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%Tapuscrit : Denis Vergès merci à Clotilde Rouchon pour le sujet 
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}\,;\,\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}\,;\,\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}\,;\,\vect{u},\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017},
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\renewcommand{\d}{\text{d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}%       le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna}}
\rfoot{\small{26 février 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna~\decofourright}}


\smallskip

\textbf{26 février 2018}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Exercice 1} (4 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

%\medskip

%\emph{Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule
%des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la
%question et la réponse correspondante. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne
%rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart-type $36$.

On a alors, à $10^{-3}$ près :

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item $P(X \leqslant 81,2) \approx 0,542$
		\item \fbox{$P(X \leqslant 81,2) \approx 0,301$}
		\item $P(81,2 \leqslant X \leqslant 103,8) \approx 0,542$
		\item $P(81,2 \leqslant X \leqslant 103,8) \approx 0,301$
	\end{enumerate}
\end{multicols}
 
\begin{quote}
Résultat obtenu à la calculatrice.
\end{quote} 

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $50$ et d'écart-type $2$.
 
Une variable aléatoire $N$ suit la loi normale centrée réduite. On a alors :

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item $P(X > 52)  = \dfrac{1 - P(- 2 < N < 2)}{2}$
		\item $P(X > 52) = 1 - P(- 2 < N < 2)$
		\item \fbox{$P(X > 52) = \dfrac{1 - P(- 1 < N < 1)}{2}$}
		\item $P(X> 52) = 1 - P(- 1 < N < 1)$
	\end{enumerate} 
\end{multicols}
	
\begin{quote}
Si $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=50$ et $\sigma=2$, alors la loi $N=\dfrac{X-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
	
$X>52 \iff X-50>2 \iff \dfrac{X-50}{2}>1$ donc $P(X>52) = P(N>1)$.

$P(N>1) = P(N<-1)$ et $P(-1<N<1) = 1- \left (P(N<-1)+P(N>1)\right )$ donc \\[5pt]
$P(-1<N<1) = 1- 2P(N>1)$ et donc $P(N>1) = \dfrac{1-P(-1<N<1)}{2}$.

\end{quote}	
	
\item Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle telle que $P(T > 2) = 0,5$.

Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $P_{(T > 2)}(T > 5)$ est égale à :

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{$0,35$}
		\item $0,54$
		\item $0,53$
		\item $\dfrac{\text{e}}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{quote}
La loi exponentielle étant une loi à durée de vie sans vieillissement, \\$P_{(T > 2)}(T > 5)= P(T>5-2) = P(T>3)$. \\
D'après le cours: $P(T>3) < P(T>2)$. 

Donc la seule réponse possible est celle qui est inférieure à $0,5$ donc c'est $0,35$.
\end{quote}

\item Une urne contient 5 boules bleues et 3 boules grises indiscernables au toucher.

On tire successivement de manière indépendante 5 boules avec remise dans cette
urne. On note alors $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules grises
tirées.

On note $E(X)$ l'espérance de $X$. On a alors :

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item $E(X) = 3$
		\item $E(X) = \dfrac{3}{8}$
		\item \fbox{$P(X \geqslant 1) \approx 0,905$ à $10^{-3}$ près}
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,095$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{quote}
La probabilité de tirer une boule grise est égale à $\dfrac{3}{8}$; donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{3}{8}$.

$P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1 - \ds\binom{5}{0} \left( \dfrac{3}{8} \right)^{0} \left (1-\dfrac{3}{8}\right )^{5}
= 1- \left ( \dfrac{5}{8}\right )^{5} \approx 0,905$
\end{quote}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 2} (5 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

Soient les deux nombres complexes: $z_1 = 1 - \i$ et $z_2 = -8 - 8 \sqrt{3}\i$.
On pose : $Z = \dfrac{z_1}{z_2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule la forme algébrique de $Z$.

$Z=\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{1-\i}{-8-8\sqrt{3}\i} 
=  \dfrac{\left (1-\i\right )\left (-8+8\sqrt{3}\i\right )}{\left (-8-8\sqrt{3}\i\right )\left (-8+8\sqrt{3}\i\right )}
= \dfrac{-8+8\sqrt{3}\i +8\i +8\sqrt{3}}{64+192}\\[5pt]
\phantom{Z}
= \dfrac{-8+8\sqrt{3}}{256} + \i \dfrac{8+8\sqrt{3}}{256}
= \dfrac{-1+\sqrt{3}}{32} + \i \dfrac{1+\sqrt{3}}{32}$

\item On écrit $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\left |z_1\right | = \ds\sqrt{1^2+(-1)^{2}} = \sqrt{2}$;
$z_1=\sqrt{2}\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )$ donc $-\dfrac{\pi}{4}$ est un argument de $z_1$

La forme exponentielle de $z_1$ est $\sqrt{2} \e^{-\i \frac{\pi}{4}}$.

\item $\left | z_2\right | = \ds\sqrt{(-8)^{2} + (-8\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{256} = 16$;
$z_2 = 16\left (-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )$ donc $-\dfrac{2\pi}{3}$ est un argument de $z_2$.

La forme exponentielle de $z_2$ est $16 \e^{-\i \frac{2\pi}{3}}$.

\end{list}

\item On écrit $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.

$Z=\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt{2} \e^{-\i \frac{\pi}{4}}}{16 \e^{-\i \frac{2\pi}{3}}}
= \dfrac{\sqrt{2}}{16} \e^{\i \left ( -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right )}
= \dfrac{\sqrt{2}}{16} \e^{\i \frac{5\pi}{12}}$
donc $Z = \dfrac{\sqrt{2}}{16} \left ( \cos \dfrac{5\pi}{12} + \i \sin \dfrac{5\pi}{12}\right )$.

\item %En déduire que $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
En comparant la forme algébrique et la forme trigonométrique de $Z$, on obtient:

$\dfrac{\sqrt{2}}{16} \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{-1+\sqrt{3}}{32} 
\iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{16}{\sqrt{2}} \times \dfrac{-1+\sqrt{3}}{32} 
\iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\[5pt]
\iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
\iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

\item 
\begin{tabular}[t]{@{}l@{ }l}
On admet que & 
$\sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \\
& et que pour tous réels $a$ et $b$,\: $\cos a \cos b - \sin a \sin b = \cos(a + b)$.
\end{tabular}

Soit $(E)$ l'équation : $\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right) \cos x - \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) \sin x = -2\sqrt{3}$.

$(E) 
\iff \left(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \cos x - \left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\iff \cos \dfrac{5\pi}{12} \cos x - \sin \dfrac{5\pi}{12} \sin x = \cos \dfrac{5\pi}{6}\\[5pt]
\phantom{(E)}
\iff \cos\left ( x+\dfrac{5\pi}{12}  \right ) = \cos  \dfrac{5\pi}{6}
\iff x+\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \text{ ou } x+\dfrac{5\pi}{12} = -\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \text{ avec } k\in\Z\\[5pt]
\phantom{(E)}
\iff x = \dfrac{5\pi}{12} + k2\pi \text{ ou } x = -\dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \text{ avec } k\in\Z$

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 3} (5 points)

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

%Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier
%cette réponse. 
%
%Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
u_0 & 14\\
u_{n+1} & 2u_n - 5.
\end{array}\right.$

Soit la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = u_n - 5$. Donc $u_n=t_n+5$.

\textbf{Affirmation A :} La suite $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique.

$t_{n+1} = u_{n+1} - 5 = \left (2 u_n-5\right ) - 5 = 2 u_n - 10 = 2 \left (t_n+5\right ) - 10 = 2t_n+10-10=2t_n$

Donc la suite $(t_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de 1\ier{} terme $t_0=u_0-5 = 14-5 = 9$.

\textbf{Affirmation A \red vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation B :} Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 9 \times 2^n + 5$.

La suite $(t_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $t_0=9$ donc, pour tout entier naturel $n$, $t_n=t_0\times q^n = 9\times 2^n$.

Pour tout $n$, $u_n=t_n+5$ donc pour tout $n$, $u_n=9 \times 2^n +5$.

\textbf{Affirmation B \red vraie}

\medskip

\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.

\textbf{Affirmation C :} Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,
$- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}$
alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{(-1)^n}{2}$. Cette suite n'est pas convergente mais elle vérifie  $- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}$.

\textbf{Affirmation C \red fausse}

\medskip

\item  \textbf{Affirmation D :} Pour tout entier naturel $n$ non nul,\\
$(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \cdots + (8 \times n + 3) = n( 4n + 7)$.

$(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \cdots + (8 \times n + 3)
= 8\times (1+2+\cdots + n) + 3n = 8 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + 3n\\[5pt]
\phantom{(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \cdots + (8 \times n + 3)}
= 4n(n+1) + 3n
= n(4n+4+3) = n(4n+7)$

\textbf{Affirmation D \red vraie}

\medskip

\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.

\textbf{Affirmation E :} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel non nul par $w_n=\dfrac{1}{n}$. Tous les termes de la suite sont strictement positifs et la suite $(w_n)$ converge vers 0.

\textbf{Affirmation E \red fausse}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 4} (6 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

Soit $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,
$g(x) = - 2x^3 + x^2 - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On étudie les variations de la fonction $g$ en déterminant le signe de sa dérivée.
		
$g'(x)=-6x^2+2x = 2x(-3x+1)$

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & 0 & \esp & \frac{1}{3} & \esp & +\infty \\
\hline
2x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
-3x+1 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
g'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		

Donc la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\left ] -\infty\,,\,0\right ]$, strictement croissante sur $\left [ 0\,,\, \frac{1}{3}\right ]$, et strictement décroissante sur $\left [ \frac{1}{3}\,,\,+\infty\right [$.
		
		\item On détermine les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		
La fonction $g$ est une fonction polynôme donc sa limite en l'infini est la limite en l'infini de son terme de plus haut degré:

$\ds\lim_{x \to -\infty} g(x) =\ds\lim_{x \to -\infty} -2x^3 = +\infty$ et 	
$\ds\lim_{x \to +\infty} g(x) =\ds\lim_{x \to +\infty} -2x^3 = -\infty$
		
	\end{enumerate}
	
\item% Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans $\R$, notée $\alpha$, et que $\alpha$ appartient à $[-1~;~0]$.
$g(0) = -1<0$, $g\left ( \frac{1}{3}\right ) = - \dfrac{26}{27}<0$ et $g(-1)=2>0$

On établit le tableau de variations de la fonction $g$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \esp \esp & 0 & \esp & \frac{1}{3} & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{+\infty} & &  & & \Rnode{max2}{-\frac{26}{27}} & & \\
 g(x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{-1} & & & & \Rnode{min2}{-\infty}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2}
\def\gau{-7.2} \def\gauc{-8.3}
\rput*(\gau,0.7){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(\gau,2.5){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
\rput*(\gauc,1.2){\Rnode{zero}{\blue 2}}
\rput(\gauc,2.5){\Rnode{alpha}{\blue -1}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On peut déduire de ce tableau de variations que l'équation $g(x)=0$ admet dans $\R$ une unique solution $\alpha$, et que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\cd -1\,,\, 0\cg$.

\item% En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
On déduit également du tableau que $g(x)>0$ sur $\cg -\infty\,,\,\alpha\cd$ et que $g(x)<0$ sur $\cg \alpha\,,\, +\infty\cd$. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

\[f(x) = \left(1 + x + x^2 + x^3\right)\text{e}^{-2x + 1}.\]

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to -\infty} \left (1+x+x^2+x^3\right ) = \ds\lim_{x\to -\infty} x^3 = -\infty\\[5pt]
\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds \lim_{x\to -\infty} -2x+1 = +\infty\\
\text{On pose } X=-2x+1\\
\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X} = +\infty
\end{array}
\right\rbrace
\implies \ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-2x+1} = +\infty
\end{array}
\right\rbrace
\stackrel{\text{produit}}{\implies}$

$\ds\lim\left (1+x+x^2+x^3\right )\e^{-2x+1} = -\infty$. Donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que, pour tout $x > 1$, $1 < x < x^2 < x^3$.
On multiplie l'inégalité $x>1$ par $x$ (strictement positif): $x^2>x$. On multiplie cette dernière inégalité par $x$ et on obtient $x^3 >x^2$.

Pour $x>1$, on a donc: $1<x<x^2<x^3$.
		
		\item% En déduire que, pour $x > 1$, $0 < f(x) < 4x^3 \text{e}^{-2x + 1}$.
Pour $x>1$, on a $1<x<x^2<x^3$ donc $0<1+x+x^2+x^3 < 4x^3$.

Comme pour tout $x$, $\e^{-2x+1}>0$, l'inégalité $0<1+x+x^2+x^3 < 4x^3$ entraîne \\
$0< \left (1+x+x^2+x^3\right )\e^{-2x+1} < 4x^3 \e^{-2x+1}$ ou autrement dit: $0< f(x) < 4x^3 \e^{-2x+1}$
				
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\text{e}^{-x} = 0$.

%Vérifier que, pour tout réel $x$,\: $4x^3\text{e}^{-2x + 1} = \dfrac{\text{e}}{2} (2x)^3\text{e}^{-2x}$ puis montrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 4x^3\text{e}^{-2x + 1}  = 0$.
$\left.
\begin{array}{@{} l}
\e^{-2x+1} = \e^{-2x} \times \e^{1} = \e \e^{-2x}\\
4x^3 = \dfrac{8x^3}{2} = \dfrac{1}{2} \left (2x\right )^3
\end{array}
\right\rbrace
\implies
4x^3\e^{-2x + 1} = \dfrac{\e}{2} (2x)^3\e^{-2x}$

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to +\infty} 2x = +\infty\\
\text{On pose } X = 2x\\
\ds\lim_{X\to +\infty} X^3 \e^{-X} = 0
\end{array}
\right\rbrace
\implies
\ds\lim_{x\to +\infty} (2x)^3 \e^{-2x} = 0
\iff
\ds\lim_{x\to +\infty} 4x^3 \e^{-2x+1} = 0$
		
		\item On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
		
%En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et en donner une interprétation graphique.

D'après la question précédente, si $x>1$, alors $0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$. Si $x$ tend vers $+\infty$, on peut supposer que $x>1$ donc l'inégalité $0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$ est vérifiée.

On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} 4x^3 \e^{-2x+1} = 0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)= 0$.

On en déduit que la courbe $\mathcal C_f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$.

	\end{enumerate}
\item%  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = \left(- 2x^3 + x^2 - 1\right)\text{e}^{-2x + 1}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et

$f'(x) = \left ( 1+2x+3x^2\right )\e^{-2x+1} + \left (1+x+x^2+x^3\right ) (-2) \e^{-2x+1}\\
\phantom{f'(x)}
= \left ( 1+2x+3x^2 -2 -2x -2x^2 -2x^3 \right ) \e^{-2x+1}
= \left ( -2x^3 +x^2 -1\right ) \e^{-2x+1} = g(x) \e^{-2x+1}$

\item%  À l'aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de $f$ sur $\R$.
Pour tout $x$, $\e^{-2x+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.

\begin{tabular}{@{} l @{ } l}
Donc: & sur $\cg -\infty\,,\,\alpha\cd$, $f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cg -\infty\,,\,\alpha\cg$;\\
 & sur $\cg \alpha \,,\,+\infty\cd$, $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cd \alpha \,,\,+\infty\cd$.
\end{tabular}


\end{enumerate}

\end{document}