décroissante sur $\left]- \infty~;~\ln \frac{7}{2}\right[$ de 6 à $- \dfrac{25}{4}$. $\bullet~~$$h'(x) = 0 \iff 2\text{e}^{x} - 7 = 0 \iff x = \ln \frac{7}{2}$. $h\left[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right] = - \frac{25}{4}$ est le minimum de $h$ sur $\R$. \item %En déduire le tableau des signes de la fonction $h$. La fonction s'annulant en $0$ et en $\ln 6$, on en déduit que $h(x) \geqslant 0$, sauf sur l'intervalle $]0~;~\ln 6[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par % %\[f(x) = 6 - 6\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x)= \text{e}^{x} - 1. \] % %On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. % %Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. $f(\ln 6) = 6 - 6\text{e}^{- \ln 6} = 6 - 6 \times \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 6}} = 6 - 6 \dfrac{1}{6} = 6 - 1 = 5$ ; $g(\ln 6) = \text{e}^{\ln 6} - 1 = 6 - 1 = 5$. Ceci montre que le point de coordonnées $(\ln 6~;~ 5)$ est un point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout réel $x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$. $f(x) - g(x) = 6 - 6\text{e}^{-x} - \left[\text{e}^{x} - 1 \right] = 7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}}\left(7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right) = \dfrac{\text{e}^{x}\left(7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right)}{\text{e}^{x}} = \dfrac{7\text{e}^{x} - 6 - \text{e}^{2x}}{\text{e}^{x}} = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}$ \item %Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. $f(x) - g(x)$ a donc le signe de $h(x)$, donc : $f(x) - g(x) > 0 \iff f(x) > g(x)$ qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{g}$, sauf sur l'intervalle $]0~;~\ln 6[$ où c'est le contraire. \end{enumerate} \item %On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 6$. \begin{enumerate} \item %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe. Voir le graphique. \item %Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée arrondie au centième. On a vu que sur $[0~;~\ln 6]$, $\mathcal{C}_{g}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{f}$. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aire est égale à l'intégrale : $\displaystyle\int_0^{\ln 6} [g(x) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\ln 6} \left[7 - 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right]\:\text{d}x = \left[7x + 6\text{e}^{-x} - \text{e}^{x} \right]_0^{\ln 6} = 7\ln 6 + 6\text{e}^{-\ln 6} - \text{e}^{\ln 6} - \left[7\times 0 + 6\text{e}^{-0} - \text{e}^{0} \right] = 7\ln 6 + 1 - 6 - 6 + 1 = 2 + 7\ln 6 - 10$~unités d'aire. Or 1 unité d'aire vaut $2 \times 1 = 2$~cm$^2$. Donc l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à $14\ln 6 - 20$~cm$^2$, soit environ 5,084~cm$^2$, soit finalement environ 5,08~cm$^2$ au centième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{À compléter et à rendre avec la copie} %\medskip % %\textbf{Exercice 1} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|X|X|} \hline %\multicolumn{1}{|c|}{Affirmation}& V&F\\ \hline %\textbf{1.} L'équation $f(x)= -1$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&\rule[2mm]{0mm}{3mm}&\\ \hline %\textbf{2.} Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à $\dfrac{1}{7}$.&&\rule[1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline %\textbf{3.} Les fonctions $f$ et $f'$ ont le même signe sur l'intervalle %[1 ; 2].&& \\ \hline %\textbf{4.} \rule[2mm]{0mm}{3mm} Les primitives de la fonction $f$ sont croissantes sur l'intervalle $\left[1~;~\dfrac{7}{2}\right]$.&&\\ \hline %\textbf{5.} On peut calculer $\ln [f(x)]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.&&\\ \hline %\rule[2mm]{0mm}{3mm} \textbf{6.} La fonction $g$ définie sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$ est croissante sur cet intervalle.&&\\ \hline %\end{tabularx} \vspace{1,5cm} \textbf{Exercice 4} \bigskip \psset{xunit=2cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-1.25,-2)(4,6.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(4,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.28}{3.5}{6 6 2.71828 x exp div sub} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{1.95}{2.71828 x exp 1 sub} \uput[dr](0,0){O} \uput[d](3.5,5.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](2,6){\red $\mathcal{C}_{g}$} \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1.79176}{2.71828 x exp 1 sub} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.79176}{0}{6 6 2.71828 x exp div sub} } \end{pspicture} \end{center} \end{document}