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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole ~\decofourright\\[7pt] Sujet 1 11 septembre 2023\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = x \e^{x^2 - 3}.\]

%Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~}$F(x) = 2x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{b.~}$F(x) = \left(2x^2 + 1\right)\e^{x^2 - 3}$\\
%\textbf{c.~}$F(x) = \dfrac12 x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{d.~}$F(x) = \dfrac12 \e^{x^2 - 3}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Avec $F(x) = \dfrac12 \e^{x^2 - 3}$, on a $F'(x) = 2x \times \dfrac12\e^{x^2 - 3} = x\e^{x^2 - 3} = f(x)$ : réponse \textbf{d.~}
%\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~}F(x) = 2x\e^{x^2 - 3}			&\textbf{b.~}F(x) = \left(2x^2 + 1\right)\e^{x^2 - 3}&
%\textbf{c.~}F(x) = \dfrac12 x\e^{x^2 - 3}
%&\textbf{d.~}F(x) = \dfrac12 \e^{x^2 - 3}\\
%\end{tabularx}\]

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[u_n = \e^{2n+1}.\]

%La suite $\left(u_n\right)$ est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}arithmétique de raison 2 ; &\textbf{b.~~} géométrique de raison e;\\
%\textbf{c.~~}géométrique de raison e$^2$ ; &\textbf{d.~~} convergente vers e. 
%\end{tabularx}
%\end{center}
Si pour tout entier naturel $n$, \: $u_n = \e^{2n+1}$, alors $u_{n+1} = \e^{2(n+1)+ 1} = \e^{2n + 2 + 1} = \e^{2} \times \e^{2n + 1} = \e^{2} \times u_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\e^{2}$ : réponse \textbf{c.~~}

Pour les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par:
\[u_0 = 15 \quad \text{et pour tout entier naturel }\: n \quad :\: u_{n+1} = 1,2u_n + 12.\]

\item ~%La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $u_n > \np{10000}$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
def seuil() :\\
\qquad n=0\\
\qquad u=15\\
\qquad while u$\leqslant \np{10000}$:\\
\qquad \quad n=n+1\\
\qquad \quad u=1,2$*$u+12\\
\qquad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Réponse \textbf{a.}
%À la ligne 4, on complète par :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~}u$\leqslant \np{10000}$ ; &\textbf{b.~}u $=\np{10000}$ &\textbf{c.~} u$> \np{10000}$;&\textbf{d.~}$n\leqslant \np{10000}$.\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n = u_n + 60$. 

%La suite $\left(v_n\right)$ est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~} une suite décroissante ; &\textbf{b.~} une suite géométrique de raison 1,2 ;\\
%\textbf{c.~} une suite arithmétique de raison $60$ ;&\textbf{d.~} une suite ni géométrique ni arithmétique.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a quel que soit $n \in \N, \: v_{n+1} = u_{n+1} + 60 =  1,2u_n + 12 + 60 = 1,2u_n + 72 = 1,2\left(u_n + 60\right) = 1,2v_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 1,2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points 
\begin{center}A$(1~;~0~;~-1)$,\quad  B$(3~;~-1~;~2)$, \quad C$(2~;~-2~;~ -1)$ \quad et \quad D$(4~;~-1~;~-2)$.\end{center}

On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\phantom{-}0\\
y &=&\phantom{-}2 + t\\
z &=& -1 + t
\end{array}\right.\:,\:\: \text{avec } t\in \R.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera 
%$\mathcal{P}$.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (en comparant les premières coordonnées, s'il l'étaient on aurait $\vect{\text{AB}} = 2\vect{\text{AC}}$, ce qui est faux), donc les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc un plan unique $\mathcal{P}$.
		\item %Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
On a $\vect{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$, puis 

$\bullet~~$ $\vect{\text{CD}} \cdot \vect{\text{AB}} = 4 - 1 - 3 = 0$ ;

$\bullet~~$ $\vect{\text{CD}} \cdot \vect{\text{AC}} = 2 - 2 + 0 = 0$.

Le vecteur $\vect{\text{CD}}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathcal{P}$, c'est donc un vecteur normal à ce plan.

%Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point C par rapport à D ?
Puisque $\vect{\text{CD}} \cdot \vect{\text{AC}}  = 0$ les droites (CD) et (AC) sont perpendiculaires en C, donc C est le projeté orthogonal de D sur le plan $\mathcal{P}$.
		\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x + y - z - 3 = 0$.
		Puisque $\vect{\text{CD}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$, on sait que ses cordonnées sont dans l'ordre les coefficients $a, \: b,\:c$ de $x,\:y,\:z$, soit :
		
$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + 1y - 1z + d = 0$.

En particulier C$(2~;~-2~;~ -1) \in \mathcal{P} \iff 2\times 2  + 1\times (- 2)  - 1\times (- 1) + d = 0 \iff 4 - 2 + 1 + d = 0 \iff d = - 3$.

Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + y - z - 3 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la distance CD.
On a grâce aux coordonnées du vecteur $\vect{\text{CD}}$, \:CD$^2 = 4 + 1 + 1 = 6$, d'où CD $ = \sqrt 6$.
		\item %Existe-t-il un point M du plan $\mathcal{P}$ différent de C vérifiant MD $= \sqrt 6$ ? Justifier la réponse.
Puisque C est le projeté orthogonal de D sur le plan $\mathcal{P}$, ce point est celui qui est à la plus courte distance du point D, soit $\sqrt 6$ : il n'existe donc pas d'autre point de $\mathcal{P}$ situé à cette distance $\sqrt 6$ de D;

Ou encore : la sphère de centre D et de rayon $\sqrt 6$ est tangente en C au plan $\mathcal{P}$, donc quel que soit M dans $\mathcal{P}$, le triangle DCM est rectangle en C, d'hypoténuse [DM] et l'on sait qu'alors DM > DC $= \sqrt 6$ : tout point M du plan aurez que C est donc à une distance supérieure à $\sqrt 6$ de D.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
Si $M(x~;~y~;~z)$ est commun à $\Delta$ et à $\mathcal{P}$ ses coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\phantom{-}0\\
y &=&\phantom{-}2 + t\\
z &=& -1 + t\\
2x + y - z - 3 &=& 0
\end{array}\right.\:,\:\: \text{avec } t\in \R \Rightarrow 2 \times 0  + 2 + t  - (- 1 + t) - 3 = 0 \iff 0 = 0$ : ceci signifie que tout point de $\Delta$ appartient à $\mathcal{P}$ donc que $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite $\Delta$.
		\item %Montrer que H est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est $\delta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et avec H$(0~;~2 + t~;~- 1 + t)$, on a $\vect{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\3 + t\\1 + t\end{pmatrix}$.

Or (DH) $\perp \Delta \Rightarrow \delta \cdot \vect{\text{DH}} = 0 \iff 0 + 3 + t + 1 + t = 0 \iff 4 + 2t = 0 \iff 2t = - 4 \iff t = - 2$.

On a donc H$(0~;~0~;~- 3) \in \Delta$.
		\item %En déduire la distance du point D à la droite $\Delta$.
On a donc $\vect{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\3 - 2\\1 - 2\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\1\\- 1\end{pmatrix}$ ; il en résulte que DH$^2 = 4^2 +1^2 + (- 1)^2 = 18$.
		
Finalement DH $= \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt 9 \times \sqrt 2 = 3\sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\
\emph{Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}

%Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
%
%Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
%\begin{itemize}
%\item Si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas;
%\item Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7\,\% des cas.
%\end{itemize}
%
%Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif.
%
%On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og l'individu est allergique \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og l'individu présente un test positif \fg.
%\end{itemize}
%
%On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$.
%On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'évènement $A$ : $x = p(A)$.

%\begin{minipage}{9cm}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
D'après l'énoncé :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $p_A(T) = 0,97$ ;
\item[$\bullet~~$] $p_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right) = 0,957$ ;
\item[$\bullet~~$] $p(T) = 0,2$.
\end{itemize}

D'où l'arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$x$}}
	{\TR{$T$}\taput{0,97}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,03}
}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$1 - x$}}
{\TR{$T$}\taput{0,043}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,957}
}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer l'égalité : $p(T) = 0,927x + 0,043$.
D'après la loi des probabilités totales :
		
$p(T) = p(A \cap T) + p\left(\overline{A} \cap T\right) = p(A) \times p_{A}(T) + p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(T) = x \times 0,97 + (1 - x) \times 0,043 = 0,97x + 0,043 -0,043x = 0,927x + 0,043$.
		\item %En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.
Comme $p(T) = 0,2 = 0,927x + 0,043 \iff 0,157 = 0,927x \iff \dfrac{0,157}{0,927} = x$.
		
Or $\dfrac{0,157}{0,927} \approx \np{0,1694}$ soit 0,169 au millième près.

$x  = p(A) \approx 0,169$.
	\end{enumerate}	
\item %Justifier par un calcul l'affirmation suivante :

%\og Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg.
L'affirmation se traduit par : $p_T(A) > 0,8$.

Or $p_T(A) = \dfrac{p(T \cap A)}{p(T)} = \dfrac{p(A \cap T)}{p(T)} = \dfrac{p(A) \times p_A(T)}{p(T)} \approx \dfrac{0,169 \times 0,97}{0,2}$, soit 

$p_T(A) \approx \dfrac{\np{0,16393}}{0,2} \approx \np{0,81965}$, soit environ 81,97\,\% : l'affirmation est vraie.
\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{5.5cm}

%\end{minipage}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$~habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
%
%On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$~habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?

%Préciser ses paramètres.
Les tirages successifs étant indépendants et chaque personne ayant un probabilité d'être allergique égale à 0,08, $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètres $n = 150$ et $p = 0,08$.
\item %Déterminer la probabilité que $20$~personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
La calculatrice donne $p(X = 20) \approx \np{0,00820}$, soit 0,008 au millième près.
\item %Déterminer la probabilité qu'au moins 10\,\% des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
La calculatrice donne $p(X \leqslant 14) \approx \np{0,7797}$, donc $p(X \geqslant 15) = 1 - p(X \leqslant 14) \approx 1 - \np{0,7797} \approx \np{0,2203}$ soit 0,220 au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $g$ par :
\[g(x) = \dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x \quad \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2 - 2x + 2\right)$.
La fonction $g$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle:

$g'(x) = - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}$.

Or $ x > 0 \Rightarrow x^3 > 0$, donc le signe de $g'(x)$ est celui du numérateur le trinôme  $x^2 - 2x + 2$.
\item %En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.
On a $x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$.

Comme $(x - 1)^2 + 1 \geqslant 1 > 0$, ce trinôme est donc supérieur à zéro pour tout $x > 0$ : la fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.
\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [0,5~;~1], que l'on notera $\alpha$.
$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} -\dfrac 2x = - \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to 0} - \dfrac{1}{x^2} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$.

Par somme de limites on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{2}{x^2} = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x^3}  = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty$.

Par somme de limites on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
\item ~%On donne le tableau de signes de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1)
\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(1,0)(1,1)\psline(1.1,0)(1.1,0.5)
\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.2,0.4){$0$} \uput[u](2.5,0.4){$\alpha$} \uput[u](3.7,0.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$g(x)$}\uput[u](1.75,-0.1){$-$}\uput[u](2.5,-0.1){$0$}
\uput[u](3.25,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

%Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
La fonction $g$ est continue sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ car dérivable sur cet intervalle et on a démontré que sur cet intervalle la fonction est croissante de moins l'infini à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.

On a (calculatrice) $g(0,5) \approx - 0,69$ et $g(1) = 1$ , le même théorème permet d'affirmer que 

$0,5 < \alpha < 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par: 
\[f(x) = \e^x \ln x.\]

%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item %On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et o

On admet que pour tout nombre réel $x > 0,\:\: f'(x) = \e^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right)$.

%Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)$.
Produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, \:$f'(x)$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f''(x) = \e^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right) + \e^x \left(-\dfrac{1}{x^2} + \dfrac 1x\right) = \e^x \left(\dfrac 1x + \ln x -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac 1x\right) =  \e^x \left(\dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)$.
\item %On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$,\: $f''(x) = \e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.

On a donc $f''(x) = \e^x g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Justifier.
Comme $\e^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f''(x)$ est celui de $g(x)$ donné précédemment, soit
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1)
\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(1,0)(1,1)\psline(1.1,0)(1.1,0.5)
\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.2,0.4){$0$} \uput[u](2.5,0.4){$\alpha$} \uput[u](3.7,0.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$f''(x)$}\uput[u](1.75,-0.1){$-$}\uput[u](2.5,-0.1){$0$}
\uput[u](3.25,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion A.
On sait que si $f''(\beta) = 0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un  point d'inflexion au point d'abscisse $\beta$.

Or $f''(x) = 0 \iff \e^x g(x) = 0 \iff g(x) = 0 \iff x = \alpha$.

\emph{Rem.} : la calculatrice donne $\alpha \approx 0,592$, puis $f(\alpha) \approx - 0,948$. Le point A$(0,592~;~-0,948)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
		\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Justifier.
On a vu que sur sur l'intervalle $]0~;~\alpha]$, la dérivée seconde est négative : la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty[$ la dérivée seconde est positive : la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \e^x = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty$ ;

$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ , donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.
		\item %Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)$.

%On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.
On sait que $g(\alpha) = 0 \iff \dfrac{2}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha^2} + \ln \alpha = 0 \iff \ln \alpha  = \dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2}(1 - 2\alpha)$.

Donc $f'(\alpha) = \e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} + \ln \alpha \right) = \e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha}\right) = \e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{1}{\alpha}\right) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)$.
		\item %Démontrer que $f'(\alpha) > 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
On sait que $\e^{\alpha} > 0, \: \alpha^2 > 0$ et que $\alpha \approx 0,592 < 1$, donc $1 - \alpha > 0$. Donc $f'(\alpha) > 0$ comme produit de trois facteurs supérieurs à zéro.

On a vu que $f''(x) = \e^x g(x)$, donc :

$\bullet~~$sur $]0~;~\alpha], \: g(x) < 0$, donc $\e^x g(x) = f''(x) < 0$ : la fonction $f'$ est décroissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+\infty[, \: g(x) > 0$, donc $\e^x g(x) = f''(x) > 0$ : la fonction $f'$ est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$Donc $f'(\alpha)$ est le minimum de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Ce minimum étant supérieur à zéro, on a donc $f'(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$ et enfin la fonction $f$ est strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini.
		\item %En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
On peut établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3.)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1,0)(1,3.)\psline(1.1,0)(1.1,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.1,2.4){$0$}\uput[u](3,2.4){$\alpha$}\uput[u](5,2.4){$1$}\uput[u](8.5,2.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](7,1.9){$+$}
\psline{->}(1.5,0.5)(8.5,1.5)\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}
\rput(5,1){0}\rput(3,0.75){$\approx-0,948$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{xunit=3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.2,-4.9)(3,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{10}{2.71828 x exp x ln mul}
\psplotTangent[linecolor=red,arrows=<->]{0.592}{1.}{2.71828 x exp x ln mul}
\uput[ul](0.592,-0.948){\red A}\uput[r](2,4.8){\red $f(x) = \e^x \ln x$}
\psdots[linecolor=red](0.592,-0.948)
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}