\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pstricks-add,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\mathrm {e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie 8 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\bigskip % %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, \textbf{une seule des trois réponses proposées est exacte}. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. % %\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}. \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par : \[f(x) = 2x - x \ln x.\] \begin{enumerate} \item $f(3 \text{e} )$ est égal à : $f(3 \text{e}) = 2 \times 3 \text{e} - 3\text{e}\ln (3\text{e}) = 6\text{e} - 3\text{e}(\ln 3 + \ln (\text{e})) = 6\text{e} - 3\ln 3 \text{e} - 3\text{e} = 3\text{e} - 3\ln 3\text{e} = 3\text{e} \left( 1 - \ln 3 \right)$. Réponse \textbf{b.} %\begin{enumerate} % \item $6\text{e} -3\text{e} \ln 3$ % \item $3\text{e} \left( 1 - \ln 3 \right)$ % \item $3 \text{e} ^2 \ln\left(3 \text{e} \right)$ %\end{enumerate} \item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0 $ est : %\begin{enumerate} % \item $S = \left\{0~;~\text{e}^2 \right\}$ % \item $S = \left\{\text{e}^2 \right\}$ % \item $S = \left\{ \ln 2\right\}$ %\end{enumerate} $2x - x \ln x = 0 \iff x(2 - \ln x) = 0 \iff x = 0\quad \text{et}\quad 2 - \ln x = 0 \iff x = 0\quad \text{et}\quad 2 = \ln x \iff x = 0\quad \text{et}\quad \text{e}^2 = x$ : or $\ln x$ existe si $x > 0 $, donc : réponse \textbf{b.} \item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à : %\begin{enumerate} % \item $+\infty$ % \item 2 % \item $-\infty$ %\end{enumerate} En écrivant $f(x) = x(2 - \ln x)$ on voit que la limite du premier facteur est plus l'infini celui du second moins l'infini, d'où par produit de limites moins l'infini. Réponse \textbf{c.} \item Une primitive de la fonction $f$ sur $] 0;+\infty [$ est la fonction $F$ définie sur $] 0~;~+\infty [$ par : % \begin{enumerate} % \item $F(x) = 1 - \ln x$ % \item $F(x) = \dfrac{5}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x^2 \ln x$ % \item $F(x) = x^2 - x^2 \ln x$ % \end{enumerate} Clairement la première et la troisième fonction ne peuvent donner comme dérivée $f(x)$. Dérivons la deuxième : $F'(x) = \dfrac{5}{4} \times 2x - \dfrac{1}{2} \times 2x \ln x - \dfrac{1}{2} x^2 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2} x - x\ln x - \dfrac{1}{2}x = 2x - x\ln x = f(x)$. Réponse \textbf{b.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip %L'Etat du Wyoming, aux Etats-Unis, accueille chaque année près de 3,5 millions de touristes, notamment venus visiter les parcs nationaux de Yellowstone et de Grand Teton. % %92\,\% de ces touristes visitent le parc de Yellowstone ; parmi ceux-là, 60\,\% visitent aussi le parc du Grand Teton. % %Enfin, 6\% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs. % %\medskip % %On interroge au hasard un touriste s'étant rendu au Wyoming ; on suppose que tous ces touristes ont la même probabilité d'être interrogés. % %On note $Y$ l'évènement : \og le touriste a visité le parc de Yellowstone \fg{} ; $\overline{Y}$ désigne l'évènement contraire de $Y$. % %On note $G$ l'évènement : \og le touriste a visité le parc du Grand Teton \fg{} ; $\overline{G}$ désigne l'évènement contraire de $G$. % %On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$ et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. % %\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près}. \begin{enumerate} \item %Que vaut $p\left( \overline{Y} \cap \overline{G} \right)$ la probabilité de l'évènement \og $\overline{Y}$ et $\overline{G}$ \fg{} ? La réponse est dans la dernière donnée : \og 6\% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs\fg. Donc $p\left( \overline{Y} \cap \overline{G} \right) = \dfrac{6}{100} = 0,06$. \item %Construire un arbre pondéré décrivant la situation étudiée, en y indiquant les probabilités données par l'énoncé qui correspondent à certaines de ses branches. \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$Y$}\taput{0,92}} { \TR{$G$}\taput{0,60} \TR{$\overline{G}$}\tbput{\textcolor{blue} {0,40}} } \pstree{\TR{$\overline{Y}$}\tbput{0,08}} { \TR{$G$}\taput{\textcolor{blue} {0,25}} \TR{$\overline{G}$}\tbput{\textcolor{blue} {0,75}} } } \end{center} \medskip \item %Calculer $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat par une phrase. On a $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G} \right) = \dfrac{p\left(\overline{Y} \cap \overline{G}\right)}{p\left(\overline{Y}\right)} = \dfrac{0,06}{0,08} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. Il y a trois chances sur quatre qu'un touriste n'ayant pas visité Yellowstone ne visite pas non plus le grand Teton. \item %Montrer que $p(G)= 0,572$. D'après la loi des probabilités totales : $p(G) = p(Y \cap G) + p\left(\overline{Y} \cap G \right) = 0,92 \times 0,6 + 0,08 \times 0,25 = 0,552 + 0,02 = 0,572$. \item %Un touriste a visité le parc du Grand Teton. Calculer la probabilité qu'il ait aussi visité le parc de Yellowstone (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près). On a $p_{G}(Y) = \dfrac{p(G \cap Y)}{p(G)} = \dfrac{0,92 \times 0,60}{0,572} = \dfrac{0,552}{0,572} \approx 0,965$. \item %Le billet d'entrée pour le parc de Yellowstone est de 10 dollars, celui pour le parc du Grand Teton est de 7 dollars. \begin{enumerate} \item %Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la somme, en dollars, dépensée pour la visite des parcs de Yellowstone et du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Somme en dollars &0 &10 &7 &17\\ \hline Probabilité &0,06 &0,368 &0,02 &0,552 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat. On a $E = 0 \times 0,06 + 10 \times 0,368 + 7 \times 0,02 + 17 \times 0,552 = 3,68 + 0,14 + 9,384 = 13,204 \approx 13,20~\$$. En moyenne un touriste dépense 13,20~\$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1\up{er} janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d'améliorer sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes. % %\medskip % %\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}} % %\medskip % %Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit. % %Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun. % %\begin{center} %\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture}(0,0)(11,8.3) %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} %\newcommand{\Pg}[1]{\small{\textsf{\prune{#1}}}}% poids des arêtes %\newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Sommet du graphe %\psset{dotstyle=*,dotscale=1.2,linecolor=bleu} %\dotnode(4,8){A} \dotnode(0,2.5){B} \dotnode(3.5,0){C} \dotnode(6,1.5){D} \dotnode(5.2,6){E} \dotnode(9,7.5){F} \dotnode(11,5.5){H} \dotnode(11,3){G} %\uput[u](4,8){\Sg{A}} \uput[l](0,2.5){\Sg{B}} \uput[d](3.5,0){\Sg{C}} \uput[d](6,1.5){\Sg{D}} \uput[u](5.2,6){\Sg{E}} \uput[u](9,7.5){\Sg{F}} \uput[r](11,3){\Sg{G}} \uput[r](11,5.53){\Sg{H}} %\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,shortput=nab} %\ncline{A}{B}_{\Pg{60}} \ncline{A}{C}^{\Pg{70}} \ncline{A}{E}^{\Pg{20}} \ncline{A}{F}^{\Pg{45}} \ncline{B}{C}_{\Pg{10}} \ncline{B}{E}_{\Pg{20}} \ncline{C}{D}_{\Pg{15}} %\ncline{D}{E}_{\Pg{60}} \ncline{D}{G}_{\Pg{20}} \ncline{E}{F}^{\Pg{40}} \ncline{E}{H}_{\Pg{50}} \ncline{F}{H}^{\Pg{35}} \ncline{G}{H}_{\Pg{20}} %\end{pspicture} %\end{center} % %Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l'aide d'un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes. Pour déterminer le trajet le plus court, on utilise l'algorithme de Dijkstra : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.15cm}|}\hline A &B &C&D&E&F&G&H&Sommet retenu\\ \hline 0 &$\infty$&$\infty$&$\infty$ &$\infty$&$\infty$ &$\infty$ &$\infty$ &A(0)\\ \hline &60 (A) &70 (A) &$\infty$ &20 (A) &45 (A) &$\infty$ &$\infty$ &E (20)\\ \hline &40 (E) &70 (A) &80 (E) & &45 (A) &$\infty$ &70 (E) &B (40)\\ \hline & &50 (B) &80 (E) & &45 (A) &$\infty$ &70 (E) &F (45)\\ \hline & &50 (B) &80 (E) & & &$\infty$ &70 (E) &C (50)\\ \hline & & &65 (C) & & &$\infty$ &70 (E) &D (65)\\ \hline & & & & & &85 (D) &70 (E) &H (70)\\ \hline & & & & & &85 (D) & &G (85)\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip On retient le sommet G et ses prédécesseurs D C B E et A. Le trajet le plus court est donc A -> E-> B-> C-> D-> G pour un temps de 85~min. \textsf {\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip %Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que : %\begin{itemize} % \item S'il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ; %\item S'il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8. %\end{itemize} % %Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. %Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} r_{n} & t_{n} \\ \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste du %n-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du $n$-ième mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du $n$-ième mois. % %L'état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par : $P_0= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \medskip \item ~ %Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,2) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){R}{\small{\textsf{\bleu{R}}}}\cnodeput(4.5,1){T}{\small{\textsf{\bleu{T}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{R}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{T}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{R}{T} \ncarc[arcangle=40]{->}{T}{R} \rput(0,1){0,2} \rput(5.2,1){0,62} \rput(2.5,2){0,8} \rput(2.5,0){0,38} \end{pspicture} \end{center} \item %En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique. La matrice de transition $M$ vérifiant $\begin{pmatrix}r_{n+1}&t_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_{n}&t_{n} \end{pmatrix} \times M$ est $M = \begin{pmatrix}0,2&0,8\\0,38&0,62 \end{pmatrix}$. \item %Calculer l'état probabiliste $P_2$. En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012. On a $P_2 = P_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}0&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,2&0,8\\0,38&0,62 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\np{0,3116}&\np{0,6884}\end{pmatrix}$. \item %Soit $P$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} x & y \\ \end{pmatrix}$ donnant l'état stable. \begin{enumerate} \item %Calculer les valeurs de $x$ et de $y$ arrondies à $10^{-3}$ près. Les termes de $M_2$ étant non nuls, $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$ tel que $P = PM$. cette égalité se traduit par : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&0,x + 0,38y\\ y&=&0,8x + 0,62y\\ x + y&=&1 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} 0,8x - 0,38y&=& \\ -0,8x + 0,38y&=&0\\ x + y&=&1 \end{array}\right.\iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} 0,8x - 0,38y&=& \\ x + y&=&1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 0,8x - 0,38(1 - x)&=& \\ x + y&=&1 \end{array}\right. \iff$ $\left\{\begin{array}{l c l} 1,18x - 0,38&=&0 \\ x + y&=&1 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\frac{19}{59} \\ y&=&\frac{40}{59} \end{array}\right.$ Donc $P = \begin{pmatrix}\frac{19}{59}&\frac{40}{59}\end{pmatrix}$ soit $P \approx \begin{pmatrix}0,322&0,678\end{pmatrix}$. \item %Interpréter les résultats obtenus. Sur le long terme Jonathan terminera chaque semi-marathon avec une probabilité un peu supérieure à 2 sur 3. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \begin{center} \emph{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}} \end{center} \textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}} \medskip %Le tableau ci-dessous donne les quantités de super sans plomb livrées et vendues en France de 2001 à 2009 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline %Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline %Quantité (millions de tonnes) $y_i$ & 11,6 & 11,4 & 11,2 & 10,9 & 10,7 & 10,2 & 9,8 & 9,1 & 8,7 \\ \hline %\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}} %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, associé à cette série statistique. On prendra pour unités graphiques : %\begin{itemize} % \item sur l'axe des abscisses : 1 centimètre pour une année, % \item sur l'axe des ordonnées : 2 centimètres pour un million de tonnes, en commençant la graduation à 7 millions de tonnes. %\end{itemize} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(10,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=7]{->}(0,0)(10,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=7](0,0)(10,5) \psdots(1,4.6)(2,4.4)(3,4.2)(4,3.9)(5,3.7)(6,3.2)(7,2.8)(8,2.1)(9,1.7) \psdots[linecolor=red](5,3.4) \uput[u](8.4,0){rang de l'année} \uput[u](2,5){Quantité (millions de tonnes)} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{5.23 0.37 x mul sub} \end{pspicture} \end{center} \item %Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer ce point sur le graphique. On a $\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9} = \dfrac{9 \times 10}{2 \times 9} = 5$ et $\dfrac{11,6+11,4+11,2+10,9+10,7+10,2+9,8+9,1+8,7}{9} = \dfrac{93,6}{9} = 10,4$ Donc G$(5~;~10,4)$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est demandée). Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $10^{-2}$ près. La calculatrice donne $y = - 0,37x + 12,23$ \item %Tracer la droite d'ajustement obtenue. Voir la figure. \end{enumerate} \item %En supposant que cet ajustement reste valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation des quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues pour l'année 2012. 2012 correspond au rang 12, donc l'estimation des ventes en cette année est : $-0,37 \times 12 + 12,23 = 7,79$~(millions). \end{enumerate} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}} \medskip %Le tableau ci-dessous donne les quantités de gazole livrées et vendues en France de 2001 à 2010 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). % %\medskip % %{\small %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007&2008 &2009 &2010 \\ \hline %Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline %Quantité (millions de tonnes) $y_i$ &28,6 &29,4 &30,1 &30,8 &31,1 &31,9 &32,8 &33 &33,1 &33,4 \\ \hline %\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : INSEE}} %\end{tabularx} %} %\medskip % %Le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$ avec $i$ variant entre 1 et 10 est représenté ci-dessous. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(11,7) %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=5,subgridcolor=gray,subgridwidth=0.1pt, gridlabels=0](0,0)(11,7) %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=27]{-}(0,0)(11,7) %\rput(5.5,-0.6){\footnotesize{\textbf{Rang de l'année}}} %\rput{90}(-0.8,3.5){\footnotesize{\textbf{Quantité en millions de tonnes}}} %\savedata{\nuage}[ (1,1.6) (2,2.4) (3, 3.1) (4, 3.8) (5,4.1) (6, 4.9) (7,5.8) (8,6) (9,6.1) (10,6.4) ] %\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %L'allure de ce nuage de points permet d'envisager un ajustement logarithmique. On pose, pour tout $i$ compris entre 1 et 10 : $z_i = \e^{\frac{y_i}{10}}$ %Calculer les valeurs de $z_3$ et $z_{10}$ (on arrondira à $10^{-2}$ près). $z_3 = \text{e}^{3,01} \approx 20,29$ \quad et \quad $z_{10} = \text{e}^{3,34} \approx 28,22$. \medskip {\footnotesize \hspace{-.4cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.05cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline $z_i = \e ^{\frac{y_i}{10}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 17,46 & 18,92 &20,29 & 21,76 & 22,42 & 24,29 & 26,58 & 27,11 & 27,39 &28,22 \\ \hline \end{tabularx} } \medskip \item %On admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z = 1,25x + 16,56$. On a donc $z = \e ^{\frac{y_i}{10}} = 1,25x + 16,56 \iff \frac{y_i}{10} = \ln (1,25x + 16,56) \iff $ $y = 10\ln (1,25x + 16,56)$. %En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \ln (cx + d)$ où $k$, $c$, $d$ désignent trois réels à déterminer. \item %En utilisant ce modèle, déterminer à partir de quelle année la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes. Il faut trouver $x$ entier tel que : $10\ln (1,25x + 16,56) > 35 \iff \ln (1,25x + 16,56) > 3,5 \iff$ $ 1,25x + 16,56 > \text{e}^{3,5} \iff x > \dfrac{\text{e}^{3,5} - 13,56}{1,25}$. Or $\dfrac{\text{e}^{3,5} - 13,56}{1,25} \approx 13,2$ : il faut donc prendre $x = 14$. En 2014 la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}} \medskip Soit $d$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par : $d(x) = \dfrac{3x+0,3}{\text{e}^x}-1,3$. %On note $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, $d'(x)=\dfrac{-3x + 2,7}{\text{e}^x}$. La fonction est dérivable puisque le dénominateur est supérieur à zéro. En dérivant le quotient : $d'(x) = \dfrac{3\text{e}^x - \text{e}^x(3x + 0,3)}{\left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{(3 - 0,3)\text{e}^x - 3x\text{e}^x}{\left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{2,7 - 3x}{\text{e}^x}$. \item %Étudier, pour $x$ variant dans l'intervalle $[0~;~4]$, le signe de $d'(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. (on donnera dans ce tableau des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près). Le signe de $d'(x)$ est celui du numérateur $2,7 - 3x$. $2,7 - 3x = 0 \iff 2,7 = 3x \iff 0,9 = x$ ; $2,7 - 3x > 0 \iff 2,7 > 3x \iff 0,9 > x$ : donc sur [0~;~0,9[, $d'(x) > 0$ ; $d'(0,9) = 0$ et sur ]0,9~;~4], $d'(x) < 0$. Il suit le tableau de variations suivants : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$0,9$} \uput[u](6.8,2.4){$4$} \uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.3,0){$- 1$}\uput[d](4,2){$\approx - 0,08$} \uput[u](6.6,0){$\approx - 1,07$} \end{pspicture} \end{center} \item %En déduire le signe de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. Le tableau de variations montre que sur $[0~;~4]$, \: $d(x) < 0$. \end{enumerate} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}} \medskip %Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~4]$ par \[f(x) = \dfrac{3x+3,3}{\text{e}^x} \quad \text{et}\quad g(x) = - 1,3x + 5,97.\] %On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont décroissantes sur $[0~;~4]$ ; la fonction $f$ est représentée ci-dessous par la courbe $C_f$ et la fonction $g$ par le segment de droite $D$. % % \begin{center} %\psset{xunit=2cm, yunit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(5,7) %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\def\f{(3*x+3.3)/(EXP(x))} %\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(5,7) %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-1,-1)(5,7) %\psaxes[linewidth=1pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(1,1) %\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} %\uput[d](0.5,0){\footnotesize{$\vec{\imath}$}} \uput[l](0,0.5){\footnotesize{$\vec{\jmath}$}} %\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f} %\psline[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,5.97)(4,.77) %\uput[u](1.4,2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} \uput[u](1.5,4){\footnotesize{\prune{$D$}}} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~4]$ par : $h(x) = g(x) - f(x)$. \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout $x \in [0~;~4]$, $h'(x) = d(x)$ ($d$ désigne la fonction étudiée dans la partie A). $h(x) = g(x) - f(x) = - 1,3x + 5,97 - \left(\dfrac{3x+3,3}{\text{e}^x} \right)$, donc $h'(x) = - 1,3 - \dfrac{3\text{e}^x - \text{e}^x(3x + 3,3)}{\left(\text{e}^x \right)^2} = - 1,3 - \dfrac{3 - 3x - 3,3}{\text{e}^x} = -1,3 - \dfrac{-0,3 - 3x}{\text{e}^x} = \dfrac{3x + 0,3}{\text{e}^x} - 1,3 = d(x)$ \item %En déduire le tableau de variations de la fonction $h$ sur $[0~;~4]$. On a vu dans la partie a que $d(x) = h'(x) < 0$ sur [0~;~4] ; la fonction $h$ est donc décroissante sur cet intervalle de $h(0) = 5,97 - 3,3 = 2,67$ à $h(4) = 5,97 - 5,2 - \dfrac{15,3}{\text{e}^4} \approx 0,49$. \item %Montrer que l'équation $h(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~4]$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. La fonction $h$ est continue car dérivable sur [0~;~4] et décroissante de $2,67 > 1$ à $h(4) < 1$ : il existe donc un nombre unique $\alpha \in [0~;~4]$ tel que $h(\alpha) = 1$. La calculatrice donne $h(3) \approx 1,46$ et $h(4) \approx 0,49$, donc $3 < \alpha < 4$. $h(3,5) \approx 1,003$ et $h(3,6) \approx 0,90$, donc $3,5 < \alpha < 3,6$. \end{enumerate} \item %Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d}x}$ Une primitive de $g(x) = 5,97 - 1,3x$ est $G$ définie sur [0~:~4] par $G(x) = 5,97x - \dfrac{1,3}{2}x^2$. Donc $\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d}x} = G(4) - G(1) = 5,97 \times 4 - \dfrac{1,3}{2}\times 16 - \left(5,97 - \dfrac{1,3}{2} \right) =$ $ 23,88 - 10,4 - 5,97 + 0,65 = 8,16$~(unités d'aire). \end{enumerate} \medskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie c}}} \medskip %\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} % %\emph{Les résultats de la partie} B \emph{pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes.} % %\medskip % %Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue). % %Pour $x$ tonnes de produit fabriquées mensuellement (avec $x \in [0~;~4]$ ), on admet que $f(x)$ désigne le coût de production par tonne (en centaines de milliers d'euros), et $g(x)$ le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d'euros). %\medskip \begin{enumerate} \item %L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l'euro près, le coût de production de la tonne produite, son prix de vente, et le bénéfice mensuel ainsi réalisé. On a $f(1) = \dfrac{6,3}{\text{e}} \approx 2,31764$~ soit environ \np{231764}~\euro. $g(1) = 5,97 - 1,3 = 4,67$ soit \np{467000}~\euro. Le bénéfice mensuel est donc égal à $g(1) - f(1) = \np{235236}$~\euro. \item %Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre $1$ et $4$ tonnes. Le prix moyen par tonne est donné par : $\dfrac{1}{4 - 1}\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d}x}$ soit l'intégrale calculée plus haut multipliée par $\dfrac{1}{3}$, c'est-à-dire $\dfrac{11,16}{3} = 2,72$ centaines de milliers d'euros soit \np{272000}~\euro. \item %L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins \np{100000}~euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ? Sur $[0~;~4]$, donc sur $[1~;~4]$ la fonction $h$ est décroissante et on a vu que $h(\alpha) = 1$, donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $h(x) \geqslant 1$ est l'intervalle $[1~;~\alpha]$, donc l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins \np{100000}~\euro{} si la production mensuelle est comprise entre 1 et 3,5 tonne par mois. \end{enumerate} \end{document}