\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Centres étrangers Sujet 1 11 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.3} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{11 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 11 mai 2022~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \vspace{0,25cm} Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill Thème: Fonction logarithme } \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.} \smallskip \emph{Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \ln \left(1 + x^2\right)$. Sur $\R$, l'équation $f(x) = \np{2022}$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}n'admet aucune solution. &\textbf{b.~~}admet exactement une solution.\\ \textbf{c.~~}admet exactement deux solutions.&\textbf{d.~~}admet une infinité de solutions. \end{tabularx} \end{center} On a : $f(x) = \np{2022} \iff \ln \left(1 + x^2\right) = \np{2022} \iff \text{e}^{\ln \left(1 + x^2\right)} = \text{e}^{\np{2022}} \iff 1 + x^2 = \text{e}^{\np{2022}} \iff$ $ x^2 = \text{e}^{\np{2022}} - 1$ : ce nombre étant positif, l'équation a deux solutions : $\sqrt{\text{e}^{\np{2022}} - 1}$ et $- \sqrt{\text{e}^{\np{2022}} - 1}$ Réponse \textbf{c.} \item Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par: \[g(x) = x \ln (x) - x^2\] On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} La fonction $g$ est convexe sur $]0~;~+\infty[$.&\textbf{b.~~} La fonction $g$ est concave sur $]0~;~+\infty[$.\\ \textbf{c.~~}La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$.&\textbf{d.~~}La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement deux points d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$. \end{tabularx} \end{center} Sur $\R_{+}$, $g$ est dérivable et sur cet intervalle, $f'(x) = \ln (x) + x \times \dfrac{1}{x} - 2x = \ln (x) - 2x + 1$. Puis $f''(x) = \dfrac{1}{x} - 2$. On a donc $f''(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x} - 2 = 0 \iff \dfrac{1}{x} = 2 \iff x = \dfrac{1}{2}$. Sur $]0~;~+ \infty[$, \: $f$ a un seul point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{1}{2}$. Réponse \textbf{c.} \item On considère la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~1[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{1 - x^2}\] Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] - 1~;~1[$ par : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $g(x) = - \dfrac12 \ln \left(1 - x^2\right)$&\textbf{b.~~} $g(x) = \dfrac{1 + x^2}{ \left(1 - x^2\right)^2}$\\ \textbf{c.~~} $g(x)= \dfrac{x^2}{2\left(x - \dfrac{x^3}{3}\right)}$&\textbf{d.~~} $g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left(1 - x^2\right)$ \end{tabularx} \end{center} Soit la fonction $g$ définie sur $] - 1~;~1[$ par $g(x) = - \dfrac12 \ln \left(1 - x^2\right)$. En posant $u(x) = 1 - x^2$, dérivable et non nulle sur $] - 1~;~1[$, on a $g'(x) = - 2x$ et on sait que $g(x) = - \dfrac12\ln u(x)$ entraîne $g'(x) = - \dfrac12\dfrac{u'(x)}{u(x)} = - \dfrac12 \times \dfrac{- 2x}{1 - x^2} = \dfrac{x}{1 - x^2} = f(x)$. Réponse \textbf{a.} \item La fonction $x \longmapsto \ln \left(-x^2- x + 6\right)$ est définie sur \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $]- 3~;~2[$&\textbf{b.~~} $]- \infty~;~6]$\\ \textbf{c.~~} $]0~;~+\infty[$&\textbf{d.~~} $]2~;~+\infty[$ \end{tabularx} \end{center} La fonction est définie si $- x^2 - x + 6 > 0 \iff x^2 + x - 6 < 0$. Le trinôme $x^2 +x - 6$ a une racine évidente : 2. Le produit des racines étant égal à $- 6$, l'autre racine est donc $- 3$. Donc $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$. On sait que ce trinôme est positif sauf (ce que l'on cherche) entre les racines $- 3$ et 2. La fonction est donc définie sur l'intervalle $]-3~;~2[$. Réponse \textbf{a.} \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5~;~+ \infty [$ par \[f(x) =x^2- 4x+ 3 \ln (2x - 1)\] Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$y = 4x- 7$ &\textbf{b.~~} $y = 2x - 4$\\ \textbf{c.~~} $y = -3(x - 1) + 4$ &\textbf{d.~~} $y = 2x - 1$ \end{tabularx} \end{center} Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est : $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$. $\bullet~~$$f(1) = 1 - 4 + 3\ln (2 - 1) = - 3 + 3 \times 0 = - 3$ ; $\bullet~~$$f'(x) = 2x - 4 + 3 \times \dfrac{2}{2x - 1} = 2x - 4 + \dfrac{6}{2x - 1}$, d'où $f'(1) = 2 - 4 + \dfrac{6}{1} = - 2 + 6 = 4$. Une équation de la tangente est donc $y - (- 3) = 4(x - 1) \iff y = 4x - 4 - 3\iff y = 4x - 7$ . Réponse \textbf{a.} \item L'ensemble $S$ des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\ln (x + 3) < 2\ln (x + 1)$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$S = ]- \infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$&\textbf{b.~~}$S = ]1~;~+ \infty[$\\ \textbf{c.~~} $S = \emptyset$&\textbf{d.~~} $S = ]- 1~;~1[$ \end{tabularx} \end{center} D'après l'énoncé il faut que $x > -3$ et que $x > - 1$. Il faut donc résoudre l'inéquation dans l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. $\ln (x + 3) < 2\ln (x + 1) \iff \ln (x + 3) < \ln (x + 1)^2 \iff x + 3 < (x + 1)^2 \iff 0 < x^2 + 2x + 1 - x - 3 \iff 0< x^2 + x - 2$. Le trinôme $x^2 + x - 2$ a une racine évidente 1 ; comme le produit des racines est égal à $- 2$, l'autre racine est $- 2$. On a donc : $x^2 + x - 2 > 0 \iff (x - 1)(x + 2)> 0$ : le trinôme est positif (ce que l'on cherche) sauf entre les racines. D'après la remarque préliminaire $S = \left]1~;~+ \infty\right[$. Réponse \textbf{b.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill Thème: Géométrie dans l'espace} \medskip Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points : \[\text{A}(2~;~0~;~3),\: \text{B}(0~;~2~;~1), \text{C}(-1~;~-1~;~2)\:\: \text{et D}(3~;~-3~;~ -1).\] \smallskip \begin{enumerate} \item \textbf{Calcul d'un angle} \begin{enumerate} \item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}$ ; or ces coordonnées ne sont pas proportionnelles $\dfrac{-2}{-3} \ne \dfrac{2}{-1} \ne \dfrac{-2}{-1}$, donc il n'existe pas de réel $\alpha \in \R$ tel que $\vect{\text{AB}} = \alpha\vect{\text{AC}}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés. \item %Calculer les longueurs AB et AC. $\bullet~~$$\text{AB}^2 = 4 + 4 + 4 = 3 \times 4$, donc $\text{AB} = 2\sqrt{3}$ : $\bullet~~$$\text{AC}^2 = 9 + 1 + 1 = 11$, donc $\text{AC} = \sqrt{11}$. \item %À l'aide du produit scalaire $\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{AC}}$, déterminer la valeur du cosinus de l'angle %$\widehat{\text{BAC}}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ au dixième de degré. $\bullet~~$D'une part $\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{AC}} = 6 - 2 + 2 = 6$ ; $\bullet~~$D'autre part $\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$. On a donc $6 = 2\sqrt{3} \times \sqrt{11} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff \cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{6}{2\sqrt{3} \times \sqrt{11}} = \dfrac{3}{\sqrt{33}}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{BAC}} \approx 58,51$, soit $58,5\degres$ au dixième près. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB). Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de $\mathcal{P}$. On a $M(x~;~y~;~z) \in\mathcal{P} \iff \vect{\text{C}M} \cdot \vect{\text{AB}} = 0$. Avec $\vect{\text{C}M}\begin{pmatrix}x + 1\\y + 1\\z - 2\end{pmatrix}$, on obtient : $-2(x + 1) + 2(y + 1) -2(z - 2) = 0 \iff -(x + 1) + (y + 1) - (z - 2) = 0 \iff - x + y - z + 2 = 0$. \item %Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). En prenant le vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$ comme vecteur directeur de la droite (AB), soit $\dfrac12\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ on a : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \vect{\text{A}M} = t\times \dfrac12\vect{\text{AB}} \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 2&=&t \times (- 1)\\ y - 0 &=&t \times 1\\ z - 3&=&t \times (-1) \end{array}\right., t \in \R \iff$ $ \left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2 - t\\ y &=&t \\ z &=& 3 - t \end{array}\right., t \in \R$. \item %En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite %(AB), c'est-à-dire du point d'intersection de la droite (AB) et du plan $\mathcal{P}$. E projeté orthogonal de C sur (AB) appartient au plan $\mathcal{P}$ et à la droite (AB) ; ses coordonnées vérifient donc l'équation de $\mathcal{P}$ et les équations paramétriques de (AB), donc le système : $\left\{\begin{array}{l c l} - x + y - z + 2 &=& 0\\ x &=& 2 - t\\ y &=&t \\ z &=& 3 - t \end{array}\right., t \in \R$ ; en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ on obtient : $- 2 + t + t - 3 + t + 2 = 0\iff 3t - 3 = 0 \iff t = 1$. On a donc E(1~;~1~;~2). \item %Calculer l'aire du triangle ABC. On a $\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\end{pmatrix}$, d'où BC$^2 = 1 + 9 + 1 = 11$ et BC $ = \sqrt{11}$. Comme AC = $\text{BC} = \sqrt{11}$, le triangle ABC est isocèle en C ; or on a vu que E est le projeté de C sur la droite (AB), donc dans le triangle isocèle (ABC), [CE] est la hauteur relative à la base [AB]. On a $\vect{\text{CE}}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$, d'où CE$^2 = 1 + 4 = 8$ et CE $ = 2\sqrt{2}$. L'aire du triangle (ABC) est donc égale à : $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{CE}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{6}$. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'un volume} \begin{enumerate} \item %Soit le point F$(1~;~-1~;~3)$. Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires. F $\in (\text{ABC}) \iff $ il existe $\alpha \in \R, \: \beta \in \R$, tels que : $\vect{\text{AF}} = \alpha \vect{\text{AB}} + \beta\vect{\text{AC}} \iff$\\ $ \left\{\begin{array}{l c l} - 1 &=&- 2\alpha -3 \beta\\ - 1&=&\phantom{-}2\alpha - \beta\\ 0 &=&- 2\alpha - \beta \end{array}\right.$. En ajoutant membre à membre les deux dernières équations on obtient $- 1 = - 2\beta \iff \beta = \dfrac12$ et en remplaçant $\beta$ par $ \dfrac12$ dans la première équation $- 1 = - 2\alpha + \dfrac32 \iff 2\alpha = 1 - \dfrac32 = - \dfrac12 \iff \alpha = - \dfrac14$. Donc $\vect{\text{AF}} = - \dfrac14 \vect{\text{AB}} + \dfrac12\vect{\text{AC}}$ : les quatre points A, B, C et F sont coplanaires. \item %Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC). Avec $\vect{\text{FD}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$, on peut calculer : $\vect{\text{FD}}\cdot \vect{\text{AB}} = - 2 - 2 + 4 = 0$ et $\vect{\text{FD}}\cdot \vect{\text{AC}} = - 6 + 2 + 4 = 0$. Le vecteur $\vect{\text{FD}}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc orthogonal à ce plan, ou encore la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC). \item %Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base %multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD. Si l'on choisit comme base le triangle (ABC), la hauteur de ce tétraèdre est donc [FD] et la volume est égal à : $\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{ABC}) \times \text{FD}$ Avec FD$^2 = 4 + 4 + 16 = 24$, on trouve FD $ = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$, d'où : $\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac13 \times 2 \sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = \dfrac{4 \times 6}{3} = 8$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill Thèmes: Fonction exponentielle et suite} \bigskip \textbf{Partie A :} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[h(x) = \text{e}^x - x\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$. $\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x = + \infty$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} h(x) = + \infty$. $\bullet~~$Pour $x \ne 0$, \: $h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1\right)$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 = + \infty$ et par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = + \infty$ ; \item %Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation. Somme de fonctions dérivables sur $\R$, $h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $h'(x) = \text{e}^x - 1$. $\bullet~~$$h'(x) > 0 \iff \text{e}^x - 1 > 0 \iff \text{e}^x > 1 \iff \text{e}^x > \text{e}^0 \iff x > 0$ ; $\bullet~~$$h'(x) < 0 \iff \text{e}^x - 1 < 0 \iff \text{e}^x < 1 \iff \text{e}^x < \text{e}^0 \iff x < 0$. La fonction $h$ est donc décroissante sur $\R_{-}$ de plus l'infini à $h(0) = \text{e}^0 - 0 = 1$, puis croissante sur $\R_{+}$ de $h(0) = 1$ à plus l'infini. \item %En déduire que : %si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ alors $h(a) - h(b) < 0$. $h$ étant croissante sur $\R_{+}$, \: $0 < a < b \Rightarrow h(0) < h(a) < h(b)$. Comme $h(0) = 1$, on a donc $1 < h(a) < h(b) \Rightarrow h(a) - h(b) < 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x\] On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0. On a $M(x~;~y) \in T \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$. On a $f'(x) = f(x) = \text{e}^x$ d'où $f'(0) = \text{e}^0 = 1$ et $f(0) = \text{e}^0 = 1$. $M(x~;~y) \in T \iff y - 1 = 1 (x - 0) \iff y = x + 1$. \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $0$. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $\mathcal{C}_f$ de même abscisse. On s'intéresse aux points d'abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul. On considère alors la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : \[u_n = \text{exp} \left(\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{n} - 1\] \begin{enumerate}[resume] \item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{\frac1n} = \text{e}^0 = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1 - 0 - 1 = 0$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, %\[u_{n+1} - u_n = h\left(\dfrac{1}{n + 1}\right) - h\left(\dfrac{1}{n}\right) \] %où $h$ est la fonction définie à la partie A. On a pour tout $n \in \N$, \: $u_{n+1} - u_n = \text{exp} \left(\dfrac{1}{n+1}\right) - \dfrac{1}{n+1} - 1 - \left(\text{exp} \left(\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{n} - 1 \right) =$ $ \text{exp} \left(\dfrac{1}{n+1}\right) - \dfrac{1}{n+1} - 1 - \text{exp} \left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n} + 1 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{n+1}\right) - \dfrac{1}{n+1} - \text{exp} \left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n} =$ $\text{exp} \left(\dfrac{1}{n+1}\right) - \dfrac{1}{n+1} - \left[\text{exp} \left(\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{n}\right] = h\left(\dfrac{1}{n + 1}\right) - h\left(\dfrac{1}{n}\right)$. \item %En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. On a $n$ non nul, donc $0 < n < n + 1 \Rightarrow 0< \dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n} \Rightarrow h\left(\dfrac{1}{n+1}\right) < h\left(\dfrac{1}{n}\right) \Rightarrow$ $ h\left(\dfrac{1}{n + 1}\right) - h\left(\dfrac{1}{n}\right) < 0$. Finalement pour $n$ non nul, $u_{n+1} - u_n < 0$ ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \end{enumerate} \item %Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. %\begin{center} %$\begin{array}{|l|c|}\hline %n &u_n\\ \hline %1 &\np{0,718281828}\\ \hline %2 &\np{0,148721271}\\ \hline %3 &\np{0,062279092}\\ \hline %4 &\np{0,034025417}\\ \hline %5 &\np{0,021402758}\\ \hline %6 &\np{0,014693746}\\ \hline %7 &\np{0,010707852}\\ \hline %8 &\np{0,008148453}\\ \hline %9 &\np{0,006407958}\\ \hline %10 &\np{0,005170918}\\ \hline %\end{array}$ %\end{center} % %Donner la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle l'écart entre $T$ et $\mathcal{C}_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$. Le tableau montre que $u_8 \approx 0,008 < 10^{-2}$. Donc pour $x = \dfrac{1}{8}$, l'écart entre la courbe et la tangente est inférieur à un centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill Thème: Probabilités} \bigskip %Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. % %\medskip % %Au cours de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2. % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip %On prélève au hasard une paire de verres dans la production. % %On désigne par $A$ l'évènement : \og la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 \fg. % %On désigne par $B$ l'évènement : \og la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 \fg. % %On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$. % %Une étude a montré que : % %\begin{itemize} %\item la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à 0,1. %\item la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à 0,2. %\item la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75. %\end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes. \begin{center} \begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &$A$ &$\overline{A}$ &Total\\ \hline \black $B$ &\blue 0,05 &\blue 0,15 &\black 0,2\\ \hline \black $\overline{B}$ &\blue 0,05 &\black 0,75 &\blue 0,8\\ \hline \black Total &\black 0,1 &\blue 0,9 &\black 1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2. La probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2 est l'évènement contraire de l'évènement \og une paire de verres ne présente aucun des deux défauts \fg, donc sa probabilité est égale $1 - 0,75 = 0,25$. Ou encore $P(A \cup B) = 1 - \left(\overline{A} \cap \overline{B} \right)$. \item %Donner la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2. $\bullet~~$On a $P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A) = 1 - 0,1 = 0,9$ ; $\bullet~~$On a $P\left(\overline{B}\right) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$. Donc $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,8 - 0,75 = 0,05$ et $P\left(B \cap \overline{A}\right) = 0,9 - 0,75 = 0,15$. Donc la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts est égale à : $P(A \cap B) = 1 - P\left(A \cap \overline{B}\right) - P\left(B \cap \overline{A}\right) - P\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = 1 - 0,05 - 0,15 - 0,75 = 0,05$. \item %Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants? Justifier la réponse. $P(A) \times P(B) = 0,1 \times 0,2 = 0,02$ et $P(A \cap B) = 0,05$. On a donc $P(A \cap B) \ne P(A) \times P(B)$ : les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \item %Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements. On a $P\left(A \cap \overline{B}\right) + P\left(B \cap \overline{A}\right)= 0,05 + 0,15 = 0,2$ \item %Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1. On a $P_{A}\left(B \right) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0,05}{0,1} = \dfrac12$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %On prélève, au hasard, un échantillon de $50$ paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. % %On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. La production est suffisamment importante pour que la probabilité d'avoir le défaut T1 est égale à 0,1. Comme il y a 50 tirages indépendants, la variable aléatoire $X$ suit une moi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,1$. \item %Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut. On sait que $P(X = 10) = \binom{50}{10}\times 0,1^{10} \times (1 - 0,1)^{50 - 10}$. La calculatrice donne $P(X = 10) \approx 0,015$ au millième près. %Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $10^{-3}$. \item %En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ? La moyenne est l'espérance de la variable $X$ et on sait que $E(X) = n \times p = 50 \times 0,1 = 5$. \end{enumerate} \end{document}