\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Amérique du Sud 26 septembre 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{26 septembre 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud 26 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).\] %On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée \medskip \begin{enumerate} \item ~%Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. $\bullet~~$Limite en 0 : On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2\ln (x) = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. $\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : en écrivant $f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))$, on a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2 = + \infty, \:\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2\ln (x) = - \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - 2\ln (x) = - \infty$ et enfin par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$. \item %Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f'(x) = - 4x\ln (x)$. Pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[, \: f'(x) = 2x - 4x\ln (x) - 2x^2 \times \dfrac1x = 2x - 4x\ln (x) - 2x = - 4x\ln (x)$. \item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Puisque $x \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $\ln (x)$. On sait que $\ln (x) < 0$ sur $[0~;~1[$, donc $f'(x) > 0$ sur $[0~;~1[$ et que $\ln (x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$, donc $f'(x) < 0$ sur $]1~;~+ \infty[$. La fonction $f$ est donc : $\bullet~~$croissante sur [0~;~1] de 1 à $f(1) = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 0 = 2$ ; $\bullet~~$décroissante sur $[1~;~+\infty[$ de 2 à moins l'infini. \begin{center} \psset{xunit=1.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,2.5) \psframe(7,2.5)\psline(0,1.5)(7,1.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)\psline(1.1,0)(1.1,2)\psline(1.15,0)(1.15,2) \uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.125,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$1$} \uput[u](6.5,1.9){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.4){$f'(x)$} \uput[u](2,1.4){$+$} \uput[u](4,1.4){$0$} \uput[u](5.5,1.4){$-$} \rput(0.5,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.25,0){1}\uput[d](4,1.5){2} \uput[u](6.5,0){$- \infty$} \psline{->}(1.5,0.4)(3.6,1.3)\psline{->}(4.4,1.3)(6.6,0.4) \end{pspicture} \end{center} \item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ et que $\alpha \in [1~;~\text{e}]$. La fonction $f$ est continue car dérivable sur l'intervalle $[1~;~+ \infty]$ et décroissante de 2 à moins l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha$, avec $\alpha \in ]1~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. Comme $f(\e) = 1 + \e^2(1 - 2\ln \e) = 1 + \e^2(1 - 2) = 1 - \e^2 \approx - 6,4$. En appliquant le même théorème, on a donc $1 < \alpha < \e$. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0~;~1]. \emph{Rem. } : comme $0 \notin [1~;~2]$ le même théorème montre qu'il n'existe pas de réel $\beta \in [0~;~1]$ tel que $f(\beta) = 0$. \begin{enumerate}[resume] \item %On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction \emph{from lycee import *} permet d'accéder à la fonction ln. %\begin{center} %\begin{tabular}{>{\ttfamily}l} %from lycee import *\\ %\\ %def f(x) :\\ %\qquad return 1+x**22-2*x**2*ln(x)\\ %\\ %def dichotomie(p)\\ %\qquad a=1\\ %\qquad b=2.7\\ %\qquad while b-a > 10**(-p) :\\ %\qquad \begin{tabular}{|l} %\quad if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :\\ %\quad |\quad b = (a+b)/2\\ %\quad else :\\ %\quad |\quad a=(a+b)/2\\ %\qquad return (a,b) %\end{tabular} % %\end{tabular} %\end{center} % %\medskip % %Il écrit dans la console d'exécution : % %$>>>$ {\ttfamily dichotomie(1)} % %Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affiché par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination) % %\medskip % %\begin{center} %\begin{tabular}{l l} %Proposition A :&(1.75, 1.9031250000000002)\\ %Proposition B :&(1.85, 1.9031250000000002)\\ %Proposition C :&(2.75, 2.9031250000000002)\\ %Proposition D :&(2.85, 2.9031250000000002)\\ %\end{tabular} %\end{center} On part de l'intervalle [1~;~2,7], (avec $\e \approx 2,7$) {\ttfamily dichotomie(1)} donne par dichotomie un encadrement de $\alpha$ par deux réels $a$ et $b$ tels que $b - a \leqslant 10^{-1}$. Comme $\alpha \approx 1,9$, C et D sont exclus et A ne donne pas un encadrement au dixième : reste la proposition B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, par \[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.\] On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$. $g$ est un quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, le dénominateur étant non nul (supérieur ou égal à 1), donc quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[$ : $g'(x) = \dfrac{\dfrac 1x \times \left(1 + x^2\right) - 2x \ln (x)}{\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{\dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x}}{\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$. \item %Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$ %On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. Le résultat précédent montre que puisque $x > 0$ et $\left(1 + x^2\right)^2 > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur donc le signe de $f(x)$. Or on a vu (Partie A question 3.) que $f(x) > 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $f(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$. La fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;~\alpha]$, puis décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$ avec un maximum $g(\alpha)$. \emph{Rem.} : on sait que $f(\alpha) = 0 \iff 1 + \alpha^2 - 2\alpha^2 \ln \alpha \iff 2\alpha^2 \ln \alpha = 1 + \alpha^2 \iff $ $\ln \alpha = \dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}$. Donc $g(\alpha) = \dfrac{f(\alpha)}{1 + \alpha^2} = \dfrac{\dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}}{1 + \alpha^2} = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. \item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$. $\bullet~~$On a $M(x~;~y) \in T_1 \iff y - g(1) = g'(1)(x - 1) \iff y - 0 = \dfrac12(x - 1) = \dfrac12 x - \dfrac12$ ; $\bullet~~$On a vu que la fonction a un maximum en $\alpha$ et en ce point le nombre dérivé égal au coefficient directeur de la tangente en ce point (donc $T_{\alpha}$) est nul : la tangente est donc horizontale d'équation $y = g(\alpha)$ ou $y = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. %Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$. Donc $M(x~;~y) \in T_1 \cap T_{\alpha} \iff \dfrac12 x - \dfrac12 = \dfrac{1}{2\alpha^2}$, soit $x - 1 = \dfrac{1}{\alpha^2} \iff x = 1 + \dfrac{1}{\alpha^2}$ et $y = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. Donc $T_1 \cap T_{\alpha}\left(1 + \dfrac{1}{\alpha^2}~;~\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item %Entre 1998 et 2020, en France \np{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels %\np{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \np{4921} ont donné naissance à au moins trois enfants. \begin{enumerate} \item %Avec une précision de 0,1\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020. On a $\dfrac{\np{4921}}{\np{18221965}} \approx \np{0,0161} \approx 1,6\,\%$. \item %Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1\,\%. De même $\dfrac{\np{4921}}{\np{18221965}} \approx \np{0,0003}< 0,001$ soit moins de 0,1\,\%. %On considère alors que ce pourcentage est négligeable. %On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant. % %On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux %enfants. % %On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double. % %La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d'un accouchement double %est alors égale à $0,016$. % %Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième. \end{enumerate} \item %On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements. %On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres. %On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour. \begin{enumerate} \item %Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double. Les 20 accouchements sont des évènements indépendants et la probabilité d'avoir une naissance est égale à 0,016, donc la variable $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(20~;~0,016)$. On a $p(X = 1) = 20 \times 0,016 \times 0984^{19} \approx \np{0,2355}$ soit 0,236 au millième près. \item %Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$. On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,984^n \times 0,016^0 = 1 - 0,984^n$. Il faut donc résoudre l'inéquation : $1 - 0,984^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,984^n \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $\ln 0,01 \geqslant n \ln 0,984 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{ \ln 0,984}$ soit $n \geqslant 285,5$. Donc en moyenne, sur 286 accouchements il y a un accouchement double. %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés \og vrais jumeaux \fg{} qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés \og faux jumeaux \fg, qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille). Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à $0,51$. Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau--né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né. On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$M$ : \og les jumeaux sont monozygotes \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$F_1$ : \og le premier nouveau--né est une fille \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$F_2$ : \og le second nouveau--né est une fille \fg. \end{itemize} \emph{On notera $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$M$~~}\naput{0,3}} {\pstree{\TR{$F_1$}\naput{0,49}} {\TR{$F_2$}\naput{1} } \pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}\naput{0,51}} {\TR{$\overline{F_2}$}\nbput{1} } } \pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\nbput{0,7}} {\pstree{\TR{$F_{1}$~}\naput{0,49}} {\TR{$F_2$}\naput{0,49} \TR{$\overline{F_2}$}\nbput{0,51} } \pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}\naput{0,51}} {\TR{$F_2$}\naput{0,49} \TR{$\overline{F_2}$}\nbput{0,51} } } } \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item %Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus. Voir ci-dessus \item %Montrer que la probabilité que les deux nouveaux--nés soient des filles est \np{0,31507}. On a en suivant les première et troisième branche de l'arbre pondéré : $p\left(F_1 \cap F_2 \right) = 0,3 \times 0,49 \times 1 + 0,7 \times 0,49 \times 0,49 = 0,147 + \np{0,16807} = \np{0,31507} \approx 0,316$. \item %Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes. Sachant que les nouveaux-nés sont des jumelles, la probabilité qu'elles soient monozygotes est la probabilité conditionnelle : $p_{F_1 \cap F_2} (M) = \dfrac{p(M \cap (F_1 \cap F_2))}{p(F_1 \cap F_2)} = \dfrac{0,3 \times 0,49 \times 1}{\np{0,31507}} \approx \np{0,4665}$ soit 0,467 au millième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip %Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points \begin{center}A(0~;~4~;~16), \quad B$(0~;~4~;~- 10)$, \quad C$(4~;~-8~;~0)$\quad et\quad K(0~;~4~;~3).\end{center} %On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que %KM $= 13$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que le point C appartient à la sphère S On a CK$^2 = (4 - 0)^2 + (- 8 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 16 + 144 + 9 = 169 = 13^2$, donc CK $ = 13 \iff \text{C} \in S$. \item %Montrer que le triangle ABC est rectangle en C. Calculons les coordonnées de $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}, \: \vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$ D'où le produit scalaire : $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{BC}} = 16 + 144 - 160 = 160 - 160 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires en C, donc le triangle ABC est rectangle en C. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~%Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). $\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 12 - 12 + 0 = 0$ : $\vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{AC}}$ ; $\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{BC}} = 12 - 12 + 0 = 0$ : $\vect{n}$ est orthogonal à $\vect{\text{BC}}$. Les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées sont égales mais pas les dernières), donc $\vect{n}$ normal deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est normal à ce plan. \item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). On sait qu'alors les coordonnées de $\vect{n}$ sont les coefficients de $x$, \: $y$ et $z$ dans l'équation du plan (ABC). On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y + d = 0$, avec $d \in \R$. Or par exemple : C$(4~;~-8~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 3\times 4 + (- 8) + d = 0 \iff 12 - 8 + d = 0 \iff d = - 4$. Finalement $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y - 4 = 0$. \end{enumerate} \item %On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative. %On note D celui qui a une abscisse positive. \begin{enumerate} \item %Montrer que le point D a pour coordonnées (12~;~0~;~0). Si D appartient à l'axe des abscisses son ordonnée et sa cote sont nuls, donc D a pour coordonnées $(x~;~0~;~;0)$. De plus KD $ = 13 \Rightarrow \text{KD}^2 = 13^2 = 169 = (x - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 3)^2\iff (x - 0)^2 + 16 + 9 = 169 \iff \iff x^2 = 144 \iff x^2 = 12^2 \iff x ^2 - 12^2 = 0 \iff (x + 12)(x - 12) = 0\left\{\begin{array}{l c l} x - 4 + 12&=&0\\ x - -&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x + 12&=&0\\ x - 12&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&- 12\\ x &=& 12 \end{array}\right.$ Conclusion D(12~;~0~;~0). \item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC). Si la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC) un de ses vecteurs directeurs est le vecteur $\vect{n}$ normal à ce plan. On a donc : $M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{D}M} = t\vect{n}$, avec $t \in \R$. Cette égalité se traduit par le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x - 12&=&3t\\ y - 0&=&1t\\ z - 0&=&0t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&12 + 3t\\ y &=&t\\ z &=&0t \end{array}\right.$. \item %Déterminer la distance du point D au plan (ABC). D appartient à $\Delta$ perpendiculaire au plan (ABC) ; cherchons les coordonnées du projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) : I I appartient au plan (ABC) et appartient à $\Delta$, ses coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient donc l'équation du plan (ABC) et les équations paramétriques de $\Delta$ soit le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&12 + 3t\\ y &=&t\\ z &=&0t\\ 3x + y - 4&=&0 \end{array}\right.$ En remplaçant dans la dernière équation $x$ et $y$ par leurs valeurs en fonction de $t$ on obtient $3(12 + 3t) + t - 4 = 0 \iff 36 + 9t + t - 4 = 0 \iff 10t + 32 = 0$ $\iff 10t = - 32 \iff t = - \dfrac{32}{10} = - \dfrac{16}{5}$. En reportant cette valeur dans les deux premières équations de $\Delta$, on obtient : $x = 12 -3 \times \dfrac{16}{5} = \dfrac{60}{5} - \dfrac{48}{5} = \dfrac{12}{5}$ ; $y = - \dfrac{16}{5}$ et $z = 0$. I$\left(\dfrac{12}{5}~;~- \dfrac{16}{5}~;0\right)$. On calcule DI$^2 = \left(\dfrac{12}{5} - 12 \right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5} - 0 \right)^2 + 0^2 = \left(-\dfrac{48}{5}\right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5}\right)^2 = \dfrac{\np{2304}}{25} + \dfrac{256}{25} = \dfrac{\np{2560}}{25} = \dfrac{256 \times 10}{25}$. Finalement DI $= \sqrt{\dfrac{256 \times 10}{25}} = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}$. \end{enumerate} \item %Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD. %\emph{On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre} %\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.\] % %\emph{où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}. En prenant la base (ABC) rectangle en C : son aire est donc égale à : $\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}$. AC$^2 = 16 + 144 + 256 = 416$ ; AC $ = \sqrt{416}$ ; BC$^2 = 16 + 144 + 100 = 260$ ; BC $ = \sqrt{260}$. Donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\sqrt{416} \times \sqrt{260}}{2} = 52\sqrt{10}$ Donc avec $h = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}$, on obtient : $V = \dfrac13 \times 52\sqrt{10} \times \dfrac{16 \sqrt{10}}{5} = \dfrac{\np{1664}}{3} \approx 554,7$ soit 555 à l'unité près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 2u_n\left(1 - u_n\right).\] Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = 2x(1 - x).\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$. $f$ est une fonction polynomiale donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f(x) = 2x - 2x^2$, d'où $f'(x) = 2 - 4x = 2(1 - 2x)$. On a : $\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff 1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac12$ ; $\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff 1 - 2x > 0 \iff x < \dfrac12$ ; la dérivée est positive sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$, la fonction $f$ est donc croissante sur cet intervalle. $\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff 1 - 2x < 0 \iff x > \dfrac12$ ; \item On admet que pour tout entier naturel $n,\:0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$. %Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1}$. $\bullet~~$$u_1 = 2u_0\left(1 - u_0\right) = 2\times 0,3 \times 0,7= 0,42$. $\bullet~~$Démonstration par récurrence : \begin{itemize} \item \emph{Initialisation} : on a $u_0 \leqslant u_1$ car $0,3 \leqslant 0,42$. \item \emph{Hérédité} On suppose qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_n \leqslant u_{n+1}$. Comme on suppose que $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12$ on a par croissance de la fonction $f$ sur $\left[0~;~\dfrac12\right], \: \:f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(\dfrac12\right)$, soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2 \times \dfrac12 \times \dfrac12$, ou encore $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac12$ : l'encadrement est vrai au rang $n+1$. La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence on a démontré que : pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12$ \end{itemize} \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Cet encadrement montre que \begin{itemize} \item la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et \item la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\dfrac12$. \end{itemize} Conclusion la suite $\left(u_n\right)$ croissante et majorée converge vers une limite $\ell \leqslant \dfrac12$. \item %Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac12$. La fonction $f$ étant continue on a donc : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f\left(u_n\right) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2u_n\left(1 - u_n\right)$, soit $\ell = 2\ell(1 - \ell) \iff \ell = 2\ell - 2\ell^2 \iff 2\ell^2 - \ell = 0 \iff \ell\left(2\ell - 1\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell&=&0\\ 2\ell - 1&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell&=&0\\ \ell &=&\dfrac12 \end{array}\right.$ La seule solution acceptable est $\ell = \dfrac12$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population. % %En 2022, cette population compte \np{3000} individus. % %\smallskip % %On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$. % %Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ : \begin{center}$P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - b \times P_n\right)$, où $b$ est un réel strictement positif.\end{center} Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question $b = 0$. \begin{enumerate} \item %Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. La relation de récurrence s'écrit alors $P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0 \times P_n\right)$, soit $P_{n+1} - P_n = P_n \iff P_{n+1} = 2 P_n$, donc $P_{n+1} = 2 P_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $P_0 = 3$. \item %Déterminer la limite de $P_n$. On sait quel que soit $n \in \N$, \: $P_n = P_0 \times 2^n = 3 \times 2^n$ : la limite de la suite $\left(P_n\right)$ est plus l'infini (irréaliste) \end{enumerate} \item Dans cette question $b = 0,2$. On a donc $P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0,2P_n\right)$ \begin{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$. %Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:$v_{n+1} = 2v_n\left(1 - v_n \right)$. On a $v_0 = 0,1 \times P_0 = 0,1 \times 3 = 0,3$. La relation de récurrence devient : $P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0,2 \times P_n\right) \iff P_{n+1} - P_n = P_n - 0,2P_n^2$, d'où $P_{n+1} = 2P_n - 0,2P_n^2$. \: (1) Or $v_{n+1} = 0,1P_{n+1} = 0,1\left(2P_n - 0,2P_n^2\right) = 0,2\left(P_n - 0,1P_n^2\right)$. Comme $v_n = 0,1 \times P_n \iff 10v_n = P_n$, l'égalité ci-dessus devient : $v_{n+1} = 0,2\left(10v_n - 0,1 \times \left(10v_n\right)^2\right)$, soit $v_{n+1} = 0,2\left(10v_n - 10v_n^2\right) = 2v_n \left(1 - v_n\right)$. \item %Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera. La relation de la question précédente montre que la suite $\left(v_n \right)$ est la suite $\left(u_n \right)$ de la \textbf{Partie A} et on a vu que cette suite converge vers $\dfrac12$. On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac12$. Or $P_n = 10v_n$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P_n = 10 \times \dfrac12 = 5$. Finalement la population se rapprochera de \np{5000}~individus. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}