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%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
%Sujet aimablement fourni par le vice-rectorat
%Corrigé  Christophe Rouault
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-node,pst-func,pst-tree}% pst-func pour les courbes de distribution normale
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {Polynésie - 10 juin  2016},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin  2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  10 juin  2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La situation peut être illustrée par l’arbre pondéré ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$K$}\naput{0,42}}
	{\TR{$A$} \naput{0,76}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,24}
	}
\pstree{\TR{$L$}\naput{0,35}}
	{\TR{$A$} \naput{0,65}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,35}
	}
	\pstree{\TR{$M$}\nbput{0,23}}
	{\TR{$A$} \naput{0,82}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,18}
	}
}
\end{center}
\item $P(K \cap A) = P(K) \times P_K(A) = 0,42 \times 0,76 = \np{0,3192}$.

36,8\,\% des pneus sont des pneus neige ayant réussi le test de qualité. 
\item D'après la loi des probabilités totales :

$P(A) = P(K \cap A) + P(L \cap A) + P(M \cap A) = \np{0,3192} + 0
35\times 0,65 + 0,23 \times 0,82 = \np{0,7353} \approx 0,735$.
\item Il faut trouver $P_A(M) = \dfrac{P(M \cap A)}{P(A)} = \dfrac{0,23 \times 0,82}{\np{0,7353}} \approx 0,257$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$X$ suit la loi normale de moyenne 20 et d'écart-type $7^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(13 < X < 275) \approx 0,68$.

On peut remarquer facilement ici que $P(13 < X < 275)  = P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0,68$, résultat classique.
\item On cherche ici $a$ tel que  $P(X > a) = 0,1$   soit  $P(X \leqslant a) = 0,9$.
 
On trouve alors à la calculatrice (InvN pour Casio   ou   FracNormale pour TI) que  $a \approx 28,97$.

Moins de 10\,\% des prêts ont une durée de remboursement supérieure ou égale à 29~ans.
\end{enumerate}
\end{document}