\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STMG}, pdftitle = {STMG Antilles-Guyane 16 juin 2017}, allbordercolors = white} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 16 juin 2017} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Antilles--Guyane ~\decofourright\\[5pt]16 juin 2017}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip {\footnotesize La survie des éléphants d'Afrique est menacée par le braconnage (chasse illégale). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip En l'absence de braconnage, on estime le taux de croissance de la population d'éléphants d'Afrique à 1,5\,\% par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'effectif de cette population pour l'année $2013 + n$ en l'absence de braconnage. La population totale d'éléphants d'Afrique était estimée à \np{470000}~individus en 2013. \medskip } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculons le nombre d'éléphants d'Afrique en 2014 en l'absence de braconnage. À un taux d'augmentation de \np{1.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{\np{1.5}}{100}$ soit \np{1.015}. $\np{470000}\times \np{1.015}= \np{477050}$. En 2014, il y avait \np{477050} éléphants d'Afrique en l'absence de braconnage. \item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.015} et de premier terme \np{470000}. %et en préciser le premier terme et la raison. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $ u_n=u_0q^n$. $u_n=\np{470000}\times\left(\np{1.015}\right)^{n}$. %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Estimons le nombre d'éléphants d'Afrique en 2028 dans ces conditions. en 2028 $n=15 \quad u_{15}=\np{470000}\times \left(\np{1.015}\right)^{15}\approx \np{587609}$. Selon ce modèle et en l'absence de braconnage, il y aurait, en 2028, \np{587609} éléphants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Actuellement, un éléphant d'Afrique est tué tous les quarts d'heure par le braconnage. Justifions qu'environ \np{35000}~éléphants d'Afrique sont tués chaque année par le braconnage. Une année a $365$~jours, un jour 24 heures et une heure quatre quarts d'heure donc : $365\times 24\times 4=\np{35040}$. Dans les conditions décrites, environ \np{35000} éléphants sont tués par braconnage. \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu les résultats suivants, arrondis à $0,1$. \begin{center} {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.85cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\ \hline Effectif de la population d'éléphants en présence de braconnage (en millier d'individus)& 470,0 &442,1 &413,7 &384,9 &355,7 &326,0 &295,9 &265,3 &234,3 &202,9 &170,9\\ \hline \end{tabularx} } \end{center} Dans une interview accordée en 2013, le Fonds mondial pour la nature s'alarme : \og si l'on ne réagit pas, la population d'éléphants d'Afrique aura baissé de près de 64\,\% en dix ans \fg. Justifions cette affirmation par un calcul. Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $\mathcal{T}=\dfrac{\np{170.9}-\np{470}}{470}\approx - \np{0.636383}$, soit en pourcentage environ $-\np{63.64}\,\%$. Nous obtenons un résultat proche d'une baisse de 64\,\%. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} {\footnotesize \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \quad $n$ est un entier\\ \quad $u$ est un réel\\ \textbf{Traitement}\\ \quad $n$ prend la valeur 2013\\ \quad $u$ prend la valeur \np{470000}\\ Tant que $u > 0$ faire\\ \quad Début tant que\\ \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \quad $u$ prend la valeur $u \times 1,015 - \np{35000}$\\ Fin tant que\\ Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} } \end{center} Cet algorithme affiche le résultat 2029. Ce résultat peut s'interpréter comme l'année à partir de laquelle les éléphants d'Afrique auront disparu à cause du braconnage. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Le tableau suivant donne l'évolution du tirage journalier (nombre d'exemplaires imprimés par jour) de la presse quotidienne d'information générale et politique en France. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\ \hline Rang de l'année : $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Tirage journalier en million d'exemplaires : $y_i$& 1,80 &1,73 &1,60 &1,47 &1,36\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source: INSEE}} \end{tabularx} \end{center} } \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons le taux d'évolution global, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier entre 2010 et 2014. $\dfrac{\np{1.36}-\np{1.80}}{ \np{1.80}}\approx -\np{0.244444}$ soit une baisse en pourcentage, arrondi à \np{0.01}\,\% de \np{24.44}\,\%. \item Calculons le taux d'évolution annuel moyen sur cette période, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque le tirage journalier a subi 4 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^4=\dfrac{\np{1.36}}{\np{1.80}}\approx\np{0.755556}$ par conséquent $t_m=\np{0.755556}^{\tfrac{1}{4}}-1\approx -\np{0.0676764}$. Le taux annuel moyen d'évolution du tirage journalier entre 2010 et 2014, arrondi à 0,01\,\%, est d'environ $-\np{6.78}\,\%$. \item En supposant que l'évolution se poursuit au taux annuel de $- 7$\,\% dans les années à venir, une estimation, arrondie à $0,01$, du tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017 est en million d'exemplaires~\np{1.09}. En effet, $\np{1.36}\times (1-\np{0.07})^3\approx \np{1.094}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus est représenté dans le repère donné en annexe 1. \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.11}x+\np{1.82}$, les coefficients étant arrondis à 0,01. \item Pour les deux questions suivantes, on prendra pour ajustement affine la droite $D$ d'équation $y = - 0,1x + 1,8$. \begin{enumerate} \item la droite $D$ est représentée dans le repère donné en annexe 1. \item Selon ce modèle, donnons une estimation du tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017. En 2017, $x=7$. Remplaçons $x$ par cette valeur dans l'équation de la droite. $y=-\np{0.1}\times 7+\np{1.8}=\np{1.1}$. En 2017, le tirage journalier pourrait être estimé en million d'exemplaires à \np{1.1}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip {\footnotesize La DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles) a réalisé une étude auprès de $12$ quotidiens d'information générale qui possèdent des applications numériques sur les trois supports que sont les tablettes, les smartphones et les ordinateurs. Le taux de rebond désigne le pourcentage d'internautes qui sont entrés sur un site par une page web puis l'ont quitté sans consulter d'autres pages. Cette étude révèle les informations suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item 2 visites sur 5 se font depuis un smartphone et ont un taux de rebond de 65\,\% ; \item 10\,\% des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de 53\,\% ; \item la moitié des visites ont lieu à partir d'un ordinateur et ont un taux de rebond de 59\;\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un visiteur et on considère les évènements suivants : \begin{description} \item $S$ : \og Le visiteur utilise un smartphone \fg \item $T$ : \og Le visiteur utilise une tablette \fg \item $O$ : \og Le visiteur utilise un ordinateur \fg \item $R$ : \og Le visiteur quitte le site après avoir visité la première page\fg \end{description} \smallskip Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé. } \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $P_T(R)=\np{0.53}$ car 10\,\% des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de 53\,\% . \item La proportion de personnes qui naviguent sur un site à partir d'un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées est \np{0.5} car deux personnes sur cinq le font à partir d'un smartphone et une personne sur dix à partir d'une tablette $\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}=\np{0.5}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item L'arbre pondéré est complété en annexe 2. \item La probabilité de l'évènement A \og le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page \fg{} est notée $ p(S\cap R)$. $p(S\cap R)=p(S)\times p_{S}(R)=\np{0.4}\times \np{0.65}=\np{0.26}.$ \item Montrons que la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard quitte le site après avoir visité la première page est $p(R) = 0,608$. $p(R)=p(S\cap R)+p(T\cap R)+p(O\cap R)= p(S)\times p_{S}(R)+p(T)\times p_{T}(R)+p(O)\times p_{O}(R)$. $p(R)= \np{0.4}\times \np{0.65}+\np{0.4}\times \np{0.53}+\np{0.5}\times\np{0.59} =\np{0.26}+\np{0.053}+\np{0.295}=\np{0.608}$. Ce qui est bien le résultat attendu. \end{enumerate} \item La probabilité qu'un visiteur utilise un ordinateur sachant qu'il a quitté le site après avoir consulté la première page est notée $p_{R}(O)$. $p_{R}(O)=\dfrac{p(O\cap R)}{p(R)}=\dfrac{p(O\cap R)}{p(R)}=\dfrac{\np{0.5}\times\np{0.59}}{\np{0.608}}\approx \np{0.4852}$ La probabilité, arrondie à $0,01$, qu'un visiteur utilise un ordinateur sachant qu'il a quitté le site après avoir consulté la première page est environ \np{0.49}. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \medskip {\footnotesize En 2012, le gérant d'une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à $9,80$~\euro. À ce tarif, il sert en moyenne $420$ couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu'il décide d'augmenter son prix les étés suivants. Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable. \medskip \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Été &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Prix du menu (en euro) &9,80 &11,00 &12,30 &13,80\\ \hline Nombre hebdomadaire de couverts &420 &395 &370 &345\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul: } \begin{center} {\footnotesize \renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &Été& Prix du menu (en euro)& Nombre hebdomadaire moyen de couverts&\footnotesize Taux d'évolution annuel du nombre hebdomadaire moyen de couverts&Taux d'évolution annuel du prix\\ \hline 2 &2012 &9,80 &420&&\\ \hline 3 &2013 &11,00 &395& $- 5,95$\,\% &$12,24$\,\%\\ \hline 4 &2014 &12,30 &370&&\\ \hline 5 &2015 &13,80 &345&&\\ \hline \end{tabularx}} \end{center} La plage de cellules D3:E5 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Une formule à saisir dans la cellule D3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules D4 et D5 est =(\$C3 $-$\$C2)/\$C2. \item Une formule à saisir dans la cellule E3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules E4 et E5 est =(\$B3 $-$\$B2)/\$B2. \item \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à 0,01\,\%, du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque le prix du menu a subi 3 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^3=\dfrac{\np{13.80}}{\np{9.80}}\approx\np{1.408163}$ par conséquent $t_m=\np{1.408163}^{\tfrac{1}{3}}-1\approx \np{0.120859}$. Le taux annuel moyen d'évolution du prix du menu entre 2012 et 2015, arrondi à 0,01\,\%, est égal à environ \np{12.09}\,\%. \item En supposant que le taux d'évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l'été 2015, donnons une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l'été 2017. En 2017 le prix aura subi deux augmentations de \np{12.09}\,\%. $\np{13.80}\times(1+ \np{12.09})^2\approx \np{17.33855}$. Le prix en 2017 sera approximativement de \np{17.34}~\euro. \end{enumerate} \item Donnons, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l'été 2017. Nous pouvons constater que pour chaque augmentation de prix d'environ 12\,\% il y a une baisse de 25 couverts ($395-420=370-395=345-370=-25$). Par conséquent nous estimons que cette augmentation annuelle des prix entraîne une baisse de 25 couverts. Nous pouvons estimer une baisse de 50 couverts entre 2015 et 2017. En 2017 une estimation possible du nombre de couverts est $345-50$ soit 295. {\footnotesize \emph{Remarque :} Nous pourrions calculer le taux moyen d'évolution du nombre de couverts et l'appliquer pour obtenir une estimation en~2017.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est $N(x) = - 19x + 604$. Le prix $x$ du menu est exprimé en euro. \begin{enumerate} \item Calculons le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de $11$~\euro{} c'est-à-dire calculons $N(11)$. $N(11)=-19\times 11+604=395$ \item Calculons le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le prix du menu est de $11$~\euro. Le chiffre d'affaires est égal au produit du prix par la quantité d'où $11 \times 395 =\np{4345}$ Le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le prix du menu est de $11$~\euro{} \mbox{ est de \np{4345}~\euro.} \item On note $C(x)$ le chiffre d'affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrons que $C(x) = - 19 x^2 + 604 x$. Pour un prix $x$ nous avons une quantité $N(x) $ d'où $C(x)=x\times N(x)= x\times (- 19x+604)=-19x^2+604x$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~25] par $C(x) = -19 x^2 + 604 x$. \begin{enumerate} \item Déterminons l'expression de la fonction dérivée $C'$ de $C$. $C'(x)=-19(2x)+604=-38x+604$ \item Étudions le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [0~;~25]. Sur $\R, \quad -38x+604>0 \iff x<\dfrac{604}{38}\quad x<\dfrac{302}{19}$. Il en résulte si $x\in \left[0~;~\frac{302}{19}\right[,\quad C'(x)>0$ et si $x\in \left]\frac{302}{19}~;~25\right],\ \quad C'(x)<0$ \item Étudions le sens de variation de $C$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~\frac{302}{19}[,\:C'(x)>0$ par conséquent $C$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $]\frac{302}{19}~;~25],\:C'(x) < 0$ par conséquent $C$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Construisons le tableau de variation de $C$ sur [0 ; 25]. \begin{center} \scalebox{0.6}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) %\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {\footnotesize $\frac{302}{19}$} \uput[u](7.73,2.45){$25$} \uput[u](0.5,1.9){$C^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $C$} \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[d](7.32,0.45){$\np{3225}$} \psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55) \uput[u](4.5,1.35){\footnotesize $\frac{91204}{19}$} \end{pspicture}} \end{center} $\dfrac{302}{19}\approx \np{15.89}\qquad \dfrac{91204}{19}\approx \np{4800.21}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $C$ admet un maximum lorsque $x$ vaut environ \np{15,89}. Par conséquent le prix, arrondi au centime, du menu permettant un chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie maximal est de \np{15.89}~\euro. %On arrondira le résultat au centième. \item À ce prix, arrondi à l'euro, le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie s'établit à \np{4800}\,\euro. % On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip {\footnotesize Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à $15,90$~\euro{} dès l'été 2016. Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là.} Sur les $50$ personnes interrogées, $39$ se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif soit $f=\frac{39}{50}=\np{0.78}$. Au vu du sondage, établissons l'intervalle de confiance au niveau de 95\,\%, de la proportion de clients favorables à ce changement. L'intervalle de confiance au niveau de 95\,\% est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ d'où $\left[\np{0.78}-\dfrac{1}{\sqrt{\np{50}}}~;~\np{0.78}+\dfrac{1}{\sqrt{\np{50}}}\right]$ Nous obtenons alors $\np{0.78}-\frac{1}{\sqrt{50}}\approx \np{0.63857}$ et $\np{0.78}+\frac{1}{\sqrt{50}}\approx\np{0.92142}$ Les bornes étant arrondies à \np{0,01}, l'intervalle est [\np{0.63}~;~\np{0.93}] . \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \medskip {\footnotesize Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point. \smallskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes} } \smallskip \begin{enumerate} \item {\footnotesize La taille $T$ en cm d'un garçon de 10 ans est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 135$ et d'écart type $\sigma = 5$.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.~~} $p(T < 145) \approx 0,02$}&\psframebox{\textbf{b.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,95$}\\ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,68$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.~~}$p(T > 125) \approx 0,99$} \end{tabularx} \medskip \item {\footnotesize La part de consommateurs bio réguliers, c'est-à-dire ceux qui disent consommer bio au moins une fois par mois s'élève à 43\,\% en France en 2015. On effectue un sondage dans une société de $400$ personnes. La fréquence de consommateurs bio réguliers dans cet échantillon est notée $f$.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.~~} $f = 0,43$}& \psframebox{\textbf{b.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,38 \leqslant f \leqslant 0,48$}\\ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.~~} Au seuil de 95\,\%, $\np{0,4275} \leqslant f \leqslant \np{0,4325}$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \textbf{d.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,23 \leqslant f \leqslant 0,63$} \end{tabularx} \medskip \item {\footnotesize Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \ne 2$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x - 2}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.} Pour tout $x \ne 2$, \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.~~}$f'(x) = 2$}&\psframebox{\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{- 5}{(x - 2)^2}$}\\ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{2x+1}{(x - 2)^2}$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{- 1}{(x - 2)^2}$} \end{tabularx} \medskip \item {\footnotesize On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = - x^2 + x + 3$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous : \begin{center} \scalebox{0.75}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-4)(4.2,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-3.95)(4.2,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{4}{x 3 add x dup mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{4}{7 x 3 mul sub} \uput[ul](-1,1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,4){$D$} \uput[u](3.9,0){$x$} \uput[r](0,5.2){$y$} \psdots(2,1)\uput[ur](2,1){A} \end{pspicture*}} \end{center} Le point A de la courbe $\mathcal{C}$ a pour coordonnées (2~;~1). La droite $D$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Une équation de la droite $D$ est : } \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \psframebox{\textbf{a.~~}$y = - 3x + 7$} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{b.~~}$y = -3x + 1$}\\ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.~~}$y = - x + 2$} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.~~}$y = 2x + 1$} \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 1} \begin{center} \psset{xunit=1.3cm,yunit=3.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(9,2.1) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2.1)} \multido{\n=0.0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Oy=0.6,Dy=0.2](0,0)(0,0)(9,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=0.6,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,0.4)\uput[r](0,2.15){\footnotesize Tirage journalier (en million d'exemplaires)} \uput[d](8,-0.2){\footnotesize Rang de l'année} \psdots[dotstyle=square,fillcolor=blue,dotscale =1.4,dotangle=45](0,1.20)(1,1.13)(2,1.0)(3,0.87)(4,0.76) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.95pt,linecolor=blue]{0}{8.5}{x 0.1 neg mul 1.2 add} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 0.1 neg mul 1.2 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 7 def \Func)(!7 /x 7 def \Func)(7,0) \end{pspicture} \end{center} \vspace{3.5cm} \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 2} \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~}\naput{\np{0.4}}} {\TR{$R$} \naput{\np{0.65}} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\np{0.35}} } \pstree{\TR{$T$~}\naput{\np{0.1}}} {\TR{$R$} \naput{\np{0.53}} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\np{0.47}} } \pstree{\TR{$O$~}\nbput{\np{0.5}}} {\TR{$R$} \naput{\np{0.59}} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\np{0.41}} } } \end{center} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}