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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 16 avril 2009} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 16 avril 2009~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
% 
%Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune  justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.
% 
%\emph{Barème: Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Rappel de notations :} $p$(A) désigne la probabilité de A, $p_{\text{B}}$(A) désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B, $p(\text{A} \cup \text{B})$ signifie la probabilité de « A ou B » et $p(\text{A} \cap \text{B})$ signifie la probabilité de « A et B ». 
%
\begin{enumerate}
\item %On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.
% 
%La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~~$}X}}
%$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{2}$\\
%\end{tabularx}
Sur 6 issues, 2 sont favorables : 3 et 6 ; probabilité : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
%\medskip 

\item  %Soient A et B deux évènements tels que $p(\text{A}) = 0,2,~ p(\text{B}) = 0,3$ et $p(\text{A} \cap \text{B}) =  0,1$ ; alors

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~~$}X}} 
%$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,4$&$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,5 $&$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,6$\\
% \end{tabularx}
On sait que $p(\text{A} \cap \text{B}) = $p(\text{A}) +  p(\text{B}) - $p(\text{A} \cup \text{B})  = 0,2 + 0,3 - 0,1 = 0,4$.

\medskip 

\item  %Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~~$}X}}  
%$p(\text{A} \cap \text{B}) = 0$&$p_{\text{A}}(\text{B} )  = p_{\text{B}}(\text{A})$&$p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times  p(\text{B})$ \\
% \end{tabularx}
Réponse 3 : $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times  p(\text{B})$
\medskip 
\item  %Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et $a$ (où $a$ est un réel). 
%On sait que $p(2) = \dfrac{1}{2},~ p(3) = \dfrac{1}{3}$ et $p(a)= \dfrac{1}{6}$. 

%On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~~$}X}}  
% $a = - 12$& 	$a=6$& $ a = - 5$\\
%\end{tabularx} 
On a E $ = 2 \times \dfrac{1}{2} + 3 \times  \dfrac{1}{3} + a \times  \dfrac{1}{6} = 0 \iff  1 + 1 + \dfrac{a}{6} = 0 \iff \dfrac{a}{6} = - 2 \iff a = - 12$.
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

\emph{Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées}. 

\medskip

%Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à $0,6$. 
\begin{enumerate}
\item %Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à \nombre{0,0256}.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 4$ et $p = 0,6$.
		
La probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 

$(1 - 0,6)^4 = 0,4^4 = \np{0,0256}$.		 
		\item %Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
La probabilité que Julien marque au moins un panier est 

$1 - \np{0,0256} = \np{0,9744}$.
	\end{enumerate} 
\item %Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à $0,999$ ? 

%\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
La probabilité qu'il ne marque aucun panier en $n$ tentatives est $0,4^n$, donc la probabilité de marquer au moins un panier est $1 - 0,4^n$. Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,4^n \geqslant 0,999 \iff 0,4^n \leqslant 0,001 \iff n \ln 0,4 \leqslant \ln 0,001 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,4}$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,4} \approx 7,5$. Il lui faut donc au moins 8 tentatives.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip 

%Sachant qu'il y avait 13~millions de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6~millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1\:\% près. 
On a $\dfrac{16,6 - 13}{13}\times 100 \approx 27,7\,\%$ à 0,1 près.
\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et 2005 :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Ann\'ee&1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2005\\ \hline 
%Rang  de l'année $x_{i}$, {}$0\leqslant i \leqslant 6$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 
%Nombre de retraités  (en millions) $y_{i}${} $0\leqslant i \leqslant 6$&4,1 &5,0 &5,9 &7,4 &8,3 &9,7&10,7\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\small Source : INSEE / Caisse Nationale d'Assurance Vieillesse 2007}\\
%\end{tabularx} 
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right),$

%$ 0\leqslant i \leqslant 6$, associé à la série statistique dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm en abscisse (pour les rangs d'année) et 1~cm en ordonnée (pour 1~million de retraités).
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,12)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt](0,0)(7,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(7,12)
\psdots(0,4.1)(1,5)(2,5.9)(3,7.4)(4,8.3)(5,9.7)(6,10.7)
\uput[u](5.8,0){\footnotesize rang de l'année $x$}
\uput[r](0,11.8){\footnotesize  $y$ en millions} 
\psdots[linecolor=blue](3,7.3)\uput[ul](3,7.3){\blue G}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{1.1 x mul 3.9 add}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.
G(3~;~7,3) 
		\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $d$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).
La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au dixième 

$y = 1,1x + 3,9$. 
		\item %Placer le point G et tracer la droite $d$ dans le repère construit à la première question.
Voir la figure.
		
Remarque : avec des coefficients arrondis au dixième le point G n'est pas sur la droite d'ajustement ce qui est anormal. Avec des coefficients au centième ($y = 1,13x + 3,91$) ce problème est résolu. 
	\end{enumerate}		
\item %En utilisant l'ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010. 
2010 correspond au rang 7. On aura donc environ :

$y = 1,1 \times 7 + 3,9 = 7,7 + 3,9 = 11,6$.

Il y aura en 2010 environ 11,6 millions de retraités.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

%\emph{On utilisera les données des parties $1$ et  $2$. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de pourcentage, arrondis au dixième.} 

\medskip

%On appelle rapport démographique de l'année $n$ le rapport 
%
%\[R_{n} = \dfrac{\text{nombre de cotisants de l'année} n}{\text{nombre de retraités de l'année} n}.\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de $R_{n}$ entre 1975 et 2005.
On a donc $R_{1975} = \dfrac{13}{4,1}\quad R_{2005} = \dfrac{16,6}{10,7}$, d'où un pourcentage d'augmentation de 1975 à 2005 égal à :

$\dfrac{R_{2005} - R_{1975}}{R_{1975}}\times 100 = \dfrac{\frac{16,6}{10,7} - \frac{13}{4,1}}{\frac{13}{4,1}} \dfrac{16,6 \times 4,1 - 13 \times 10,7}{13 \times 10,7}\times 100 = \dfrac{- 71,04}{139,1}\times 100 \approx - 51,07$\,\%. 
\item %Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4\,\% et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1\:\%. Calculer le taux d'évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010. 

%\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
Le nombre de cotisants sera : $16,6 \times 1,064$ et le nombre de retraités sera de $10,7 \times 1,121$. 

En 2010 le rapport démographique sera :

$R_{2010} = \dfrac{16,6 \times 1,064}{10,7 \times 1,121} = \dfrac{16,6}{10,7} \times \dfrac{1,064}{1,121} = R_{2005} \times \dfrac{1,064}{1,121}$

Le rapport de 2005 sera donc multiplié par  $\dfrac{1,064}{1,121} \approx 0,949$, qui correspond à une baisse de 0,051 soit 5,1\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F. 
%
%Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site.
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10,6)
%\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
%\cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2.5,6){B}{B} 
%\cnodeput(7.5,6){C}{C} \cnodeput(10,3){D}{F}
%\cnodeput(7.5,0){E}{E} \cnodeput(2.5,0){F}{D}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{7} \ncarc{B}{C} \ncput*{12} 
%\ncarc{C}{D} \ncput*{3} \ncarc{D}{E} \ncput*{14} 
%\ncarc{E}{F} \ncput*{2} \ncarc{F}{A} \ncput*{15} 
%\ncarc{B}{E} \ncput*[npos=.3]{4} \ncarc{C}{F} \ncput*[npos=.7]{5} 
%\ncarc{B}{D} \ncput*[npos=.7]{16} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 


\begin{enumerate}
\item %Justifier que ce graphe est connexe. 
ABCDEF est une chaîne contenant tous les sommets ; il existe donc une chaîne reliant deux points quelconques. Le graphe est connexe. 
\item %Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport. 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet F.
On utilise l'a	algorithme de Dijskra :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
A&B&C&D&E&F& Sommet choisi\\ \hline
0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A 0\\ \hline
&7 A&$\infty$&15 A&$\infty$&$\infty$&B 7\\ \hline
&&19 B&15 A &11 B&23 B&E 11\\ \hline
&&19 B&13 E&&23 B&D 13\\ \hline
&&18 D&&&23 B&C 18\\ \hline
&&&&&21 C&F 21\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Le sommet F étant choisi on remonte la chaîne en passant par tous les prédécesseurs.

Le chemin le plus court est donc A $\to$ B $\to$ E $\to$ D $\to$ C $\to$ F.
		\item %En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F.
En suivant ce chemin  il faut 21 heures. 
	\end{enumerate}	
\item %Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. 

%Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire justifier qu'un tel parcours n'existe pas.
Le graphe contient 4 sommets de degré 3 : C, D, E, F{}. Il n'existe donc pas de chaîne eulérienne.
Il n'existe pas de parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois.  
-\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A. Lectures graphiques}

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
% 
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(e~;~0) et B$(1~;~- 1)$.
% 
%La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point D$(0~;~- \text{e})$. 
%
%\medskip
%
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3.5)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt](0,0)(-1,-3.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3.5)(7,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](5.15,3.4){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ul](2.71828,0){A} \uput[d](1,-1){B}\uput[r](0,-2.71828){D}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{5.5}{x ln 1 sub x mul}
\psplot{-0.7}{6.75}{x 2.71828 sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{4}{5}{x ln 1 sub x mul}
\psline(5,0)(4,0)(4,1.5)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer une équation de la droite (AD). 
La droite a pour coefficient directeur : $\dfrac{y_{\text{D}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{D}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{- \text{e} - 0}{0 - \text{e}} = 1$.

Cette droite a pour ordonnée à l'origine $- \text{e}$, donc une équation de (AD) est $y = x - \text{e}$.
\medskip

%\emph{Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question} 2.

\item  Par lectures graphiques : 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer  $f(1)$ et $f'(1)$.
On lit $f(1) = - 1$ et $f'(1) = 0$ (tangente horizontale)
		\item %Dresser le tableau de signes de $f$ sur ]0~;~5].
On a $f(x) \leqslant 0$ sur $[0~;~\text{e}]$ et $f(x) \geqslant 0$ sur $[\text{e}~;~5[$.  
		\item %Dresser le tableau de signes de $f'$ sur ]0~;~5].
$f'(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ et $f'(x) > 0$ sur $]1~;~5[$. 
		\item %Soit $F$ une primitive de $f$ sur $]0~;~5[$. Déterminer les variations de $F$ sur ]0~;~5].
Puisque $F'(x) = f(x)$, le signe de $f(x)$ vu ci-dessus donne les variations de $F$ : 
		
Sur $]0~;~1[$, $F$ est décroissante et sur $]1~;~5[$, $F$ est croissante.		 
		\item %Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 4$ et $x = 5$.
On voit que $2 < \mathcal{A} < 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de la fonction}

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}$ de la partie A est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

%\[f(x) = x(\ln x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (x) - 1 = + \infty$, d'où par produit des limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = x\ln x$. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = 0$. 

%Déterminer la limite de $f$ en $0$.
On a $f(x) = x \ln x - x$ ; on sait que :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln (x) = 0$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$ , d'où par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $f'(x) = \ln x$. 
$f$ est dérivable car produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \ln x - 1 + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x - 1 + 1 = \ln x$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~+\infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
On sait que :

$\bullet~~$$\ln x < 0$ sur $]0~;~1[$ ;

$\bullet~~$$\ln x > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.

Donc $f$ est décroissante sur $]0~;~1[$ de $0$ à $f(1) = 1(\ln 1 - 1) = - 1$.

$f$ est croissante sur $]1~;~+ \infty[$ de $- 1$ à plus l’infini. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
		
%$H(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{1}{4}x^2$ est une primitive sur $]0~;~ +\infty[$ de la fonction $h$ définie à la question 1. b. 
$H$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle, 

$H’(x) = 2 \times \dfrac{1}{2}x \ln x + \dfrac{1}{2}x^2 \times \dfrac{1}{x} -  2 \times \dfrac{1}{4}x = x \ln x + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}x = x\ln x = h(x)$.
		\item %En déduire une primitive $F$ de $f$ et calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
On a $f(x) = x \ln x - x  = h(x) - x$, une primitive de $f$ sur  $]0~;~ +\infty[$ est définie par :

$F(x) = H(x) - \dfrac{x^2}{2}= \dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{3}{4}x^2$.
		\item %En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. On arrondira le résultat au dixième.
On a vu que sur $[1~;~\text{e}]$ la fonction $f$ est négative, donc l’aire demandée est égale à l’opposée de l’intégrale :
$\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = F(\text{e}) - F(1)$.

L’aire demandée est donc égale à :

$F(1) - F(\text{e}) = \dfrac{1}{2}\times 1^2 \ln 1 - \dfrac{3}{4} \times 1^2 - \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 \ln \text{e} - \dfrac{3}{4}\text{e}^2\right] =  - \dfrac{3}{4}  -   \dfrac{1}{2}\text{e}^2  + \dfrac{3}{4}\text{e}^2 =  \dfrac{1}{4}\text{e}^2 -  \dfrac{3}{4} \approx 1,097$ soit environ 1,1 au dixième près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}