\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {Pondichéry 12 avril 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small 12 avril 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 12 avril 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.\\ %Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} % %\medskip \textbf{Partie A} \medskip %Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, VRAI ou FAUX ou ON NE PEUT PAS RÉPONDRE. % %On connaît le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur % %$\mathcal{D}_{f} = ]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ : % %\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,2.5) %\psframe(11,2.5) %\psline(0,2)(11,2) \psline(2,0)(2,2.5) \psline(4.9,0)(4.9,2) \psline(5.1,0)(5.1,2) %\psline{->}(2.5,0.2)(4.3,1.8) \psline{->}(5.8,0.2)(7.7,1.8) \psline{->}(8.3,1.8)(10.6,0.2) %\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.3,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](8,2){$3$} %\uput[u](10.6,2){$+ \infty$} \uput[u](1,0.7){$f(x)$} \uput[u](2.2,0){$-2$} \uput[d](4.6,2){$+ \infty$} %\uput[u](5.4,0){$- \infty$} \uput[u](10.8,0){$1$} \uput[d](8,2){$5$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %La droite d'équation $x = -2$ est asymptote à la représentation graphique de $f$. \textbf{FAUX~~}On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 2$, donc la droite dont une équation est $y = - 2$ est asymptote horizontale à la représentation graphique de $f$. \item %L'équation $f(x) = 2$ admet exactement deux solutions dans $\mathcal{D}_{f}$. \textbf{FAUX~~}Le tableau de variations montre avec le théorème de la valeur intermédiaire que la fonction $f$ prend trois fois la valeur 2. \item %Pour tout $x$ appartenant à ]1 ; 3 [,~$ f'(x) > 0 ~ (f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$). \textbf{ON NE PEUT PAS RÉPONDRE~~}Sur l'intervalle ]1~;~3[, la fonction est strictement croissante, mais il se peut qu'en un ou plusieurs points le nombre dérivé soit nul. \item %Toute primitive de $f$ sur [3 ; 8] est décroissante. \textbf{FAUX~~}Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F'(x) = f(x)$. Or sur l'intervalle [3~;~8], on a $f(x) > 1 > 0$, donc $F$ est croissante. \item %La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{f(x)}$ est décroissante sur $[3~;~+ \infty[$. \textbf{FAUX~~}Sur $[3~;~+ \infty[, \: f(x) > 1 > 0$ ; or l'inverse d'une fonction positive est positive ; d'après le tableau de variations $f$ est décroissante donc son inverse est croissante (de 0,2 à 1) \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip %Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix. % %\medskip % %Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{enumerate} \item %L'ensemble de définition D$_{g}$ de $g$ est égal à : %\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~} $]0~ ;~+\infty[$ & \textbf{b.~~} $\R- \{0\}$ & \textbf{c.~~} $\R- \{1\}$\\ %\end{tabularx} \end{center} La fonction n'est pas définie si le dénominateur est nul, or $\text{e}^x - 1 = 0 \iff $ $\text{e}^x = 1 \iff x = 0$. Réponse \textbf{b.} \item %L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution %\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~} $\text{e}^3$ & \textbf{b.~~} $\ln 3$ & \textbf{c.~~} Aucune solution\\ %\end{tabularx} \end{center} Dans $\R- \{0\}$, \: $g(x) = 3 \iff \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x - 1} = 3 \iff 2\text{e}^x = 3\left( \text{e}^x - 1\right) \iff$ $ 2\text{e}^x = 3\text{e}^x - 3\iff \text{e}^x = 3 \iff x= \ln 3$. Réponse \textbf{b.} \item %La limite de $g$ en $+\infty $ est %\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.~~} $- 1$& \textbf{b.~~} $+ \infty$ & \textbf{c.~~} $2$\\ %\end{tabularx} \end{center} En multipliant chaque terme par $\text{e}^{- x}$, on obtient : $g(x) = \dfrac{2}{1 - \text{e}^{- x}}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = \dfrac{2}{1} = 2$. Réponse \textbf{c.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip %Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années. % %Le rang $x_{1} = 1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année& 1998& 2000& 2001& 2002& 2004\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$& 1& 3 &4 &5 &7\\ \hline %Consommation en milliers d'euros $y_{i}$ &28,5& 35& 52 &70,5 & 100,5\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter le nuage de points $P_{i}(x_{i}~;~y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm comme unité en abscisses et 1~cm pour \np{10000} \euro{} en ordonnées). \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.06cm} \begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,110) \psdots(1,28.5)(3,35)(4,52)(5,70.5)(7,100.5) \psdots[linecolor=blue](4,57.3)\uput[ul](4,57.3){\blue G} \uput[l](0,7.3){\blue 7,3} \uput[d](7.8,0){$x_i$} \uput[l](0,108){$y_i$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{8}{12.5 x mul 7.3 add} \end{pspicture} \end{center} \item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage; le placer dans le repère précédent. On a G(4~;~57,3) \item %On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation %$y = 12,5x+b$ qui passe par le point G. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur de $b$. On a G$(4~;~57,3) \in \text{D} \iff 57,3 = 12,5 \times 4 + b \iff b = 57,3 - 50 = 7,3$ \item %Tracer la droite D dans le repère précédent. Voir ci-dessus \end{enumerate} \item %Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005. 2005 correspond au rang $x = 8$ qui donne $y = 12,5 \times 8 + 7,3 = 107,3$~milliers d'euros. \item %En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de $y_{8} = \np{140000}$ \euro. %Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi). L'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte est en pourcentage est égale à : $\dfrac{140 - 107,3}{140}\times 100 = \dfrac{33,7}{140}\times 100 \approx 24,07$ soit à l'unité près 24\,\%. \item %Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté. \begin{enumerate} \item %Recopier et compléter le tableau suivant sachant que $z = \ln y$. Les résultats seront arrondis au centième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &1 &3 &4 &5 &7 &8\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ &3,35 &3,56 &3,95 &4,26 &4,61 &4,94\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z = cx + d$ ; on donnera les arrondis des coefficients $c$ et $d$ à $10^{-2}$. La calculatrice donne après arrondi des coefficients au centième : $z = 0,23x + 3,02$. \item %En déduire que : $y = 20,49\text{e}^{0,23x}$. On a pour $y > 0$, \: $z = \ln y = 0,23x + 3,02 \iff y = \text{e}^{ 0,23x + 3,02} = \text{e}^{ 0,23x} \times \text{e}^{3,02}$. Comme $\text{e}^{3,02} \approx 20,491$, on a en arrondissant au centième : $y = 20,49\text{e}^{ 0,23x}$. \item %Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 \euro{} près. 2007 correspond à $x = 10$, qui donne une estimation de $y = 20,49\text{e}^{ 0,23\times 10} = 20,49\text{e}^{2,3} \approx 204,371$, soit environ \np{204400}~\euro{} à 100~\euro près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre. % %On sait que : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet $] 32\,\% des chatons sont des Siamois, 54\,\% des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans. %\item[$\bullet $] Parmi les Siamois, 54\,\% sont des mâles. %\item[$\bullet $] 66\,\% des Abyssins sont des femelles. %\item[$\bullet $] Il y a au total 40,96\,\% de chatons mâles. %\end{itemize} %\setlength\parindent{5mm} % %Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard. % %On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants : % % S : \og Pierre achète un chaton Siamois \fg ; % % B : \og Pierre achète un chaton Birman \fg ; % % A : \og Pierre achète un chaton Abyssin \fg ; % % M : \og Pierre achète un chaton mâle \fg ; % % F : \og Pierre achète un chaton femelle \fg ; %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités. $p(S) = 0,32, \: p(A) = 0,54$ $p(B) = 1 - (0,32 + 0,54) = 1 - 0,86 = 014$. Parmi les Siamois, 54\,\% sont des mâles, donc $p_S(M) = 0,54$. 66\,\% des Abyssins sont des femelles, donc $p_A(F) = 0,66$ et Il y a au total 40,96\,\% de chatons mâles, donc $p(M) = \np{0,4096}$. \item ~%Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~} \taput{0,32}} { \TR{$M$}\taput{0,54} \TR{$F$}\tbput{} } \pstree{\TR{$A$~} \taput{0,54}} { \TR{$M$}\taput{} \TR{$F$}\tbput{0,66} } \pstree{\TR{$B$~} \tbput{0,14}} { \TR{$M$}\taput{} \TR{$F$}\tbput{} } } \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois. $p(M \cap S) = p(S) \times p_S(M) = 0,32 \times 0,54 = \np{0,1728}$. \item %Calculer $p(\text{M} \cap \text{A})$ et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase. On a $p_{A}(M) = 1 - p_{\text{A}}(F) = 1 - 0,66 = 0,34$ et $p(M \cap A) = p(A) \times p_{\text{A}}(M) = 0,54 \times 0,34 = \np{0,1836}$. $p(M \cap A)$ \item %En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à \np{0,0532}. D'après la loi des probabilités totales : $p(M) = p(M \cap S) + p(M\cap A) + p(M\cap B) \iff p(M\cap B) = p(M) - p(M \cap S) - p(M \cap A) = \np{0,4096} - \np{0,1728} - \np{0,1836} = \np{0,0532}$. \item %Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ? $p_{B}(M) = \dfrac{p(M \cap B)}{p(B)} = \dfrac{\np{0,0532}}{0,14} = 0,38$. \end{enumerate} \item %Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise. %Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (\emph{le résultat sera arrondi à} $10^{-3}$)? On a un schéma de Bernoulli avec comme paramètres $n = 3$ et $p = \np{0,0532}$. La probabilité d'acheter exactement deux mâles Birmans est : $3 \times \np{0,0532}^2 \times (1 - \np{0,0532}) = \np{0,008039} \approx 0,008$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x} + 3.\] %On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; en donner une interprétation graphique. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$. Géométriquement ce résultat montre que la droite dont une équation est $x = 0$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $0$. \item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$. Géométriquement ce résultat montre que la droite dont une équation est $y = 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de plus l'infini. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$, puis étudier son signe. On a $\left(\dfrac{\ln x}{x} \right)' = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. Donc $f'(x) = \dfrac{5(1 - \ln x)}{x^2}$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f(\text{e})$. Le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $1 - \ln x$ : $\bullet~~$$1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff x < \text{e}$ : donc sur $]0~;~\text{e}[$, la fonction est croissante de moins l'infini à $f(\text{e}) = 5 \times \dfrac{1}{\text{e}} + 3 = \dfrac{5}{\text{e}} + 3 \approx 4,84$. $\bullet~~$$1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff x > \text{e}$ : sur $]\text{e}~;~+ \infty[$ la fonction est décroissante de $f(\text{e})$ à 3. $\bullet~~$$1 - \ln x = 0 \iff x = \text{e}$ : la fonction a un maximum $f(\text{e})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. %On pourra remarquer que $f(x) = 5u'(x)\times u(x) + 3$ avec $u(x)$ à préciser. On sait que $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, donc en posant $u(x) = \ln x$, on a $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et on peut écrire $f(x) = 5 \ln x \times \dfrac{1}{x} + 3 = 5 u'(x) u(x) + 3$. Or une primitive de $u'(x)u(x)$ est $\dfrac{u(x)^2}{2}$, donc une primitive sur $]0~;~+ \infty[$ de $f$ est la fonction $F$ définie par : $F(x) = \dfrac{5}{2}u^2(x) + 3x = \dfrac{5}{2}(\ln x)^2 + 3x$. \item %En déduire la valeur exacte de $\text{I} = \displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t$ sous la forme $a(\ln 2)^2+b$ avec $a$ et $b$ deux réels à déterminer. On a donc : $\text{I} = \displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t = [F(t)]_2^4 = F(4) - F(2) = \dfrac{5}{2}(\ln 4)^2 + 3\times 4 - \left(\dfrac{5}{2}(\ln 2)^2 + 3\times 2 \right) = $ $\dfrac{5}{2}\times (2\ln 2)^2 - \dfrac{5}{2}(\ln 2)^2 + 6 = \dfrac{15}{2}(\ln 2)^2 + 6$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Préciser le signe de $f$ sur l'intervalle [2 ; 4]. On a vu que sur $[2~;~\text{e}]$ la fonction est croissante de $f(2) = 5\dfrac{\ln 2}{2} + 3 \approx 4,73$ à $f(\text{e})$ : elle est donc positive sur cet intervalle. Sur $[\text{e}~;~4]$, la fonction est décroissante de $f(\text{e})$ à $f(4) = \dfrac{5}{4}\ln 4 + 3 \approx 4,7$ : elle est donc positive sur cet intervalle. Finalement $f$ est positive sur [2~;~4]. \item %Donner une interprétation graphique de I. D'après la question précédente I est donc l'aire en un cités d'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 4$. \end{enumerate} \item %On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ milliers de pièces est égal à $f(x)$. %En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre \np{2000} et \np{4000} pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près. La valeur moyennes égale à : $\dfrac{1}{\np{4} - \np{2}}\displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{\np{2}}\left[\dfrac{15}{2}(\ln 2)^2 + 6 \right] = \dfrac{15}{4}(\ln 2)^2 + 3$ en milliers d'euros soit environ 4,8017 milliers d'euros soit environ \np{4801,70}~\euro{} et à 100 euros près : \np{4800}~\euro. \end{enumerate} \end{document}