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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie ~\decofourright\\septembre 2009}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%\emph{Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre associée à la réponse choisie. \textbf{Aucune justification n'est demandée.}}
%
%\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse retire $0,25$~point et l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
% 
%On désigne par $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I =  ]- 1~;~+\infty[$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Si la fonction $f$ vérifie que : $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$, alors: 
%	\begin{enumerate}
%		\item on peut affirmer que la fonction $f$ est croissante sur $I$ ; 
%		\item on peut affirmer que la fonction $f$ est monotone sur $I$ ; 
%		\item on ne peut pas en déduire le sens de variations de $f$ sur $I$.
%	\end{enumerate}
On ne peut rien dire des variations de $f$. 
\item  %Si $f$ est strictement croissante sur $[10~;~ +\infty[$, et si $g$ est la fonction définie par : $g(x) = \text{e}^{- f(x)}$, alors : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $g$ est strictement croissante sur $[10~;~+\infty[$ ; 
%		\item on ne peut pas déterminer le sens de variations de $g$ ; 
%		\item $g$ est strictement décroissante sur $[10~;~+\infty[$.
%	\end{enumerate}
Par composition d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante, on peut dire que  $g$ est strictement décroissante sur $[10~;~+\infty[$.
\item  %Si $F$ est la primitive de $f$ sur $I$, qui prend la valeur $\dfrac{3}{7}$ en 1 et si $\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{5}$, alors :  
%	\begin{enumerate}
%		\item  $F(0) = \dfrac{1}{2}$ ;  
%		\item  $F(0) = \dfrac{1}{35}$ ; 
%		\item  on ne peut pas déterminer $F(0)$.
%	\end{enumerate} 
$F$ étant la primitive de $f$ sur $I$, qui prend la valeur $\dfrac{3}{7}$ en 1, on a :

$\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t = [F(t)]_0^1 = F(1) - F(0) =  \dfrac{2}{5}$.

Soit $\dfrac{3}{7} - F(0) =  \dfrac{2}{5} \iff F(0) = \dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15 - 14}{35} = \dfrac{1}{35}$.
\item  %Si la fonction $u$ est définie par $u(x) = \ln [f(x)]$ alors : 
%	\begin{enumerate}
%		\item la fonction $u$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ ; 
%		\item la fonction $u$ est définie sur $I$ ; 
%		\item on ne peut pas donner le domaine de définition de la fonction $u$.
%	\end{enumerate}
On ne peut rien dire car on ne connait pas le signe de $f(x)$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne les cumuls des nombres d'entrées de cinq films sortis au cours de l'année 2006, d'une part en région parisienne, d'autre part sur la France dans son ensemble. (\emph{source: \og le film français \fg, chiffres arrêtés au $3$ avril} 2007) 
%
%\medskip
%\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{1,5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Film	&Indice $i$ ($1 \leqslant i \leqslant 5$)&
%Nombres d'entrées en région parisienne en centaines de milliers: $x_{i}$&
%Nombres d'entrées en France en centaines de milliers : $y_{i}$ \\ \hline 
%Pirates des Caraïbes 2 	&1 	&10 	&75 \\ \hline 
%Arthur et les Minimoys	&2 	&9 		&62 \\ \hline 
%Da Vinci Code			&3 	&7,5 	&41,5 \\ \hline 
%Ne le dis à personne	&4 	&6,5 	&32 \\ \hline 
%Indigènes 				&5 	&5 		&29,5 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)${}

%$\left(1 \leqslant i \leqslant   5\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une centaine de milliers d'entrées sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10 centaines de milliers d'entrées sur l'axe des ordonnées).
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(10.5,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10.5,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(10.5,80)
\psdots(5,29.5)(6.5,32)(7.5,41.5)(9,62)(10,75)
\psdots[linecolor=blue](7.6,48)\uput[ul](7.6,48){\blue G}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{10.5}{9.6 x mul 25 sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer G dans le repère précédent.
G(7,6~;~48). Voir sur la figure 
\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de $\Delta$, droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients sont  arrondis au dixième). Tracer cette droite dans le repère précédent.
Après arrondis au dixième, on obtient comme équation de la droite d'ajustement : 
$y = 9,6x - 25$. 
\item %En utilisant cette approximation affine, calculer le nombre d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film \og  Les bronzés 3 \fg{} sachant qu'il en a réalisé \np{1140000} en région parisienne (on arrondira le résultat à la dizaine de milliers d'entrées).
Avec $x = 11,4$~centaines de milliers, on obtient :

$y = 9,6 \times 11,4 - 25 = 84,44$.

En utilisant la droite d'ajustement on pouvait prévoir 84,4 centaines de milliers d'entrées sur la France pour \og  Les bronzés 3 \fg.
\end{enumerate} 
\item %La forme du nuage de points ci-dessus suggère de faire un ajustement par une courbe de type exponentiel d'équation $y = A\text{e}^{Bx}$ (où $A$ et $B$ sont des réels). Pour cela on pose d'abord $z = \ln (y)$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs de $z_{i}$ arrondies à $10^{-2}${} $(1 \leqslant i \leqslant 5)$.
		
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&10 	&9 		&7,5 	&6,5 	&5   \\ \hline
$y_{i}$				&75		&62 	&41,5 	&32 	&29,5 \\ \hline 
$z_{i} = \ln 
\left(y_{i}\right)$	&4,32	&4,13	&3,73	&3,47	&3,38  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  
		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\textit{les coefficients seront arrondis au millième}).
Après arrondis au millième, on obtient comma équation de la droite d'ajustement : $z = 0,202x + 2,271$.  
		\item %En utilisant la relation $z = \ln (y)$ déterminer alors les valeurs arrondies à $10^{-3}$ des réels $A$ et $B$ tels que $y = A\text{e}^{Bx}$.
		On a donc $z = \ln y = 0,202x + 2,271 \iff y = \text{e}^{0,202x + 2,271} = \text{e}^{0,202x} \times \text{e}^{2,271}$.
		
Or $\text{e}^{2,271} \approx 9,689$, donc $y \approx 9,689\text{e}^{0,202x}$.
		\item  	%En utilisant l'approximation $y \approx 9,689\text{e}^{0,202x}$, quel nombre d'entrées, cumulées sur la France aurait-on pu prévoir pour le film \og  Les bronzés 3 \fg{} sachant qu'il en a réalisé \np{1140000} en région parisienne ? On arrondira le résultat au millier d'entrées.
Avec $x = 11,4$, on obtient avec cet ajustement logarithmique, 

$y \approx 9,689\text{e}^{0,202\times 11,4} \approx 96,91$.

Soit environ \np{9691000} entrées sur la France.
	\end{enumerate} 
\item %Le nombre d'entrées en fin d'exploitation pour ce film sur la France a été de \np{10300000}.
 
%Lequel des deux ajustements semble le plus approprié ?
C'est le deuxième ajustement qui est le plus proche. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On réalise une expérience aléatoire. $A$ désigne un évènement et $\overline{A}$ son évènement contraire.
%
%On pose $p(A) = x$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de $x$.
$p\left(\overline{A}\right) = 1 - x$. 
\item  %Déterminer les valeurs possibles de $x$ sachant que : $p(A) \times  p\left(\overline{A}\right) = 0,24$.
On a donc $x (1 - x) = 0,24 \iff x - x^2 = 0,24 \iff x^2 - x + 0,24 = 0$.

$\Delta = 1 - 4 \times 0,24 = 1 - 0,96 = 0,04 = 0,2^2$. Il y donc deux solutions :

$x_1 = \dfrac{1 + 0,2}{2} = 0,6$ et $x_2 =   \dfrac{1 - 0,2}{2} = 0,4$.
\end{enumerate} 
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%La \og  Revue Spéciale d'Économie \fg{} et le \og Guide des Placements en Bourse \fg{} sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs. 
%
%On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
% 
%Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
% 
%Une étude a permis de constater que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\:\% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la « Revue Spéciale d'Économie \fg, et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg{} ; 
%\item 10\:\% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg, ont souscrit l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note :
% 
%$A$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie"~\fg{} ;
% 
%$B$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse"  \fg.
%
%\medskip
% 
%On interroge un lecteur au hasard.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déduire de l'énoncé les probabilités $p(A),\:p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}(B)$.
$p(A) = 0,6 : \: p\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et $p_{\overline{A}}(B) = \frac{3}{5} = 0,6$.
%Reproduire et compléter l'arbre suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{0,6}}
	{\TR{$B$}\taput{$0,6$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$0,4$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,4$}}
	{\TR{$B$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,9}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $A \cap B$. Donner sa probabilité.
\og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie" et au "Guide des Placements en Bourse" \fg.

$p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$.
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.
		\og le lecteur n'a pas choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie" et n'a pas choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse" \fg.
		
$p\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}\left( \overline{B}\right) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$.

	\end{enumerate}
\item %Calculer $p(B)$. En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg{} sachant qu'il est abonné au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right)$

Or $p\left(\overline{A} \cap B \right) = p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}\left(B \right) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$.

Donc $p(B) = 0,36 + 0,04 = 0,40$.

$p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,36}{0,40} = \dfrac{36}{40} = \dfrac{9}{10} = 0,9$.
\item %On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(B) = 0,4$.

La probabilité qu'aucun des trois n'ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg est égale à $(1 - 0,4)^3 = 0,6^3 = 0,216$, donc la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg est égale à :

$1 - 0,216 = 0,784$.
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%On considère une population donnée d'une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
% 
%En 2008, 60\,\% de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que chaque année 20\,\% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10\,\% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
% 
%Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste de l'année $2008 + n$ est défini par la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n & y_n\end{pmatrix}$ où $x_{n}$ désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et $y_{n}$ la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(0,1){$0,8$} \rput(5.2,1){$0,9$}
\rput(2.5,2.2){$0,2$} \rput(2.5,-0.2){$0,1$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
En prenant les sommets dans l'ordre alphabétique, la matrice de transition  est $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,1&0,9\end{pmatrix}$. 
\item %Préciser l'état initial $P_{0}$ puis montrer que $P_{1} = \begin{pmatrix} 0,52 &  0,48 \\  \end{pmatrix}$. 
$P_{0} = \begin{pmatrix} 0,6 &  0,4 \\  \end{pmatrix}$.

$P_1 = P_0 \times M = \begin{pmatrix} 0,6 &  0,4 \\  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,1&0,9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,52 &  0,48 \\  \end{pmatrix}$.

En 2009, 52\,\% des îliens devraient utiliser la compagnie A.
\item %Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011.
2011 correspond à $n = 3$. Donc :

$P_3 = P_0 \times M^3 = \begin{pmatrix} 0,6 &  0,4 \\  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,1&0,9\end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} \np{0,4248} &  \np{0,5752}\end{pmatrix} $.

En 2011, 42,48\,\% des  îliens devraient utiliser la compagnie A.
\item %Déterminer l'état stable et l'interpréter. 
Les termes de amatrice $M$ ne sont pas nuls, donc l'état probabiliste $P_n$ tend vers un état stable $P = \begin{pmatrix} x &  y\end{pmatrix}$ (avec $x + y = 1$) tel que :

$P = P \times M \iff \begin{pmatrix} x &  y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x &  y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,1&0,9\end{pmatrix}$ soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,8x + 0,1y\\y&=&0,2x + 0,9y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,2x -  0,1y	&=	&0\\
- 0,2x + 0,1y	&=	&0\\
x + y			&=	&1
\end{array}\right.\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
0,2x -  0,1y	&=	&0\\
x + y			&=	&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
2x - y			&=	&0\\
x + y			&=	&1
\end{array}\right. \Rightarrow 3x = 1 \iff x = \frac{1}{3}$, d'où on déduit que $y = \frac{2}{3}$.

Donc $P = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} &  \frac{2}{3}\end{pmatrix}$
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1} = 0,7x_{n} + 0,1$.
Si l'année $n$ la matrice traduisant l'état probabiliste est $P_n$, on sait que 

$P_{n+1} = P_n \times M \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}			&=	&0,8x_n + 0,1y_n\\
y_{n+1}			&=	&0,2x_n + 0,9y_n\\
x_n + y_n&=&1
\end{array}\right.\iff$

$  \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}			&=	&0,8x_n + 0,1\left(1 - x_n\right)\\
y_{n+1}			&=	&0,2\left(1 - y_n\right) + 0,9y_n\\
x_n + y_n&=&1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}			&=	&0,7x_n + 0,1\\
y_{n+1}			&=	&0,7y_n + 0,2\\
x_n + y_n&=&1
\end{array}\right.$, donc en particulier :

$x_{n+1} = 0,7x_{n} + 0,1$. 
\item %On admet que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n} = \dfrac{4}{15} \times 0,7^n + \dfrac{1}{3}$.
 
%Déterminer la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$ et l'interpréter.
Comme $0 < 0,7 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,7^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} x_n =  \dfrac{1}{3}$.

On retrouve le résultat  de la question \textbf{5.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Le plan est muni d'un repère orthonormé.
% 
%Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $F$ définie et dérivable sur $\left[0~;~4\right]$. On désigne par $f$ la fonction dérivée de $F$ sur l'ensemble des nombres réels $\R$. 
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par l'origine O du repère et par les points A$\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)$,  B$\left(3~;~\dfrac{9}{2}\right)$ et D(2~;~2).
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ admet en A et en D une tangente horizontale.
% 
%On désigne par $T$, la tangente à $\mathcal{C}$ au point O ; cette tangente $T$ passe par le point de coordonnées (1~;~6).
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(6,7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-1)(6,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(6,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(6,7)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3.33}{x 3 exp  x 2 exp 4.5 mul sub 6 x mul add}
%\psplot{-0.1}{1.166}{6 x mul}
%\psdots[dotstyle=*](1,2.5)(2,2)(3,4.5)
%\uput[u](1,2.5){A}\uput[d](2,2){D}\uput[r](3,4.5){B}\uput[r](3.2,5.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[l](0.7,4.5){$T$}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Que représente la fonction $F$ pour la fonction $f$ ?
$F$ est une primitive de $f$ ; c'est même la primitive qui s'annule en zéro. 
\item %À partir du graphique et des données de l'énoncé, dresser le tableau de variations de $F$ sur [0~;~3].
On voit que la fonction $F$ est croissante sur [0~;~1] et sut [2~;~4] et qu'elle est décroissante sur [1~;~2].

Elle croit de 0 à 2,5 puis décroit de 2,5 à 2 et croit enfin de 2 à plus l'infini.  
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement l'équation réduite de la droite $T$.
		La droite $T$ contient le point (1~;~6) et l'origine, son équation est donc $y = 6x$. 
		\item %En déduire $f(0)$.
		Le coefficient directeur de la tangente en $x = 0$ est d'après la question précédente $F'(0) = f(0) = 6$.
	\end{enumerate} 
\item %Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est positive.
$f$ dérivée de $F$ est positive quand la fonction $F$ est croissante donc sur $[0~;~1] \cup [2~;~4]$.
\item %Déterminer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$.
On a puisque $F$ est une primitive de $f$ :

$\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^3 = F(3) - F(1) = \dfrac{9}{2} - \dfrac{5}{2} = 2$ 
\item %\emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

\medskip
 
%Soit $G$ une autre fonction primitive de $f$ sur $\left[0 ; 4\right]$, telle que $G(0) = 1$.

%Calculer $G(3)$.
On sait que $G(x) = F(x) + k$, avec $k \in \R$

Or $G(0) = F(0) + k = 1 \iff k = 1$.

Donc  $G(x) = F(x) + 1$ qui entraîne $G(3) = F(3) + 1 = \dfrac{9}{2} + 1 = \dfrac{11}{2}
$. 
\end{enumerate}
 \end{document}