\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{multicol}
\usepackage{vmargin}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4.5cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\pp}{\leqslant}
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie mars 2017 - Corrigé},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}	%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%le i des complexes
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Nouvelle-Calédonie~\decofourright
\\[5pt]mars 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%\medskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
%Dans tout l'exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\medskip

À l'occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs
types de bouquets spéciaux.

%\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

%Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d'\oe illets, uniquement
%de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d'une
%même couleur, soit blanches, soit jaunes.
%
%Ce fleuriste a choisi de préparer 60\,\% de ces bouquets spéciaux avec uniquement des
%tulipes, 28\,\% avec uniquement des \oe illets, les autres bouquets ne comportant que des
%marguerites.
%
%On sait d'autre part que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ;
%\item la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d'\oe illets est de un
%cinquième;
%\item parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes.
%\end{itemize}
%
%\smallskip
%
%Un client entre dans le magasin et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets
%spéciaux \og fête des Mères \fg.
%
%On note :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet de tulipes \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet d'\oe illets \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet de marguerites\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $J$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont jaunes\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont blanches \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On construit un arbre pondéré représentant la situation:

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{0,60}}
	                        {
	                        \TR{$J$}\naput{0,5}
			                \TR{$B$}\nbput{\red $1-0,5=0,5$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$O$}\naput{0,28}}
	                        {
	                        \TR{$J$}\naput{$\frac{1}{5}$}
			                \TR{$B$}\nbput{\red $1-\frac{1}{5} = \frac{4}{5}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\nbput{\red $1-0,60-0,28=0,12$}}
	                        {
	                        \TR{$J$}\naput{$\frac{1}{4}$}
			                \TR{$B$}\nbput{\red $1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches est 

$P(T \cap B) = P(T) \times P_T(B) = 0,6 \times 0,5 = 0,3$. 

\item% Montrer que la probabilité de l'évènement B notée $p(B)$ est égale à $0,614$.
D'après la formule des probabilités  totales:

$P(B) = P(T \cap B) + P(O \cap B) + P(M \cap B)
= P(T) \times P_T(B) + P(O) \times P_O(B) + P(M) \times P_M(B)\\[3pt]
\phantom{P(B)}
= 0,6 \times 0,5 + 0,28 \times \dfrac{4}{5} + 0,12 \times \dfrac{3}{4}
= 0,3 + 0,224 + 0,09 = 0,614$.

\item Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, la probabilité que ce soit un bouquet d'\oe illets est
$P_B(O) = \dfrac{P(O \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,224}{0,614} \approx 0,365$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B}

\medskip
L'un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d'une espèce de rosiers nommée \og Arlequin \fg.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard, cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d'après les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un rosier \og Arlequin \fg{} chez ce fournisseur.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que ce rosier mesure entre $47$ et $53$~centimètres est 
$P(47 \pp X \pp 53)  \approx 0,683$ (résultat obtenu à la calculatrice).		
		
		\item La probabilité que ce rosier mesure plus de $56$~centimètres est
$P( X > 56) \approx 0,023$ (calculatrice).
 
	\end{enumerate}

\item Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80\,\% de ses rosiers \og Arlequin \fg: on cherche donc la hauteur $h$ telle que $P( X\pg h)=0,8$.

Pour des raisons de symétrie $P( X\pg h)= 0,8 \iff P(X\pp h) = 1-0,8 \iff  P(X\pp h)=0,2$.

Pour $P(X\pp h) =0,2$, on trouve à la calculatrice $h\approx 47,5$~cm.

%Déterminer la hauteur cherchée (on l'arrondira au mm).

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie C}

\medskip

En se basant sur les ventes réalisées l'année précédente, cc fleuriste suppose que 85\,\% de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères.

Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son hypothèse en envoyant un questionnaire à $75$ de ses clients, ces derniers étant supposés représentatifs de l'ensemble de sa clientèle.

On est donc en présence d'un échantillon de taille $n=75$ dans lequel on suppose que la proportion $p$ de clients qui viendront acheter un bouquet est de $0,85$.

On détermine un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de clients qui devraient acheter un bouquet:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]
= \left [ 0,85-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,85\times 0,25}}{\ds\sqrt{75}}~;~0,85+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,85\times 0,15}}{\ds\sqrt{75}}\right ]\\[7pt]
\phantom{I}
\approx \cd 0,76~;~0,94 \cg$

\smallskip

Les réponses reçues montrent que, parmi les $75$ clients interrogés, $16$ déclarent qu'ils ne lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères donc $75-16=59$ vont acheter un bouquet; la fréquence observée est donc de $f = \dfrac{59}{75} \approx 0,79$.

\smallskip

$f \in I$ donc il n'y a pas de raison de rejeter l'hypothèse du fleuriste.

%Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ?

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%
%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune
%justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne
%rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
%
%On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une
%fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-5~;~1]$.
%
%La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$(-3~;~6)$ et passe par le point
%$(-5~;~-2)$.
%
%Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur $[- 5~;~1]$.
%
\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-3)(2.2,15)
\multido{\n=-5+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,15)}
\multido{\n=-3+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](-5.5,\n)(2.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-3)(2.2,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{9 x 3  exp 3 div sub x dup mul 3 mul sub 5 x mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{-5}{-4}{\f}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{-5}{0}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{-1}{4 x   mul 18 add}
\uput[u](2.15,0){$x$}\uput[r](0,14.5){$y$}
\psdots(-3,6)(-5,-2)
\psdots[linecolor=blue](-5,0.667)(1,0.667)
\uput[dr](-3,6){A} \uput[r](-5,-2){B}
\uput[l](-1.2,13.5){\red $T$}
\uput[r](0.8,2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(- 3) = 6$&\textbf{B.~~}\fbox{$f'(- 3) = 4$}&\textbf{C.~~} $f'(- 3) =  \dfrac{1}{4}$&
\textbf{D.~~} $f'(- 3) = \dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}
\medskip

$f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse $-3$ donc au point A; c'est donc la droite (AB);
$f'(-3) = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}
=\dfrac{-2 - 6}{-5 -(-3)} = 4$

\medskip

\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$f''(-3) = 6$&\textbf{B.~~}$f''(- 3) = 4$&\textbf{C.~~} \fbox{$f''(-3) = 0$} &\textbf{D.~~} $f''(- 3) = \dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}
\medskip

La courbe admet un point d'inflexion en A d'abscisse $-3$ donx $f''(-3)=0$. 

\medskip

\item La fonction $f$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} \fbox{convexe sur $[5~;~- 3]$}&\textbf{B.~~} convexe sur $[-5~;~-1]$\\
\textbf{C.~~} convexe sur $[- 3~;~1]$&\textbf{D.~~}  concave sur $[-5~;~1]$
\end{tabularx}
\medskip

Sur l'intervalle $[5~;~- 3]$ la courbe est au dessus de ses tangentes donc $f$ est convexe sur cet intervalle.

\medskip

\item La fonction dérivée $f'$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} \fbox{décroissante sur $[-3~;~-1]$}&\textbf{B.~~} croissante sur $[-3~;~-1]$\\
\textbf{C.~~} croissante sur $[-1~;~1]$&\textbf{D.~~}  croissante sur $[-5~;~-1]$
\end{tabularx}
\medskip

Il suffit d'imaginer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe pour les points dont les abscisses sont comprises entre $-3$ et $-1$.

On pourrait même dire que la fonction $f'$ est décroissante sur l'intervalle $[-3~;~1]$.

\medskip

\item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} décroissante sur $[-5~;~1]$&\textbf{B.~~} \fbox{croissante sur $[-5~;~1]$}\\
\textbf{C.~~} constante sur $[-5~;~1]$&\textbf{D.~~} décroissante sur $[-1~;~1]$
\end{tabularx}
\medskip

Une primitive $F$ de la fonction $f$ a pour dérivée cette fonction $f$ qui est positive sur $[-5~;~1]$; donc la fonction $F$ est croissante sur cet intervalle.

\medskip

\item  On note $I = \displaystyle\int_{-5}^{-4} f(x)\:\text{d}x$. Alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}$-2 \leqslant I \leqslant 0$&\textbf{B.~~}$- 5 \leqslant I \leqslant - 4$&
\textbf{C.~~}\fbox{$0 < I \leqslant 2$} &\textbf{D.~~} $2 < I<  4$
\end{tabularx}
\medskip

La fonction $f$ est positive sur $[-5~;~-4]$ donc l'intégrale $I$ est positive et est égale à l'aire du domaine hachuré sur la figure qui, sachant que chaque carreau a une aire de 1, est inférieure à 2.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}

%Les jeunes abonnés (c'est-à-dire de moins de 12 ans) inscrits à une médiathèque se voient proposer une formule d'emprunt mensuel unique: chaque mois, chacun de ces abonnés peut choisir d'emprunter exclusivement soit un livre, soit un film en DVD. On suppose d'une part que le nombre d'inscrits ne varie pas et d'autre part que tous les abonnés de moins de 12 ans respectent cette formule et réalisent un emprunt chaque mois.
%
%Les statistiques réalisées lors des mois précédents sur les choix d'emprunt des jeunes abonnés permettent au responsable de la médiathèque de constater que l'on peut modéliser ainsi la situation:
%
%d'un mois à l'antre,
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]89\,\% des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour
%un livre le mois suivant;
%\item[$\bullet~~$]parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14\,\% changent le mois suivant
%en décidant de choisir un livre.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Lors du lancement de cette formule d'emprunt, en janvier 2016, 80\,\% des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre.
%
%Chaque mois, on choisit au hasard un abonné de moins de 12 ans de cette médiathèque, et pour tout entier naturel $n$, on note :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un livre le $n$-ième mois après
%janvier 2016;
%\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un film le $n$-ième mois après
%janvier 2016;
%\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième mois après janvier 2016.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente la situation décrite dans l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,11}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,14}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,89}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,86}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

		\item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
D'après le texte:
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,89 a_n + 0,14 b_n\\
b_{n+1} & 0,11 a_n + 0,86 b_n
\end{array}
\right.$
donc 
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,89 & 0,11\\
0,14 & 0,86
\end{pmatrix}$		

La matrice de transition est 
$M = 
\begin{pmatrix}
0,89 & 0,11\\
0,14 & 0,86
\end{pmatrix}$.

		\item% Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en février 2016 et en mars 2016.
La répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en février 2016 est:

$P_1 = P_0\times M = 
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,89 & 0,11\\
0,14 & 0,86
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,8\times 0,89 + 0,2\times 0,14 & 0,8\times 0,11 + 0,2\times 0,86
\end{pmatrix} \\
\phantom{P_1}
=
\begin{pmatrix}
0,74 & 0,26
\end{pmatrix}$
donc $74\,\%$ pour un livre et $26\,\%$ pour un DVD.

La répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en mars 2016 est:

$P_2 = P_1\times M = 
\begin{pmatrix}
0,74 & 0,26
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,89 & 0,11\\
0,14 & 0,86
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,74\times 0,89 + 0,26\times 0,14 & 0,74\times 0,11 + 0,26\times 0,86
\end{pmatrix} \\
\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix}
0,695 & 0,305
\end{pmatrix} $
donc $69,5\,\%$ pour un livre et $30,5\,\%$ pour un DVD.
		
	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item D'après le texte, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}  = 0,89a_n + 0,14b_n$.

		\item D'après le contexte, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$.

Donc $a_{n+1}  = 0,89 a_n + 0,14b_n 
\implies a_{n+1}  = 0,89 a_n + 0,14 (1-a_n)
\iff a_{n+1}  = 0,89 a_n + 0,14 -0,14a_n 
\iff a_{n+1}  = 0,75 a_n + 0,14$ pour tout entier naturel $n$.
		
%		
%En déduire que pour tout entier naturel $n, \:  a_{n+1} = 0,75a_n + 0,14$.

		\item Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de jeunes abonnés empruntant un livre deviendra pour la première fois strictement inférieur à 60\,\%, on décide de programmer un algorithme que l'on complète:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{X}
\emph{Initialisation}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
	$a$ prend la valeur 0,8\\
	$n$ prend la valeur {\red 0}
\end{tabular}\\
\emph{Traitement}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
Tant que $a \geqslant 0,6$\\
\hspace{1cm} $a$ prend la valeur $0,75 \times a + 0,14$\\
\hspace{1cm} {\red $n$ prend la valeur $n + 1$}\\
Fin Tant que
\end{tabular}\\
\emph{Sortie}\\
\hspace{0.7cm}Afficher $n$
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
	
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = a_n  - 0,56$ donc $a_n = u_n + 0,56$.

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser son terme initial.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1} = a_{n+1} - 0,56 = 0,75 a_n + 0,14 - 0,56 
= 0,75 (u_n + 0,56) - 0,42 = $

$0,75 u_n +0,42 - 0,42 = 0,75 u_n$

\item $u_0 = a_0 - 0,56 = 0,80 - 0,56 = 0,24$ 

\end{list}

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,75$ et de premier terme $u_0= 0,24$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$\: :\: $a_n = 0,24 \times  0,75^n + 0,56$.
On en déduit que, pour tout $n$,
$u_n=u_0\times q^n = 0,24 \times 0,75^n$.

Comme $a_n=u_n+0,56$, on en déduit que $a_n = 0,24 \times 0,75^n + 0,56$.

		\item On résout l'inéquation $a_n < 0,6$:

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
a_n < 0,6 & 0,24 \times 0,75^n + 0,56 < 0,6 & \\
               & 0,24 \times 0,75^n < 0,04 & \\[5pt]
               & 0,75^n < \dfrac{0,04}{0,24} & \\[8pt]
               & \ln\left ( 0,75^n\right ) < \ln \left ( \dfrac{0,04}{0,24} \right ) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0~;~+\infty\cd \\
\end{array}$

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
 \phantom{a_n < 0,6 }              & n\times \ln(0,75) < \ln \left ( \dfrac{0,04}{0,24} \right ) & \text{propriété de la fonction ln}\\[8pt]
               & n > \dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,04}{0,24} \right )}{\ln(0,75)} & \text{car } \ln(0,75)<0
\end{array}$
		
Or $\dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,04}{0,24} \right )}{\ln(0,75)} \approx 6,2$ donc $n\pg 7$.

À partir du rang $n=7$ donc du mois d'août, le pourcentage d'abonnés qui choisissent d'emprunter un livre est inférieur à 60\,\%.
		
		\item La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,75$; or $0<0,75 < 1$ donc la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite 0.
		
		Pour tout $n$, $a_n=u_n+0,56$ donc la suite $(a_n)$ est convergente et a pour limite $0,56$.
		
À long terme, on peut  penser que la probabilité qu'un jeune abonné choisisse d'emprunter un livre sera de 56\,\%.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

%La directrice d'une association sportive décide de proposer à ses adhérents une randonnée pédestre, longue de 12~km, sur des sentiers de montagne.
%
%Afin que les membres de son association puissent décider de participer ou non à cette randonnée en fonction de leur niveau et de leur condition physique, elle leur envoie le graphique ci-dessous avant de procéder aux inscriptions.\\
%
%Dans un repère orthogonal, cette courbe représente la fonction $f$ définie sur [0~;~12] donnant l'altitude du parcours en fonction du nombre de kilomètres effectués depuis le départ.
%
%Ainsi $x$ est la distance parcourue, en kilomètres, depuis le point de départ de la randonnée :
%
%$x \in  [0~;~12]$ et $f(x)$ est l'altitude. en mètres, à laquelle se situe le chemin de randonnée au
%bout de $x$ km parcourus.

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(15,950)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,950)}
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(15,950)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{12}{150 x mul 2.71828 x dup mul 0.02 mul exp div 300 add}
\uput[u](14.7,0){$x$}\uput[r](0,935){$y$}
\psline[linecolor=blue](2,0)(2,577)(0,577) \uput[200](0,577){\blue 580}
\psplot[linecolor=red]{0}{12}{600} \uput[u](11,600){\red $y=600$}
\psline[linecolor=red](8.5,0)(8.5,600) \uput[d](8.5,0){\red $8,5$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection*{Partie A}

%\medskip
%
%\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes} :

\medskip

On répond aux questions suivantes en utilisant le graphique.

\begin{enumerate}
\item Après avoir parcouru 2 kilomètres, les randonneurs se trouvent à une altitude d'environ 580~mètres.

\item Dans la partie descendante de cette randonnée, l'organisatrice a prévu de faire
une pause avec les participants, dans un refuge situé à 600~mètres d'altitude.

%Quelle distance auront-ils alors parcourue depuis le départ ?

Les randonneurs auront alors parcouru environ $8,5$~kilomètres.

\item% À la fin du chemin de randonnée, les randonneurs seront-ils revenus à leur pointde départ ? Justifier la réponse.
À la fin du chemin de randonnée, les randonneurs seront à une altitude d'environ 400 mètres, alors qu'ils étaient partis d'une altitude de 300 mètres; ils ne reviennent donc pas à leur point de départ.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip
%
%\emph{Dans toute cette partie, les réponses devront être justifiées.}
%
%\emph{Aucune lecture graphique ne sera considérée comme une justification valable.}

\medskip

Une modélisation du parcours proposé permet d'affirmer que la fonction $f$ est définie sur $\cd 0~;~12\cg$ par : 

$f(x) = 150x\e^{-0,02x^2} + 300$.

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout $x$ de $\cd 0~;~12\cg$, $f'(x) = \left(150 - 6x^2\right)\e^{-0,02x^2}$.

%Déterminer le signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ sur [0~;~12].

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que, pour tout réel $x$, $\e^{-0,02x^2}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $150 -6x^2$.

\item $150 -6x^2 = 6\left (25-x^2\right ) = 6\left (5-x\right) \left (5+x\right )$; or $5+x>0$ sur $\cd 0~;~12\cg$ donc $f'(x)$ est du signe de $5-x$.

\item 
\begin{list}{$\circ$}{On en déduit que:}
\item $f'(x)>0$ sur $\cd 0~;~5\cd$;
\item $f'(5)=0$;
\item $f'(x)<0$ sur $\cg 5~;~12\cg$.
\end{list} 

\end{list}

\medskip

$f(0)=300$, $f(5)= 750\e^{-0,5}+300 \approx 755$ et $f(12)=\np{1800}\e^{-2,88}+ 300 \approx 401$

On construit le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 12 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{f(5)}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{300} &   &  &  &   \Rnode{min2}{f(12)} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item L'altitude maximale atteinte au bout de 5 kilomètres par les randonneurs est $f(5)$ soit environ 755 mètres,  

\item% L'un des participants de cette randonnée affirme: \og Dans ce parcours, nous n'atteindrons qu'une  seule fors une altitude de 350 m \fg. 

%Démontrer que cette affirmation est vraie, et donner une valeur approchée, arrondie au mètre près, de la distance qu'auront parcourue les randonneurs depuis le départ pour parvenir à cette altitude.

On cherche $x$ tel que $f(x)=350$.

On complète le tableau de variations de $f$ en arrondissant les valeurs au mètre:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 12 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{755}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{300} &   &  &  &   \Rnode{min2}{401} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-6.7,0.6){\Rnode{zero}{\blue 350}}
\rput(-6.7,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

D'après le tableau de variations, l'équation $f(x)=350$ admet une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle $\cd 0~;~12\cg$ donc les randonneurs n'atteindront l'altitude de 350 mètres qu'une seule fois.

$\left.
\begin{array}{l}
f(0,3) \approx 345 < 350\\
f(0,4) \approx 360 > 350
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cg 0,3~;~0,4\cd
$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(0,33) \approx 349 < 350\\
f(0,34) \approx 351 > 350
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cg 0,33~;~0,34\cd
$
\hfill
$\left.
\begin{array}{l}
f(0,334) \approx 349,99 < 350\\
f(0,335) \approx 350,14 > 350
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\alpha \in \cg 0,334~;~0,335\cd
$

L'altitude de 350 mètres est atteinte au bout d'environ $0,334$ kilomètre, soit 334 mètres.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\cd 0~;~12\cg$ par : $F(x) = 300x - \np{3750}\e^{-0,02x^2}$.

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$.

$F'(x)= 300 - \np{3750}\times (-0,02\times 2x) \e^{-0,02x^2}
= 300 + 150 x \e^{-0,02x^2} = f(x)$

donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 0~;~12\cg$.

\item L'ascension a lieu entre le kilomètre 0 et le kilomètre 5 donc la valeur de l'altitude moyenne de la phase d'ascension de cette randonnée est:

\smallskip

$\dfrac{1}{5-0} \ds\int_{0}^{5} f(x) \d x 
= \dfrac{1}{5} \left [ F(x) \rule{0pt}{10pt}  \right ]_{0}^{5}
= \dfrac{1}{5}  \left [ F(5) - F(0) \rule{0pt}{10pt}  \right ]
= \dfrac{1}{5}  \left [ \left ( \np{1500} - \np{3750} \e^{-0,5}\right ) - \left ( -\np{3750}\right ) \rule{0pt}{10pt}  \right ] $

$= \dfrac{1}{5} \left ( \np{5250} - \np{3750} \e^{-0,5}\right )
= \np{1050} - 750\e^{-0,5}
\approx 595$

L'altitude moyenne pendant l'ascension est donc de 595 mètres.

\end{enumerate}

\end{document}