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%Tapuscrit : Jacques Blanchardie et Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{16 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011~\decofourright\\[5pt] }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.
%
%Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie :
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $A_{0}$ est le point O ; 
%\item[$\bullet~~$] $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ; 
%\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~ %Placer sur un  dessin la droite  $\mathcal{D}$, les points $A_{0},\, A_{1},\, A_{2},\,A_{3},\, A_{4},\, A_{5}$ et $A_{6}$.
		
%On prendra 10~cm comme unité graphique.
\begin{center}
\psset{xunit=10cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.5)(1.05,0.5)
\psline{->}(-0.05,0)(1.05,0)
\uput[u](0,0){$A_{0}= $O}\uput[u](1,0){$A_{1}$}
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}
\uput[u](0.5,0){$A_{2}$}\uput[u](0.75,0){$A_{3}$}\uput[u](0.625,0){$A_{4}$}\uput[u](0.6875,0){$A_{5}$}\uput[u](0.65625,0){$A_{6}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.5,0)(0.75,0)(0.625,0)(0.6875,0)(0.65625,0)
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Pour tout entier naturel $n$,  on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$. 
		
%Calculer $a_{2},\, a_{3},\, a_{4}\,a_{5}$ et $a_{6}$.
On a $a_{2} = \dfrac{a_{0} + a_{1}}{2} = 0,5$, puis  $a_{3} = 0,75,\, a_{4} = 0,625\,a_{5} = \np{0,6875}$ et 
$a_{6} = \np{0.65625}$
		\item %Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$.
Puisque le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$ cela se traduit en abscisses par $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence,  que pour tout entier $n,\,a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$.
\emph{Initialisation } : $- \dfrac{1}{2}a_{0} + 1 = - 0 + 1 = 1 = a_{1}$. La formule est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : Supposons qu'il existe $p \in \N,\,p > 0$ tel que $a_{p+1} = - \dfrac{1}{2}a_{p} + 1$, qui équivaut à $a_{p} = 2 - 2a_{p+1}$.

Alors $a_{p+2} = \dfrac{a_{p} + a_{p+1}}{2} = \dfrac{2 - 2a_{p+1} + a_{p+1}}{2}  = \dfrac{2 - a_{p+1}}{2} = 1 - \dfrac{1}{2}a_{p+1}$, donc la relation est vraie au rang $p + 1$.

On a donc démontré que pour tout naturel $n \in \N, \, a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$.
\item %Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par 
 
%$v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. 

%Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$.
On a pour tout naturel $n\,, v_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{2}{3} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1 - \dfrac{2}{3} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + \dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{2}\left(a_{n} - \dfrac{2}{3} \right) = - \dfrac{1}{2}v_{n}$.

La relation  pour tout naturel $n \in \N,\,v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_{n}$ montre que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = a_{0} - \dfrac{2}{3} = - \dfrac{2}{3}$. 
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$.
On sait que  pour tout naturel $n \in \N,\,v_{n+1} = v_{0}\left( - \dfrac{1}{2}\right)^n = - \dfrac{2}{3}\left( - \dfrac{1}{2}\right)^n$.

Or $-1 < - \dfrac{1}{2} < 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left( - \dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$.

Comme $a_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{3}$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ 
%Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\ 
%Toute justification incomplète sera valorisée.}
%
%\medskip
 
\textbf{Question 1}
 
%On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, les points A, B et C d'affixes respectives : 
%
%\[a = 1 + \text{i},\quad  b = 3\text{i},\quad  c = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right).\]
 
\emph{Affirmation}
 
%Le triangle ABC est un triangle équilatéral.
\emph{Méthode $1$} : On a AB$^2  = |b - a|^2 = |2\text{i} - 1|^2 = 4 + 1 = 5$ ;

AC$^2 = |c - a|^2 = \left|\left(\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)\right|^2 = \left(\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)^2 = $

$3 + \dfrac{1}{4} - \sqrt{3} + \dfrac{3}{4} + 1 - \sqrt{3} = 5$ ;

BC$^2 = |c - b|^2 = \left|\left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)\right|^2 = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)^2 = $

$3 + \dfrac{1}{4} + \sqrt{3} + \dfrac{3}{4} + 1 - \sqrt{3} = 5$.

On a donc AB = AC = BC. L'affirmation est vraie.

\emph{Méthode $2$} On considère la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

L'image de $M$ d'affixe $z$ par cette rotation est le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

$z' - b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(z - b)$ ou $z' = 3\text{i} + \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(z - 3\text{i})$.

L'image de A d'affixe $1 + \text{i}$ dans cette rotation est donc le point d'affixe :

$3\text{i}  + \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i} - 3\text{i}) = 3\text{i}  + \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1  - 2\text{i}) = 3\text{i} + \dfrac{1}{2}- \text{i} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} =$

$ \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2  \right)$ soit l'affixe du point C. Ceci démontre que le triangle ABC est équilatéral.
\medskip
 
\textbf{Question 2}
 
%On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, la transformation $f$ dont une écriture complexe est : $z'  = \left(\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right)z$.
 
%\emph{Affirmation}
%
%La transformation $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
La transformation est une rotation ; or $\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}} = \dfrac{2\text{i}\left(\sqrt{3} - \text{i}\right)}{\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)\left(\sqrt{3} - \text{i}\right)} = \dfrac{2\text{i}\sqrt{3} +2}{3 + 1} =$

$ \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{3}+ \text{i}\sin\frac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

L'affirmation est vraie.
 
\medskip
 
\textbf{Question 3}

%On considère le nombre complexe $a = \left(-\sqrt{3}  + \text{i}\right)^{\np{2011}}$.
 
%\emph{Affirmation}
% 
%Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur. 
$\left|-\sqrt{3}  + \text{i}\right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|-\sqrt{3}  + \text{i}\right| = 2$ ; d'o\`u en factorisant ce module :

$-\sqrt{3}  + \text{i} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

Donc $a =  \left(-\sqrt{3}  + \text{i}\right)^{\np{2011}} = \left(2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} \right)^{\np{2011}} = 2^{\np{2011}}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi \times \np{2011}}{6}} = 2^{\np{2011}}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

Un argument de cette puissance est $- \dfrac{\pi}{6}$ : ce nombre n'est pas un imaginaire pur. L'affirmation est fausse.

\medskip
 
\textbf{Question 4}

%Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$ est un nombre strictement positif.
%
%On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ s'exprime par $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.
%
%\emph{Affirmation}
%
%Sachant que $X \geqslant 2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$.
On a $P(X \leqslant 2) = 1 - \text{e}^{- 2\lambda}$ et $P(X \leqslant 3) = 1 - \text{e}^{- 3\lambda}$.

Il faut calculer $P_{X \geqslant 2}\left(\leqslant X \leqslant 3  \right) = \dfrac{P\left(X \geqslant 2 \cap X \leqslant 3 \right)}{P(X \geqslant 2)} = \dfrac{1 - \text{e}^{- 3\lambda} - 1 + \text{e}^{- 2\lambda}}{\text{e}^{- 2\lambda}} = - \text{e}^{- \lambda} + 1 = 1 -  \text{e}^{- \lambda}$.
L'affirmation est vraie.
\medskip
 
\textbf{Question 5}

%Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires.
% 
%On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque  tirage.
% 
%\emph{Affirmation}
%
%La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à $\np{0,9999}$, est égale à 13.
On a une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{5}{n}$.

La probabilité d'obtenir $0$ noire en 10 tirages est égale à :

$\displaystyle\binom{10}{0}\times \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10} = \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10}\left( \dfrac{n - 5}{n} \right)^{10} =  \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10}$.

Donc la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est le complément à 1 soit :
$1 - \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10}$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10} \geqslant \np{0,9999} \iff \left( \dfrac{5}{n} \right)^{10} \leqslant \np{0,0001} \iff$\, (par croissance de la fonction logarithme népérien \,$ 10 \ln \left(  \dfrac{5}{n}\right) \leqslant \ln \np{0,0001} \iff  \ln \left( \dfrac{5}{n}\right) \leqslant\dfrac{ \ln \np{0,0001}}{10} \iff$

$  \ln 5 - \ln n \leqslant \dfrac{\ln 0,001}{10} \iff \ln n \geqslant \ln 5 - \dfrac{\ln 0,001}{10}$.

Or $\ln 5 - \dfrac{\ln 0,001}{10} \approx 2,530$. La calculatrice donne $n \geqslant \text{e}^{2,53} \approx 12,5$.

La plus petite valeur de l'entier $n$ est donc bien égale à 13. L'affirmation est vraie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
% 
%\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\
%Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\
%Toute justification complète sera valorisée.}
 
\medskip
% 
\textbf{Question 1}

\medskip

%On considère l'équation  (E) :\quad  $2x+ 11y = 7$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
% 
%\emph{Affirmation}
%
%Les seuls couples solutions de  (E) sont les  couples $(22k - 2~;~- 4k+ 1)$, avec $k$ appartenant à  l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs.
Une solution évidente de cette équation est $(- 2~;~1)$. On a :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2 \times (- 2) + 11 \times 1 &=& 7\\
2x + 11y&=&7
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence membre à membre) 

$2(x + 2) + 11(y - 1) = 0 \iff 2(x + 2) = 11(1 - y) \quad (3)$.

Ceci montre que $2(x + 2) $ divise 11 mais comme 2 est premier avec 11, $x + 2$ divise $11$. (Gauss).

Il existe donc $\alpha \in \Z$ tel que $x + 2 = 11\alpha$ soit en remplaçant dans l'équation (3), 

$2 \times 11\alpha =  11(1 - y) \iff 2\alpha = 1 - y \iff y = 1 - 2\alpha$.

Les solutions de (E) sont donc les couples $(- 2 + 11\alpha~;~1 - 2\alpha), \quad \alpha \in \Z$.

De plus le couple $(9~;~-1)$ est aussi une solution évidente de (E) et il n'existe pas d'entier $k$ tel que $9 = 22k - 2$, \ldots

L'affirmation est donc fausse.
\medskip
 
\textbf{Question 2}
 
%On considère l'entier $N = 11^{\np{2011}$. 
% 
%\emph{Affirmation}
%
%L'entier $N$ est congru à  4 modulo 7.
On a $11 \equiv 4\quad \mod 7$, donc $N \equiv 4^{\np{2011}} \quad \mod 7$.

Il reste à déterminer les restes des puissances de 4 dans la division euclidienne par 7.

On a $4 \equiv 4\quad \mod 7,\, 4^2 \equiv 2\quad \mod 7$ et $4^3 \equiv 1\quad \mod 7$.

Donc $N = \left(4^3 \right)^{670} \times 4 \equiv  4 \mod 7$.

L'affirmation est vraie.
\medskip
 
\textbf{Question 3}
% 
%On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives :
%
%\[ a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad 	c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right).\] 
% 
%\emph{Affirmation}
% 
%Le point C est l'image du point B par la  similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et  d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
 
Une figure rapide montre que le point C de coordonnées négatives n'est pas situé \og du bon côté de [AB] \fg. D'autre part l'image du point B par la similitude de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ a pour affixe 

$\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right) + z_{\text{A}} = - \text{i}\sqrt{2}(- 1 +2\text{i}) + 1 + \text{i} = 2\sqrt{2} + 1 + \text{i}\left(\sqrt{2} + 1 \right)$.

Le point C est l'image du point B par la similitude de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

L'affirmation est fausse.

\medskip
 
\textbf{Question 4}
%
%On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives :
%
%\[a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}.\]
%
%Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} +  \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$.
% 
%\emph{Affirmation}
%
%La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB).

L'image du point A par $f$ a pour affixe :
$\dfrac{1}{5}(-3 - 4\text{i})(1 - \text{i}) + \dfrac{1}{5}(12 + 6\text{i})  = 1  + \text{i} = a$.

L'image du point B par $f$ a pour affixe :
$\dfrac{1}{5}(-3 - 4\text{i})(2 + \text{i}) + \dfrac{1}{5}(12 + 6\text{i})  = 2 -  \text{i} = b$.

La similitude $f$ admet deux points fixes distincts A et B  : c'est donc l'identité ou la réflexion d'axe (AB). Mais l'image de O n'est pas O.

L'affirmation est vraie.
\medskip
 
\textbf{Question 5}
%
%L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 
%
%On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$. 
% 
%\emph{Affirmation}
%
%La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales. 

La surface S est un paraboloïde hyperbolique d'équation $z = 4xy$.

La section avec le plan d'équation $z = 0$ est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'un des deux systèmes $\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&0\\
x &=& 0
\end{array}\right.$ ou 
$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&0\\
y &=& 0
\end{array}\right.$

C'est donc la réunion des axes (O$x$) et (O$y$) qui sont deux droites orthogonales de l'espace.

L'affirmation est vraie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d'arête 1.
%
%On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD].
% 
%Soit $M$ un point quelconque du segment [CE].
% 
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(0.2,0.2)(2.6,2.6)%BCGF
\psline(2.6,0.2)(3.3,1.2)(3.3,3.6)(2.6,2.6)%CDHG
\psline(3.3,3.6)(0.9,3.6)(0.2,2.6)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0.9,3.6)(2.6,0.2)%EC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.9,1.2)(0.9,3.6)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.2)(3.3,1.2)%AD
\pspolygon[linestyle=dashed](1.4,0.2)(1.8,1.8)(2.95,0.7)%IMJ
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.8)(2.175,0.45)
\uput[l](0.9,1.2){A}  \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](2.6,0.2){$C$} \uput[r](3.3,1.2){D} 
\uput[ul](0.9,3.6){E} \uput[l](0.2,2.6){F} \uput[r](2.6,2.6){G} \uput[dr](3.3,3.6){H}
\uput[l](1.8,1.8){$M$} \uput[d](1.4,0.2){I} \uput[r](2.95,0.7){J} 
\uput[ul](2.175,0.45){K}
\psarc(1.8,1.8){5mm}{-100}{-75}
\rput(1.8,1.3){\small$\frac{\theta}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E,  I et  J.
C(1~;~1~;~0) ; E(0~;~0~;~1)  ;  I$\left(1~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ ; J$\left(\frac{1}{2}~;~1~;~0\right)$. 
		\item %Justifier l'existence d'un réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], tel que les coordonnées du point $M$ soient  $(1 - t~;~1 - t~;~t)$.
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{CE}) \iff $ il existe $\alpha \in \R : \vect{\text{C}M} = \alpha \vect{\text{CE)}} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&-\alpha\\
y - 1&=&- \alpha\\
z - 0&=&\alpha
\end{array} \right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 -\alpha\\
y &=&1 - \alpha\\
z &=&\alpha
\end{array} \right.$
Finalement : 

$M(x~;~y~;~z) \in [\text{CE}] \iff $ il existe $\alpha \in [0~;~1]$\, tel que\,$ :\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 -\alpha\\
y &=&1 - \alpha\\
z &=&\alpha
\end{array} \right.$

Pour $\alpha = 0$, le point est en C, pour $\alpha = 1$ le point est en E.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment  [IJ].
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient au plan médiateur de [IJ] s'il est équidistant de I et de J, c'est-à-dire si $M$I = $M$J ou $M\text{I}^2 = M\text{J}^2  \iff $

$(x - 1)^2  + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + z^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 \iff $

$x^2 + 1 - 2x + y^2 + \frac{1}{4} - y + z^2 = x^2 + \frac{1}{4} - x + y^2 + 1 - 2y + z^2 \iff 
- x + y = 0 \iff y = x$ équation du plan médiateur. 

Il est évident que C et E ont leurs coordonnées qui vérifient cette équation. 
		\item %En déduire que le triangle $M$IJ est un triangle isocèle en $M$.
Les coordonnées de $M$ vérifient pour tout $t \in [0~;~1]$ l'équation du plan médiateur donc $M\text{I} = M\text{J}$ et le triangle $M$IJ est isocèle en $M$. 
		\item %Exprimer I$M^2$ en fonction de $t$.
On a I$M^2 = (1 - t - 1)^2 + \left(1 - t - \frac{1}{2}\right)^2 + (t - 0)^2 = t^2 + \frac{1}{4} + t^2 - t + t^2 = 3t^2 - t + \frac{1}{4}$.
	\end{enumerate} 
		\item %Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ est maximale.
		 
%On désigne par $\theta$ la mesure en  radian de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %En admettant que la mesure $\theta$ appartient à l'intervalle $[0~ ;~\pi]$, démontrer que la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est maximal.
Sur l'intervalle  $[0~ ;~\pi]$ la fonction sinus est croissante sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ avec un maximum en $\frac{\pi}{2}$. Donc la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est maximal.
		\item %En déduire que la mesure est maximale  lorsque la longueur I$M$ est minimale. 
Dans le triangle IMJ, soit K le milieu de [IJ]. Le triangle étant isocèle en $M$ la droite ($M$K)est médiane et donc aussi hauteur. Le triangle I$M$K est donc rectangle en K et par définition $\sin \frac{\theta}{2} = \dfrac{\text{IK}}{M\text{I}}$.
Par définition de la fonction inverse le sinus est maximal quand le dénominateur I$M$ est minimal.
		\item %Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
		
%\[f(t) = 3t^2 - t + \dfrac{1}{4}.\]
On a $f(t) = 3\left(t^2 - \frac{t}{3}  + \frac{1}{12} \right) = 3\left[\left(t - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{36} + \frac{1}{12} \right]$

$ = 3\left[\left(t - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{18} \right]$.

La forme canonique du trinôme montre que le minimum de la fonction est obtenu pour $x = \dfrac{1}{6}$ et que ce minimum est égal à $f\left(\frac{1}{6}\right) = 3\times \frac{1}{18} = \dfrac{1}{6}$.
		\item %En déduire qu'il existe une unique position $M_{0}$ du  point $M$  sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle  $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ soit maximale.
		On a vu (question 2. c.) que I$M^2 = f(t)$ et que le minimum de I$M^2$, donc de I$M$ correspond au maximum de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$.  Donc le point $M_0$ de [EC] correspondant à la valeur du paramètre $t_0 = \dfrac{1}{6}$ est le point unique correspondant à la valeur maximale de l'angle $\widehat{\text{I}M_0\text{J}}$.
		\item %Démontrer que  le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point  I sur le segment [EC].
		Géométriquement, on sait que la distance d'un point $M$ à une droite (EC) est obtenue avec le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite (EC).
		
Donc le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point  I sur le segment [EC].
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

%\[f(x) = x\text{e}^{1 - x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{1 - x}.\]
%
%Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. leur tracé est donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des fonctions \boldmath $f$ \unboldmath et} \boldmath $g$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$.
$f(x) = \text{e}x\text{e}^{-x}$ et $g(x) = \text{e}x^2\text{e}^{-x}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^{-x} = + \infty$, d'où par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty,\, \displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)  = + \infty$.
		\item %Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x\text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = 0$.

De même comme pour tout naturel $n,\, \displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x^n\text{e}^{-x} = 0$, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  g(x) = 0$.
		\item %Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs.
$f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle $f'(x) = \text{e}\left(\text{e}^{-x} - x \text{e}^{-x} \right) = \text{e}\text{e}^{-x}(1  -x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$ qui est positif sur $]- \infty~;~1[$ et négatif sur $]1~;~+ \infty[$.

D'où le tableau de variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
 \uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$} 
 \rput(1,1){$f(x)$}
 \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
 \uput[u](2.5,0){$-\infty$} \uput[d](5,2){1} \uput[u](7.5,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

$g$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle 

$g'(x) = \text{e}\left(2x\text{e}^{-x} - x^2 \text{e}^{-x} \right) = \text{e}\text{e}^{-x}x(2  -x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme $x(1 - x)$ qui est négatif  sauf entre les racines $0$ et $2$.

D'où le tableau de variations de $g$ :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(11,2.5)
\psframe(11,2.5)
\psline(0,2)(11,2) \psline(2,0)(2,2.5)
 \uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](8,2){$2$}  \uput[u](10.5,2){$+ \infty$} 
 \rput(1,1){$g(x)$}
 \psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5) \psline{->}(8.5,1.5)(10.5,0.5)
 \uput[d](2.5,2){$+\infty$}\uput[u](5,0){$0$} \uput[u](5,2){0} \uput[d](8,2){$\frac{4}{\text{e}}$}\uput[u](10.8,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'intégrales}

%Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_{n}$ par :

%\[I_{0} = \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x \quad \text{et , si }\, n \geqslant 1,\, I_{n} = \int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur exacte de $I_{0}$.
$I_{0} = \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x = \text{e} \int_{0}^1 \text{e}^{- x}\:\text{d}x = \text{e} \left[-  \text{e}^{- x} \right]_0^1 = \text{e}\left[- \text{e}^{-1} + 1\right] = \text{e} - 1$.
		\item %À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
		
%		\[I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}.\]
On a $I_{n+1} = \int_{0}^1 x^{n+1}\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x = \text{e}\int_{0}^1 x^{n+1}\text{e}^{- x}\:\text{d}x$.

On pose :

$\left\{\begin{array}{l c l}
u(x)&=&x^{n+1}\\
v'(x)&=& \text{e}^{- x}
\end{array}\right. \qquad
\left\{\begin{array}{l c l}
u'(x)&=&n+1x^{n}\\
v(x)&=&- \text{e}^{- x}
\end{array}\right. $

Toutes les fonctions sont continues car dérivables sur $\R$, on peut donc faire une intégration par parties :

$I_{n+1} = \text{e}\left[- x^{n+1}\text{e}^{-x}  \right]_0^1 -  \text{e}\displaystyle\int_0^1 (n + 1)x^n\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \text{e}\left[- \text{e} + 0  \right] - \text{e}\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}^{- x}\:\text{d}x =  - \text{e} \text{e}^{-1} - \text{e}(n  + 1)I_n = - 1 + (n + 1)I_n = I_{n+1}$.
		
		\item %En déduire la valeur exacte de $I_{1}$, puis celle de $I_{2}$.
La formule précédente donne pour $n = 0$,\, $I_1 = - 1 + I_0 = - 1 + \text{e} -1 = \text{e} - 2$.

Pour $n = 1$, \,$I_2 = 	- 1 + 2I_1 = - 1 + 2(\text{e} - 2) = 2\text{e} - 5$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'une aire plane}

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - g(x) = x\text{e}^{1 - x} - x^2\text{e}^{1 - x} = x\text{e}^{1 - x}(1 - x)$.
		
Comme $\text{e}^{1 - x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f(x)$ est celui du trinôme $x(1 - x)$, soit négatif sauf entre les racines du trinôme $0$ et $1$.

Ceci montre que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}'$ sur $]0~;~1[$ et au dessous sur $]- \infty~;~0[$ et sur $]1~;~+ \infty[$.
		\item %On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
		
%En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité :
On vient de voir que sur l'intervalle $[0~;~1]$ \, $f(x) \geqslant g(x)$, donc l'aire 
de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$ est égale à la différence des intégrales :

\[\mathcal{A}  = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x - \int_0^1 g(x)\:\text{d}x = \int_0^1 [f(x) - g(x)]\:\text{d}x = I_1 - I_2 = \text{e} - 2 - (2\text{e} - 5) = 3 - \text{e}.\]

par linéarité de l'intégrale.

%\[\mathcal{A} = 3 - \text{e}.\]

	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de l'égalité de deux aires}

%Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1.
%
%On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = a$.
%
%On admet que $S(a)$ s'exprime par :
%
%\[S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right).\]
%
%L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales.

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente à l'équation : 
On a $S_a = \mathcal{A} \iff 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right) = 3 - 	\text{e} \iff  - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right) = -  \text{e}\iff  \text{e}\times  \text{e}^{-a}\left(a^2 + a + 1\right)  = 	\text{e} \iff
\text{e}^{- a}\left(a^2 + a + 1\right)  = 1 \iff$

$a^2 + a + 1 = \text{e}^{a}$.
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
%Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé.
Il reste à résoudre l'équation $\text{e}^{x} =  x^2 + x + 1 $  équivalente à  $\text{e}^{x} -  x^2 - x - 1  = 0$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.

 Si on pose, pour tout $x$ réel : $h(x) =  \text{e}^{x} -  x^2 - x - 1$
 , cela revient à chercher un zéro de la  fonction $h$ sur $\R$. 

 Cette fonction est deux fois dérivable sur $\R$  et sur cet intervalle 
 
 $h'(x) =   \text{e}^{x} - 2x - 1$ qui elle-même est dérivable sur $\R$ et :
 
 $h''(x) = \text{e}^{x} - 2$
 
 On a $h''(x) = 0 \iff \text{e}^{x} - 2 = 0 \iff \text{e}^{x}   = 2 \iff x = \ln 2$

Donc   $h''(x) >0 \iff \text{e}^{x} - 2 > 0 \iff \text{e}^{x}   > 2 \iff x > \ln 2$. 

 $h'$  est continue et strictement croissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$ et à fortiori sur $[1~;~+ \infty[$ puisque $\ln 2 \approx 0,69 < 1$.
 
On a $h'(1) = \text{e}^{1} - 2 - 1 =  \text{e} - 3 < 0$.

De plus $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h'(x) = + \infty$ (limite obtenue en factorisant $\text{e}^{x}$.)

Donc, d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 
 il existe un réel unique $\alpha,\, 1 < \alpha$ tel que $h'(\alpha) = 0$.
 
On en déduit que $h$ est strictement négative sur $]1~;~\alpha[$  et strictement positive sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

$h$ est donc strictement décroissante sur $]1~;~\alpha[$ 
 et strictement croissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$. 

D'autre part, $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x > 1}} h(x) = \text{e} - 3  \approx -0,28$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = + \infty$. Ainsi $h$ est strictement négative sur $]1~;~\alpha[$ . 

Enfin, $h$ étant continue est strictement croissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$, il existe $\beta \in ]\alpha~;~+ \infty[$ , unique, tel que $h(\beta) = 0$.

Avec une table de valeurs ou le solveur de la calculatrice on trouve aisément : $\alpha \approx 1,26 $ et $\beta \approx 1,79$. (Voir la figure ci-dessous)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{1cm}

(Courbes de l'exercice 4)

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,arrowsize=2pt 3](0,0)(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.606}{4}{x 2.71828 x 1  sub exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive]{-0.81}{4}{x dup mul  2.71828 x 1  sub exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x 1  sub exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive]{1}{0}{x dup mul  2.71828 x 1  sub exp div}
}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive]{1}{1.79}{x dup mul  2.71828 x 1  sub exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.79}{1}{x 2.71828 x 1  sub exp div}
}
\psline[linestyle=dashed](1.79,0)(1.79,1)\uput[d](1.79,0){$\beta$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](-0.5,-2.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[l](-0.53,2){$\mathcal{C}'$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}