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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{26 septembre 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud 26 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).\]

%On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
$\bullet~~$Limite en 0 : On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2\ln (x) = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : en écrivant $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))$, on a :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2 = + \infty, \:\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2\ln (x) = - \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - 2\ln (x) = - \infty$ et enfin par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$.
\item %Montrer que pour tout réel $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f'(x) = - 4x\ln (x)$.

Pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[, \: f'(x) = 2x - 4x\ln (x) - 2x^2 \times \dfrac1x = 2x - 4x\ln (x) - 2x = - 4x\ln (x)$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Puisque $x \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $\ln (x)$.

On sait que $\ln (x) < 0$ sur $[0~;~1[$, donc $f'(x) > 0$ sur $[0~;~1[$ et que 

$\ln (x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$, donc $f'(x) < 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.

La fonction $f$ est donc :

$\bullet~~$croissante sur [0~;~1] de 1 à $f(1) = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 0 = 2$ ;

$\bullet~~$décroissante sur $[1~;~+\infty[$ de 2 à moins l'infini.

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,1.5)(7,1.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)\psline(1.1,0)(1.1,2)\psline(1.15,0)(1.15,2)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.125,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$1$} \uput[u](6.5,1.9){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.4){$f'(x)$} \uput[u](2,1.4){$+$} \uput[u](4,1.4){$0$} \uput[u](5.5,1.4){$-$}
\rput(0.5,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.25,0){1}\uput[d](4,1.5){2} \uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.6,1.3)\psline{->}(4.4,1.3)(6.6,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ et que $\alpha \in [1~;~\text{e}]$.
La fonction $f$ est continue car dérivable sur l'intervalle $[1~;~+ \infty]$ et décroissante de 2 à moins l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha$, avec $\alpha \in ]1~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$.

Comme $f(\e) = 1 + \e^2(1 - 2\ln \e) = 1 + \e^2(1 - 2) = 1 - \e^2 \approx - 6,4$.

En appliquant le même théorème, on a donc $1 < \alpha < \e$.
\end{enumerate}

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0~;~1].

\emph{Rem. } : comme $0 \notin [1~;~2]$ le même théorème montre qu'il n'existe pas de réel $\beta \in [0~;~1]$ tel que $f(\beta) = 0$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction \emph{from lycee import *} permet d'accéder à la fonction ln.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
%from lycee import *\\
%\\
%def f(x) :\\
%\qquad return 1+x**22-2*x**2*ln(x)\\
%\\
%def dichotomie(p)\\
%\qquad a=1\\
%\qquad b=2.7\\
%\qquad while b-a > 10**(-p) :\\
%\qquad \begin{tabular}{|l}
%\quad if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :\\
%\quad |\quad b = (a+b)/2\\
%\quad else :\\
%\quad |\quad a=(a+b)/2\\
%\qquad  return (a,b)
%\end{tabular}
%
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%Il écrit dans la console d'exécution :
%
%$>>>$ {\ttfamily dichotomie(1)}
%
%Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affiché par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination)
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{l l}
%Proposition A :&(1.75, 1.9031250000000002)\\
%Proposition B :&(1.85, 1.9031250000000002)\\
%Proposition C :&(2.75, 2.9031250000000002)\\
%Proposition D :&(2.85, 2.9031250000000002)\\
%\end{tabular}
%\end{center}

On part de l'intervalle [1~;~2,7], (avec $\e \approx 2,7$)
{\ttfamily dichotomie(1)} donne par dichotomie un encadrement de $\alpha$ par deux réels $a$ et $b$ tels que $b - a \leqslant 10^{-1}$.

Comme $\alpha \approx 1,9$, C et D sont exclus et A ne donne pas un encadrement au dixième : reste la proposition B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, par 
\[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.\]

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
$g$ est un quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, le dénominateur étant non nul (supérieur ou égal à 1), donc quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[$ :

$g'(x) = \dfrac{\dfrac 1x \times \left(1 + x^2\right) - 2x \ln (x)}{\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{\dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x}}{\left(1 + x^2\right)^2}  = \dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
\item %Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$

%On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
Le résultat précédent montre que puisque $x > 0$ et $\left(1 + x^2\right)^2 > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur donc le signe de $f(x)$.

Or on a vu (Partie A question 3.) que $f(x) > 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $f(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

La fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;~\alpha]$, puis décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$ avec un maximum $g(\alpha)$.

\emph{Rem.} : on sait que $f(\alpha) = 0 \iff 1 + \alpha^2 - 2\alpha^2 \ln \alpha \iff 2\alpha^2 \ln \alpha = 1 + \alpha^2 \iff $

$\ln \alpha = \dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}$.

Donc $g(\alpha) = \dfrac{f(\alpha)}{1 + \alpha^2} = \dfrac{\dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}}{1 + \alpha^2} = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.

$\bullet~~$On a $M(x~;~y) \in T_1 \iff y - g(1) = g'(1)(x - 1) \iff y - 0 = \dfrac12(x - 1) = \dfrac12 x - \dfrac12$ ;

$\bullet~~$On a vu que la fonction a un maximum en $\alpha$ et en ce point le nombre dérivé égal au coefficient directeur de la tangente en ce point (donc $T_{\alpha}$) est nul : la tangente est donc horizontale d'équation $y = g(\alpha)$ ou $y = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. 
%Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.

Donc $M(x~;~y) \in T_1 \cap T_{\alpha} \iff \dfrac12 x - \dfrac12 = \dfrac{1}{2\alpha^2}$, soit 

$x - 1 = \dfrac{1}{\alpha^2} \iff x = 1 + \dfrac{1}{\alpha^2}$ et $y = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

Donc $T_1 \cap T_{\alpha}\left(1 + \dfrac{1}{\alpha^2}~;~\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Entre 1998 et 2020, en France \np{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels
%\np{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \np{4921} ont donné naissance à au moins trois enfants.
	\begin{enumerate}
		\item %Avec une précision de 0,1\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
		On a $\dfrac{\np{4921}}{\np{18221965}} \approx \np{0,0161} \approx 1,6\,\%$.
		\item %Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1\,\%.
De même $\dfrac{\np{4921}}{\np{18221965}} \approx \np{0,0003}< 0,001$ soit moins de 0,1\,\%.
%On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

%On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
%
%On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux
%enfants.
%
%On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.
%
%La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d'un accouchement double
%est alors égale à $0,016$.
%
%Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
	\end{enumerate}
\item %On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

%On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

%On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour.
	\begin{enumerate}
		\item %Dans le cas où $n =  20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.
Les 20 accouchements sont des évènements indépendants et la probabilité d'avoir une naissance est égale à 0,016, donc la variable $X$ suit une loi binomiale 

$\mathcal{B}(20~;~0,016)$.

On a $p(X = 1) = 20 \times 0,016 \times 0984^{19} \approx \np{0,2355}$ soit 0,236 au millième près.
		\item %Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.
		
On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,984^n \times 0,016^0  = 1 - 0,984^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,984^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,984^n \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $\ln 0,01 \geqslant n \ln 0,984 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{ \ln 0,984}$ soit $n \geqslant 285,5$.

Donc en moyenne, sur 286 accouchements il y a un accouchement double.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30\,\% de jumeaux
monozygotes (appelés \og  vrais jumeaux \fg{} qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés \og  faux jumeaux \fg, qui
peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d'être un garçon à la
naissance est égale à $0,51$.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du
second nouveau--né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$ : \og  les jumeaux sont monozygotes \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F_1$ : \og  le premier nouveau--né est une fille \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F_2$ : \og  le second nouveau--né est une fille \fg.
\end{itemize}

\emph{On notera $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\naput{0,3}}
	{\pstree{\TR{$F_1$}\naput{0,49}}
		{\TR{$F_2$}\naput{1}	
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}\naput{0,51}}
		{\TR{$\overline{F_2}$}\nbput{1}	
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\nbput{0,7}}
	{\pstree{\TR{$F_{1}$~}\naput{0,49}}
		{\TR{$F_2$}\naput{0,49}
		\TR{$\overline{F_2}$}\nbput{0,51}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}\naput{0,51}}
		{\TR{$F_2$}\naput{0,49}
		\TR{$\overline{F_2}$}\nbput{0,51}
		}
	}
}
\end{center}
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item %Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
Voir ci-dessus
		\item %Montrer que la probabilité que les deux nouveaux--nés soient des filles est \np{0,31507}.
On a en suivant les première et troisième branche de l'arbre pondéré :

$p\left(F_1 \cap F_2 \right) = 0,3 \times 0,49 \times 1 + 0,7 \times 0,49 \times 0,49 = 0,147 + \np{0,16807} = \np{0,31507} \approx 0,316$.
		\item %Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.
Sachant que les nouveaux-nés sont des jumelles, la probabilité qu'elles soient monozygotes est la probabilité conditionnelle :

$p_{F_1 \cap F_2} (M) = \dfrac{p(M \cap (F_1 \cap F_2))}{p(F_1 \cap F_2)} = \dfrac{0,3 \times 0,49 \times 1}{\np{0,31507}} \approx \np{0,4665}$ soit 0,467 au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 
\begin{center}A(0~;~4~;~16), \quad B$(0~;~4~;~- 10)$, \quad C$(4~;~-8~;~0)$\quad et\quad  K(0~;~4~;~3).\end{center}

%On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que
%KM $= 13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que le point C appartient à la sphère S
		On a CK$^2 = (4 - 0)^2 + (- 8 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 16 + 144 + 9 = 169 = 13^2$, donc 
		
CK $ = 13 \iff \text{C} \in S$.
		\item %Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
Calculons les coordonnées de $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}, \: \vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$

D'où le produit scalaire : $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{BC}} = 16 + 144 - 160 = 160 - 160 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires en C, donc le triangle ABC est rectangle en C.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
$\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 12 - 12 + 0 = 0$ : $\vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{AC}}$ ;

$\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{BC}} = 12 - 12 + 0 = 0$ : $\vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{BC}}$.

Les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées sont égales mais pas les dernières), donc $\vect{n}$ normal deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est normal à ce plan.
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
		On sait qu'alors les coordonnées de $\vect{n}$ sont les coefficients de $x$, \: $y$ et $z$ dans l'équation du plan (ABC).
		
On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y + d = 0$, avec $d \in \R$.
		
Or par exemple :
		
C$(4~;~-8~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 3\times 4  + (- 8) + d = 0 \iff 12 - 8 + d = 0 \iff d = - 4$.
		
Finalement $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

%On note D celui qui a une abscisse positive.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point D a pour coordonnées (12~;~0~;~0).
Si D appartient à l'axe des abscisses son ordonnée et sa cote sont nuls, donc D a pour coordonnées $(x~;~0~;~;0)$.

De plus KD $ = 13 \Rightarrow \text{KD}^2 = 13^2 = 169 = (x - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 3)^2\iff (x - 0)^2 + 16 + 9 = 169 \iff \iff x^2 = 144 \iff x^2 = 12^2 \iff x ^2 - 12^2 = 0 \iff (x + 12)(x - 12) = 0\left\{\begin{array}{l c l}
x - 4 + 12&=&0\\
x - -&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + 12&=&0\\
x - 12&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 12\\
x &=& 12
\end{array}\right.$

Conclusion D(12~;~0~;~0).
		\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).
Si la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC) un de ses vecteurs directeurs est le vecteur $\vect{n}$ normal à ce plan. On a donc :

$M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{D}M} = t\vect{n}$, avec $t \in \R$. Cette égalité se traduit par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 12&=&3t\\
y - 0&=&1t\\
z - 0&=&0t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=&12 + 3t\\
y &=&t\\
z &=&0t
\end{array}\right.$.
		\item  %Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
		D appartient à $\Delta$ perpendiculaire au plan (ABC) ; cherchons les coordonnées du projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) : I
		
		I appartient au plan (ABC) et appartient à $\Delta$, ses coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient donc l'équation du plan (ABC) et les équations paramétriques de $\Delta$ soit le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&12 + 3t\\
y &=&t\\
z &=&0t\\
3x + y - 4&=&0
\end{array}\right.$

En remplaçant dans la dernière équation $x$ et $y$ par leurs valeurs en fonction de $t$ on obtient $3(12 + 3t) + t - 4 = 0 \iff 36 + 9t + t - 4 = 0 \iff 10t + 32 = 0$

$\iff 10t = - 32 \iff t = - \dfrac{32}{10} = - \dfrac{16}{5}$.

En reportant cette valeur dans les deux premières équations de $\Delta$, on obtient :

$x = 12 -3 \times \dfrac{16}{5} = \dfrac{60}{5} - \dfrac{48}{5} = \dfrac{12}{5}$ ;
$y = - \dfrac{16}{5}$ et $z = 0$.

I$\left(\dfrac{12}{5}~;~- \dfrac{16}{5}~;0\right)$.

On calcule DI$^2 = \left(\dfrac{12}{5} - 12 \right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5} - 0 \right)^2 + 0^2 = \left(-\dfrac{48}{5}\right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5}\right)^2 = \dfrac{\np{2304}}{25} + \dfrac{256}{25} = \dfrac{\np{2560}}{25} = \dfrac{256 \times 10}{25}$.

Finalement DI $= \sqrt{\dfrac{256 \times 10}{25}} = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

%\emph{On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre}
%\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.\]
%
%\emph{où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
En prenant la base (ABC) rectangle en C : son aire est donc égale à :
$\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}$.

AC$^2 = 16 + 144  + 256 = 416$ ; AC $ = \sqrt{416}$ ;

BC$^2 = 16 + 144 + 100 = 260$ ; BC $ = \sqrt{260}$.

Donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\sqrt{416} \times \sqrt{260}}{2} = 52\sqrt{10}$

Donc avec $h = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}$, on obtient :

$V = \dfrac13 \times 52\sqrt{10} \times \dfrac{16 \sqrt{10}}{5} = \dfrac{\np{1664}}{3} \approx 554,7$ soit 555 à l'unité près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =  0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} =  2u_n\left(1 - u_n\right).\]

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} =  f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = 2x(1 - x).\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.
$f$ est une fonction polynomiale donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f(x) = 2x - 2x^2$, d'où $f'(x) = 2 - 4x = 2(1 - 2x)$.

On a :

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff 1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac12$ ;

$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff 1 - 2x > 0 \iff x < \dfrac12$ ; la dérivée est positive sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$, la fonction $f$ est donc croissante sur cet intervalle.

$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff 1 - 2x < 0 \iff x > \dfrac12$ ;
\item On admet que pour tout entier naturel $n,\:0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.

%Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1}$.
$\bullet~~$$u_1 = 2u_0\left(1 - u_0\right) = 2\times 0,3 \times 0,7= 0,42$.

$\bullet~~$Démonstration par récurrence :

\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation} : on a $u_0 \leqslant u_1$ car $0,3 \leqslant 0,42$.
\item \emph{Hérédité} On suppose qu'il existe $n \in \N$  tel que $u_n \leqslant u_{n+1}$.

Comme on suppose que $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12$ on a par croissance de la fonction $f$ sur $\left[0~;~\dfrac12\right], \: \:f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(\dfrac12\right)$, soit 

$u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2 \times \dfrac12 \times \dfrac12$, ou encore $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac12$ : l'encadrement est vrai au rang $n+1$.

La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence on a démontré que :

pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12$
\end{itemize}

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Cet encadrement montre que 
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et
\item la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\dfrac12$.
\end{itemize}

Conclusion la suite $\left(u_n\right)$ croissante et majorée converge vers une limite $\ell \leqslant \dfrac12$.

\item %Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac12$.
La fonction $f$ étant continue on a donc :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f\left(u_n\right) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2u_n\left(1 - u_n\right)$, soit 

$\ell = 2\ell(1 - \ell) \iff \ell = 2\ell - 2\ell^2 \iff 2\ell^2 - \ell = 0 \iff \ell\left(2\ell - 1\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\ell&=&0\\
2\ell - 1&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\ell&=&0\\
\ell &=&\dfrac12
\end{array}\right.$ La seule solution acceptable est $\ell = \dfrac12$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.
%
%En 2022, cette population compte \np{3000} individus.
%
%\smallskip
%
%On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.
%
%Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :

\begin{center}$P_{n+1} -  P_n = P_n\left(1 -  b \times P_n\right)$, où $b$ est un réel strictement positif.\end{center}

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des
ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question $b  = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		La relation de récurrence s'écrit alors $P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0 \times P_n\right)$, soit 

$P_{n+1} - P_n = P_n \iff P_{n+1}  = 2 P_n$, donc $P_{n+1} = 2 P_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $P_0 = 3$.
		\item %Déterminer la limite de $P_n$.
On sait quel que soit $n \in \N$, \: $P_n = P_0 \times 2^n = 3 \times 2^n$ : la limite de la suite $\left(P_n\right)$ est plus l'infini (irréaliste)
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0,2$. On a donc $P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0,2P_n\right)$
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.

%Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:$v_{n+1} = 2v_n\left(1 - v_n \right)$.
On a $v_0 = 0,1 \times P_0 = 0,1 \times 3 = 0,3$.

La relation de récurrence devient :

$P_{n+1} -  P_n = P_n\left(1 -  0,2 \times P_n\right) \iff P_{n+1} -  P_n = P_n - 0,2P_n^2$, d'où

$P_{n+1} = 2P_n - 0,2P_n^2$. \: (1)

Or $v_{n+1} = 0,1P_{n+1} = 0,1\left(2P_n - 0,2P_n^2\right) = 0,2\left(P_n - 0,1P_n^2\right)$.

Comme $v_n = 0,1 \times P_n \iff 10v_n = P_n$, l'égalité ci-dessus devient :

$v_{n+1} = 0,2\left(10v_n - 0,1 \times \left(10v_n\right)^2\right)$, soit 

$v_{n+1} = 0,2\left(10v_n - 10v_n^2\right) = 2v_n \left(1 - v_n\right)$.
		\item %Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.
La relation de la question précédente montre que la suite $\left(v_n \right)$ est la suite $\left(u_n \right)$ de la \textbf{Partie A} et on a vu que cette suite converge vers $\dfrac12$.

On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac12$.

Or $P_n = 10v_n$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P_n = 10 \times \dfrac12 = 5$.

Finalement la population se rapprochera de \np{5000}~individus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}