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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\setmarginsrb{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%      crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%      crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%       plus grand ou égal
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-1,5cm}

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pdfsubject = {Terminale ES},
pdftitle = {Antilles-Guyane septembre  2016},
allbordercolors = white}  
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane -- corrigé}}
\rfoot{\small septembre  2016}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES (spécialité) Antilles--Guyane~\decofourright\\[8pt] septembre 2016}}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{EXERCICE 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs  réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip
%
%\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\e^x$ ; la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} concave sur $] - \infty~;~ 0]$ &\textbf{b.~~} \fcolorbox{white}{white}{convexe sur $]- \infty~;~0]$}\\
\textbf{c.~~} concave sur $[0~;~ +\infty]$ &\textbf{d.~~} \fcolorbox{red}{white}{convexe sur $[0~;~+\infty[$}
\end{tabularx}

\medskip

$f'(x)=\e^{x}+x\e^{x}$ et $f''(x)=\e^{x} + \e^{x} + x\e^{x} = (2+x)\e^{x}$

$f'' >0$ sur $\cg -2~;~+\infty`\cd$ donc sur $\cd 0~;~+\infty\cd$, donc $f$ est convexe sur $\cd 0~;~+\infty\cd$.  

\medskip

\item On considère l'équation d'inconnue $x$ : $(3x + 1)\text{e}^{5x} = 0$.

Cette équation admet sur $\R$:

%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} 0 solution &\textbf{b.~~} \fcolorbox{red}{white}{1 solution} &\textbf{c.~~} 2 solutions &\textbf{d.~~} plus de 3 solutions
\end{tabularx}

\medskip

$\e^{5x}>0$ pour tout $x$, donc l'unique solution est $- \dfrac{1}{3}$.

\medskip

\item On a constaté que, sur 10 ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8\,\% par an.

On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~}80\,\%
       &\textbf{b.~~} \fcolorbox{red}{white}{116\,\%} 
       &\textbf{c.~~} 216\,\%
       &\textbf{d.~~}43\,\%
\end{tabularx}

\medskip

Augmenter de 8\,\%, c'est multiplier par $1+ \dfrac{8}{100}=1,08$; augmenter de 8\,\% pendant 10 ans, c'est multiplier par $1,08^{10} \approx 2,16$; $2,16 =1 + \dfrac{116}{100}$ qui correspond à une augmentation de $116\,\%$.

\medskip

\item La courbe $\mathcal{C}_g$ ci-contre représente une fonction $g$
définie et dérivable sur $\cd 0~;~3\cg$.

\parbox{0.6\linewidth}{
On note $g'$ sa fonction dérivée ; on a :

\textbf{a.~~} \fcolorbox{red}{white}{$g'(2) = - 1$}

\textbf{b.~~} \fcolorbox{white}{white}{$g'(2) = - 5$}

\textbf{c.~~} \fcolorbox{white}{white}{$g'(2) = \dfrac{4}{3}$}

\textbf{d.~~} \fcolorbox{white}{white}{$g'(2) = 2$}} 
\hfill 
\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4,2.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{ x  1.5 add x dup mul 0.5 mul  sub}
\psplot[linecolor=red]{1.2}{3}{-1 x mul 3.5 add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2,0)(2,1.5)
\uput[ul](0.75,1.9){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}}

\medskip

La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a un coefficient directeur égal à $-1$.

\medskip

\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^{3x+2}$.

Une primitive $H$ de $h$ peut être définie sur $\R$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}$H(x) = 3\text{e}^{3x+2}$ 
  &\textbf{b.~~} \fcolorbox{red}{white}{$H(x) = \frac{1}{3}\text{e}^{3x+2}$}\\[7pt]
\textbf{c.~~}$H(x) = (3x + 2)\text{e}^{3x+2}$ 
  &\textbf{d.~~} \fcolorbox{white}{white}{$H(x) = \text{e}^{3x+2}$}
\end{tabularx}

\medskip

Si $H(x) = \frac{1}{3}\text{e}^{3x+2}$ alors 
$H'(x) = \frac{1}{3} \times 3\e^{3x+2} = \e^{3x+2} = h(x)$.

\medskip

\item Pour la loi normale représentée ci-contre on a
$P(9 < X < 12) \approx 0,82$ (à $10^{-2}$ près).

\parbox{0.6\linewidth}{

Les paramètres de la loi $X$ sont :

\textbf{a.~~} \fcolorbox{white}{white}{$\mu = 10$ et $\sigma = 2$}

\textbf{b.~~} \fcolorbox{white}{white}{$\mu = 11$ et $\sigma = 2$}

\textbf{c.~~} \fcolorbox{red}{white}{$\mu = 10$ et $\sigma = 1$}

\textbf{d.~~} \fcolorbox{white}{white}{$\mu = 11$ et $\sigma = 3$}}
\hfill 
\parbox{0.38\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin{5.5}   \def\xmax{14.5}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline(5.5,0)(14.5,0)
\multido{\n=6+1}{9}{\uput[d](\n,0){\n}}
\def\m{10}% moyenne 
\def\s{1}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{9} \def\sup{12}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%\uput{12pt}[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
\multido{\n=10+10}{15}
{
%\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}
\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\end{pspicture*}
\end{center}}

D'après la symétrie de la courbe, $\mu=10$.

À la calculatrice, on trouve que si $\sigma=1$, $P(9 < X < 12) \approx 0,82$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{EXERCICE 2  \hfill Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité.

Au 1\up{er} septembre 2015, il y a 10\,\% des abonnés inscrits en Pilates, 85\,\% en Step et 5\,\% en Zumba.

D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30\,\% des cas, sinon
il choisit Step dans 10\,\% des cas et Zumba dans 60\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 50\,\% des cas et Zumba dans 20\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 20\,\% des cas et Step dans 60\,\% des cas.
\end{itemize}

\medskip

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.
Soit $E_n = \begin{pmatrix}p_n& s_n& z_n\end{pmatrix}$, la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et T, $n$ semaines après le 1\up{er} septembre 2015.

\medskip

\begin{enumerate}

\item%  Donner, sans justification, la matrice $E_0$.
D'après le texte, 
$E_0=\begin{pmatrix} 0,10 & 0,85 & 0,05 \end{pmatrix}$.

\item On traduit la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z:

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-6)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

%%% Données à entrer

%%% G pour Gauche, D pour Droit et B pour Bas
\def\nomG{P}
\def\nomD{S}
\def\nomB{Z}

\def\valGG{0,3}
\def\valGD{0,1}
\def\valGB{0,6}

\def\valDG{0,5}
\def\valDD{0,3}
\def\valDB{0,2}

\def\valBG{0,2}
\def\valBD{0,6}
\def\valBB{0,2}

%%% Ne plus modifier à partir de cette ligne

\psnode(0,0){G}{\red \boldmath \nomG}
\psnode(6,0){D}{\boldmath \nomD}
\psnode(3,-4.2){B}{\blue \boldmath \nomB}

\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{G}{.5cm} \Bput{\red \valGG}
\ncarc[linecolor=red]{->}{G}{D} \Aput{\red \valGD} 
\ncarc[linecolor=red]{->}{G}{B} \Aput{\red \valGB}

\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}
\nccircle[angleA=-60]{->}{D}{.5cm} \Bput{\valDD}
\ncarc{->}{D}{B} \Aput{\valDB} 

\ncarc[linecolor=blue]{->}{B}{G} \Aput{\blue \valBG} 
\ncarc[linecolor=blue]{->}{B}{D} \Aput{\blue \valBD}
\nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{B}{.5cm} \Bput{\blue \valBB}

\end{pspicture}
\end{center}

\item On donne $M$ la matrice carrée $3 \times 3$ de transition respectant l'ordre P, S et Z.

\[M = \begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}

		\item% Préciser la signification du coefficient $0,5$ dans la matrice $M$.
D'après le cours, comme $M$ est la matrice de transition du graphe, on a pour tout $n$:

$\begin{pmatrix}
p_{n+1} & s_{n+1} & z_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{n} & s_{n} & z_{n}
\end{pmatrix}
\times M
=
\begin{pmatrix}
p_{n} & s_{n} & z_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}$

donc
$p_{n+1} = 0,3p_n + 0,5 s_n + 0,2 z_n$.

Donc 0,5 correspond au pourcentage d'abonnés faisant du Step qui passent au Pilates chaque semaine.

		\item 
$E_1 = E_0\times M
= \begin{pmatrix} 0,10 & 0,85 & 0,05 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}\\
\phantom{E_1}
= {\small \begin{pmatrix} 0,10\times 0,3 + 0,85\times 0,5 + 0,05\times 0,2
      & 0,10\times 0,1 + 0,85\times 0,3 + 0,05\times 0,6
      & 0,10\times 0,6 + 0,85\times 0,2 + 0,05\times 0,2
      \end{pmatrix}}\\
\phantom{E_1}
= \begin{pmatrix} 0,03 + 0,425 + 0,01
      & 0,01 + 0,255 + 0,03
      & 0,06 + 0,17 + 0,01
      \end{pmatrix}\\
\phantom{E_1}
=  \begin{pmatrix} 0,465 & 0,295 & 0,240 \end{pmatrix}
$

		\item La répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines est $E_3$:
		
$E_3 = E_2\times M = E_1 \times M \times M = E_1\times M^2$

À la calculatrice, on trouve:
$E_3 = 
\begin{pmatrix}
\np{0,3172} & \np{0,3488} & \np{0,3340}
\end{pmatrix}$

	\end{enumerate}
	
\item% Peut-on affirmer, à $10^{-2}$ près, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité.
D'après le cours, on peut dire que $E_6=E_0\times M^6$.

À la calculatrice, on trouve, en arrondissant à $10^{-3}$:
$E_6=
\begin{pmatrix}
0,332 & 0,333 & 0,338
\end{pmatrix}$.

Donc on peut dire qu'au bout de 6 semaines, environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

\item Au 1\up{er} septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport.% Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ?

À la calculatrice, on trouve 
$E_8 = E_0 \times M^8
\approx
\begin{pmatrix}
\np{0,3334} & \np{0,3333} & \np{0,3333}  
\end{pmatrix}$.

Donc les 120 abonnés se répartissent en 3 parties égales, soit 40 abonnés dans chaque activité.

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne $E$ correspondant à l'état probabiliste stable.
On peut conjecturer que 
$E = 
\begin{pmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{pmatrix}$
est la matrice ligne correspondant à l'état stable.

		\item% Vérifier cette conjecture.
$E\times M
= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{0,3}{3} + \dfrac{0,5}{3} + \dfrac{0,2}{3}
& \dfrac{0,1}{3} + \dfrac{0,3}{3} + \dfrac{0,6}{3}
& \dfrac{0,6}{3} + \dfrac{0,2}{3} + \dfrac{0,2}{3}  
\end{pmatrix}\\
\phantom{E\times M}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}
= E$

Donc la matrice ligne 
$E = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}$ 
correspond à l'état stable.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{EXERCICE 3  \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\cd 0~;~1\cg$ par $f(x) = 2x$.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est $f$.

Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(1.5,2.2)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,hatchangle=-45,linecolor=red](0.5,0)(0.5,1)(1,2)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.25,-0.2)(1.5,2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.
La surface hachurée est un trapèze rectangle.

L'aire d'un trapèze est donné par la formule

\hfill $\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}
= \dfrac{(1+2)\times 0,5}{2} = 0,75$.\hfill{}

		\item% Interpréter ce résultat en terme de probabilité.
On peut donc dire que $P(0,5 \pp X \pp 1) = 0,75$.

	\end{enumerate}

\item La probabilité $P(0 \leqslant X \leqslant 0,75)$ est égale à l'aire de la surface hachurée ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(1.5,2.2)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,hatchangle=-45,linecolor=red](0,0)(0.75,0)(0.75,1.5)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0.75,1.5)(0,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.25,-0.2)(1.5,2.2)
\uput[d](0.75,0){\small \red 0,75}
\end{pspicture}
\end{center}

Cette partie hachurée est délimitée par un triangle rectangle dont l'aire est $\dfrac{0,75\times 1,5}{2}=\np{0,5625}$.

Donc $P(0 \pp X \pp 0,75) = \np{0,5625}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{EXERCICE 4  \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.

En 2015, $600$ personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Chaque année, 5\,\% des abonnements ne sont pas renouvelés .
\item[$\bullet~~$] Chaque année, on compte $80$ nouveaux abonnements à ce service.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :} &$n$ et $U$ sont des nombres\\
\textbf{Traitement :}& Affecter à $U$ la valeur 600\\
			&Affecter à n la valeur 0\\
			&Tant que $U < 800$ faire\\
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
$U$ prend la valeur $U - U \times 0,05 + 80$\\
$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\end{tabular}\\
			&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie  :} 	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité).
		
\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|l|*6{>{\ca}p{1.2cm}|}}
\hline
valeur de $U$ &600 &650& 698& 743 & 785 & 826\\ 
\hline
valeur de $n$ &0&1&2&3&4&5 \\ 
\hline
test $U < 800$&vrai &vrai &vrai &vrai &vrai &\textcolor{red}{faux}\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item% Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme.
La valeur affichée de $n$ en fin d'exécution est 5. 		
				
		\item% Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Cela signifie que $n=5$ est la première valeur pour laquelle le nombre d'abonnés va dépasser 800; c'est donc en 2020.

	\end{enumerate}
\item Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre d'abonnés pendant l'année $2015 + n$.
	
On a ainsi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,95 u_n + 80$ et $u_0 = 600$.
	\begin{enumerate}

		\item% Donner $u_1$ et $u_2$ (arrondir les valeurs à l'unité).
D'après le tableau: $u_1=650$ et $u_2 = 698$.

		\item On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1600}$ donc $u_n=v_n+\np{1600}$.
		
%Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		
%Préciser la raison et le premier terme de cette suite.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1}=u_{n+1}- \np{1600} = 0,95 u_n + 80 - \np{1600} 
= 0,95 (v_n+\np{1600}) - \np{1520} = 0,95 v_n + \np{1520} - \np{1520}\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,95 v_n$

\item $v_0 = u_0 - \np{1600} = \np{600} - \np{1600} = -\np{1000}$

\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=-\np{1000}$.

		\item% En déduire que l'on a, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{1600} - \np{1000} \times 0,95^n$.
D'après la question précédente, on peut dire que, pour tout $n$, $v_n=v_0 \times 0,95^n = - \np{1000} \times 0,95^n$.

Comme $u_n=v_n+\np{1600}$, on en conclut que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1600} - \np{1000} \times 0,95^n$.

		\end{enumerate}

\item La taille des locaux ne permet pas de servir plus de \np{1000} repas; on résout l'inéquation $u_n\pp \np{1000}$:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
u_n\pp \np{1000} & \np{1600} - \np{1000} \times 0,95^n \pp \np{1000} & \\
                 & 600 \pp \np{1000}\times 0,95^n & \\
                 & 0,6 \pp 0,95^n & \\
                 & \ln(0,6) \pp \ln\left (0,95^n\right ) 
       & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0~;~+\infty\cd \\
                 & \ln(0,6) \pp n\times \ln(0,95)
       & \text{propriété de la fonction ln}\\
                 & \dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)} \pg n
       & \text{car } \ln(0,95) < 0\\
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)} \approx 9,96$ donc $u_n$ restera inférieur à \np{1000} tant que $n$ sera strictement inférieur à 10; l'association devra prévoir des travaux pour servir plus de 800 repas à partir de 2025.

	
%Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour des travaux d'agrandissement ?

\end{enumerate}
\end{document}