\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pst-func,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} % Tapuscrit Denis Vergès %Relecture François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {ES/L Polynésie}, pdftitle = {2 septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%%le d de l'intégration \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Polynésie}} \label{Polynesie} \rfoot{\small 2 septembre 2020} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie~\decofourright\\[5pt]2 septembre 2020 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip % %\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ %Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. \\Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} % %\bigskip Seules les affirmations 1, 2 et 3 s'appuient sur la figure ci-dessous dans laquelle: \bigskip \parbox{0.47\linewidth}{ $\bullet~~$ la courbe $\mathcal{C}$ représente une fonction $g$ définie et strictement croissante sur $\R$, $\bullet~~$ le point A est le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 et le point B celui d'abscisse 2, $\bullet~~$ la droite $(d)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A, $\bullet~~$ la tangente $(t)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est horizontale.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{ \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-3)(5.5,11) %\multido{\n=-1.0+0.2}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-3)(\n,11)} %\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-3)(\n,11)} %\multido{\n=-3.0+0.4}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](-1,\n)(5.5,\n)} %\multido{\n=-2+2}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](-1,\n)(5.5,\n)} \psgrid[unit=1cm,gridcolor=gray,subgriddiv=5,gridlabels=0](-1,-1.5)(5.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(5.5,11) \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](-1,1)(5.5,1)\uput[u](4.5,1){\blue $(t)$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{5}{3 x mul 3 sub} \uput[ul](3,6){\blue $(d)$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.4}{5}{x 3 exp x dup mul 6 mul sub 12 x mul add 7 sub}\uput[r](3.5,4.2){\red $\mathcal{C}$} \psdots(1,0)(2,1) \uput[ul](1,0){A} \uput[dr](2,1){B} \end{pspicture*} } \textbf{Affirmation 1} $g'(1) = 1$ \begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} } Le nombre dérivé $g'(1)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ ; or ce coefficient directeur est égal à $\dfrac{6}{2} = 3$. \textbf{Affirmation 1 fausse} \end{tabular} \medskip \textbf{Affirmation 2} Toute primitive de la fonction $g$ est strictement croissante sur [0~;~3]. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} } Une primitive de $g$ a pour dérivée $g$ ; or $g(x) < 0$ sur [0~;~1[ donc sur cet intervalle une primitive de $g$ est décroissante. \textbf{Affirmation 2 fausse} \end{tabular} \medskip \textbf{Affirmation 3} Le point B est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $g$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} } Le point B est un point d'inflexion puisque la courbe traverse sa tangente au point B. \textbf{Affirmation 3 vraie} \end{tabular} \medskip \textbf{Affirmation 4} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, d'expression $f(x) = x\e^{3x}$. La fonction dérivée de $f$ notée $f'$ est définie sur $\R$ par $f'(x) = 3\e^{3x}$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} } $f$ est dérivable sur $\R$ et en dérivant le produit : $f'(x) = \e^{3x} + 3x\e^{3x} = \e^{3x}(1 + 3x)$. \textbf{Affirmation 4 fausse} \end{tabular} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties de cet exercice sont indépendantes. Le syndrome d'apnée du sommeil se manifeste par des interruptions répétées de la respiration pendant le sommeil. Ce syndrome peut être dû à plusieurs facteurs. \bigskip %\vspace*{-1cm} \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Sauf indication contraire, les résultats numériques seront approchés à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath{} près} \medskip Dans cette partie, on cherche à étudier le lien entre le surpoids et le syndrome d'apnée du sommeil dans une population donnée. Parmi les personnes participant à l'étude, 41\,\% sont en surpoids. On observe que parmi les individus en surpoids, 12\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil. \smallskip Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. \smallskip Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. \smallskip On choisit au hasard une personne ayant participé à l'étude, et on note : $\bullet~~$ $S$ l'évènement : \og la personne est en surpoids \fg{} ; $\bullet~~$ $A$ l'évènement : \og la personne souffre d'apnée du sommeil \fg. \medskip \begin{enumerate} \item On représente cette situation par un arbre pondéré. \smallskip \begin {center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~~} \taput{0,41}} {\TR{$A$} \taput{0,12} \TR{$\overline{A}$} \tbput{0,88} } \pstree{\TR{$\overline{S}$~~} \tbput{0,59}} {\TR{$A$} \taput{0,04} \TR{$\overline{A}$} \tbput{0,96} } } \end{center} \smallskip \item La probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil est: $p(S \cap A) = p(S) \times p_S(A) = 0,41 \times 0,12 = \np{0,0492}$. \item %Montrer que $p(A) = \np{0,0728}$. % %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. % On a de même $p\left(\overline{S} \cap A\right) = p\left(\overline{S}\right) \times p_{\left(\overline{S}\right)}(A) = 0,59 \times 0,04 = \np{0,0236}$. D'après la loi des probabilités totales : $p(A) = p(S \cap A) + p\left(\overline{S} \cap A\right) = \np{0,0492} + \np{0,0236} = \np{0,0728}$. Cela signifie que parmi les participants à l'étude à peu près 7\,\% font des apnées du sommeil. \item On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil. La probabilité que cette personne soit en surpoids est: $p_{A}(S) = \dfrac{p(A \cap S)}{p(A)} = \dfrac{\np{0,0492}}{\np{0,0728}} \approx \np{0,67582} \approx \np{0,6758}$ à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil. Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 22$ et d'écart-type $\sigma = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(14 \leqslant D \leqslant 30)$. % % Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. % Pour la loi normale on sait que : $p(14 \leqslant D \leqslant 30) = p(\mu - 2\sigma \leqslant D \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954 \approx 0,95$ au centième près. Cela signifie que la durée d'une apnée est dans l'intervalle [14~;~30] dans 95\,\% des cas. \item La probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de $30$ secondes est: $p(D > 30)$. Or $p(D > 30) = p(D < 14)$, donc $p(D > 30) = 1 - [p(D < 14) + p(14\leqslant D \leqslant 30)]$, soit $2p(D > 30) = 1 - p(14\leqslant D \leqslant 30) \approx 0,046$, d'où $p(D > 30) \approx 0,023 \approx 0,02$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une entreprise d'équipement médical commercialise un dispositif de ventilation en pression positive continue. Ce dernier permet de maintenir ouvertes les voies respiratoires du patient, prévenant ainsi les apnées du sommeil. \smallskip L'entreprise affirme que $91$\,\% des patients qui utilisent le dispositif ressentent une amélioration de la qualité de leur sommeil. \\ Donc il y a une probabilité de $p=0,91$ que le patient ressente une amélioration. Une étude est menée sur $348$ patients auxquels on fait tester le dispositif. Après plusieurs nuits, $290$ personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil. %\smallskip % %Peut-on remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical? Justifier la réponse. $n=348\geqslant 30$, $np=316,68 \geqslant 5$ et $n\left (1-p\right ) = 31,32 \geqslant 5$ donc on peut établir un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de patients dont le dispositif améliore le sommeil, au risque de $5\,\%$: \smallskip $I_{348} =\left [ p- 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~ p+ 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\right ]\\ \phantom{I_{348}} =\left [ 0,91- 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,91\left (1-0,91\right )}}{\ds\sqrt{348}}~;~ 0,91+ 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,91\left (1-0,91\right )}}{\ds\sqrt{348}}\right ] \approx \left [ 0,88~;~0,94\strut \right ]$ \smallskip Dans l'échantillon de l'étude, la fréquence d'amélioration est égale à $\dfrac{290}{348} \approx 0,833$. Or $0,833 \not\in I_{348}$ donc on peut remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Au 31 décembre 2017, un magazine possède \np{450000} abonnés. On note que chaque année, seuls 80\,\% des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter \np{180000} nouveaux abonnés. \medskip On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au $31$ décembre de l'année $(2017+n)$. On a donc $u_0 = 450$. \medskip \begin{enumerate} \item On calcule, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018. On a $u_1 = 0,80 \times 450 + 1800 = 360 + 180 = 540$ milliers d'abonnés le 31 décembre 2018. \item %Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,8u_n +180$. Le nombre d'abonnés (en milliers) de l'année précédente est multiplié par $\dfrac{80}{100} = 0,80$ et \np{180000} nouveaux abonnés s'ajoutent, donc $u_{n+1} = 0,8 u_n + 180$ pour tout entier naturel $n$. \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 900$. \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme. On a pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - 900 = 0,8u_n + 180 - 900$ ou encore : $v_{n+1} = 0,8u_n -720 = 0,8u_n - 0,8 \times 900 = 0,8\left(u_n - 900 \right) = 0,8v_n$. $v_{n+1} = 0,8v_n$ quel que soit le naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 900 = 450 - 900 = - 450$. \item Soit $n$ un entier naturel.% Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. On sait qu'alors $v_n = v_0\times q^n = - 450 \times 0,8^n$ quel que soit le naturel $n$. \item% Montrer que pour tout entier naturel $n$, \: $u_n = - 450 \times 0,8^n + 900$. $v_n = u_n - 900 \iff u_n = v_n + 900$ donc $u_n = 900 - 450 \times 0,8^n$ quel que soit le naturel~$n$. \end{enumerate} \item La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera \np{900000}. %Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse. Le produit $450 \times 0,8^n > 0$, donc $- 450 \times 0,8^n < 0$ et en ajoutant 900 à chaque membre : $900 - 450 \times 0,8^n < 900$ ou encore $u_n < 900$ : le nombre d'abonnés est inférieur à 900 (mille) quel que soit $n$. \item En s'appuyant sur ce modèle, on cherche au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{800000} pour la première fois. Il faut trouver $n$ tel que $u_n > 800$ ou encore $900 - 450 \times 0,8^n > 800$ ou $100 > 450 \times 0,8^n$ ou $\dfrac{100}{450} > 0,8^n$ ou $\dfrac{2}{9} > 0,8^n$ soit par croissance du logarithme népérien $\ln \frac{2}{9} > n \ln 0,8$ ou encore $ \frac{\ln \frac{2}{9}}{\ln 0,8} < n$, (car $\ln 0,8 < 0$). $\frac{\ln \frac{2}{9}}{\ln 0,8} \approx 6,7$; il faudra attendre 7 ans, soit le 31 décembre 2024. \item La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative. On dispose de l'algorithme ci-dessous: \[\begin{array}{|l|}\hline U \gets 450\\ S \gets 450\\ \text{Pour } I \text{\:allant de } 1\: \text{à } N\\ \qquad U \gets 0,8*U + 180\\ \qquad S \gets S + U\\ \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array}\] On affecte 3 à la variable $N$ et on exécute l'algorithme. \begin{enumerate} \item %Après l'exécution, quelle valeur numérique contient la variable $S$ ? L'algorithme tourne trois fois. $U$ prend les valeurs : 450 ; 540 ; 612 ; 669,6. \item% Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. $S$ représente la somme reçue par l'association caritative de l'année 2017 à l'année $(2017 + n)$, soit pour $n = 3$ : $450 + 540 + 612 + 669,6 = \np{2271,6}$ milliers d'euros soit \np{2271600}~\euro. En quatre ans l'association caritative recevra \np{2271600}~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Deux plateformes proposant des films en streaming se font concurrence sur le marché: Webflix et Yellow Cinéma. Au 1\up{er} janvier 2019, 63\,\% des utilisateurs de ces plateformes sont abonnés à Webflix et les 37\,\% restants à Yellow Cinéma. On souhaite étudier l'évolution du marché au fil du temps. \smallskip On estime que chaque mois: \smallskip $\bullet~~$ parmi les clients de Webflix, 89\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinéma. $\bullet~~$ parmi les clients de Yellow Cinéma, 91\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix. \smallskip On suppose également que le nombre total de clients reste constant. Pour tout entier naturel $n$, on note : $\bullet~~$ $w_n$ la proportion de clients abonnés à Webflix $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019. $\bullet~~$ $y_n$ la proportion de clients abonnés à Yellow Cinéma $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019. \smallskip L'état probabiliste $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019 est noté $P_n= \begin{pmatrix} w_n& y_n\end{pmatrix}$. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,63&0,37\end{pmatrix}$. On rappelle que pour tout entier naturel $n$,\: $w_n + y_n = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item O, représente la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement W et Y les sommets correspondants aux plate-formes Webflix et Yellow Cinéma: \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,1) \psset{dotsize=0.2,labelsep=0.05,nodesep=0.1,unit=0.8,shortput=nab,arrows=->,arrowsize=0.3} \dotnode(0,0){g} \uput[d](0.05,-0.15){W} \dotnode(5,0){d} \uput[d](4.9,-0.1){Y} \ncarc[arcangle=20]{g}{d}^{\red{{\footnotesize $0,11$}}} \ncarc[arcangle=20]{d}{g}^{\red{{\footnotesize $0,09$}}} \nccircle[angle=90]{g}{.5cm}^{\red{{\footnotesize $0,89$}}} \nccircle[angle=-90]{d}{0.5cm}^{\red{{\footnotesize $0,91$}}} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item En considérant les sommets dans leur ordre alphabétique, la matrice de transition de ce graphe est $M = \begin{pmatrix}0,89&0,11\\ 0,09&0,91\end{pmatrix}$. \item %Calculer l'état probabiliste $P_2$. $P_1 = P_0M = \begin{pmatrix} 0,63&0,37\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,89&0,11\\ 0,09&0,91\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,594&0,406\end{pmatrix}$. Puis $P_2 = P_1M = \begin{pmatrix} 0,594&0,406\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,89&0,11\\ 0,09&0,91\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{0,5652} & \np{0,4348}\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item % Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $w_{n+ 1} = 0,8w_n + 0,09$. % $P_{n+1} = P_n M = \begin{pmatrix} w_n&y_n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,89&0,11\\ 0,09&0,91\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,89w_n + 0,09y_n&0,11w_n + 0,91y_n\end{pmatrix}$. Or $P_{n+1} = \begin{pmatrix} w_{n+1}&y_{n+1}\end{pmatrix}$, donc par identification : $w_{n+1}= 0,89w_n + 0,09y_n$ d'où $w_{n+1}= 0,89w_n + 0,09\left(1 - w_n\right) \iff$ $ w_{n+1} = 0,89w_n + 0,09 - 0,09w_n$, soit finalement : \[w_{n+1} = 0,8w_n + 0,09.\] \item On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $a_n = w_n - 0,45$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ dont on précisera la raison et le premier terme. % $a_{n+1} = w_{n+1} - 0,45 = 0,8w_n + 0,09 - 0,45$ ou $a_{n+1} = 0,8w_n - 0,36 \\ \phantom{a_{n+1}} = 0,8w_n - 0,8 \times 0,45 = 0,8\left(w_n - 0,45\right) = 0,8a_n$. $a_{n+1} = 0,8a_n$ montre que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $a_0 = w_0 - 0,45 = 0,63 - 0,45 = 0,18$. \item %Étant donné un entier naturel $n$, exprimer $a_n$ en fonction de $n$. Pour tout $n$, $a_n = a_0\times q^n = 0,18 \times 0,8^n$ quel que soit le naturel $n$. \item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $w_n = 0,18 \times 0,8^n + 0,45$. % De $a_n = w_n - 0,45$ on déduit $w_n = a_n + 0,45 = 0,18 \times 0,8^n + 0,45 $. Quel que soit le naturel $n$, \: $w_n = 0,18\times 0,8^n + 0,45$. \end{enumerate} \item % Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ? %Expliquer. Comme $0< 0,8 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n = 0,45 < 0,5$. La suite $\left(w_n\right)$ est une suite décroissante car la suite $\left(0,8^n\right)$ l'est, donc à terme la répartition sera 0,45 contre 0,55 pour Yellow Cinéma. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le réseau de serveurs permettant à Webflix de diffuser les films que la plateforme propose à ses abonnés est modélisé par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent les serveurs et sur les arêtes on a indiqué les temps de réponse, exprimés en milliseconde, entre deux serveurs. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,5) \rput(0,2.5){\circlenode{A}{A}} \rput(1.5,0.5){\circlenode{B}{B}} \rput(2,4.5){\circlenode{C}{C}} \rput(2.5,2.5){\circlenode{D}{D}} \rput(5,2){\circlenode{E}{E}} \rput(5,4){\circlenode{F}{F}} \rput(7,0.5){\circlenode{G}{G}} \rput(8.5,2.5){\circlenode{H}{H}} \psset{nrot=:U} \ncline{A}{B}\ncput*{31}\ncline{A}{C}\ncput*{26} \ncline{A}{D}\ncput*{43}\ncline{B}{D}\ncput*{24} \ncline{B}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{D}\ncput*{22} \ncline{C}{F}\ncput*{29}\ncline{D}{E}\ncput*{33} \ncline{E}{F}\ncput*{25}\ncline{E}{G}\ncput*{16} \ncline{E}{H}\ncput*{29}\ncline{F}{H}\ncput*{22} \ncline{G}{H}\ncput*{11} \end{pspicture} \end{center} Des données doivent transiter du serveur A vers le serveur H. \medskip \begin{enumerate} \item On détermine, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, un chemin que doivent suivre ces informations pour que la transmission soit la plus rapide possible: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &{\footnotesize Sommet choisi}\\ \hline 0 &$\infty$ &$\infty$ &$\infty$ &$\infty$&$\infty$ &$\infty$&$\infty$ &A\\ \hline $\bullet$&(31, A) &\red (26,A) &(43,A) & & & & &C\\ \hline $\bullet$&\red (31, A) &$\bullet$&(43, A)& &(55, C)& & &B\\ \hline $\bullet$&$\bullet$&$\bullet$&\red (43, A)&(52, B) &(55, C) & & &D\\ \hline $\bullet$&$\bullet$&$\bullet$&$\bullet$&\red (52, B) &(55, C) & & &E\\ \hline $\bullet$&$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ &\red (55, C)&(68, E)&(81, E) &F\\ \hline $\bullet$&$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$& \red (68, E)&(77, F) &G\\ \hline $\bullet$&$\bullet$&$\bullet$&$\bullet$&$\bullet$ &$\bullet$ &$\bullet$ &\red (77, F)&H\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le chemin le plus court est donc A -- C -- F -- H. \item %Préciser le temps de réponse pour le chemin trouvé précédemment. Le temps de réponse le plus court est donc de $26 + 29 + 22 = 77$ millisecondes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On étudie l'évolution du taux de natalité d'une population entre 1750 et 1870. \smallskip On admet que le taux de natalité peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~120] par : \[f(x) = 0,1 + \dfrac{4,3}{1 + \e^{0,1x-6}}\] où : $\bullet~~$ $x$ représente le temps, exprimé en années, écoulé depuis 1750, $\bullet~~$ $f(x)$ représente le taux de natalité, exprimé en pourcentage, de la population totale. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~120] et on note $f'$ sa fonction dérivée. Sur le graphique ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ représente la fonction $f$, et la droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 38. \begin{center} \psset{xunit=0.085cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-5,0.25)(120,6) {\psset{linecolor=gray} \multido{\n=0+2}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6)} \multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6)} \multido{\n=0.0+0.2}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(120,\n)} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(120,\n)} } \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=10]{->}(0,0)(0,0)(120,6) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=10](0,0)(0,0)(120,6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{120}{4.3 1 2.71828 0.1 x mul 6 sub exp add div 0.1 add} \uput[u](95,0.2){\red $\mathcal{C}$}\uput[u](105,1.5){$\mathcal{T}$}\uput[u](38,4){A} \psdots(38,4) \psline(0,5.45)(120,0.8) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Avec la précision permise par le graphique : \begin{enumerate} \item $f'(38) \approx \dfrac{0,8 - 4}{120 - 38} = \dfrac{-3,2}{82} \approx - 0,039$. \item Parmi les propositions suivantes, on encadre celle qui est exacte: \smallskip \hfill $7 \leqslant \displaystyle\int_{10}^{30} f(x)\:\text{d}x\leqslant 8 \quad ;\quad \boxed{130 \leqslant \displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x \leqslant 190} \quad ; \quad 700 \leqslant \displaystyle\int_{80}^{100} f(x)\:\text{d}x \leqslant 800$\hfill{} \smallskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~120] : % %\[f'(x) = - \dfrac{ 0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1 + \e^{0,1x-6} \right)^2}.\] La dérivée de $\e^{0,1x-6}$ est $0,1\e^{0,1x-6}$, donc en dérivant le quotient : $f'(x) = - \dfrac{4,3 \times 0,1\e^{0,1x-6}}{\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)^2} = - \dfrac{0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)^2}$. \item %Retrouver le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120]. Comme quel que soit le réel $x$, \: $\e^{0,1x-6} > 0$ et $\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)^2 > 0$, $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante sur l'intervalle [0~;~120]. On a $f(0) = 0,1 + \dfrac{4,3}{1 + \e^{-6}}\approx 4,4$ et $f(20) = 0,1 + \dfrac{4,3}{1 + \e^6} \approx 0,11$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Justifier que sur l'intervalle [0~;~120], l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution que l'on appelle $\alpha$. % D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $0,11 < 1 < 4,4$ et que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~120], il existe un réel unique $\alpha$ de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 1$ \item %Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs. % La calculatrice donne $f(72) \approx 1,02$ et $f(73) \approx 0,95$, donc $72 < \alpha < 73$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On admet que sur l'intervalle [0~;~120], la fonction $g$ d'expression $g(x) = \dfrac{4,3}{\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)}$ a pour primitive la fonction $G$ d'expression $G(x) = -43 \ln\left(1 + \e^{-0,1x+6}\right)$. \begin{enumerate} \item %Donner une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120]. $f(x)=0,1+g(x)$ donc une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~120] est définie par: $F(x) = 0,1x + G(x) = 0,1x -43 \ln\left(1 + \e^{-0,1x+6}\right)$. \item %En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x$. %La fonction $f$ est positive sur l'intervalle [30~;~120] et $\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x = [F(x)\strut]_{30}^{120} = \left[0,1x -43 \ln\left(1 + \e^{-0,1x+6}\right)\right]_{30}^{120} \\ \hphantom{\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x } = 0,1\times 120 - 43 \ln\left(1 + \e^{-12+6}\right) - \left[0,1 \times 30 - 43 \ln\left(1 + \e^{-3+6}\right) \right]\\ \phantom{\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x} = 12 - 3 - 43\ln\left(1 + \e^{-6}\right) + 43\ln\left(1 + \e^{3}\right) = 9 - 43\left[\ln\left(1 + \e^{-6}\right) - \ln\left(1 + \e^{3}\right) \right]$ \end{enumerate} \item %Calculer le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870. On en donnera une valeur approchée à $0,01 \,\%$ près. % 1780 correspond à $x = 30$ et 1870 à $x = 120$. La valeur moyenne de la fonction taux de natalité sur l'intervalle [30~;~120] est égale à : $t_m = \dfrac{1}{120 - 30}\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{90} \left[9 - 43\left[\ln\left(1 + \e^{-6}\right) - \ln\left(1 + \e^{3}\right) \right]\right] \approx 1,56\,\%$ au centième près. \end{enumerate} \end{document}