\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks,pstricks-add,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage [alwaysadjust]{paralist} \setdefaultenum {\bf 1.}{\bf a)}{}{} \newcommand{\e}{\mathrm {e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane~\decofourright\\19 juin 2012}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip %On donne le prix moyen en euros d'un litre de gasoil en France, entre 1998 et 2007 : % %\medskip %{\small %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ \hline %Rang $x_i$ de l'année & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline %Prix moyen $y_i$ du litre de gasoil (en euros )& 0,77 & 0,81 & 0,73 & 0,79 & 0,8 & 0,85 & 0,99 & 1,06 & 1,1 & 1,11 \\ \hline %\multicolumn{11}{r}{\footnotesize{Source : \emph{Annuaire Statistique de la France}}} %\end{tabularx} %} %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1\,\% près, du prix moyen d'un litre de gasoil en euros entre 1998 et 2007. De 1998 à 2207, l'augmentation est de 0,34~\euro{} pour un prix initial de 0,77~\euro, soit une augmentation en pourcentage de $\dfrac{0,34}{0,77}\times 100 \approx 44,2\,\%$. \item \begin{enumerate} \item~ %Représenter le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $i$ compris entre 0 et 9, associé à cette série statistique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal. %On choisira les unités graphiques suivantes : % %1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses. % %1 cm pour 10 centimes d'euros sur l'axe des ordonnées. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture}(10,1.2) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.2)} \multido{\n=0.0+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.10](0,0)(10,1.201) \psdots(0,0.77)(1,0.81)(2,0.73)(3,0.79)(4,0.8)(5,0.85)(6,0.99)(7,1.06)(8,1.1)(9,1.11) \psdots[linecolor=red](4.5,0.901) \uput[ul](4.5,0.901){\textcolor{red}{$G$}} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{0.045 x mul 0.7 add} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \item %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série et le placer dans le repère précédent. Soit $G\left(\overline{x}~;~\overline{y} \right)$. $\overline{x} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 3 +4+ 5+6+7+8+9}{10} = 4,5$ et $\overline{y} = \dfrac{0,77+0,81+0,73+0,79+0,80+0,85+0,99+1,06+1,10+1,11}{10} = \dfrac{9,01}{10} = 0,901$ \end{enumerate} \item %On modélise l'évolution du prix moyen d'un litre de gasoil en euros à l'aide d'un ajustement affine, obtenu par la méthode des moindres carrés. %Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ ainsi obtenue, en arrondissant les coefficients au millième. La calculatrice donne $y = 0,045x + 0,7$ avec des coefficients arrondis au millième près. %Tracer cette droite dans le repère défini à la question 2. \item %Avec ce modèle, calculer l'estimation du prix moyen d'un litre de gasoil en euros en 2010. Arrondir le résultat au centime d'euros. 2010 correspond au rang 12. Donc une estimation prix est $0,045 \times 12 + 0,7 = 1,24$~\euro. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %En supposant que le modèle reste valable durablement, à partir de quelle année le prix moyen du litre de gasoil aura-t-il augmenté de 30\,\% par rapport au prix moyen de l'année 2007 ? Le prix de 2007 augmenté de 30\,\% est : $1,11 \times \left(1 + \dfrac{30}{100}\right) = 1,11 \times 1,3 = 1,443$. Il faut donc trouver le rang $x$ tel que : $0,045x + 0,7 \geqslant 1,443 \iff 0,045x \geqslant 0,743 \iff x \geqslant \dfrac{0,743}{0,045}$ soit environ $x \geqslant 16,5$. Il faut prendre $x = 17$ qui correspond à 2015. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip %Un restaurant propose une formule \og entrée + plat \fg{} pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2). % %Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat. % %\medskip % %On a constaté que : % %30\% des clients choisissent l'entrée \no 1, 24\,\% choisissent l'entrée \no 2 et les autres clients choisissent l'entrée \no 3. % %Par ailleurs, le plat \no 1 est choisi par : 72\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 1, 58\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 2 et 29\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 3. % %\medskip % %On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule \og entrée + plat \fg{}. % %On note $E_1$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 1 \fg{}, $E_2$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 2 \fg{} et $E_3$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 3 \fg{}. % %On note enfin $P_1$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 1 \fg{} et $P_2$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 2 \fg{}. \begin{enumerate} \item ~%Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé. \begin{center} \psset{unit=1cm} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$E_1$}\taput{0,30}} { \TR{$P_1$} \taput{0,72} \TR{$P_2$} \tbput{0,28} } \pstree{\TR{$E_2$}\taput{0,24}} { \TR{$P_1$} \taput{0,58} \TR{$P_2$} \tbput{0,42} } \pstree{\TR{$E_3$}\tbput{0,46}} { \TR{$P_1$} \taput{0,29} \TR{$P_2$} \tbput{0,71} } } \end{center} \bigskip \item %Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée \no 3 et le plat \no 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ? On calcule $p\left(E_3 \cap P_1 \right) = p\left(E_3 \right) \times p_{E_3}\left(P_1\right) = 0,46 \times 0,29 = \np{0,1334}$. \item %Montrer que la probabilité de l'évènement $P_1$ est égale à \np{0,4886}. On a de même : $p\left(E_2 \cap P_1 \right) = p\left(E_2 \right) \times p_{E_2}\left(P_1\right) = 0,24 \times 0,58 = \np{0,1392}$. $p\left(E_1 \cap P_1 \right) = p\left(E_1 \right) \times p_{E_1}\left(P_1\right) = 0,30 \times 0,72 = \np{0,216}$. D'après la loi des probabilités totales : $p\left(P_1\right) = p\left(E_1 \cap P_1 \right) + p\left(E_2 \cap P_1 \right) + p\left(E_3 \cap P_1 \right) = 0,216 + \np{0,1392} + \np{0,1334} = \np{0,4886}$. \item %Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée \no 1 sachant qu'il a pris le plat \no 1 (on arrondira le résultat à $10^{-4}$ près) ? Il faut trouver $p_{P_1}\left(E_1 \right) = \dfrac{p\left(P_1 \cap E_1 \right)}{p\left( P_1\right)} = \dfrac{0,216}{\np{0,4886}} \approx 0,442$. \item %On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisamment grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième. \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat \no 1. On na une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p\left(P_1 \right) = \np{0,4886}$. Les résultats favorables sont $P_1P_1\overline{P_1}, \: P_1\overline{P_1}P_1, \: \overline{P_1}P_1P_1$ La probabilité est donc égale à : \[3 \times \np{0,4486}^2 \times (1 - \np{0,4486}) \approx 0,366.\] \item %Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat \no 1. L'évènement contraire : aucun client n'a pris le plat \no 1 a une probabilité de $(1 - \np{0,4486})^3 = \np{0,133746}$ donc la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat \no 1 est égale à $1 - \np{0,133746} \approx 0,866$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip %Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans. % %\smallskip % %On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l’entreprise. % %\smallskip % %On a constaté que, chaque année : % %\begin{itemize} %\item 5\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B; %\item 15\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A; %\item les autres agents poursuivent l'année suivante avec un véhicule de même marque. %\end{itemize} %On appelle $a_n$ la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année $2010+n$, et $b_n$ la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année. % %\smallskip % %On note $P_n= %\begin{pmatrix} %a_n&b_n %\end{pmatrix} %$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010+n$. % %\smallskip % %En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A; ainsi: $P_0=\begin{pmatrix} %\np{0,5} & \np{0,5} %\end{pmatrix} %$. % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$, et donner la matrice de transition $M$ (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,2) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(-0.15,1){0,95} \rput(5.2,1){0,85} \rput(2.5,2){0,05} \rput(2.5,0){0,15} \end{pspicture} \end{center} La matrice de transition correspondante $M = \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,15&0,85\end{pmatrix}$. \item % On a $P_1 = P_0 \times M = \begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,15&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,55&0,45\end{pmatrix}$. Ceci signifie qu’en 2011, 55\,\% des agents commerciaux avaient un véhicule de marque A et 45\,\% un véhicule de la marque B. %Justifier que $P_1=\begin{pmatrix}\np{0,55}&\np{0,45}\end{pmatrix}$ et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice. \item %Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus. Les termes de $M$ étant non nuls on sait que l'état $P_n$ converge vers un état stable tel que $P = PM$, avec $P = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ et $x + y = 1$. D'où le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&0,95x + 0,15y\\ y &=&0,05x + 0,85y\\ x + y &=&1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 0,05x - 0,15y &=&0\\ -0,05x + 0,15y &=&0\\ x + y &=&1 \end{array}\right.\iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} 0,05x - 0,15y &=&0\\ x + y &=&1 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} 5x - 15y &=&0\\ x + y &=&1 \end{array}\right.\iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3y\\ x + y &=&1 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3y\\ 4y &=&1 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&0,75\\ y &=&0,25 \end{array}\right.$ L'état sable du système est $P = \begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}$. À terme 75\,\% des agents commerciaux auront un véhicule de type A et les autres un véhicule du type B. \item \begin{enumerate} \item %Que vaut, pour tout entier naturel $n$, la somme $a_n + b_n$~? Avec $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$, on a bien sûr $a_n + b_n = 1$. \item %On sait, pour tout entier naturel $n$, que $P_{n+1} = P_n\times M$; démontrer, pour tout entier naturel $n$, que $a_{n+1} = \np{0,8}a_n+\np{0,15}$. Comme $P_{n+1} = P_n \times M$ on en déduit : $\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,15&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,95a_n + 0,15b_n&0,05a_n+0,85b_n\end{pmatrix}$. Donc en particulier : $a_{n+1} = 0,95a_n + 0,15b_n$ et $a_n + b_n = 1$, donc : $a_{n+1} = 0,95a_n + 0,15\left(1 — a_n\right) = 0,8a_n + 0,15$. Pour tout naturel $n$ non nul, $a_{n+1} = 0,8a_n + 0,15$. \end{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$, on pose: $u_n= a_n - \np{0,75}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométriques de raison \np{0,8} dont on précisera le premier terme. Pour tout naturel $n, \: u_{n+1} = a_{n+1} - 0,75 = 0,8a_n + 0,15 - 0,75 = 0,8a_n - 0,6 = 0,8\left(a_n - \frac{0,6}{0,8} \right) = 0,8\left(a_n - 0,75 \right) = 0,8u_n$. Cette dernière égalité montre que la suite $\left(u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = - 0,25$. \item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, %\[ %a_n=-\np{0,25}\times\np{0,8}^n+\np{0,75}. %\] On sait que $u_n - 0,25 \times 0,8^n$ et comme $u_n= a_n - \np{0,75} \iff a_n = u_n + 0,75$, on a finalement : $a_n = 0,75 - 0,25 \times 0,8^n$. \item %Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Quel résultat retrouve-t-on ainsi~? Comme $0 < 0,8 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$, donc \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 0,75.\] On retrouve le résultat de la question 3. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip %On donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$, et sa tangente en son point $A$ d'abscisse 1 ; cette tangente passe par le point de coordonnées $(0~;~ -2)$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$. % % \begin{center} %\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} %\begin{pspicture*}(-2.5,-4)(2.5,4) %\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} %\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} %\def\pshlabel#1{\footnotesize #1} %\def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\def\f{x*(x^2-4)} %\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(3,4) %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt, labels =x]{-}(0,0)(-3,-4)(3,4) %\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}} %\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f} %\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-2.25,.25)(1.75,-3.75) %\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu](-2,0)(2,0) %\psdots[dotstyle=x, linecolor=bleu,linewidth=2pt](1,-3) %\uput[dl](1,-3){\footnotesize{\bleu{$A$}}} %\end{pspicture*} %\end{center} % %Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte ; préciser laquelle sur la copie. Aucune justification n'est demandée. % %Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Le nombre dérivé noté $f'(1)$ est égal à : On lit sur la figure : $f'(1) = \dfrac{-3}{3} = - 1$. Réponse \textbf{c.} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} %\textbf{a)}\quad 1 & \textbf{b)}\quad $- \dfrac{1}{3}$ & \textbf{c)}\quad $-1$ & \textbf{d)}\quad 3 \\ %\end{tabularx} \item %La fonction $u$ telle que $u(x) = \ln \left[ f(x) \right]$ est définie sur : $u$ est définie pour $f(x) > 0$, donc sur $]- 2~;~0[$. Réponse \textbf{b.} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} %\textbf{a)}\quad $[-2~;~0]$ & \textbf{b)}\quad $]-2~;~0[$ & \textbf{c)}\quad $]0~;~2[$ & \textbf{d)}\quad $[0~;~2]$ \\ %\end{tabularx} \item %On considère $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$. %La fonction $F$ est décroissante sur : On sait que $F'(x) = f(x)$, donc $F$ est décroissante quand sa dérivée $f(x)$ est négative soit sur [0~;~2]. Réponse \textbf{c.} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} %\textbf{a)}\quad $[-2~;~0]$ & \textbf{b)}\quad $[-2~;~2]$ & \textbf{c)}\quad $[0~;~2]$ & \textbf{d)}\quad $[-1~;~1]$ \\ %\end{tabularx} \item %Soit $I= \displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \; \mathrm {d} x}$. On a : %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} %\textbf{a)}\quad $I < 0 $ & \textbf{b)}\quad $0 \leqslant I \leqslant 1$ & \textbf{c)}\quad $1 < I < 3$ & \textbf{d)}\quad $I \geqslant 3$ \\ %\end{tabularx} Sur $[-1~;~0]$ la fonction $f$ est positive, donc l'intégrale est égale à l'aire, en unités d'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équation $x = - 1$ et $x = 0$. On voit que cette aire vaut à peu près la moitié d'un rectangle de côtés 1 et 3, donc de 3 unités d'aire. Donc $I \approx 1,5$. Réponse \textbf{c.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{\textsc{Partie a}} \medskip \begin{enumerate} \item %Préciser la valeur du réel $g(0)$. On lit $g(0) = 7$. \item %On admet que la tangente $T$ passe par le point de coordonnées $(4~;~- 2,8)$. Justifier que la valeur exacte de $g'(0)$ est $- 2,45$. On a donc $g'(0) = \dfrac{-2,8 - 7}{4 - 0} = \dfrac{- 9,8}{4} = - 2,45$. \item %Préciser la valeur de la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. On sait que la droite dont une équation est $y = 0$ est asymptote au voisinage de plus l'infini à $C$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item %On admet que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \frac{a}{\text{e}^{bx} + 1}\] % où $a$ et $b$ sont des nombres réels. \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $g'(x) =\dfrac{-ab\e^{bx}}{\left(\text{e}^{bx} + 1\right)^2}$. Posons $u(x) = \text{e}^{bx} + 1$ ; on a $u'(x) = b\text{e}^{bx}$. Or $g'(x) = - \dfrac{a u'(x)}{(u(x))^2} = - \dfrac{ab\text{e}^{bx}}{\left(\text{e}^{bx} + 1 \right)^2}$. \item %En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$. On a vu que $g(0) = 7$, soit $\dfrac{a}{\text{e}^{0} + 1} = 7 \iff \dfrac{a}{2} = 7 \iff a = 14$. On a vu que $g'(0) = - 2,45$, soit $- \dfrac{ab\text{e}^{0}}{\left(\text{e}^{0} + 1 \right)^2} = - 2,45$ ou en tenant compte de $a = 14$, $- \dfrac{14b}{4} = - 2,45 \iff 7b = 4,9 \iff b = \dfrac{4,9}{7} = 0,7$. Conclusion : sur $[0~;~+ \infty[$, \:\:$g(x) = \dfrac{14}{\text{e}^{0,7x} + 1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Partie b}} \medskip %On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est $x$, en centaines d'euros. % %D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout $x$ positif ou nul par : % %\[f(x) = \text{e}^{0,7x}-1\ \text{ et }\ g(x) =\frac{14}{\text{e}^{0,7x}+1}\] \begin{enumerate} \item %Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300\:\euro, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter. On a $g(3) \approx 1,527$ centaines d'objets soit environ 153 objets. \item %Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets. Il faut résoudre l'équation : $\dfrac{14}{\text{e}^{0,7x}+1} = 3,5 \iff \dfrac{2}{\text{e}^{0,7x}+1} = 0,5 \iff \dfrac{4}{\text{e}^{0,7x}+1} = 1 \iff 4 = \text{e}^{0,7x}+1 \iff 3 = \text{e}^{0,7x} \iff 0,7x = \ln 3 \iff x = \dfrac{\ln 3}{0,7} \approx 1,569$ soit environ 157~\euro. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'unique solution de l'équation $f(x) = g(x)$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution. $f(x) = g(x) \iff \text{e}^{0,7x}-1 = \frac{14}{\text{e}^{0,7x}+1} \iff \left(\text{e}^{0,7x}-1 \right)\left(\text{e}^{0,7x}+1 \right) = 14$ (on reconnaît l'identité $a - b)(a + b) = a^2 - b^2) \iff \left(\text{e}^{0,7x}\right)^2 - 1 = 14 \iff \left(\text{e}^{0,7x}\right)^2 - 15 = 0 \iff \left(\text{e}^{0,7x} + \sqrt{15} \right)\left(\text{e}^{0,7x} - \sqrt{15} \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l} \text{e}^{0,7x} + \sqrt{15} = 0\quad \text{ou}\\ \text{e}^{0,7x} - \sqrt{15} = 0 \end{array}\right.$ La première équation $\text{e}^{0,7x} = - \sqrt{15}$ n'a pas de solution car une exponentielle ne prend que des valeurs supérieures à zéro. La seconde donne $\text{e}^{0,7x} = \sqrt{15} \iff 0,7x = \ln \sqrt{15} \iff x = \dfrac{\ln \sqrt{15}}{0,7} \approx 1,93$. L'offre est égale à la demande pour environ 193 objets produits. % On appelle \og prix d'équilibre \fg{} le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près \item %Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ? %Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ? D'après la question précédente $f(1,93) \approx g(1,93)$. Or $f(1,93) \approx 2,861$ et $g(1,93) \approx 2,880$. En prenant une valeur plus précise de la solution de l'équation $f(x) = g(x)$ soit $x \approx \np{1,93432}$, on trouve : $f(\np{1,93432}) \approx \np{2,87298}$ et $g(\np{1,93432}) \approx \np{2,87299}$. Donc au prix d'équilibre 287 objets sont venus pour un chiffre d'affaires de $287 \times 193 = \np{55391}$~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}