\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers 15 juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréŽat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{15 juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{DurŽée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréŽat S Centres Žétrangers~\decofourright\\ 15 juin 2009}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. \item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Il faut calculer $p\left(\overline{R} \cap S\right)$. Les évènements $R$ et $S$ étant manifestement indépendants, $\overline{R}$ et $S$ le sont aussi. Donc $p\left(\overline{R} \cap S\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p(S) = (1 - 0,1) \times 0,05 = 0,9 \times 0,05 = 0,045.$ \item Il faut que Stéphane entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu'il soit à l'heure est donc égale à $p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right)$. D'après la propriété démontrée au-dessus $\overline{R}$ et $\overline{S}$ sont indépendants, donc \[p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right) = p\left(\overline{R}\right) \times p\left(\overline{S}\right) = (1 - 0,1) \times (1 - 0,05) = 0,9 \times 0,95 = 0,855.\] \item Si $X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Stéphane entend son réveil, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,9$. La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est : $p(X = 4) + p(X = 5) = \displaystyle\binom{5}{4}\times 0,9^4 \times 0,1 + \displaystyle\binom{5}{5}\times 0,9^5 \times 0,1^0 = 0,5 \times 0,9^4 + 0,9^5 = 0,9^4 \times 1,9 = \nombre{0,91854} \approx \nombre{0,9185}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Figure \item \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[] $\vect{\text{OA}}(3~;~4~;~0)$, d'où OA$^2 = 9 + 16 = 25$ ; \item[] $\vect{\text{OC}}(0~;~0~;~5)$, d'où OC$^2 = 25$ ; \item[] $\vect{\text{AC}}(-3~;~-4~;~5)$, d'où AC$^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ ; \item[] $\vect{\text{OB}}(0~;~5~;~0)$, d'où OB$^2 = 25$ ; \item[] $\vect{\text{BC}}(0~;~-5~;~5)$, d'où BC$^2 = 25 + 25 = 50$ ; \end{description} \setlength\parindent{0mm} On a donc $25 + 25 = 50 \iff \text{OA}^2 + \text{OC}^2 = \text{AC}^2 \iff $ (OAC est un triangle rectangle en O et isocèle car OA$^2$ = OC$^2$. De même $25 + 25 = 50 \iff \text{OB}^2 + \text{OC}^2 = \text{BC}^2 \iff $ (OBC est un triangle rectangle en O et isocèle car OB$^2$ = OC$^2$. $\vect{\text{AB}}(-3~;~1~;~0)$, d'où AB$^2 = 9 + 1 = 10$ ; on a vu que AC$^2 = 50$ et que BC$^2 = 50$ Donc le triangle ABC est isocèle en B, mais pas rectangle. \item Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. \begin{enumerate} \item I$\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{9}{2}~;~0\right)$. $\vect{\text{HC}}\left(-\dfrac{15}{19}~;~-\dfrac{45}{19}~;~5 - \dfrac{45}{19} \right)$ ou encore $\vect{\text{HC}}\left(-\dfrac{15}{19}~;~-\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{50}{19}\right)$ ; $\vect{\text{CI}}\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{9}{2}~;~-5\right)$. En comparant les dernières coordonnées de ces deux vecteurs, on constate que $\vect{\text{HC}} = - \dfrac{10}{19}\vect{\text{CI}}$, c'est-à-dire que ces vecteurs sont colinéaires, ou encore que les points H, C et I sont alignés. \item I milieu de [AB] appartient au plan (ABC), donc le point H aligné avec I et C aussi. D'autre part $\vect{\text{OH}}\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$ et $\vect{\text{BA}}(3~;~-1~;~0)$. Donc $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BA}} = \dfrac{45}{19} - \dfrac{45}{19} = 0$, donc ces vecteurs sont orthogonaux. $\vect{\text{BC}}(0~;~-5~;~5)$, donc $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BC}} = \dfrac{45}{19} - \dfrac{45}{19} = 0$ : ces vecteurs sont orthogonaux. Conclusion : $\vect{\text{OH}}$, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est orthogonal à ce plan et O a pour projeté orthogonal sur ce plan le point H. \item Il en résulte qu'une équation du plan (ABC) est $\dfrac{15}{19}x + \dfrac{45}{19}y + \dfrac{45}{19}z + d = 0 \iff x + 3y + 3z + d' = 0$. Or C(0~;~0~;~5) $\in (\text{ABC}) \iff 15 + d' = 0 \iff d' = - 15$. Une équation du plan (ABC) est donc : \[M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x + 3y + 3z -15 = 0 \] \end{enumerate} \item Calculs d'aire et de volume. \begin{enumerate} \item On a vu que OAC et OBC sont isocèles en O ; on a donc OA = OC = OB ; le triangle OAB est donc isocèle en O. I milieu de [AB] est donc le pied de la hauteur issue de O. L'aire du triangle OAB est donc : $\dfrac{\text{AB} \times \text{OI}}{2}$. On a AB$^2 = 10$, donc AB = $\sqrt{10}$ ; OI$^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{4} = \dfrac{90}{4}$, donc OI $ = \dfrac{3\sqrt{10}}{2}$. L'aire est donc égale à : $\dfrac{\sqrt{10}\times \frac{3\sqrt{10}}{2}} {2} = \dfrac{15}{2}$. On a démontré que (OC) est perpendiculaire à (OA) et à (OB), donc la droite (OC) est orthogonale au plan (OAB). [OC] est donc la hauteur relative à la base (OAB) et le volume du tetraèdre est donc : \[V = \dfrac{\mathcal{A}_{(\text{OAB})} \times \text{OC}}{3} = \dfrac{\frac{15}{2} \times 5}{3} = \dfrac{25}{2}.\] \item On a vu que cette distance est égale à OH. OH$^2 = \left(\dfrac{25}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 = \dfrac{225 + 2025 + 2025}{19^2}= \dfrac{4275}{19^2}$, d'où OH $ = \dfrac{15\sqrt{19}}{19}$. \textbf{Remarque}. On peut aussi utiliser l'équation du plan (ABC) : d$\left(\text{O;(ABC)}\right)$ = $\dfrac{|0 + 3 \times 0 + 3\times0 - 15|}{\sqrt{1^{2}+3^2+3^2}} = \dfrac{15}{\sqrt{19}}= \dfrac{15\sqrt{19}}{19}$. \item D'après ce qui a été démontré au dessus [OH] est la hauteur issue de O dans le tétraèdre OABC ; donc le volume du tétraèdre OABC peut également s'écrire $\dfrac{\mathcal{A}_{(\text{ABC})} \times \text{OH}}{3}$. Donc $\dfrac{25}{2} = \mathcal{A}_{(\text{ABC})} \times \dfrac{15\sqrt{19}}{19} \times \dfrac{1}{3}$, d'où $\mathcal{A}_{(\text{ABC})} = \dfrac{25}{2} \times \dfrac{19}{15\sqrt{19}} = \dfrac{5\sqrt{19}}{2}.$\\ \textbf{Remarque}. On peut aussi calculer directement $\mathcal{A}_{(\text{ABC})}$, même si ce n'est pas l'objectif des questions : Comme démontré précédemment, (ABC) est un triangle isocèle non rectangle en C. La hauteur issue de C est donc [IC]. $\mathcal{A}_{(\text{ABC})}$ = $\dfrac{\text{AB} \times \text{CI}}{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \times \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}+5^2}= \dfrac{5\sqrt{19}}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le couple (9~;~1) est une solution relativement évidente de l'équation car $3 \times 9 + 2 \times 1 = 29.$ \item $\left\{\begin{array}{l c l} 3x + 2y &= &29\\ 3 \times 9 + 2 \times 1 &=& 29 \end{array}\right. \Rightarrow~(\text{par différence}) 3(x - 9) = 2(y - 1) = 0 \iff 3(x - 9) = 2(1 - y) \quad (1)$. Comme 3 est premier avec 2, d'après le théorème de Gauss, 3 divise $1 - y$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $1 - y = 3k \iff y = 1 - 3k$. En reportant dans l'égalité (1), on obtient $3(x - 9) = 2 \times 3k \iff$ $ (x - 9) = 2k \iff x = 9 + 2k.$ Vérification : quel que soit l'entier $k,~3(9 + 2k) + 2(1 - 3k) = 27 + 2 = 29$. L'ensemble des couples est donc $\{(9 + 2k~;~1 - 3k),~k \in \Z\}$. \item On a $x \geqslant 0,~ y \geqslant 0 \iff 9 + 2k \geqslant 0,~ 1 - 3k \geqslant 0 \iff k \geqslant - \dfrac{9}{2}~\text{et}~x \leqslant \dfrac{1}{3}$. Les valeurs possibles pour $k$ sont donc : $-4~;~-3~ ;~- 2~ ;~-1~;~0$ ce qui correspond aux couples solutions : (1~;~13), (3~;~10), (5~;~7),~(7~ ;~4) et (9~;~1) déjà trouvé. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On sait qu'un vecteur $\vect{n}$ normal au plan $\mathcal{P}$ a pour coordonnées (3~;~2~;~0) et $\vect{k}(0~ ;~0~;~1)$. Donc $\vect{n} \cdot \vect{k} = 0$. $\vect{k}$ et $\vect{n}$ sont orthogonaux, ce qui montre que $\mathcal{P}$ est parallèle à l'axe (O$z$). \item \setlength\parindent{5mm} \begin{enumerate} \item[$\bullet~$] L'axe (O$x$) est défini par le système $y = 0$ et $z = 0$ ; les points communs à $\mathcal{P}$ et à (O$x$) vérifient donc : $\left\{\begin{array}{l c l} 3x + 2y &=& 29\\ y &=& 0\\ z &=& 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow x = \dfrac{29}{3}$. Le point commun a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{29}{3}~;~0~;~0\right)$. \item[$\bullet~$] L'axe (O$y$) est défini par le système $x = 0$ et $z = 0$ ; les points communs à $\mathcal{P}$ et à (O$y$) vérifient donc : $\left\{\begin{array}{l c l} 3x + 2y &=& 29\\ x &=& 0\\ z &=& 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow y = \dfrac{29}{2}$. Le point commun a donc pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{29}{2}~;~0\right)$. \end{enumerate} \setlength\parindent{0mm} \item L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan $x$O$y$ est la droite (AB). $\mathcal{P}$ étant parallèle à (O$z$) l'intersection de $\mathcal{P}$ et du plan $x$O$z$ est la droite contenant A et parallèle à (O$z$). $\mathcal{P}$ étant parallèle à (O$z$) l'intersection de $\mathcal{P}$ et du plan $y$O$z$ est la droite contenant B et parallèle à (O$z$). \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,4) %\psgrid \psline{->}(0,-3)(0,4)\psline{->}(-5,2)(5,-1) \psline{->}(2,4)(-2,-3) \psline[linecolor=blue](-5,-0.6)(5,-0.4) \psline[linecolor=blue](-0.6,-3)(-0.6,4) \psline[linecolor=blue](3.15,-3)(3.15,4) \uput[ur](0,0.5){O}\uput[ul](-0.6,-0.5){A}\uput[ur](3.15,-0.4){B} \uput[ul](-2,-3){$x$}\uput[ul](5,-1){$y$}\uput[r](0,3.9){$z$} \psdots(2.88,-0.42)(2.08,-0.44)(1.27,-0.46)(0.47,-0.48)(-0.13,-0.5) \end{pspicture} \item Ces points correspondent aux couples solutions de l'équation initiale avec des termes positifs, soit les points : (1~;~13~;~0), (3~;~10~;~0), (5~;~7~;~0),~(7~ ;~4~;~0) et (9~;~1~;~0) (voir la figure au dessus). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient $\left\{\begin{array}{l c l} 4z &=&xy\\ z &=& 0 \end{array}\right. \Rightarrow xy = 0 \Rightarrow x= 0~\text{ou}~y = 0$. La réponse est la figure \no 3. \item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient $\left\{\begin{array}{l c l} 4z &=&xy\\ z &=& 1 \end{array}\right. \Rightarrow xy = 4 \Rightarrow y = \dfrac{4}{x}$. On reconnait l'équation d'une hyperbole. La réponse est la figure \no 1. \item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient $\left\{\begin{array}{l c l} 4z &=&xy\\ y &=& 8\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 4z& =& 8x \\ y&=&8\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} z&=&2x\\ y &=& 8.\end{array}\right.$ On reconnait l'équation d'une droite de coefficient directeur 2. La réponse est la figure \no 4. \item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient $\left\{\begin{array}{l c l} 4z&=&xy\\ 3x + 2y &=& 29 \end{array}\right.$ On a trouvé à la question précédente les points dont les coordonnées vérifient la deuxième équation : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $x = 1,~ y = 13 \Rightarrow 4z = 13 \iff z = \dfrac{13}{4}$ ; \item[$\bullet~$] $x = 3,~y = 10 \Rightarrow 4z = 30 \iff z = \dfrac{15}{2}$ ; \item[$\bullet~$] $x = 5,~y = 7 \Rightarrow 4z = 35 \iff z = \dfrac{35}{4}$ ; \item[$\bullet~$] $x = 7,~y = 4 \Rightarrow 4z = 28 \iff z = 7$ ; \item[$\bullet~$] $x = 9,~y = 1 \Rightarrow 4z = 9 \iff z = \dfrac{9}{4}$. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Si $z = x + \text{i}y,~ \text{alors}~ z^2 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy$. Alors Re$\left({z^2}\right) = x^2 - y^2$ et $\left(\text{Re}(z)\right)^2 = x^2.$ La proposition est fausse. \item Les trois points appartiennent à un même cercle de centre si et seulement si leur modules sont égaux. Or $\left|\overline{z}\right| = |z|$ et $\left|\dfrac{z^2}{\overline{z}} \right| = \dfrac{\left|z^2\right|}{\left|\overline{z} \right|} = \dfrac{|z|^2}{|z|} = |z|$. La proposition est vraie. \item On a $|1 + \text{i}z| = |1- \text{i}z| \iff |\text{i}z - (-1)| = |\text{i}z - 1|$ qui signifie que le point d'affixe $\text{i}z$ est équidistant des points d'affixe 1 et $-1$. Ces points étant sur l'axe des abscisses et symétriques autour de O, il en résulte que le point d'affixe $\text{i}z$ est sur l'axe des ordonnées, ou encore $\text{i}z = \text{i}\alpha (\alpha \in \R) \iff z = \alpha$. La proposition est vraie. \item Soit P le point tel que O$MPM'$ soit un parallélogramme. On a $z + z' = \vect{\text{O}M} + \vect{\text{O}M'} = \vect{\text{O}P}$ ; De même $z - z' = \vect{\text{O}M} - \vect{\text{O}M'} = \vect{\text{O}M} + \vect{M'\text{O}} = \vect{M'M}$. Donc $|z + z'| = |z - z'| \iff \text{O}P = M'M$. Donc le parallélogramme O$MPM'$ a ses diagonales de même longueur, autrement dit c'est un rectangle et donc les droites (O$M$) et (O$M'$) sont perpendiculaires. La proposition est vraie. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun àˆ tous les candidats} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A :} \end{center} \begin{enumerate} \item Soient $n$ et $p$ deux naturels distincts. $f_{n}(x) = f_{p}(x) \iff \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} = \dfrac{\text{e}^{-px}}{1 + \text{e}^{-x}} \iff \text{e}^{-nx} = \text{e}^{-px}~(\text{car}~ 1 + \text{e}^{-x} > 0) \iff -nx = - px~(\text{par croissance de la fonction ln}) \iff x = 0 \:(\text{car} n \neq p)$. Quel que soit $n \in \N,~f_{n}(0) = \dfrac{\text{e}^0}{1 + \text{e}^0} = \dfrac{1}{2}$. Toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ contiennent le point $\left(0~,~\dfrac{1}{2}\right)$. \emph{Remarque:} On peut également calculer directement $f_n(0) = \ldots = \dfrac{1}{2}$. \item Étude de la fonction $f_{0}$ \begin{enumerate} \item $f_{0}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ et $f'_{0}(x) = -\dfrac{- \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2} = \dfrac{ \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2}$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$ et $\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2 > $, on en déduit que $f'_{0}(x) > 0$. La fonction $f_{0}$ est donc croissante sur $\R$. \item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$. Donc $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{n}(x) = 0$. Ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $- \infty$. On sait que $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1$. Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $+ \infty$. \item Tableau très simple : sur $\R,~f_{0}$ croît de 0 à 1. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{1}$ \begin{enumerate} \item On a $f_{1}(-x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1}{\text{e}^{-x} + 1} = f_{0}(x)$ en multipliant chaque terme par le facteur non nul $\text{e}^{-x}.$ \item On a $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(-x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1$ De même $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(-x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{0}(x) = 0$. Comme $f_{0}(x) = f_{1}(-x), f_{0}$ fonction croissante est la composée de $f_{1}$ et de la fonction $x \longmapsto -x$ qui est décroissante. Il en résulte que $f_{1}$ est décroissante sur $\R$. \item $f_{0}(x) = f_{1}(-x)$ signifie que deux points d'abscisses de $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ ont la même ordonnée : ces points sont symétriques par rapport à l'axe (O$y$). $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant 2$ \begin{enumerate} \item $f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}$. En multipliant chaque terme par $\text{e}^{nx} > 0,$ $f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.$ \item Pour $p \geqslant 2, \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{px} = + \infty$, donc en utilisant l'écriture du \textbf{a.}, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0.$ Limite en $- \infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{nx} = 0_{+}$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{(n - 1)x} = 0_{+}$ donc par limite de l'inverse $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$ \item $f_{n}$ quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car $\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}> 0$. En utilisant l'écriture trouvée au début de la question : $f'_{n}(x) = - \dfrac{n\text{e}^{nx} + (n - 1)\text{e}^{(n - 1)x}}{\left(\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x} \right)^2}$. Comme $n \geqslant 2$, cette dérivée est négative quel que soit $x$ réel. Les fonctions ($f_{n},~n \geqslant 2$) sont donc décroissantes de $+ \infty$ à $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} \begin{enumerate} \item $\bullet~~$$u_{1}(x) = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$. En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{-x},~u'(x) = - \text{e}^{-x}$, on remarque que la fonction à intégrer est $-\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ dont une primitive est la fonction $- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)$. Donc $u_{1}(x) = \left[- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right) \right]_{0}^1 = - \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) + \ln 2$. $\bullet~~$$u_0 = \displaystyle\int_0^1 f_0\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\left(1+ \text{e}^{-x}\right) - \text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = $ $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1+ \text{e}^{-x} }{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x + \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ - \text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{d}x - u_1(x) = 1 - u_1(x)$. Or $u_0 = 1 - u_1(x) \iff u_{0} + u_{1} = 1$. $\bullet~~$Autre méthode (plus simple) : $u_{0} + u_{1} = \displaystyle\int_0^1 f_0\:\text{d}x + \displaystyle\int_0^1 f_1\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left(f_0 + f_1\right) \:\text{d}x$ (par linéarité de l'intégrale). $u_{0} + u_{1} = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-x}} + \dfrac{\text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{d}x = [x]_0^1 = 1$. Donc $u_0 = 1 - u_1(x) = 1 - \left(- \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) + \ln 2\right) = 1 + \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) - \ln 2$. \item On a la suite d'inéquations : $\text{e}^{-x} > 0 \iff 1 + \text{e}^{-x} > 1 \iff 0 < \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}} < 1 \iff 0 < \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} < \text{e}^{-nx}$. En intégrant ces trois fonctions sur [0~;~1] : $0 < \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x < \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x \iff 0 < u_{n}< \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. \item $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x = \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{-nx} \right]_{0}^1 = - \dfrac{1}{n}\left( \text{e}^{-n} - 1\right) = \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right).$ Par limite au voisinage de $+ \infty :$ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \text{e}^{-n} = 1,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, donc par produit : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) = 0$. En utilisant l'encadrement de la question \textbf{2.}, et d'après le théorème des \og gendarmes \fg, on obtient $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 0$. La suite est donc convergente. \end{enumerate} \end{document}