%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Corrigé et tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {La Réunion v}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{23 juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\ %Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel. $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i}\theta}$,~$ \Rightarrow |z -( 1- 2\text{i})| = \left|\text{e}^{\text{i} \theta} \right|$ soit $|z - ( 1- 2\text{i})| = 1$. Conclusion : les points $M$ d'affixe $z$ sont à la distance 1 du point d'affixe $1- 2\text{i}$. Comme $\theta \in \R$, la réponse est \textbf{c.} % \begin{enumerate} % \item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. % \item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. % \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. % \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$. % \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. % \begin{enumerate} % \item $f$ est une homothétie. % \item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$i. % \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ % \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$ % et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ % \end{enumerate} Un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si : $z= -\text{i}z - 2\text{i} \iff z(1 + \text{i}) = - 2\text{i} \iff z = \dfrac{- 2\text{i}}{1 + \text{i}} = - 1 -\text{i}.$ Il y a donc un point invariant par $f$. $\left\{\begin{array}{l c l} z'&=& -\text{i}z - 2\text{i}\\ - 1 -\text{i}&=&-\text{i}(- 1 -\text{i}) - 2\text{i} \end{array}\right.$ entra\^{\i}ne par différence : $z' - (- 1 -\text{i}) = -\text{i}[z - (- 1 -\text{i})]$. $f$ est donc la rotation de centre le point d'affixe $- 1 -\text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ Réponse \textbf{d.} \item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$. Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. % \begin{enumerate} % \item C est un point de (F). % \item (F) est la médiatrice du segment [AB]. % \item (F) est la médiatrice du segment [AC]. % \item (F) est le cercle de diamètre [AB]. % \end{enumerate} $|z - 1 + \text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$ peut s'écrire $|z - ( 1 - \text{i})| = |z - ( 1 - 2\text{i})|$ qui montre que $M$ est équidistant des deux points A et C ; donc $M$ appartient à la médiatrice de [AC]. Réponse \textbf{c.} \item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. %Cette équation admet : % \begin{enumerate} % \item Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. % \item Une solution réelle. % \item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. % \item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. % \end{enumerate} %\end{enumerate} En posant $z = x + \text{i}y$, l'équation proposée s'écrit : $x + \text{i}y + x^2 + y^2 = 7 + \text{i}$, soit en identifiant parties réelles et parties imaginaires : \[\left\{\begin{array}{l c l} x + x^2 + y^2 &=& 7\\ y&=&1 \end{array}\right.\] La partie imaginaire de(s) la solution(s) est égale à 1. La première équation s'écrit : $x + x^2 + y^2 = 7 \iff x^2 + 1 + x = 7 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x - 2)(x + 3) = 0 \iff x = 2~\text{ou}~x = - 3$. Vérification : avec $z_{1} = 2 + \text{i},~2 + \text{i} + 4 + 1 = 7 + \text{i}$ : ce nombre est solution. Avec $z_{1} = -3 + \text{i},~-3 + \text{i} + 9 + 1 = 7 + \text{i}$ : ce nombre est solution. Réponse \textbf{a.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip %Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par %\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] %On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère \Oij. \medskip \textbf{Partie A} %\medskip % %La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). \begin{enumerate} \item %D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? La fonction semble être croissante sur [0~;~1], puis décroissante sur $[1~;~+ \infty[$. La limite en $+\infty$ semble être nulle. \item %Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. $f$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et $f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$, quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - x$. On a donc $f'(1) = 0,~f'(x) > 0~\text{si} x \in ]0~;~1[,~f'(x) < 0 ~\text{si} x > 1$. D'autre part $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item %Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. Voir l'annexe \item %Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ? $\mathcal{C}_{f}$ semble être au dessus de $\mathcal{C}_{g}$ sur ]0~;~1[, puis au dessous sur $]1~;~+ \infty[$. Démonstration : considérons la fonction $d$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $d(x) = x\text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}(1 - x)$. Comme $x \geqslant 0$ et $\text{e}^{-x} > 0$, le signe de $d$ est celui de $1 - x$. Conclusion : $d(x) > 0$ si $0 < x < 1$, c'est-à-dire $f(x) > g(x)$ ; $d(x) < 0$ si $x > 1$, c'est-à-dire $f(x) < g(x)$. %Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \begin{enumerate} \item %Hachurer sur l'annexe cette partie du plan. Voir l'annexe \item %Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{-x}\:\text{d}x.$ On fait une intégration par parties en posant : \[\left\{\begin{array}{l c l} u(x) &=&x\\ dv(x) &=& \text{e}^{-x} \end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l c l} du(x)&=&1\\ v(x)&=&- \text{e}^{-x} \end{array}\right.\] Toutes ces fonctions étant continues, on a donc : I $ = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 -\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_{0}^1 - \left[\text{e}^{-x}\right]_{0}^1 = \left[-\text{e}^{-x}(x + 1)\right]_{0}^1 = - 2\text{e}^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. %Démontrer que I $ = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par %\[ H(x) = - \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer la dérivée $H'$ de la fonction $H$. $H$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et : $H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} + \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(x^2 + 2x - 2x - 2\right) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2\right)$. \item %En déduire une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g$. On peut écrire $H'(x) = x^2 \text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} = g(x) - 2\text{e}^{-x}$ ou encore $g(x) = H'(x) + 2\text{e}^{-x}$. Une primitive de $H'(x)$ est $H(x)$, une primitive de $2\text{e}^{-x}$ est $- 2\text{e}^{-x}$, donc par linéarité une primitive de $g$ est $G(x) = - \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} = -\text{e}^{-x}\left(x^2 + 2x + 2\right)$. \end{enumerate} \item On a vu que sur ]0~;~1[ $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{g}$. L'aire $\mathcal{A}$ est donc l'intégrale de la fonction positive $d$ sur [0~;~1]. $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^1 (f(x) - g(x))\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x $ (par linéarité de l'intégrale). Or $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ = I = $1 - \dfrac{2}{\text{e}}$ ; $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = G(1) - G(0) = - \dfrac{5}{\text{e}} + 2$. Donc $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{2}{\text{e}} + \dfrac{5}{\text{e}} - 2 = \dfrac{3}{\text{e}} -1.$ %Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. Remarque : $\mathcal{A} = \dfrac{3}{\text{e}} -1 \approx 0,1$ ce qui correspond à peu près à ce que l'on lit sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. \begin{enumerate} \item %Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. %On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée. % %On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ I'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item % Calculer la probabilité de l'évènement C \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $p(C) = p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ $ p(C) = 0,02 \times 0,01 = \nombre{0,0002}$ \item %Calculer la probabilité de l'évènement D \og le sac est défectueux \fg. On a $p(D) = p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,02 + 0,01 - \nombre{0,0002}= \nombre{0,0298}$. \item %Calculer la probabilité de l'évènement E \og le sac ne présente aucun défaut\fg.$, On a $E = \overline{D}$ d'o\`u $p(E) = 1 - p(D) = 1 - \nombre{0,0298} = \nombre{0,9702}$. \item %Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ? On a $p_{A}(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{\nombre{0,0002}}{0,02} = 0,01$. (en fait $\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A) \times p(B)}{p(A)} = p(B)).$ \end{enumerate} \item %On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. %On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défectueux). La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,03$. \item %Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. On sait que la probabilité que $k,~0 \leqslant k \leqslant 100$ sacs soient défectueux est : \[p(X = k) = \binom{100}{k} 0,03^k (1 - 0,03)^{100-k}\] L'évènement contraire de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} est \og il n'y a pas de sac défectueux qui a une probabilité de $\displaystyle\binom{100}{0}0,03^0 \times 0,97^{100} = 0,97^{100} \approx \nombre{0,0476}$. La probabilité d'avoir au moins un sac défectueux est donc égale à $1 - 0,97^{100} \approx 0,952 \approx 0,95$ (au centième près). Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y a à peu près 95 chances sur 100 d'avoir au moins un sac défectueux. \item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Pour cette loi binomiale on a E $ = n \times p = 100 \times 0,03 = 3$. %Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a en moyenne 3 sacs défectueux. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} %\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %Soient A(1 ; 2; 0), B(2; 2; 0), C(1 ; 3; 0) et D(1 ; 2; 1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. % %(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; %(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; %(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. \begin{enumerate} \item %Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. $\vect{\text{BC}}(-1~;~1~;~0)$ est un vecteur normal au plan (P) ; celui-ci a donc une équation de la forme $-x + y + d = 0$. Comme A $\in $ (P) les coordonnées de A vérifient l'équation ci-dessus, soit $-1 + 2 + d = 0 \iff d = -1$. Conclusion $M(x~;~y~;~z) \in (\text{P}) \iff - x + y - = 0 \iff x - y + 1 = 0.$ On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. \item \begin{enumerate} \item %Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x-y+1&=&0\\ - y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x-y+1&=&0\\ - y + z + 2 &=& 0 \\ -y + z + 2 &=&0 \end{array}\right. \quad \text{en ajoutant}$ $\text{l'équation 1 et l'équation 3} \quad \iff \left\{\begin{array}{l c l} x- y + 1&=&0\\ - y + z + 2 &=& 0 \end{array}\right. $ En posant $z = t,~t \in \R$ la deuxième équation donne $y = t + 2$ et enfin la première $x = y - 1 = t + 2 - 1 = t + 1$. \item %En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). Conclusion du calcul précédent : l'ensemble des points appartenant à (P), (Q) et (R) est une droite (d) d'équations paramétriques : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + 1\\ y&=&t + 2\\ z &=&t \end{array} \right. \quad t \in \R\] \item %Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). On a déjà $\vect{\text{BC}}(-1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{BD}}(-1~;~0~;~1)$. Ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires. La droite (d) a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}(1~;~1~;~1)$. On a $\vect{u} \cdot\: \vect{\text{BC}} = - 1 + 1 + 0 = 0$, donc $\vect{u} $ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux. De même $\vect{u} \cdot \vect{\text{BD}} = - 1 + 0 + 1 = 0$, donc $\vect{u}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux. Conclusion : le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), donc la droite $(d)$ est orthogonale à ce plan. %En déduire une équation cartésienne du plan (BCD). Comme précédemment on en déduit qu'une équation du plan (BCD) est de la forme $x + y + z + d' = 0$. Or B $\in $ (BCD) $ \iff 2 + 2 + 0 = d' = 0 \iff d' = - 4$. Conclusion : une équation du plan (BCD) est : $M(x~;~y~;~z~) \in(\text{BCD}) \iff x + y + z - 4 = 0$. \end{enumerate} \item %Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). Les trois points A, B et C ont une cote nulle : une équation du plan (ABC) est donc $z = 0$ ; Les trois points A, B et D ont une ordonnée égale à 2 : une équation du plan (ABD) est donc $y = 2$ ; Les trois points A, C et D ont une abscisse égale à 1 : une équation du plan (ACD) est donc $x = 1$ ; \medskip \emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères }\Oij, ~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item %Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). Soit $M(t+1~;~t+2~;~t)$ un point quelconque de (d). \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ABC})) = \dfrac{|t|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ; \item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ABD})) = \dfrac{|t + 2 - 2|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ; \item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ACD})) = \dfrac{|t+ 1 - 1|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ; \end{itemize} Conclusion : tout point de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \item %Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ? D'après la question précédente, les points de (d) sont équidistants de (ABC), (ABD) et (ACD). Cherchons si ces points sont à la même distance du plan (BCD). Une équation du plan (BCD) étant $x + y + z - 4 = 0$, on a $d(M,(\text{BCD})) = \dfrac{|t + 1 + t + 2 + t - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|3t - 1|}{\sqrt{3}}$. Un point de (d) est donc équidistant de (ABC) et de (BCD) (et donc de ABD) et (ACD)) si et seulement si : $|t|= \dfrac{|3t - 1|}{\sqrt{3}} \Rightarrow t^2 = \dfrac{(3t - 1)^2}{3} \iff 3t^2 = 9t^2 + 1 - 6t \iff 6t^2 - 6t + 1 = 0$ % \iff 6\left(t^2 - t + \dfrac{1}{6}\right) = 0 \iff 6\left(t - \dfrac{1}{2})^2 - 6 \times \dfrac{1}{4} + 1 = 0 \iff 6\left(t - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{2} = 0$ Cette équation du deuxième degré a un discriminant égal à $36 - 24 = 12 > 0$. Elle a donc deux solutions. Il existe donc deux points de la droite (d) équidistants des trois plans (ABD), (ACD) et (BCD), mais il peut en exister d'autres. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} %\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} %\medskip %L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item %Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$. % %On note $d(M,~ P)$ la distance d'un point $M$ au plan $P$. % %Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ qui vérifient $d(M,~P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$. On a $d(M,~ P) = \dfrac{\left|z + \frac{1}{4} \right|}{\sqrt{1^2}} = \left|z + \frac{1}{4}\right|.$ Or $d(M,~P)= M\text{F} \iff d^2(M,~P)= M\text{F}^2 \iff \left(z + \frac{1}{4} \right)^2 = x^2 + y^2 + \left(z - \frac{1}{4}\right)^2 \iff x^2 + y^2 - z^2 - \dfrac{z}{2} - \dfrac{1}{16} + z^2 + \dfrac{1}{16} - \dfrac{z}{2} = 0 \iff x^2 + y^2 = z.$ Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (S) \iff x^2 + y^2 = z.$ \item \begin{enumerate} \item %Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ? Il faut résoudre le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} x^2 + y^2 &=& z\\ z&=&2\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x^2 + y^2 &=& 2\\ z&=&2\\ \end{array}\right. \] On reconnait l'équation d'un cercle centré en (0~;~0~;~2), de rayon $\sqrt{2}$ et situé dans le plan horizontal d'équation $z = 2$. \item %Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ? On résout de même le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} x^2 + y^2 &=& z\\ x&=&0\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y^2 &=& z\\ x&=&0 \\ \end{array}\right.\] On reconnait l'équation d'une parabole contenant l'origine située dans le plan vertical dont une équation est $x = 0$. %Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. \begin{enumerate} \item %Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ? On a successivement : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $x \equiv 0 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 0 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 1 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 1 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 2 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 4 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 3 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 2 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 4 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 2 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 5 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 4 \quad [7]$ \item[$\bullet~$] $x \equiv 6 \quad [7] \Rightarrow x^2 \equiv 1 \quad [7]$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les restes dans la division euclidienne de $x^2 $ par 7 peuvent être : 0,~1,~2 ou 4. \item %Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$. D'après la question \textbf{1.} : $x^2 \equiv \alpha \quad [7]$ $y^2 \equiv \beta \quad [7]$, avec $\alpha$ et $\beta$ appartenant à l'ensemble $\{0~;~1~;~2~;~4\}$. Il en résulte que $x^2 + y^2 \equiv \alpha + \beta \quad [7]$, les valeurs possibles pour $\alpha + \beta$ étant 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 8. Conclusion $7$ divise $x^2 + y^2$ si et seulement si $\alpha + \beta = 0$, ce qui n'est possible que si $\alpha = 0$ et $\beta = 0$, c'est-à-dire si 7 divise $x$ et $y$. \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. Comme dans les questions précédentes, il s'agit de trouver dans le plan horizontal $z = 98$ des points dont les coordonnées vérifient $x^2 + y^2 = 98$. Comme $98 = 70 + 28 = 7 \times 10 + 7 \times 4 = 7 \times 14, x^2 + y^2$ est donc divisible par 7 et d'après la question précédente ceci n'est possible que si $x$ et $y$ sont divisibles par 7. D'autre part l'équation $x^2 + y^2 = 98$ entraîne que $0 \leqslant x \leqslant 9$ et $0 \leqslant y \leqslant 9$. Le seul multiple de 7 dans cet intervalle est $7$. Il y a donc un seul point solution : \[M_{1}(7~;~7~;~98)\] \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 2} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.6cm,yunit=5.1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,1.4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(6,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.15){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](3,0.45){\green$\mathcal{C}_{g}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div} \psplot[linecolor=green,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x dup mul 2.71828 x exp div} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{1}{0}{x dup mul 2.71828 x exp div} } \end{pspicture} \end{center} \end{document}