\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled = 0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem,mathcomp} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape,multicol} \usepackage{lastpage} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-func,pst-math,pst-bspline,pstricks-add} %\usepackage{tikz,pgfplots,tkz-tab} %\pgfplotsset{compat = 1.8} %Tapuscrit : François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left = 3.5cm, right = 3.5cm, top = 2cm, bottom = 2.cm]{geometry} \usepackage{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Général}, pdftitle = {épreuve de spécialité - session 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview = FitH} \usepackage[np]{numprint} %\renewcommand\arraystretch{1.4} \newcommand{\e}{\text{\,e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists = true} %\usepackage{titlesec} %\titleformat{\section} %{\Large} %format, appliqué à tout le titre %{\textbf{\textsc{Exercice} \thesection}} %étiquette %{5mm} %séparation entre l'étiquette et le titre %{\normalsize \hfill} %before %{\normalsize} % after %\titlespacing*{\section} {0mm}{5mm}{2.5mm} %\renewcommand \thesubsection {\Roman{subsection} } %\titleformat {\subsection}{\large}{\textbf{\large Partie \thesubsection} }{0.1cm}{\normalsize} %\titlespacing*{\subsection} {0mm}{3mm}{0mm} \setlength\parindent{0mm} %\setlength\headheight{14pt} \renewcommand{\d}{\text{\,d}} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Général Épreuve d'enseignement de spécialité } \lfoot{\small{Exercices 0 - corrigés}} \rfoot{\small{session 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\textbf{\Large\decofourleft~BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}~\decofourright\\[7pt] {\large EXERCICES D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[7pt] \textbf{Session 2024 Corrigés des exercices 0}} \end{center} %Le positionnement des épreuves d'enseignement de spécialité au mois de juin modifie la liste des contenus sur lesquels les élèves sont susceptibles d'être interrogés. % %À compter de la session 2024, les sujets s'appuieront sur l'ensemble du programme de spécialité du cycle terminal. % %Ce document a pour objectif de guider les enseignants dans la formation de leurs élèves de première et terminale de voie générale en spécialité Mathématiques. Il présente huit exemples d'exercices dans lesquels figurent des contenus et des capacités susceptibles d'être évalués lors de l'épreuve du baccalauréat. Cette liste vient compléter l'ensemble des exercices proposés lors des sessions précédentes du baccalauréat. \section*{Exercice 1} %L'exercice est constitué de deux parties indépendantes. \subsection*{Partie I}% I} On considère l'équation différentielle : $(E): y' + y = \e^{-x}$. \begin{enumerate} \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x \e^{-x}$. %Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. $u'(x)+u(x)=\left (\e^{-x}+x\times (-1)\e^{-x}\right )+x\e^{-x} =\e^{-x}-x\e^{-x} + x\e^{-x} = \e^{-x}$ Donc la fonction $u$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item On considère l'équation différentielle $\left(E'\right): y' + y = 0$ soit $\left(E'\right) \iff y'=-y$. L'équation différentielle $y'=ay$ a pour solutions les fonctions $x \longmapsto k\e^{ax}$ avec \mbox{$k\in\R$}, donc l'équation différentielle $\left(E'\right)$ a pour solutions les fonctions $x \longmapsto k\e^{-x}$ avec $k\in\R$. \item %En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\R$. La solution générale de l'équation $(E)$ est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre associée $(E')$, et d'une solution particulière de $(E)$. On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $x \longmapsto k\e^{-x} + x\e^{-x}$ avec $k\in\R$. \item On cherche l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 2$. $g(0)=2 \iff k\e^{0}+0=2 \iff k=2$; donc $g(x)=(x+2)\e^{-x}$. \end{enumerate} \subsection*{Partie II}% II} Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer. On considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par : $f_{k}(x) = (x + k) \e^{-x}.$ Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \e^{-x}.$ On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $h$. On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes. \begin{enumerate} \item % Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l'une des courbes est en traits pointillés, l'autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $\mathcal{C}$ ? La fonction $h$ est définie par $h(x)=\e^{-x}$. Sa dérivée $h'$ est définie par $h'(x)=-\e^{-x}$. Donc $h'(x)<0$ sur $\R$ donc la fonction $h$ est décroissante. C'est donc la courbe en trait plein qui représente la fonction $h$. \item %En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur l'annexe à rendre avec la copie l'unité sur chacun des axes du graphique. \begin{list}{\textbullet}{} \item La courbe $\mathcal{C}_h$ coupe l'axe des ordonnées au point A. Le point A a donc pour coordonnées $(0\;;\;h(0))$. Or $h(0)=\e^{0}=1$, donc le point A a pour ordonnée 1. \item La courbe $\mathcal{C}_{f_{k}}$ coupe l'axe des ordonnées au point qui semble avoir pour ordonnée 2. Donc $f_k(0)=2$, c'est-à-dire $(0+k)\e^{0}=2$ donc $k=2$. Donc la courbe en pointillés représente la fonction $f_2$ définie par $f_2(x)=(x+2)\e^{-x}$. \item Les deux courbes se coupent au point C dont l'abscisse est solution de l'équation $f_2(x)=h(x)$. $f_2(x)=h(x) \iff (x+2)\e^{-x}=\e^{-x} \left (\text{ car } \e^{-x}\neq 0\strut\right ) \iff x+2 = 1 \iff x=-1$ Le projeté orthogonal H de C sur l'axe des abscisses a pour coordonnées $(-1\;;\;0)$, ce qui permet, par symétrie par rapport au point O, de placer le point I de coordonnées $(1\;;\;0)$. \end{list} \medskip \emph{\textbf{Remarque des correcteurs} -- La détermination de $k$ repose sur une lecture graphique. Cette question a été posée en juin 2010 dans le sujet de terminale S de métropole; à l'époque, les graduations figuraient sur le repère, sans les unités naturellement!} \end{enumerate} \newpage \subsection*{Annexe} \begin{center} \psset{unit=2cm} \def\xmin{-2.5} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{3} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,ticks=none, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} %\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec\imath$,d][$\vec\jmath$,l] %\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$} \def\f{2.7183 -1 x mul exp} \def\g{x 2 add 2.7183 -1 x mul exp mul} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{\f} \uput[ur](1,0.369){\red $\mathcal{C}_h$} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{\g} \uput[ur](1,1.1){\blue $\mathcal{C}_{f_{k}}$} \psdots(0,1)(0,2)(-1,2.718)(-1,0)(1,0) \uput[dl](0,1){A} \uput[ur](0,1){1} \uput[dl](0,2){B} \uput[ur](0,2){2} \uput[ur](-1,2.718){C} \psline[linestyle=dotted](-1,2.718)(-1,0) \uput[d](-1,0){$-1$} \uput[ur](-1,0){H} \uput[d](1,0){$1$} \uput[u](1,0){I} \end{pspicture*} \end{center} \section*{Exercice 2} %L'exercice est constitué de deux parties indépendantes. \subsection*{Partie I}% I} Pour tout entier $n\geqslant 1$, on désigne par $f_{n}$ la fonction définie sur $[0~;~1]$ par : $f_{n}(x) = x^{n} \e^{x}$. On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans un repère \Oij{} du plan. On désigne par $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par : $I_{n} =\ds \int_{0}^{1} x^{n} \e^{x} \mathrm{~d} x.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $F_{1}$ la fonction définie sur $[0 ; 1]$ par : $F_{1}(x) = (x-1) \e^{x}.$ $F'_1(x)=1\times \e^{x} + (x-1)\times \e^{x} = x\e^{x}$ Donc $F_{1}$ est une primitive de la fonction $f_{1}$. \item $I_{1} = \ds \int_{0}^{1} x \e^{x} \d x = \left [ F_1(x)\strut\right ]_{0}^{1}= F_1(1)-F_1(0) = 0- \left (-1\e^{0}\right )=1$ \end{enumerate} \item %À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à 1: $I_{n + 1} = \e-(n + 1) I_{n}.$ $I_{n+1}=\ds\int_{0}^{1} x^{n+1}\e^{x}\d x$ On pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=\e^{x}$; donc $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=\e^{x}$. D'après la formule d'intégration par parties:\\ $\ds\int_{0}^{1} u(x)v'(x) \d x = \left [ u(x)v(x)\strut \right ]_{0}^{1} - \ds\int_{0}^{1} u'(x)v(x)\d x$ On en déduit que: $I_{n+1}=\ds\int_{0}^{1} x^{n+1}\e^{x} \d x = \left [ x^{n+1}\e^{x}\strut \right ]_{0}^{1} - \ds\int_{0}^{1} (n+1)x^n \e^{x}\d x = (\e - 0) - (n+1) \ds\int_{0}^{1} x^n \e^{x} \d x\\ \phantom{I_{n+1}} = \e -(n+1) I_{n}$ \item Pour $n=1$: $I_{2} = \e - 2I_1= \e-2$. \item On considère la fonction \texttt{mystere} écrite dans le langage Python : \begin{center} % \renewcommand\arraystretch{1} \texttt{\begin{tabular}{l} def mystere(n):\\ \qquad a = 1\\ \qquad L = [a]\\ \qquad for i in range(1,n):\\ \qquad\qquad a = e - (i + 1)*a\\ \qquad\qquad L.append(a)\\ \qquad return L\\ \end{tabular}} % \renewcommand\arraystretch{1.4} \end{center} %À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel \texttt{mystere(5)}. L'appel \texttt{ mystere(5)} va donner la liste $\left [I_1\;;\;I_2\;;\;I_3\;;\;I_4\;;\;I_5\strut\right ]$ ($I_1$ est mise au départ dans L et la boucle tournant de 1 à 4 va donner les quatre autres intégrales) \end{enumerate} \subsection*{Partie II}% II} \begin{enumerate} \item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}, \mathcal{C}_{10}, \mathcal{C}_{20}$ et $\mathcal{C}_{30}$. \begin{center} \psset{xunit=10cm,yunit=2cm,comma,algebraic} \def\xmin{-0.1} \def\xmax{1.1} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{3} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50](-1,-1)(11,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.1,Dy=0.5](0,0)(-0.099,-0.499)(\xmax,2.99) \uput{8pt}[dl](0,0){\footnotesize $0$} %\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec\imath$,d][$\vec\jmath$,l] %\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$} \multido{\i=1+1}{3}{ \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{1}{(x^\i)*EXP(x)}} \multido{\i=10+10}{3}{ \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{1}{(x^(\i))*EXP(x)}} \uput[ul](0.5,0.8){\red $\mathcal{C}_{1}$} \uput[l](0.6,0.8){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dr](0.6,0.4){\red $\mathcal{C}_{3}$} \uput[ul](0.85,0.5){\red $\mathcal{C}_{10}$} \uput[l](0.9,0.3){\red $\mathcal{C}_{20}$} \uput[r](0.92,0.2){\red $\mathcal{C}_{30}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %Donner une interprétation graphique de $I_{n}$. Sur $\left [0\;;\;1\strut\right]$, $x^n\e^{x}\geqslant 0$ donc l'intégrale $I_n$ représente l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x=1$. \item D'après l'allure des courbes tracées, on peut conjecturer que la suite $\left(I_{n}\right)$ tend vers 0. \end{enumerate} \item %Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, $0 \leqslant I_{n} \leqslant \e \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x.$ \begin{list}{\textbullet}{} \item $x^n\e^{x} \geqslant 0$ sur $\left [0\;;\;1\strut\right ]$, donc $\ds\int_{0}^{1}x^n\e^{x}\d x \geqslant0$ donc $I_n\geqslant 0$. \item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, donc si $0\leqslant x \leqslant 1$, on a $\e^{0} \leqslant\e^{x} \leqslant \e^{1}$ donc $\e^{x}\leqslant \e$. Sur $\left [0\;;\;1\strut\right ]$, on a $x^n\geqslant 0$ donc $x^n \e^{x} \leqslant \e x^n$. D'après la positivité de l'intégration, $\ds\int_{0}^{1} x^n \e^{x} \d x \leqslant \ds\int_{0}^{1} x^n \e \d x$, ce qui veut dire: $I_n \leqslant \e \ds\int_{0}^{1} x^n \d x$. \end{list} On a donc démontré que: $0\leqslant I_n \leqslant \e \ds\int_{0}^{1} x^n \d x$. \item %En déduire $\lim\limits_{n \to + \infty} I_{n}$. $\ds\int_{0}^{1} x^n \d x = \left [ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+1}$ donc $0\leqslant I_n \leqslant \e \ds\int_{0}^{1} x^n \d x$ équivaut à $0\leqslant I_n \leqslant\dfrac{\e}{n+1}$. $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\e}{n+1}=0$ et $\ds\lim_{n\to +\infty} 0=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite $(I_n)$ converge et que $\ds\lim_{n\to +\infty} I_n=0$. \end{enumerate} \section*{Exercice 3} Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points. \subsection*{Partie I}% I} Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. \begin{list}{\textbullet}{On considère que :} \item Un candidat pris au hasard a une probabilité $0,8$ de répondre correctement à la question Q1. \item Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0,6$ de répondre correctement à Q2; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0,1$ de répondre correctement à Q2. \end{list} On prend un candidat au hasard et on note : \begin{list}{\textbullet}{} \item $A$ l'évènement : \og{}le candidat répond correctement à la question Q1 \fg{} ; \item $B$ l'évènement : \og{}le candidat répond correctement à la question Q2 \fg{}. \end{list} On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et de $B$. \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} {\bigskip \psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\blue $0,8$}} { \TR{$B$}\naput{\blue $0,6$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $0,4$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $0,2$}} { \TR{$B$}\naput{\blue $0,1$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $0,9$} } } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2 est: $P(A\cap B) = P(A)\times P_{A}(B)= 0,8\times 0,6 = 0,48$ \item La probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est $p(B)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(B) = P(A\cap B) + P \left (\overline{A}\cap B\right )=0,48+0,2\times 0,1=0,5$ \end{enumerate} \begin{list}{\textbullet}{On note :} \item $X_{1}$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ; \item $X_{2}$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ; \item $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire $X = X_{1} + X_{2}$. \end{list} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item La loi de probabilité de $X_1$ est:\hspace{2cm} $\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1\\ \hline P(X_1=x_i) & 0,2 & 0,8\\ \hline \end{array}$ Donc $E(X_1)= 0\times 0,2 + 1\times 0,8=0,8$. La loi de probabilité de $X_2$ est:\hspace{2cm} $\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1\\ \hline P(X_2=x_i) & 0,5 & 0,5\\ \hline \end{array}$ Donc $E(X_2)= 0\times 0,5 + 1\times 0,5 =0,5$. $E(X)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$ d'après la linéarité de l'espérance mathématique. Donc $E(X)=0,8+0,5=1,3$. Un élève obtient, en moyenne, la note de $1,3$ à l'exercice 1. \item On souhaite déterminer la variance de $X$. \begin{enumerate} \item %Déterminer $P(X = 0)$ et $P(X = 2)$. En déduire $P(X = 1)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $P(X=0)=P\left (\overline{A}\cap \overline{B}\right )=0,2\times 0,9 = 0,18$ \item $P(X=2)=P(A\cap B)=0,48$ \item $P(X=1)=1-\left (P(X=0)+P(X=2)\strut\right )=1-(0,18+0,48)=1-0,66=0,34$ \end{list} On peut donc en déduire la loi de probabilité de $X$: \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c| *3{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline $x_i$ & 0 & 1 & 2\\ \hline $P(X=x_i)$ & $0,18$ & $0,34$ & $0,48$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Montrer que la variance de $X$ vaut 0,57. D'après la formule de König: $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$. $E(X^2)=0^2\times 0,18+1^2\times 0,34+2^2\times 0,48 = 2,26$ Donc $V(X)=2,26-1,3^2=0,57$ \item% A-t-on $V(X) = V\left(X_{1}\right) + V\left(X_{2}\right)$ ? Est-ce surprenant? $V(X_1)= E(X_1^2)-[E(X_1)]^2 = \left (0^1\times 0,2+1^2\times 0,8\strut\right ) - (0,8)^2 = 0,8-0,64 = 0,16$ $V(X_2)= E(X_2^2)-[E(X_2)]^2 = \left (0^1\times 0,5+1^2\times 0,5\strut\right ) - (0,5)^2 = 0,5-0,25 = 0,25$ $V(X_1)+V(X_2)=0,16 + 0,25=0,41$; or $V(X)=0,57$ donc $V(X_1)+V(X_2)\neq V(X)$. Ce n'est pas surprenant car les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie II}% II} Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point. Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\dfrac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses. \begin{enumerate} \item% Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On est dans le cas d'une répétition de 8 épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès lors d'une épreuve étant $\dfrac{3}{4}$. Donc la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=\dfrac{3}{4}$. \item %Donner la valeur exacte de $P(Y = 8)$. Pour une variable aléatoire $Y$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, on a:\\ $P(Y=k)=\ds\binom{n}{k} p^k \left (1-p\right )^{n-k}$, donc $P(Y=8)=\ds\binom{8}{8} \left (\dfrac{3}{4}\right )^{8}\left (1-\dfrac{3}{4}\right )^{8-8} = \left (\dfrac{3}{4}\right )^8$. \item L'espérance de $Y$ est $E(Y)= np = 8\times \dfrac{3}{4}= 6$. La variance de $Y$ est $V(Y)= np(1 - p) = 8\times \dfrac{3}{4}\times \left (1 - \dfrac{3}{4}\right )=\dfrac{6}{4}= \dfrac{3}{2}$. \end{enumerate} \subsection*{Partie III}% III} On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen : $Z = X + Y$. \begin{enumerate} \item %Calculer l'espérance et la variance de $Z$. $Z=X+Y$ donc $E(Z)=E(X)+E(Y)= 1,3+6=7,3$ $Z=X+Y$ et $X$ et $Y$ sont indépendantes donc $V(Z)=V(X)+V(Y)=0,57+1,5=2,07$ \item Soit $n$ un nombre entier strictement positif. Pour $i$ entier variant de 1 à $n$, on note $Z_{i}$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l'élève numéro $i$ à l'examen. On admet que les variables aléatoires $Z_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{n}$ sont identiques à $Z$ et indépendantes. On note $M_{n}$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs $n$ notes, c'est-à-dire : $M_{n} = \dfrac{Z_{1} + Z_{2} + \cdots + Z_{n}}{n}$ \begin{enumerate} \item %Quelle est l'espérance de $M_{n}$ ? Pour tout $i$ entre 1 et $n$, on a $E(Z_i)= 7,3$. $E(M_n)=\dfrac{E(Z_{1}) + E(Z_{2}) + \cdots + E(Z_{n})}{n} =\dfrac{n\times 7,3}{n} = 7,3$ \item %Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l'écart type de $M_{n}$ soit inférieur ou égal à 0,5 ? L'écart-type est: $\sigma(M_n) = \ds\sqrt{V(M_n)}$ $V(M_n)=\dfrac{V(Z)}{n}=\dfrac{2,07}{n}$ donc $\sigma(M_n) = \ds\sqrt{ \dfrac{2,07}{n}}$ On cherche $n$ tel que: $\ds\sqrt{ \dfrac{2,07}{n}}\leqslant 0,5$ $\ds\sqrt{ \dfrac{2,07}{n}}\leqslant 0,5 \iff \dfrac{2,07}{n} \leqslant 0,25 \iff \dfrac{2,07}{0,25}\leqslant n \iff n\geqslant 8,28$ Donc l'écart type de $M_{n}$ est inférieur ou égal à 0,5 pour $n\geqslant 9$. \item Pour les valeurs trouvées en \textbf{b.}, on va montrer que la probabilité que\\ $6,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3$ est supérieure ou égale à 0,75 . \begin{list}{\textbullet}{} \item $P\left (6,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3\right ) = P\left (7,3 -1 \leqslant M_{n} \leqslant 7,3+1\right ) = P\left ( -1 \leqslant M_{n}-7,3 \leqslant 1\right )\\ \phantom{P\left (6,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3\right )} = P\left ( -1 \leqslant M_{n}-E(M_n) \leqslant 1\right ) = P\left ( \left |M_{n}-E(M_n) \strut \right | \leqslant 1\right )\\ \phantom{P\left (6,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3\right )} = 1- P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | > 1\right ) $ \item $P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | > 1\right ) + P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | = 1\right ) = P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | \geqslant 1\right )$ donc $P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | > 1\right ) \leqslant P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | \geqslant 1\right )$. \item D'après l'inégalité de Bienaymé Tchebychev:\\ $P\left ( \left |X-\mu \strut\right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V}{\delta^2}$ donc $P\left ( \left |M_{n}-E(M_n) \strut\right | \geqslant 1\right ) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{1^2}$. On déduit donc: $P\left ( \left |M_{n}-E(M_n) \strut\right | > 1\right ) \leqslant V(M_n)$. \item D'après la question précédente, on peut prendre $n\geqslant 9$ donc\\ $V(M_n)=\dfrac{2,07}{n} \leqslant \dfrac{2,07}{9}$ et donc $P\left ( \left |M_{n}-E(M_n) \strut\right | > 1\right ) \leqslant \dfrac{2,07}{9}$. \item On déduit que: $ 1- P\left ( \left |M_{n}-E(M_n)\strut \right | > 1\right ) \geqslant 1-\dfrac{2,07}{9}$. $1-\dfrac{2,07}{9}=\dfrac{6,93}{9} \approx 0,77 \geqslant 0,75$ \end{list} On a donc démontré que, pour $n\geqslant 9$, $P\left (6,3 \leqslant M_{n} \leqslant 8,3\strut\right ) \geqslant0,75$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 4} %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ %Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée.\\ %Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ %Les questions sont indépendantes.} % %\bigskip \begin{multicols}{2} ~\\ On considère le prisme droit ABFEDCGH tel que $\mathrm{AB} = \mathrm{AD}$.\\ Sa base ABFE est un trapèze rectangle en A, vérifiant $\vect{\mathrm{BF}} = \dfrac{1}{2} \vect{\mathrm{AE}}$.\\ On note I le milieu du segment [EF].\\ On note J le milieu du segment [AE].\\ On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\imath\vphantom{k}}, \vect{\jmath\vphantom{k}}, \vect{k}\right)$ tel que :\\ $\vect{\imath} = \vect{\mathrm{AB}} ;\quad \vect{\jmath} = \vect{\mathrm{AD}} ;\quad \vect{k} = \vect{\mathrm{AJ}}$ \vfill\null \columnbreak \scalebox{0.7}{ \psset{unit=1cm,radius=2pt} \def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{10.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \Cnode*(0,0){A} \Cnode*(4,-0.5){B} \Cnode*(7,0.5){C} \Cnode*(3,1){D} \uput[dl](A){A} \uput[d](B){B} \uput[r](C){C} \uput[ur](D){D} \Cnode*(0,9){E} \Cnode*(4,4){F} \Cnode*(7,5){G} \Cnode*(3,10){H} \uput[ul](E){E} \uput[80](F){F} \uput[60](G){G} \uput[u](H){H} \Cnode*[radius=2pt](0,4.5){J} \Cnode*[radius=2pt](2,6.5){I} \uput[r](J){J} \uput[ur](I){I} \psline(B)(C)(G)(F)(B)(A)(E)(H)(G) \psline(E)(F) \psline[linestyle=dashed](C)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](A)(D) \end{pspicture*} } \end{multicols} \begin{enumerate} \item On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base $\left(\vect{\imath\vphantom{k}}, \vect{\jmath\vphantom{k}}, \vect{k}\right)$. \\ Lequel est un vecteur normal au plan (ABG)? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.&$\vect{n} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$& b.&$\vect{n} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$& c.&$\vect{n} \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$& d.&$\vect{n} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$\\ \end{tabularx} Le plan (ABG) a pour vecteurs directeurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{BG}$. $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ et\\ $\vectt{BG} = \vectt{BC}+\vectt{CG} = \vectt{AD}+\vectt{AJ}$ donc $\vectt{BG}$ a pour coordonnées $ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. On cherche donc, parmi les trois vecteurs proposés, celui qui est orthogonal à la fois à $\vectt{AB}$ et à $\vectt{BG}$. Pour $\vect{n} \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$, on a:\\ $\vect{n}\cdot\vectt{AB}= 0\times 1+(-1)\times 0+1\times 0=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{AB}$;\\ $\vect{n}\cdot\vectt{BG}= 0\times 0+(-1)\times 1+1\times 1=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{BG}$ \hfill\textbf{Réponse c.} \item Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite (IJ) ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.&(DG)& b.&(BD)& c.&(AG)& d.&(FG)\\ \end{tabularx} La droite (IJ) est parallèle à la droite (AF) (droite des milieux dans le triangle AEF). Les vecteurs $\vectt{AF}$ et $\vectt{DG}$ sont égaux donc les droites (AF) et (DG) sont parallèles. On en déduit que les droites (IJ) et (DG) sont parallèles. \hfill\textbf{Réponse a.} \item Quels vecteurs forment une base de l'espace ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $\left(\vect{\mathrm{AB}} ; \vect{\mathrm{CG}}\right)$& b.& $\left(\vect{\mathrm{AB}} ; \vect{\mathrm{AC}} ; \vect{\mathrm{AD}}\right)$ & c.& $\left(\vect{\mathrm{DA}} ; \vect{\mathrm{DC}} ; \vect{\mathrm{DG}}\right)$& d.& $\left(\vect{\mathrm{CA}} ; \vect{\mathrm{CG}} ; \vect{\mathrm{CE}}\right)$\\ \end{tabularx} Il faut trouver trois vecteurs non coplanaires. On peut éliminer la proposition \textbf{a} car il n'y a que deux vecteurs. On peut éliminer la proposition \textbf{b} car $\vectt{AC} = \vectt{AB} + \vectt{AD}$ donc les trois vecteurs sont coplanaires. On peut éliminer la proposition \textbf{d} car $\vectt{CE} = \vectt{CA} + \vectt{AE} = \vectt{CA} + 2\vectt{CG}$ donc les trois vecteurs sont coplanaires. \hfill\textbf{Réponse c.} \item Une décomposition du vecteur $\vect{\mathrm{AG}}$ comme somme de plusieurs vecteurs \textbf{deux à deux orthogonaux} est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $\vect{\mathrm{AG}} = \vect{\mathrm{AB}} + \vect{\mathrm{HG}}$ & b.& $\vect{\mathrm{AG}} = \vect{\mathrm{AB}} + \vect{\mathrm{AD}} + \vect{\mathrm{AJ}}$\\ c.& $\vect{\mathrm{AG}} = \vect{\mathrm{AB}} + \vect{\mathrm{BJ}} + \vect{\mathrm{JG}}$& d.& $\vect{\mathrm{AG}} = \vect{\mathrm{AD}} + \vect{\mathrm{DH}} + \vect{\mathrm{HG}}$\\ \end{tabularx} $\vectt{AG} = \vectt{AB} + \vectt{BG}$ et $ \vectt{BG} \neq \vectt{HG}$; donc la proposition \textbf{a} est fausse. Les trois vecteurs $ \vectt{AB}$, $\vectt{AD}$ et $\vectt{AJ}$ sont orthogonaux deux à deux puisqu'ils forment une base orthonormée. De plus $ \vectt{AB}+\vectt{AD}+\vectt{AJ} = \vectt{AB}+\vectt{BC}+\vectt{CG}= \vectt{AG}$. \hfill\textbf{Réponse b.} \item Le volume du prisme droit ABFEDCGH, est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $\dfrac{5}{8}$& b.& $\dfrac{8}{5}$& c.& $\dfrac{3}{2}$& d.& 2\\ \end{tabularx} Si on appelle K le milieu de [DH], on peut dire que le prisme est composé du cube ABCDJFGK, de volume 1, surmonté du prisme JFGKHE, qui est la moitié du cube du dessous, donc qui a pour volume $\dfrac{1}{2}$. Le volume total fait donc $\dfrac{3}{2}$. \hfill\textbf{Réponse c.} \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 5} %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ %Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée.\\ %Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ %Les questions sont indépendantes.} %\bigskip \begin{enumerate} \item Sur l'intervalle $\left [0~;~2 \pi\strut \right ]$, l'équation $\sin (x) = 0,1$ admet : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& zéro solution& b.& une solution\\ c.& deux solutions& d.& quatre solutions\\ \end{tabularx} On peut par exemple dire que la courbe représentant la fonction sinus et la droite d'équation $y=0,1$ ont deux points d'intersection sur l'intervalle $\left [ 0\;;\; 2\pi\strut \right ]$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1.5)(7,1.5) \psaxes[trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\psPiH,xunit=\psPi]{->}(0,0)(0,-1.5)(2.2,1.5) \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{6.2832}{x RadtoDeg sin}%%% observer RadtoDeg \psline[linecolor=blue](0,0.1)(6.2832,0.1) \end{pspicture} \end{center} \hfill\textbf{Réponse c.} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [0~;~\pi\strut\right ]$ par $f(x) = x + \sin (x).$ %On admet que $f$ est deux fois dérivable. \begin{tabularx}{\linewidth}{{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[0~;~\pi]$\\ b.& La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[0~;~\pi]$\\ c.& La fonction $f$ admet sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ un unique point d'inflexion\\ d.& La fonction $f$ admet sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ exactement deux points d'inflexion\\ \end{tabularx} $f'(x)=1+\cos(x)$ et $f''(x)=-\sin(x)\leqslant 0$ sur $\left [0~;~\pi\strut\right ]$, donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle. \hfill\textbf{Réponse b.} \item Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois boules dans cette urne, \textbf{sans remise}. On appelle \og{} tirage \fg{} la liste non ordonnée des numéros des trois boules tirées. Quel est le nombre de tirages possibles, \textbf{sans tenir compte de l'ordre des numéros}? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $50^{3}$& b.& $1 \times 2 \times 3$& c.& $50 \times 49 \times 48$& d.& $\dfrac{50 \times 49 \times 48}{1 \times 2 \times 3}$\\ \end{tabularx} $\ds\binom{50}{3}=\dfrac{50\times 49 \times 48}{1 \times 2 \times 3}$ \hfill\textbf{Réponse d.} \item On effectue dix lancers d'une pièce de monnaie. Le résultat d'un lancer est \og{}pile\fg{} ou \og{}face\fg{}. On note la liste ordonnée des dix résultats.\\ Quel est le nombre de listes ordonnées possibles? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $2 \times 10$& b.& $2^{10}$\\ c.& $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10$& d.& $\dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10}{1 \times 2}$\\ \end{tabularx} Il y a 2 résultats possibles si on effectue 1 lancer, $2^2$ résultats possibles si on effectue 2 lancers, etc., $2^{10}$ résultats possibles si on effectue 10 lancers. \hfill\textbf{Réponse b.} \item On effectue $n$ lancers d'une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat d'un lancer est \og{}pile\fg{} ou \og{}face\fg{}. On considère la liste ordonnée des $n$ résultats.\\ Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux fois \og{} pile \fg{} dans cette liste ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries\arraybackslash}p{5mm}@{}X}} a.& $\dfrac{n(n-1)}{2}$& b.& $\dfrac{n(n-1)}{2} \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$\\ c.& $1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}$& d.& $\left(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}\right) \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ \end{tabularx} La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de résultats \og pile \fg{} sur $n$ lancers suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{2}$. On cherche $P(X\leqslant 2)$ soit $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$. \textbullet~~$P(X=0)=\ds\binom{n}{0}\left (\dfrac{1}{2}\right )^0 \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{n-0} = \left (\dfrac{1}{2}\right )^n$ \textbullet~~$P(X=1)=\ds\binom{n}{1}\left (\dfrac{1}{2}\right )^1 \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{n-1} = n \left (\dfrac{1}{2}\right )^n$ \textbullet~~$P(X=2)=\ds\binom{n}{2}\left (\dfrac{1}{2}\right )^2 \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{n-2} = \dfrac{n(n-1)}{2} \left (\dfrac{1}{2}\right )^n$ Donc $P(X\leqslant 2)= \left (\dfrac{1}{2}\right )^n + n \left (\dfrac{1}{2}\right )^n + \dfrac{n(n-1)}{2}\left (\dfrac{1}{2}\right )^n = \left (1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right )\left (\dfrac{1}{2}\right )^n$. \hfill\textbf{Réponse d.} \end{enumerate} \section*{Exercice 6} %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ %Chaque réponse doit être justifiée.\\ %Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} u_{n + 1} & \dfrac{u_{n}}{1 + 2 u_{n}} \text { pour tout entier naturel } n \\ u_{0} & 1 \end{array}\right.\] \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Affirmation 1 :} \og{} $u_{4} = \dfrac{1}{9}$. \fg{} $u_0=1$; $u_1=\dfrac{u_0}{1+2u_0} = \dfrac{1}{1+2\times 1}=\dfrac{1}{3}$; $u_2=\dfrac{u_1}{1+2u_1} = \dfrac{\frac{1}{3}}{1+2\times \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \dfrac{1}{5}$;\\ $u_3=\dfrac{u_2}{1+2u_2} = \dfrac{\frac{1}{5}}{1+2\times \frac{1}{5}} = \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}} = \dfrac{1}{7}$; $u_4=\dfrac{u_3}{1+2u_3} = \dfrac{\frac{1}{7}}{1+2\times \frac{1}{7}} = \dfrac{\frac{1}{7}}{\frac{9}{7}} = \dfrac{1}{9}$ \hfill\textbf{Affirmation 1 vraie} \item \textbf{Affirmation 2 :} \og{}Pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \dfrac{1}{2 n + 1}$.\fg{} D'après la question précédente, la propriété \og $u_{n} = \dfrac{1}{2 n + 1}$ \fg{} est vérifiée pour $n$ entre 0 et 4. On va démontrer par récurrence qu'elle est vraie pour tout $n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, on a: $u_0=1$ et $\dfrac{1}{2\times 0 +1}=1$; donc la propriété est vérifiée. \item On suppose la propriété vraie à un rang $n\geqslant 0$, c'est-à-dire que $u_n=\dfrac{1}{2n+1}$. C'est l'hypothèse de récurrence. $u_{n+1}= \dfrac{u_n}{1+2u_n} = \dfrac{\frac{1}{2n+1}}{1+2\frac{1}{2n+1}} = \dfrac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{2n+1+2}{2n+1}} = \dfrac{1}{2n+1}\times \dfrac{2n+1}{2n+3} =\dfrac{1}{2(n+1)+1}$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang $0$, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. \end{list} \hfill\textbf{Affirmation 2 vraie} \item \textbf{Affirmation 3 :} \og{}La suite numérique $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $10^{-10}$.\fg{} $\ds\lim_{n\to +\infty} 2n+1=+\infty$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2n+1}=0$ et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$. Si la suite $(u_n)$ est minorée par $10^{-10}$ qui est un nombre strictement positif, elle ne peut pas avoir pour limite le nombre 0. \hfill\textbf{Affirmation 3 fausse} \end{list} \section*{Exercice 7} On considère les fonctions $f_{k}$ définies sur $\R$ par $f_{k}(x) = x + k \e^{-x},$ où $k$ est un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item On s'intéresse dans cette question au cas $k = 0,5$, donc à la fonction $f_{0,5}$ définie sur $\R$ par : $f_{0,5}(x) = x + 0,5 \e^{-x}.$ \smallskip \begin{enumerate} \item %Montrer que la dérivée de $f_{0,5}$, notée $f'{ }_{0,5}$ vérifie $f'{ }_{0,5}(x) = 1-0,5 \e^{-x}$. $f'_{0,5}(x)=1+0,5\times(-1)\e^{-x}=1-0,5\e^{-x}$ \item %Montrer que la fonction $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln (0,5)$. $f'_{0,5}(x) >0 \iff 1-0,5\e^{-x} >0 \iff 1>0,5\e^{-x} \iff \dfrac{1}{0,5}>\e^{-x}\\ \phantom{f'_{0,5}(x) >0} \iff 2>\e^{-x} \iff \ln(2)>-x \iff -\ln(2)\ln\left (\dfrac{1}{2}\right )\\ \phantom{f'_{0,5}(x) >0} \iff x>\ln(0,5)$ De même: $f'_{0,5}(x)=0 \iff x=\ln(0,5)$, et $f'_{0,5}(x)<0 \iff x<\ln(0,5)$. On en déduit que la fonction $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln(0,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} Soit $k$ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. \medskip \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline \text{Valeurs de } x & -\infty & \esp & \ln(k) & \esp & +\infty \\ % \hline %f'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{+\infty} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ \text{Variations de } f_k & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{f_k(\ln k)} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1}} \end{center} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item %Montrer que pour tout réel positif $k$, $f_{k}(\ln k) = \ln k + 1$. $f_k(\ln k) = \ln(k)+ k\e^{-\ln(k)} = \ln(k) + \dfrac{k}{\e^{\ln(k)}} = \ln(k) + \dfrac{k}{k} = \ln(k) + 1$ \end{enumerate} On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un plan muni d'un repère orthonormé. On note $\mathrm{A}_{k}$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $\ln k$. On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_{k}$ pour différentes valeurs de $k$. \begin{center} \psset{unit=1cm,algebraic} \def\xmin{-4.2} \def\xmax{9} \def\ymin{-1} \def\ymax{9} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\uput[dl](0,0){O} \multido{\n=0.5+0.5}{10}{ \psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{x+\n*EXP(-x)} } \listplot[plotstyle=dots]{-0.693 0.307 0.000 1.000 0.405 1.405 0.693 1.693 0.916 1.916 1.099 2.099 1.253 2.253 1.386 2.386 1.504 2.504 1.609 2.609} {\footnotesize \uput[u](-0.693,0.307){A$_{0,5}$} \uput[r](0,1){A$_{1}$} \uput[r](0.405,1.405){{A$_{1,5}$}} \uput[u](1.609,2.609){A$_{5}$}} \psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed]{-1}{5}{x+1} \uput[u]{45}(3,4){\blue $y=x+1$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item %Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Le point A$_k$ a pour coordonnées $(\ln(k)\;;\; f_k(\ln(k)))$ soit $(\ln(k)\;;\; \ln(k)+1)$. Donc tous les points A$_k$ sont situés sur la droite d'équation $y=x+1$. L'affirmation : \og{}Pour tout réel $k$ strictement positif, les points A$_{0,5}$, A$_{1}$ et A$_{k}$ sont alignés. \fg{} est donc vraie. \end{enumerate} %\newpage \section*{Exercice 8} %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ %Chaque réponse doit être justifiée.\\ %Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} % %\bigskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item \setlength{\columnsep}{1cm} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{multicols}{2} On considère la fonction \texttt{calcul} écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de $u_{n}$. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1} \texttt{ \begin{tabular}{l} def calcul(n):\\ \quad u = 0\\ \quad for i in range(n):\\ \quad\quad u = 3 * u + 1\\ \quad return u\\ \end{tabular}} \end{center} \columnbreak On considère par ailleurs la fonction \texttt{liste} écrite dans le langage Python : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1} \texttt{ \begin{tabular}{l} def liste(n):\\ \quad l = []\\ \quad for i in range(n):\\ \quad\quad l.append(calcul(i))\\ \quad return l\\ \end{tabular}} \end{center} % \renewcommand\arraystretch{1.4} \end{multicols} \textbf{Affirmation 1 :} \og{}l'appel \texttt{liste(6)} renvoie la liste \texttt{[0, 1, 4, 13, 42, 121]}.\fg{} $u_0=0$, $u_1=3\times u_0+1=1$, $u_2=3\times u_1+1=4$, $u_3=3\times u_2+1=13$ et\\ $u_4=3\times u_3+1=40\neq 42$. \hfill \textbf{Affirmation 1 fausse} \item \textbf{Affirmation 2 :} \og{} pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \dfrac{1}{2} \times 3^{n}-\dfrac{1}{2}$.\fg{} Pour $n=0$, on a $u_0=0$ et $\dfrac{1}{2} \times 3^{0}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$. Pour $n=1$, on a $u_1=1$ et $\dfrac{1}{2} \times 3^{1}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$. Pour $n=2$, on a $u_2=4$ et $\dfrac{1}{2} \times 3^{2}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=4$. On conjecture que la propriété \og{} $u_{n} = \dfrac{1}{2} \times 3^{n}-\dfrac{1}{2}$\fg{} est vraie pour tout $n$, et on va démontrer cette conjecture en utilisant un raisonnement par récurrence. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, on a $u_0=0$ et $\dfrac{1}{2} \times 3^{0}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$; la propriété est vraie. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $u_{n} = \dfrac{1}{2} \times 3^{n}-\dfrac{1}{2}$. $u_{n+1}=3u_n+1 = 3\left (\dfrac{1}{2} \times 3^{n}-\dfrac{1}{2}\right )+1 = \dfrac{1}{2}\times 3^{n+1} -\dfrac{3}{2}+1 = \dfrac{1}{2}\times 3^{n+1} -\dfrac{1}{2}$ La propriété est donc vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang $0$, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. \end{list} \hfill \textbf{Affirmation 2 vraie} \item \textbf{Affirmation 3 :} \og{} pour tout entier naturel $n$, \quad $u_{n + 1}-u_{n}$ est une puissance de 3.\fg{} $u_{n+1}-u_n = \left (\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1} -\dfrac{1}{2}\right ) - \left ( \dfrac{1}{2}\times 3^{n} -\dfrac{1}{2}\right ) = \dfrac{1}{2}\times 3^{n+1} -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times 3^{n} +\dfrac{1}{2}\\ \phantom{u_{n+1}-u_n} = \dfrac{1}{2}\times 3^{n+1} - \dfrac{1}{2}\times 3^{n} = \dfrac{1}{2}\times 3^n\left (3-1\right ) = \dfrac{1}{2}\times 3^n \times 2 = 3^n$ \hfill \textbf{Affirmation 3 vraie} \end{enumerate} \end{document}