%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,tkz-tab} \usepackage[tikz]{bclogo} \usetikzlibrary{arrows,shadows,decorations.pathmorphing,patterns} \usepackage{xkeyval,ifthen,numprint,tkz-arith} \usepackage{multicol} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3.5cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %Corrigé et tapuscrit Michel Fréchet \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright\\[4pt]14 juin 2010}} \end{center} %\maketitle \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{14 juin 2010}} \section*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \subsection*{Question 1} Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{}, on considère les droites $(\mathcal{D}_{1)}$ et $(\mathcal{D}_{2})$ de représentations paramétriques : \[(\mathcal{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r} x&=& - 1 + 2t\\ y&=& - 3t\\ z&=&1 + t \end{array}\right. (t \in \mathbbm R) \quad \text{et} \quad (\mathcal{D}_{2}) \left\{\begin{array}{l c r} x&=& 1 - 2t\\ y&=& 5 - t\\ z&=&-2 + t \end{array}\right. (t \in \mathbbm R).\] \emph{Affirmation} : Les droites $(\mathcal{D}_{1})$ et $(\mathcal{D}_{2})$ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux: \[ \vec{u_1}\left|\begin{array}{l} 2\\ -3\\ 1 \end{array}\right.\cdot \vec{u_2}\left|\begin{array}{l} -2\\ -1\\ 1 \end{array}\right.=2\times -2+(-3)\times (-1) + 1\times 1 =0 \] \subsection*{Question 2} Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k})$, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique : \[(\mathcal{D})\left\{\begin{array}{l c r} x& =& 1 + 4t\\ y&=& - 2 + 2t\\ z&=&3 - 2t \end{array}\right. (t \in \mathbbm R).\] \emph{Affirmation} : Le plan $(\mathcal{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$, car un vecteur normal au plan est $\vec{u}\left|\begin{array}{l} 2\\ 1\\ -1 \end{array}\right.\parallelslant \vec{v}\left|\begin{array}{l} 4\\ 2\\ -2 \end{array}\right.$ qui est un vecteur directeur à la droite $(\mathcal{D})$. De plus, le point $A(2~;~-1~;~3)$ appartient au plan car ses coordonnées vérifient l'équation du plan $(\mathcal{P})$: $2\times 2+(-1)-3=0$. \subsection*{Question 3} La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0003$. On rappelle que, pour tout $t \geqslant 0,~ p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \emph{Affirmation} : La probabilité $p$ pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à \np{2000} heures est \textbf{supérieure} à $0,5$. \[ p=1-p(X\leqslant 2000)=1-\int_{0}^{2000} 0,0003 \text{e}^{- 0,0003 x}\:\text{d}x=1-\left\lbrack -\text{e}^{-0,0003x}\right\rbrack_0^{2000}=1+\text{e}^{-0,6}-1\simeq 0,549\geqslant 0,5 \] \subsection*{Question 4} $A$ et $B$ sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : \[p(A) = 0,4, p_{A}(B) = 0,7~ \text{et}~ p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\] \emph{Affirmation} : La probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$. En effet: \[ p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)=0,4\times 0,7=0,28\ \text{et}\ p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,6\times 0,1=0,06 \] De plus: \[ p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A\cup B)=1-p(A)-p(B)+p(A\cap B)\Longleftrightarrow p(B)=1-p(A)+p(A\cap B)-p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0,82 \] Ainsi: \[ p_B(A)=\frac{0,28}{0,82}=\frac{14}{41} \] \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui-même, qui au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' =\frac{\text{i}z}{z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Affixe des points $M$ tels que $M' = M$: \[ z'=z \Longleftrightarrow z=\frac{\text{i}z}{z + 1} \Longleftrightarrow z(z+1)=\text{i}z \Longleftrightarrow z^2+z(1-\text{i}) \Longleftrightarrow z\left(z-(-1+\text{i})\right) \Longleftrightarrow z=0\ \text{ou}\ z=-1+\text{i} \] Les points d'affixes $0$ et $-1+\text{i}$ vérifient $M'=M$? \item Pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a: \[OM'=\left|\frac{\text{i}z}{z + 1}\right|=\frac{\left|\text{i}z\right|}{\left|z+1\right|}=\frac{\left|\text{i}\right|.\left|z\right|}{\left|z+1\right|}=\frac{OM}{AM} \] \begin{align*} \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM'}\right) &= \text{Arg}\left(\frac{\text{i}z}{z + 1}\right)=\text{Arg}(\text{i}z)-\text{Arg}(z+1)\qquad \left[2\pi\right]\\ &= \text{Arg}(\text{i})+\text{Arg}(z)-\text{Arg}(z+1)\qquad \left[2\pi\right]\\ &= \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM}\right)-\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{AM}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{u}\right)\qquad \left[2\pi\right]\\ &= \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{OM}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)\qquad \left[2\pi\right] \end{align*} \item \begin{enumerate} \item Soit $B$ le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$. (Voir figure en fin d'exercice) \item Calcul de l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point $B$ par $f$: \[ b'=\cfrac{\text{i}\left(-\cfrac{1}{2}+\text{i}\right)}{-\cfrac{1}{2}+\text{i}+1}= \cfrac{-1-\cfrac{1}{2}\text{i}}{\cfrac{1}{2}+\text{i}}=\frac{-2-\text{i}}{1+2\text{i}}=\frac{(-2-\text{i})(1-2\text{i})}{1^2+2^2}=\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}\text{i} \] $B'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1, car: \[ \left|\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}\text{i}\right|=\sqrt{\left(\frac{-4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+9}{25}}=1 \Longleftrightarrow OM=1 \Longleftrightarrow M\in\mathcal{C} \] \item Si $M$ est sur la médiatrice $(\Delta)$, on a $OM=AM \Longleftrightarrow 1=\dfrac{OM}{AM}=OM'$. Ainsi $M'$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1. \item Soit $C$ le point tel que le triangle $AOC$ soit équilatéral direct. Le point $C'$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$. On a $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OC'}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CO}\right)\qquad \left[2\pi\right]$. On trace le point $C_1$ vérifiant $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OC_1}\right)=\left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CO}\right)=\dfrac{\pi}{3}\quad \left[2\pi\right]$, à l'intersection du cercle $(\mathcal{C})$ et du cercle de centre $I$ et de rayon 1. On trace la perpendiculaire à $(OC_1)$ en $O$. Elle coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en $C'$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de $A$ et de $O$ dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$. \[ z'=\frac{\text{i}(x+\text{i}y)}{x+\text{i}y+1}=\frac{-y+\text{i}x}{(x+1)+\text{i}y}=\frac{(-y+\text{i}x)(x+1-\text{i}y)}{(x+1)^2+y^2}=\frac{-y+\text{i}(x^2+y^2+x)}{(x+1)^2+y^2}; \ \text{d'où}\ \text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\] $M'$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc si et seulement si \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x^2+y^2+x=0\\ (x;y)\not=(-1;0) \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\ (x~;~y)\not=(-1~;~0) \end{array}\right. \] Ainsi $(\Gamma)$ est le cercle de centre $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$, privé du point $A(-1~;~0)$. \item Géométriquement (k $\in\mathbbm Z$): \end{enumerate} \end{enumerate} \[ M'\in(xx')\ \text{avec}\ M\not=A\ \text{et}\ M\not=O \Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM'}\right)= \text{k}\pi \] Ainsi: $\left\lbrace\begin{array}{c} \dfrac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=0+2\text{k}\pi\\ \text{ou}\\ \dfrac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\pi+2\text{k}\pi \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{c} \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=-\dfrac{\pi}{2} + 2\text{k}\pi\\ \text{ou}\\ \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\dfrac{\pi}{2} + 2\text{k}\pi \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\dfrac{\pi}{2} + \text{k}\pi\Longleftrightarrow$ $M\in\mathcal{C}_{\text{diamètre}\ [AO]}-\left\lbrace O;A\right\rbrace$ \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=4.0cm,y=4.0cm] \shorthandoff{:}; \draw[->,color=red] (-1.3,0) -- (2.3,0); \foreach \x in {-1,-0.5,0.5,1,1.5,2} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below right] {\footnotesize $\x$}; \draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3); \foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[above left] {\footnotesize $\y$}; \draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-1.3,-1.3) rectangle (2.3,1.3); \draw (0.05756,0.09969) -- (-0.04214,0.15725) -- (-0.09969,0.05756);% -- (0,0) -- cycle; \draw [shift={(0,0)}] (0,0) -- (0:0.1628) arc (0:60:0.1628) -- cycle; \draw [shift={(-0.5,0.86603)}] (0,0) -- (-120:0.1628) arc (-120:-60:0.1628) -- cycle; \draw (-0.5,-1.3) -- (-0.5,1.3); \draw (0,0) circle (4cm); \draw[color=blue] (-0.5,0) circle (2cm); \draw (-0.5,0.86603)-- (0,0); \draw (-0.5,0.86603)-- (-1,0); \draw [dashed,color=green] (1,0) circle (4cm); \draw[dashed,color=green] (0.5,0.86603)-- (0,0); \draw [dashed,color=green,domain=-1.3:2.3] plot(\x,{(-0-0.5*\x)/0.86603}); \draw (-1,0) circle (2pt);\fill[color=white] (-1,0) circle (1.5pt); \draw (-1.08086,-0.06646) node {$A$}; \fill (-0.5,1) circle (1.5pt); \draw (-0.46223,1.07312) node[color=blue] {$B$}; \draw (0,0) circle (2pt);\fill[color=white] (0,0) circle (1.5pt); \draw (-0.06608,-0.04476) node {$O$}; \draw (-0.34284,1.9468) node {$\Delta$}; \draw (-0.18547,1.08397) node {$(\mathcal{C})$}; \fill (-0.5,0.86603) circle (1.5pt); \draw (-0.54362,0.91575) node[color=blue] {$C$}; \fill (-0.8,0.6) circle (1.5pt); \draw (-0.86379,0.67698) node[color=red] {$B'$}; %\fill (-1,0) circle (1.5pt); \fill (1,0) circle (1.5pt); \draw (1.06265,0.07463) node {$I$}; \fill (0.5,0.86603) circle (1.5pt); \draw (0.54169,0.95373) node[color=green] {$C_1$}; \fill (-0.86603,0.5) circle (1.5pt); \draw (-0.97233,0.48705) node[color=red] {$C'$}; \draw (-0.04438,0.24285) node {$\frac{\pi}{2}$}; \draw (0.2161,0.11261) node {$\frac{\pi}{3}$}; \draw (-0.47,0.64) node {$\frac{\pi}{3}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$ d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,5.29) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1) \psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3) \psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2) \psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1) \psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1) \rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2) \rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3) \rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5) \rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1) \rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1) \rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \vskip 0.2 cm \item On calcule les longueurs des côtés : $AB=\mid b-a\mid =\mid 2+\text{i}\mid=\sqrt 5$; $AC= \mid 1+2\text{i}\mid=\sqrt 5$; $BC=\mid 3+\text{i}\mid=\sqrt{10}$ donc $AB=AC$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $BC^2 = 10$ ; $BA^2 + AC^2 = 5 + 5 = 10$, donc $BC^2=BA^2+AC^2$ le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $A$.\\ $NP=\mid p-n\mid =\mid 4+2\text{i}\mid=\sqrt{20}$; $NM = \mid 2-4\text{i}\mid=\sqrt{20}$; $MP=\mid 2+6\text{i}\mid=\sqrt{40}$ donc $NP = NM$, le triangle $NPM$ est isocèle en $N$ et $MP^2 = 40$ ; $MN^2 + NP^2 = 20 + 20 = 40$, donc $MP^2 = MN^2 + NP^2$ le triangle $MNP$ est isocèle rectangle en $N$. \item Deux triangles isocèles rectangles ont leur côtés proportionnels (ici il faut multiplier par $2$, pour passer des dimensions de $ABC$ aux dimensions de $MNP$), donc ces deux triangles sont semblables. \end{enumerate} \item Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. \begin{enumerate} \item On cherche $a$et $b$ complexes, tels que la forme complexe de $s$ soit $z' = az + b$ avec $a\neq 0$ et $s$ est telle que elle transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. Donc $S:\left\{\begin{array}{cccc} az_A & +&b &=z_N \\ az_B & +&b &=z_P \\\end{array}\right.$; donc ce système aux inconnues $a,b$ admet une unique \\ $S:\left\{\begin{array}{cccc} a(1+\text{i}) & +&b &=5-\text{i} \\ a(-1 + 2\text{i}) & +&b &=9 + \text{i} \\\end{array}\right.$\\ $S: \left\{\begin{array}{lc r l} & &b &=5-\text{i}-a(1+\text{i}) \\ a(-1 + 2\text{i}) & +&5-\text{i}-a(1+\text{i}) &=9 + \text{i} \\\end{array}\right.$\\ La dernière ligne ne comporte que l'inconnue $a$ , on la résout:\\$ a(-2 + \text{i})=4+2\text{i}$ donc $a=\dfrac{4+2\text{i}}{-2+\text{i}}$ donc $a=\dfrac{(4+2\text{i})(-2-\text{i})}{(-2+\text{i})(-2-\text{i})}$\\ $a = \dfrac{1}{5}((-8+2)+\text{i}(-4-4))$\\$a= \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)$ on trouve $b$\:;\:$b = 5 - \text{i}- a(1+\text{i}) = 5 - \text{i}+ \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)(1+\text{i})$; donc $b= \left(5+\dfrac{6}{5}-\dfrac{8}{5}\right)+\text{i}\left(-1+\dfrac{6}{5} +\dfrac{8}{5}\right)= \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}$. L'écriture complexe de la similitude $s$ est: \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\] \item Le rapport, c'est $\mid a\mid=\sqrt {\left(-\dfrac{6}{5}\right)^2+ \left(-\dfrac{6}{5}\right)^2}=2$. L'angle c'est $\theta=\arg(a)$ avec $\cos(\theta)=\dfrac{\dfrac{-6}{5}}{2}=\dfrac{-3}{5}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{\frac{-8}{5}}{2}=\dfrac{-4}{5}$ c'est un angle du 4\up{e} quadrant c'est $233$ au degrés environ.\\Le centre de la similitude $s$, c'est le point fixe $W$ de $s$ , on résout $z'=z$. \\$\begin{array}{cc} z'=z \iff &z= \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}\\ z'=z \iff &5z=( -6 - 8\text{i})z + 23 + 9\text{i}\\ z'=z \iff &(11+8\text{i})z= 23 + 9\text{i}\\ z'=z \iff &z= \dfrac{23 + 9\text{i}}{(11+8\text{i})}\\ z'=z \iff &z= \dfrac{(23 + 9\text{i})(11-8\text{i})}{(11+8\text{i})(11-8\text{i})}\\z'=z \iff &z= \dfrac{253+72 + (99-184)\text{i}}{185}\\z'=z \iff &z= \dfrac{325+ (-85)\text{i}}{185}\\ z'=z \iff &z= \dfrac{65+ (-17)\text{i}}{37}\\\end{array}$\vskip 0.2 cm \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,5.29) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1) \psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3) \psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2) \psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1) \psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1) \psline[linestyle=dashed,linecolor=zzttqq](5,-1)(1.7567,-0.4594) \psline[linestyle=dashed,linecolor=zzttqq](1,1)(1.7567,-0.4594) \psdots(1.7567,-0.4594)(3.37,-0.72) \rput(1.7567,-0.54594){{\small $W$}} \rput(1.6567,-0.74594){{\small $\simeq 233^0$}} \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1) \rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2) \rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3) \rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5) \rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1) \rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1) \rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}} \psarc(1.7567,-0.4594){0.5}{115}{348} \psarc[linestyle=dashed](1.7567,-0.4594){1.6}{115}{348} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \item Calculons l'affixe de $s(C)$ : c'est $z'= (- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i})(2+3\text{i}) + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}\\z'=\dfrac{1}{5}[(-12 + 24 + 23) + (-18 - 16 + 9)\text{i}]$ $z'=\dfrac{1}{5}[ (35)+(-25)\text{i}]\\z'=7 - 5\text{i}$ donc $s(C) = M$. \end{enumerate} \item % Une similitude indirecte Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est : \[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item On calcule $z'$ avec $z=(1+\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(1-\text{i} +3 - 3\text{i}=5-\text{i}=n$\\ On calcule $z'$ avec $z = (-1+2\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(-1-2\text{i} +3 - 3\text{i}=7- 5\text{i}=m$ \\On calcule $z'$ avec $z=(2+3\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(2-3\text{i}) + 3 - 3\text{i}=9+\text{i}=p$\\ \item On résout $z'=z$ avec $s'$.\\On a $z= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}$ donc en conjuguant:\\ $\overline{z}= -2\text{i}z +3 + 3\text{i}$\\ donc en revenant à la première équation \\$z= 2\text{i}\times( -2\text{i}z +3 + 3\text{i}) +3 - 3\text{i}$, \\ on a alors une équation du premier degré en $z$ donc \\$z=4z +6\text{i} -6 +3 - 3\text{i}$\\ $-3z=-3 + 3\text{i}$\\ donc $z=1-\text{i}$\\ Comme la méthode a été compliquée , on vérifie:\\ $2\text{i}(\overline{1-\text{i}}) +3 - 3\text{i}= 2\text{i}(1+\text{i}) +3 - 3\text{i}=\\ =2\text{i}-2+3 - 3\text{i}=1-\text{i}$\\ Le point fixe de $s'$ est le point $K$ d'affixe $1-\text{i}$ \item Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$. On pose : $f = s'\circ h$. Comme $h(K)=K$ et $s(K)=K$, alors $s'\circ h(K)=K$ . Pour $J$, par $h$ $J$ est transformé en $J'$ point d'affixe $z_{J'}$ et comme $\vec{KJ'}=\dfrac{1}{2}\vec{KJ}$ on peut dire que $J'$ est le milieu de $[KJ]$ donc $\dfrac{2+(1-\text{i})}{2}=z_{J'}$ donc $z_{J'}=\dfrac{1}{2}(3-\text{i})$.\\ Calculons ensuite l'affixe de $s'(J')$ c'est \vskip 0.2 cm$2\text{i}\overline{\dfrac{1}{2}(3-\text{i})} +3 - 3\text{i}=\text{i}(3+\text{i})++3 - 3\text{i}=2$ on trouve bien que $K$ et $J$ sont invariants par $f$.\\ $F$ est une composée de similitudes l'une directe, l'autre indirecte, donc $f$ est une similitude indirecte, qui conserve deux points ,donc c'est la symétrie axiale par rapport à la droite portant ces deux points donc par rapport à la droite $(KJ)$. \item On a établi que $ s'\circ h=s_{(KJ)}$ donc $s'\circ h\circ h^{-1}=s_{(KJ)}\circ h^{-1}$ donc $s'$ est la composée d'une homthétie et d'une symétrie axiale car $ h^{-1}$ est l'homothétie de centre $K$ et de rapport $2$.\\$s'=s_{(KJ)}\circ h_{K;2}$ \vskip 0.2 cm \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,8.29) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,8.29) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,8.29) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1) \psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3) \psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2) \psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1) \psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5) \psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1) \rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2) \rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3) \rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5) \rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1) \rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1) \rput[bl](1.8,0){\blue{$J$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,0) \rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}}\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-1) \rput[bl](0.8,-1){\blue{$K$}} \psline (-3,-5)(10,8) \psline (1,-1)(3,7) \psline (3,7)(9,1) \psdots (6,4) \rput (5.8,4){$I$} \rput (2.8,7){$C_1$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 3 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} On considère les deux courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ d'équations respectives $y = \text{e}^x$ et $y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal du plan. \begin{enumerate} \item Lecture graphique de l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$: $a\simeq 0,8$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$: $b\simeq -1,2$. \item On désigne par $a$ et $b$ deux réels quelconques, par $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et par $B$ le point d'abscisse $b$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$. On a alors: $A\left(a;\text{e}^a\right)$ et $B\left(b;-b^2-1\right)$. \begin{enumerate} \item \'Equation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ au point A: \[ y-\text{e}^a=\text{e}^a(x-a) \Longleftrightarrow y=\text{e}^ax+\text{e}^a(1-a) \] \item \'Equation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ au point B: \[ y-(-b^2-1)=-2b(x-b) \Longleftrightarrow y=(-2b)x+b^2-1 \] \item $\left(\mathcal{T}_A\right)=\left(\mathcal{T}_B\right)$. En identifiant terme à terme les deux équations, on obtient: \[ \left(\mathcal{T}_A\right)=\left(\mathcal{T}_B\right)\Longleftrightarrow (S): \left\{\begin{array}{l} \text{e}^a = - 2b \\ \text{e}^a(1 - a) = b^2 - 1 \end{array}\right.\] \item Montrer que le système $(S)$ est équivalent au système ($S'$) : \end{enumerate} \[ (S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=-\frac{\text{e}^a}{2}\\ \text{e}^a(1 - a) = \left(-\frac{\text{e}^a}{2}\right)^2 - 1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=-\frac{\text{e}^a}{2}\\ 4\text{e}^a(1 - a) = \left(\text{e}^a\right)^2 - 4 \end{array}\right. \Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l c l} \text{e}^a& =& - 2b \\ \text{e}^{2a} + 4a\text{e}^a - 4\text{e}^a - 4& =& 0 \end{array}\right.\] \item $(\text{E})~~:\quad \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 = 0.$ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbbm R$ par : $f(x) = \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4$. \begin{enumerate} \item Sur $]- \infty~;~0[$, la fonction $x\to\text{e}^{2x}$ est croissante et strictement positive, donc: \[ \left( \text{e}^{2x}\leqslant\text{e}^{2\times 0}=1<4\Longrightarrow \text{e}^{2x} - 4 < 0\right) \ \text{et}\ \left(x\in]- \infty~;~0[\Longleftrightarrow x<0\Longleftrightarrow x-1<-1<0\Longrightarrow 4\text{e}^{x}(x - 1) < 0\right) \] \item L'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle $]- \infty~;~0[$, car sur cet intervalle, $\text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 < 0$ . \item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, car sa dérivée est positive: \[ f'(x)=2\text{e}^{2x}+4\text{e}^x+ 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x}=2\text{e}^{2x}+ 4 x\text{e}^{x}>0\ \text{(somme de nombres strictement positifs)} \] \item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. En effet: $f(0) = - 7\ \text{et}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{2x}\left(1+4\frac{x}{\text{e}^x}-\frac{4}{\text{e}^x}-\frac{4}{\text{e}^{2x}}\right)= +\infty$ $\text{car} \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\text{e}^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\text{e}^{nx}}= 0$. $(n=1\ \text{ou}\ 2)$ La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$; elle réalise donc une bijection de $[0~;~+ \infty[$ sur $[-3~;~+\infty[$. Or $0\in[-3~;~+\infty[$, donc $0$ possède un unique antécédent, noté $a$ vérifiant $f(a)=0$. Encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $a$ (en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires): \[ f(0,84)\simeq -0,117\ \text{et}\ f(0,85)\simeq 0,07\Longrightarrow 0,84\leqslant a \leqslant 0,85 \] \end{enumerate} \item On prend pour A le point d'abscisse $a$. Encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$ pour lequel les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues: \[ 0,84\leqslant a \leqslant 0,85\Longleftrightarrow 2,31<\text{e}^{0,84}\leqslant \text{e}^a \leqslant \text{e}^{0,85}< 2,34\Longleftrightarrow 1,155\leqslant \frac{\text{e}^x}{2}\leqslant 1,17 \Longleftrightarrow -1,2\leqslant b=-\frac{\text{e}^x}{2}\leqslant -1,1 \] \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 (Exercice 3, question 1)} \vspace{0.5cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1.0cm,y=1.0cm] \shorthandoff{:}; \draw [dashed, color=gray, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5,-5) grid (5,5); \draw (-5,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (5,0); \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw (0,-5) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (0,1);\draw (0,1) -- (0,5); \foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-5,-5) rectangle (5,5); \draw[smooth,samples=300,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{exp(\x)}); \draw[smooth,samples=300,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{0-\x^2-1}); \draw (1.9,4) node[fill=white] {$(\mathcal{C}_1)$}; \draw (2,-3) node[fill=white] {$(\mathcal{C}_2)$}; \draw [domain=-5:5] plot(\x,{2.31637*\x+0.37062}); \fill (0.84,2.31637) circle (1.5pt); \draw (0.84,2.31637) node[right] {$A$}; \fill (-1.16,-2.3456) circle (1.5pt); \draw (-1.16,-2.3456) node[left] {$B$}; \draw[color=red] (0.84,0) node[above] {$a$}; \fill[color=red] (0.84,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (-1.16,0) node[below left] {$b$}; \fill[color=red] (-1.16,0) circle (1.5pt); \draw[color=red,dashed] (0.84,0) -- (0.84,2.31637); \draw[color=red,dashed] (-1.16,0) -- (-1.16,-2.3456); \end{tikzpicture} \end{center} \section*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[ f(x) = 6 - \frac{5}{x + 1}.\] Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Étude de propriétés de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$: \[ f'(x)=\frac{5}{(x+1)^2}>0;\quad \text{la fonction $f$ est donc strictement croissante sur}\ [0~;~+ \infty[ \] \item Résolution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = x$: \[ f(x)=x \Longleftrightarrow 6 - \frac{5}{x + 1}=x \Longleftrightarrow \frac{6x+6-5}{x+1}=x \Longleftrightarrow 6x+1=x^2+x \Longleftrightarrow x^2-5x-1=0 \] \[ \Delta=(-5)^2-4\times 1\times (-1)=29;\quad\text{donc}\ \left\lbrace\begin{array}{l} \alpha=\frac{5+\sqrt{29}}{2}\simeq 5,193\in[0~;~+ \infty[\\ \beta=\frac{5-\sqrt{29}}{2}\simeq -0,193\notin[0~;~+ \infty[ \end{array}\right. \] \item La fonction $f$ étant croissante sur $[0~;~+ \infty[$: \[ 0\leqslant x \leqslant \alpha \Longleftrightarrow 0<1=f(0)\leqslant f(x) \leqslant \alpha=f(\alpha) \] De même: \[ x\geqslant \alpha \Longleftrightarrow f(x) \geqslant \alpha=f(\alpha) \] \end{enumerate} \item Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$. Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] \begin{enumerate} \item Voir annexe 2. Conjectures peut-on émettre quant au sens de variations et à la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$: la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et converge vers $\alpha$. \item Pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ \textbf{récurrence:} $\forall n,\ n\in \mathbbm{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$: \begin{itemize} \item $u_0=0\ \text{et}\ u_1=1 \Longrightarrow 0 \leqslant u_0=0 \leqslant u_1=1 \leqslant \alpha\simeq 5,193$ \item Supposons que pour un $n$ donné, on ait: $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. La fonction $f$ étant croissante sur $[0\,;\,\alpha]$: \[ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha \Longleftrightarrow 0<1=f(0) \leqslant u_{n+1}=f(u_n) \leqslant u_{n+2}=f(u_{n+1}) \leqslant \alpha=f(\alpha) \] \item Ainsi, $\forall n,\ n\in\mathbbm{N},\ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. \end{itemize} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ étant croissante et majorée par $\alpha$, elle est convergente vers $\ell$. La fonction $f$ étant continue sur $[0\,;\,\alpha]$, $\ell$ vérifie: \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}f(u_n)=u_{n+1}=f(\ell)\Longrightarrow f(\ell)=\ell \] Nous savons que seul $\alpha$ vérifie $f(x)=x$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Ainsi: \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \] \end{enumerate} \item Étude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ \begin{itemize} \item Si $u_0\in[o\,;\,\alpha[$, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbbm{N}}$ est croissante et converge vers $\alpha$. \item Si $u_0=\alpha$, la suite est constante et égale à $\alpha$. \item Si $u_0\in]\alpha\,;\,+\infty[$, la suite est décroissante et converge vers $\alpha$. \end{itemize} Les démonstrations se font de la même manière que pour $u_0=0$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)} \vspace{0.25cm} \vspace{0.5cm} \textbf{Annexe 2 (Exercice 4, question 2. a.)} \vspace{0.5cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=2.5cm,y=2.5cm] \shorthandoff{:}; \draw [dashed, color=gray, xstep=1.5cm,ystep=1.5cm] (0,0) grid (5.4,5.4); \draw[->] (-0.2,0) -- (5.4,0); \foreach \x in {,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5} \draw[shift={(\x,0)},color=blue] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below right] {\footnotesize $\x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,5.4); \foreach \y in {,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5} \draw[shift={(0,\y)},color=blue] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[below left] {\footnotesize $\y$}; \draw (0,0) node[below left] {$0$}; \clip(-0.2,-0.2) rectangle (5.4,5.4); \draw[smooth,samples=300,domain=-0:5.4] plot(\x,{6-5/(\x+1)}); \draw[smooth,samples=300,domain=-0:5.4] plot(\x,{\x}); \draw [dashed,color=red] (5.19258,0) -- (5.19258,5.4); \draw [dashed] (0,1)-- (1,1); \draw [dashed] (1,0)-- (1,3.5); \draw [dashed] (0,3.5)-- (3.5,3.5); \draw [dashed] (3.5,4.88889)-- (3.5,0); \draw [dashed] (0,4.88889)-- (4.88889,4.88889); \draw [dashed] (4.88889,5.15094)-- (4.88889,0); \draw [dashed] (0,5.15094)-- (5.15094,5.15094); \draw [dashed] (5.15094,5.15094)-- (5.15094,0); \draw (-0.14197,-0.3673) node {$f$}; \draw (-0.24828,-0.3673) node {$g$}; \fill [color=red] (5.19258,5.19258) circle (1.5pt); \draw[color=red] (5.27954,5.13216) node {$A$}; \draw[color=red] (5.09528,5.5432) node {$a$}; \fill [color=red] (5.19258,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (5.19258,0) node[below right] {$\alpha$}; \fill [color=red] (0,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (0,0) node[below right] {$A_0$}; \fill (0,1) circle (1.5pt); \draw (0,1) node[above left] {$u_1$}; \fill (0,1) circle (1.5pt); \fill (1,1) circle (1.5pt); \fill (1,0) circle (1.5pt); \fill (1,3.5) circle (1.5pt); \fill (0,3.5) circle (1.5pt); \draw (0,3.5) node[above left] {$u_2$}; \fill (3.5,3.5) circle (1.5pt); \fill [color=red] (3.5,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (3.5,0) node[below left] {$A_2$}; \fill (3.5,4.88889) circle (1.5pt); \fill (0,4.88889) circle (1.5pt); \draw (-0,4.88889) node[below left] {$u_3$}; \fill (4.88889,4.88889) circle (1.5pt); \fill [color=red] (4.88889,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (4.88889,0) node[below left] {$A_3$}; \fill (4.88889,5.15094) circle (1.5pt); \fill [color=red] (1,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (1,0) node[below left] {$A_1$}; \fill (0,5.15094) circle (1.5pt); \draw (0,5.15094) node[left] {$u_4$}; \fill (5.15094,5.15094) circle (1.5pt); \fill [color=red] (5.15094,0) circle (1.5pt); \draw[color=red] (5.15094,0) node[below] {$A_4$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{document} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1.0cm,y=1.0cm] \shorthandoff{:}; \draw [dashed, color=gray, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-0.6,-0.6) grid (9.5,9.5); \draw (-0.6,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (9.5,0); \foreach \x in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw (0,-0.6) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (0,1);\draw (0,1) -- (0,9.5); \foreach \y in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.6,-0.6) rectangle (9.5,9.5); \draw[smooth,samples=300,domain=0:9.5] plot(\x,{6-5/(\x+1)}); \draw[smooth,samples=300,domain=0:9.5] plot(\x,{\x}); \draw (-0.24,-3.22) node {$f$}; \draw (-1.4,-1.7) node {$g$}; \end{tikzpicture} \end{center} %\vspace{0.25cm} \end{document} \psset{unit=1.cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-5}{1.59}{2.71828 x exp} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg} \end{pspicture} \vspace{0.25cm} \vspace{0.25cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x} \end{pspicture} \end{center} \end{document} \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$ d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points $A,~ B,~C,~M,~N$ et $P$ dans le repère. \item Calculer les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $NMP$. \item En déduire que ces deux triangles sont semblables. \end{enumerate} \emph{Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle $MNP$.} \item Une similitude directe Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est: \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\] \item Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$. \item Vérifier que la similitude $s$ transforme le point $C$ en $M$. \end{enumerate} \item Une similitude indirecte Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est : \[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l c l} s'(A) &=& N\\ s'(B) &=& M\\ s'(C) &=& P \end{array}\right.$ \item Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant $K$ d'affixe $k = 1 - \text{i}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$. On pose : $f = s'\circ h$. Déterminer les images des points $K$ et $J$ par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation $f$. \item Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion. \end{enumerate} \end{enumerate}