\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%Tapuscrit :Jean-Claude Souque
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Hôtellerie},
pdftitle = {Antilles-Guyane Métropole 16 juin 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
%\textheight 23,5cm 
%\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane Métropole}}
\rfoot{\small{ juin 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Antilles-Guyane Métropole  juin 2016}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}


%Un artisan affine lui-même ses fromages. Sa cave en contient six cents.
%
%60\,\% de ces fromages sont fabriqués avec du lait de vache, un quart avec du lait de chèvre et le reste avec
%du lait de brebis.
%
%55\,\% des fromages de la cave sont fabriqués avec du lait cru, le reste est fabriqué avec du lait pasteurisé.
%
%Les deux-tiers des fromages fabriqués avec du lait de vache le sont avec du lait cru.
%
%Cinquante fromages sont fabriqués avec du lait de brebis pasteurisé.


\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau donné en \textbf{annexe (à rendre avec la copie)}.
Voir le tableau à la fin.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{60}{100} \times 600 = 60 \times 6 = 360$~fromages de vache ;
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{1}{4}\times 600 = 150$~fromages fromages de chèvre ; 
\item[$\bullet~~$]Il reste $600 - 360 - 150 = 600 - 510 = 90$~fromages de brebis.
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{55}{100} \times 600 = 55 \times 6 = 330$~fromages au lait cru ;
\item[$\bullet~~$]Donc $600 - 330 = 270$~fromages au lait pasteurisé ;
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{2}{3} \times 360 = 2 \times 120 = 240$~fromages de vache au lait cru.
\end{itemize}
\item %L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse : \og 25\,\% des fromages fabriqués avec du lait de brebis ou de chèvre sont produits à partir de lait pasteurisé \fg ? Justifier la réponse.
240 fromages sont fabriqués avec du lait de brebis ou de chèvre et $100 + 50 = 150$ le sont à partir de lait pasteurisé ; or $\dfrac{150}{240} = \dfrac{50}{80} = \dfrac{5}{8}  = \dfrac{62,5}{100} = 62,5\,\%$. L'affirmation est fausse.
\item %L’apprenti du fromager choisit au hasard un fromage dans la cave.

%On considère les évènements :
%\begin{description}
%\item[] $V$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de vache \fg ;
%\item[] $B$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis \fg ;
%\item[] $C$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait cru \fg.
%\end{description}
\begin{enumerate}
\item %Définir par une phrase l'évènement $\overline{V}$ puis calculer sa probabilité.
$\overline{V}$ : \og l'apprenti a choisi un fromage qui n'a pas été fabriqué avec du lait de vache \fg.

On a $p(V) = \dfrac{60}{100}$, donc $p\left(\overline{V} \right) = 1 - \dfrac{60}{100} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$.
\item %Définir par une phrase l'évènement $B\cap C$  puis calculer sa probabilité.
$B\cap C$ : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis cru\fg.

D'après le tableau $p(B \cap C) = \dfrac{50}{600} = \dfrac{5}{60} \approx 8,3\,\%$.
\item %Comment se note l'évènement : \og l'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis ou avec du lait cru \fg{} ?
\og L'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis ou avec du lait cru \fg{} est l'évènement $B \cup C$.

On a $p(B \cup C) = p(B) + p(C) - p(B \cap C) = \dfrac{90}{600} + \dfrac{330}{600} -\dfrac{50}{600} = \dfrac{370}{600} \approx 61,7\,\%$.
%Calculer la probabilité de cet évènement.
\end{enumerate}
\item %L'apprenti a choisi un fromage fabriqué avec du lait de brebis.

%Quelle est la probabilité que ce fromage soit fabriqué avec du lait cru ?
Il faut trouver : $p_B(C) = \dfrac{40}{90} =  \dfrac{4}{9} \approx 44,4\,\%$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(11 points)}

\medskip

%Le tempérage est une technique utilisée pour obtenir un chocolat craquant et brillant, destiné à réaliser des enrobages, des bonbons, des moulages\dots
%
%Tempérer le chocolat consiste à le travailler en trois étapes afin de lui donner une forme stable.
%
%On s’intéresse ici uniquement au tempérage du chocolat noir.
%
%\begin{itemize}
%\item [$\bullet$]  \textbf{Première étape : fonte ou pré-cristallisation.} Cette étape consiste à chauffer le chocolat pour le
%rendre liquide. Pour le chocolat noir, ceci est réalisé pour toute température comprise entre 45~\degres C
%et 55~\degres C. Le dépassement de cette dernière température risque de cuire le chocolat et de le rendre
%inutilisable pour la suite.
%\item [$\bullet$] \textbf{ Deuxième étape : cristallisation.} Au cours de cette étape, on laisse refroidir le chocolat pour
%qu’il atteigne une température inférieure à 31~\degres C, avant qu’il ne soit réchauffé.
%\item [$\bullet$] \textbf{Troisième étape : utilisation}. Au cours de cette étape, on réchauffe le chocolat pour qu’il atteigne sa température idéale de travail, à savoir 31~\degres C.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%La courbe donnée \textbf{en annexe} est la courbe de référence utilisée pour le tempérage du chocolat noir.
%
%\medskip

\textbf{Partie A : étude du tempérage du chocolat noir.}
%\medskip
%
%\emph{La courbe donnée en annexe pourra être utilisée comme support d’explication des réponses.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Combien de temps la première étape dure-t-elle ?
La température est maximale au bout de 4~min.
\item %Quelle est la température à la fin de l'étape de cristallisation ?
À la 11\up{e}~minute la température de cristallisation est d'environ 26\degres~C.
\item %Un pâtissier désire préparer des bonbons au chocolat. Pour cela, il doit tempérer du chocolat noir. Au bout de 5 minutes, le thermomètre indique une température de 60~\degres C.
%Le chef pâtissier lui demande de recommencer l'opération. Pourquoi ?
La température a dépassé les 55\degres~C ; le chocolat a été cuit : le tempérage ne peut être réalisé.
\item  %À un moment donné de l'étape de cristallisation, le thermomètre indique 41~\degres C.

%Combien de temps reste-t-il avant que le chocolat atteigne sa température idéale de travail ?
À l'étape de cristallisation, le thermomètre indique 41\degres~C à la 7\up{e} minute. Il reste donc 

$12,5 - 7 = 5,5$~minutes de refroidissement pour atteindre la température idéale soit 5 min 30 s.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B : modélisation.}
\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~12,5] par :

\[f(t) = 0,14t^3 - 3,15t^2 + 18,48t + 18\]

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle [0~;~12,5], et on note $f'$ sa fonction dérivée.
%
%Lorsque $t$ représente le temps (en minute), on admet que $f(t)$ modélise la température (en degré Celsius)
%du chocolat à l'instant $t$, au cours d’une opération de tempérage.

\begin{enumerate}
\item  %Pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0~;~12,5]$, calculer $f'(t)$ et vérifier que :
Pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0~;~12,5]$ on a :

$f'(t) = 3 \times 0,14t^2 - 2\times 3,15 t + 18,48 = 0,42t^2 - 6,3t + 18,48$.

Or $(t-4)(t-11) = t^2 - 11t - 4t + 44 = t^2 - 15t + 44$, d'où 

$0,42 (t-4)(t-11) = 0,42\left(t^2 - 15t + 44 \right) = 0,42t^2 - 6,3t + 18,48.$ On a bien 

\[f'(t)= 0,42(t - 4)(t - 11).\]

\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle[0~;~12,5].
Comme $0,42 > 0$, le signe de $f'(t)$ est celui du produit $(t - 4)(t - 11)$ que l'on obtient par un tableau de signes. Le signe de ce produit est celui de la dérivée qui donne les variations de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(11,4)
\psframe(-1,0)(11,4)\psline(-1,2)(11,2)\psline(-1,2.5)(11,2.5)\psline(-1,3)(11,3)
\psline(-1,3.5)(11,3.5)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3.4){$x$}  \uput[u](2.1,3.4){$0$}  \uput[u](5,3.4){$4$}  \uput[u](8,3.4){$11$}  \uput[u](10.7,3.4){$12,5$}
\uput[u](0.5,2.9){signe $t - 4$}\uput[u](3.5,2.9){$-$}\uput[u](5,2.9){$0$} \uput[u](6.5,2.9){$+$} \uput[u](9.5,2.9){$+$}  
\uput[u](0.5,2.4){signe $t - 11$}\uput[u](3.5,2.4){$-$}\uput[u](6.5,2.4){$-$}\uput[u](8,2.4){$0$}\uput[u](3.5,2.4){$+$}
\uput[u](0.5,1.9){signe $(t - 4)(t - 11)$}\uput[u](3.5,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,1.9){$-$}\uput[u](8,1.9){$0$}\uput[u](9.5,1.9){$+$}
\uput[u](2.2,00){18}\uput[d](5,2){50,48} \uput[u](8,0){26,47}\uput[d](10.6,2){30,25} 
\rput(0.5,1){$f$} 
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Selon ce modèle, quelle est la température maximale atteinte lors du tempérage de ce chocolat noir ?
La température maximale est donc $f(4) = 50,48$.
\item %Selon ce modèle, quelle est la température atteinte au bout de 12,5 minutes ?
Selon ce modèle,  la température atteinte au bout de 12,5 minutes est $f(12,5) = 30,25$, donc comme on l'avait vu un peu moins de 31\degres~C.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice  1}}

\smallskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabular}{|m{4.15cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.5cm}|}c|}
\hline
	&Fromages au lait de vache&Fromages au lait de chèvre& Fromages au lait
de brebis& Total\\\hline
Fromages au lait cru		&240	&50		&40	&330\\\hline
Fromages au lait pasteurisé	&120	&100 	&50	&270\\\hline
Total 						&360	&150	&90	&600\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice  2}}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13.9,70)
\multido{\n=0+0.5}{27}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,-0.5)(\n,65)}
\multido{\n=-0.5+5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(13.15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.75,-1.75)(13.5,70)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.5}{0.14*x^3-3.15*x^2+18.48*x+18}
\uput[ur](0,62.5){\emph{température (en \degres~C)} }
\uput[u](12,0){\emph{temps (en minutes)}}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}