\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES}, pdftitle = {La Réunion juin 2008}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P {}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat ES } \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2008} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion juin 2008~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Pour chacune des quatre propositions de ce QCM, une et une seule des affirmations est exacte. % %Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. % %\medskip % %\emph{Une réponse exacte rapporte $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,25$~point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à $0$.} % %\medskip % %Chacune des quatre propositions concerne une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~6]$, qui admet des primitives sur cet intervalle et dont on donne ci-dessous le tableau de %variations : % %\medskip % %\begin{center} %\psset{xunit=1.25cm} %\begin{pspicture}(7.5,2.7) %\psframe(7.5,2.7) \psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.7) %\psline{->}(1.9,1.8)(2.7,0.3) \psline{->}(3.3,0.3)(4.2,1.8) \psline{->}(4.8,1.8)(5.7,0.3) \psline{->}(6.3,0.3)(7.2,1.8) %\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.8,2){$-5$} \uput[u](3,2){$-3$} %\uput[u](4.5,2){$2$} \uput[u](6,2){$4$} \uput[u](7.3,2){$6$} %\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(1.7,1.8){3}\rput(3,0.2){1}\rput(4.5,1.8){4}\rput(6,0.2){$-2$} \rput(7.3,1.8){$0$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2 < a < b < 4$, alors : % \begin{enumerate} % \item $f(a) > f(b)$ % \item $f(a) < f(b)$ % \item on ne peut pas comparer $f(a)$ et $f(b)$. % \end{enumerate} La fonction est décroissante sur l'intervalle donc $f(a) > f(b)$. \item %Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ est : % \begin{enumerate} % \item 1 % \item 2 % \item 3 % \end{enumerate} Deux solutions $- 3$ et une autre entre 2 et 4. \item % \begin{enumerate} % \item $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\text{d}x < 0$ % \item $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\text{d}x < 0$ % \item avec les données, on ne peut pas connaître le signe de $\displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\text{d}x$ % \end{enumerate} Sur l'intervalle [4~;~5], la fonction est strictement négative donc l'intégrale est négative. \item %Si $g$ est la fonction définie sur $[- 5~;~6]$ par $g(x) = \dfrac{1}{2}x - 1$, alors : % \begin{enumerate} % \item l'équation $f(x) = g(x)$ n'a pas de solution % \item l'équation $f(x) = g(x)$ a une unique solution % \item on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ % \end{enumerate} $\bullet~~$Sur l'intervalle $[- 5~;~2]$ on a $f(x) \geqslant 1$ et la fonction $g$ croit de $- \dfrac{7}{2}$ à 0, donc l'équation $f(x) = g(x)$ n'a pas de solution ; $\bullet~~$Sur l'intervalle [4~;~6] on a $f(x) \leqslant 0$ et la fonction $g$ croit de 1 à 2, donc l'équation $f(x) = g(x)$ n'a pas de solution ; $\bullet~~$Sur l'intervalle [2~;~4] la fonction $f$ décroit de 4 à $- 2$ et la fonction $g$ croit de 0 à 1 : il existe donc par continuité un réel $\alpha \in [2~;~4]$ tel que $f(\alpha) = g(\alpha)$. Il y a donc une solution unique. \emph{Rem.~} On peut aussi considérer la fonction $f - g$ somme de deux fonctions décroissantes sur [2~;~4] qui décroit de 4 à $- 4$ ; comme elle continue, d'après le théorème de la valeur intermédiaire elle s'annule une fois sur l'intervalle. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{ Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip %On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d'affaire d'une entreprise de prêt-à-porter de luxe créée en 2000. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &2001 &2002&2003&2004&2005&2006\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$ &1& 2&3&4&5&6\\ \hline %Chiffre d'affaire $y_{i}$ (en euros)&\np{160 000}&\np{220000}&\np{290000}&\np{390000}&\np{540000}&\np{730 000}\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Pour $i = 1, 2, \ldots, 5$ on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item %Recopier et compléter le tableau suivant (donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de chacun des résultats) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ &11,98 &12,30 &12,58 &12,87 &13,2 &13,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item ~%Représenter sur du papier millimétré le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité 2~cm en commençant à la graduation $10$ sur l'axe des ordonnées). \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-0.4,-0.4)(6.5,4.15) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(7,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(6.5,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10](0,0)(0,0)(6.5,4) \psdots(1,1.98)(2,2.3)(3,2.58)(4,2.87)(5,3.2)(6,3.5) \uput[d](6.4,0){$x_i$} \uput[r](0,4.05){$z_i = \ln y_i$} \end{pspicture*} \end{center} \item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on obtiendra une équation de la forme $z = ax + b$ où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-2}$ près). La calculatrice donne après arrondis au centième des coefficients : $z = 0,3x + 11,68$. \item %Déduire de ce qui précède une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k\text{e}^{ax}$, où $k$ est un réel à déterminer et $a$ le coefficient trouvé à la question précédente (le coefficient $k$ sera arrondi à l'unité). On a donc $z = \ln y = 0,3x + 11,68 \iff y \text{e}^{0,3x + 11,68} = \text{e}^{0,3x} \times \text{e}^{11,68}$. Or $\text{e}^{11,68} \approx \np{118184,2}$, d'où en arrondissant : $y \approx \np{118184}\text{e}^{0,3x}$. \end{enumerate} \item %On note $C$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\infty[$ par : %\[C(x) = \np{120000}\text{e}^{0,3x}.\] \begin{enumerate} \item %Résoudre par le calcul l'inéquation $C(x) \geqslant \np{2000000}$. $C(x) \geqslant \np{2000000} \iff \np{120000}\text{e}^{0,3x} \geqslant \np{2000000} \iff \text{e}^{0,3x} \geqslant \dfrac{50}{3} \iff 0,3x \geqslant \ln \left( \frac{50}{3}\right)\iff $ $x \geqslant \dfrac{\ln \left( \frac{50}{3}\right)}{0,3}$. Les nombres solutions sont les nombres supérieurs ou égal à $\dfrac{\ln \left( \frac{50}{3}\right)}{0,3}$. \item %On admet que $C(x)$ représente le chiffre d'affaire de l'entreprise pour l'année de rang $x_{i}$. %Quel chiffre d'affaire peut-on prévoir pour l'année 2008 (on arrondira le résultat au millier d'euros près) ? 2008 correspond au rang $x = 8$, d'où $\np{120000}\text{e}^{0,3 \times 8} \approx \np{1322781,2}$ soit au millier d'euros près \np{1323000}~\euro. %À partir de quelle année le chiffre d'affaire dépassera-t-il 2 millions d'euros ? On reprend l'inéquation précédente et on prend le plus petit entier dans l'ensemble des solutions ; comme $\dfrac{\ln \left( \frac{50}{3}\right)}{0,3} \approx 9,4$, il faut choisir $n = 10$. Le chiffre d'affaires devrait dépasser \np{2000000}~\euro{} à partir de 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip %Les joueurs d'un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B. % %L'entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, suivant les performances des joueurs. % %\medskip % %Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d'estimer que : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est $0,6$ ; %\item si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est $0,2$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item ~%Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(0,1){$0,6$} \rput(5.2,1){$0,8$} \rput(2.5,2.2){$0,4$} \rput(2.5,-0.2){$0,2$} \end{pspicture} \end{center} On en déduit en restant l'ordre alphabétique des sommets la matrice de transition : $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,2&0,8\end{pmatrix}$. \item %Pour un entier naturel $n$ donné, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match $n$. %Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité $a_{0}$ qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match 0) est $0,1$. %L'état probabiliste initial est donc $P_{0} = ( 0,1\quad 0,9)$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que $P_{1}= (0,24\quad 0,76)$ et calculer $P_{2}$. On a $P_{1}= P_0 \times M = ( 0,1\quad 0,9) \times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,2&0,8\end{pmatrix} = (0,24\quad 0,76)$. De même $P_2 = P_1 \times M = (0,24\quad 0,76)\times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,2&0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,296&0,704\end{pmatrix}$. \item %Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxième match de championnat (match 2) ? (on donnera la valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près) La probabilité qu'il joue est d'après la question précédente 0,296 soit 0,30 au centième près. \end{enumerate} \item %On admet que, pour tout entier naturel $n : a_{n+1} = 0,4a_{n} + 0,2$. On pose, pour tout entier naturel $n : v_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{3}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_{0} = \dfrac{- 7}{30}$. On a pour tout entier $n$, \: $v_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{1}{3} = 0,4a_{n} + 0,2 - \dfrac{1}{3} = 0,4a_n + \dfrac{0,6 - 1}{3} = 0,4a_n - 0,4\dfrac{1}{3} = 0,4\left(a_n - \dfrac{1}{3}\right) = 0,4v_n$. L'égalité $v_{n+1} = 0,4v_n$ montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_{0} = u_0 - \dfrac{1}{3} = 0,1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{- 0,7}{3} = \dfrac{- 7}{30}$. \item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n : a_{n} = \dfrac{1}{3}\left(1 - 0,7 \times 0,4^n\right)$ On sait que pour tout entier $n$, \: $v_n = v_0 \times 0,4^n = \dfrac{- 7}{30}\times 0,4^n$ et comme $v_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{3} \iff$ $ a_n = v_n + \dfrac{1}{3} = \dfrac{- 7}{30}\times 0,4^n + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\left(1 - 0,7 \times 0,4^n \right)$. \item %Déduire de ce qui précède la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. Quel est l'état stable du graphe G ? Comme $0 < 0,4 < 1$, \: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac{1}{3}$. La matrice de transition ne contenant pas de terme nul, l'était $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ (avec $a + b = 1$) indépendant de l'état initial. On a donc $a = \dfrac{1}{3}$ et par conséquent $b = \dfrac{2}{3}$. $P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Les membres d'un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d'une audition. Dans le morceau qu'ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point. % %\medskip % %En effet : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre, %\item la chanteuse échoue dans 50\,\% des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition. % %\medskip % %On appelle G l'évènement \og le guitariste joue parfaitement le morceau \fg. % %On appelle C l'évènement \og la chanteuse interprète le morceau sans faire d'erreur \fg. \begin{enumerate} \item ~%Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$G$~}\taput{0,75}} {\TR{$C$}\taput{0,8} \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,2} } \pstree{\TR{$\overline{G}$~}\tbput{0,25}} {\TR{$C$}\taput{0,5} \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,5} } } \end{center} \bigskip \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité $P(G \cap C)$ que le groupe interprète la chanson sans erreur. $P(G \cap C) = p(G) \times p_{G}(C) = 0,75 \times 0,8 = 0,6$. \item %Calculer la probabilité qu'un, et un seul, des membres du groupe se trompe. Pour cet évènement entre le guitariste et la chanteuse un seul des deux se trompe. La probabilité est donc égale à : $p(G \cap \overline{G}) + p\left(\overline{G} \cap C\right) = 0,75 \times 0,2 + 0,25 \times 0,5 = 0,15 + 0,125 = 0,275$. \item %Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau. D'après la loi des probabilités totales, on a : $p(C) = p(C \cap G) + p(C \cap \overline{G}) = 0,75 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 = 0,6 + 0,125 = 0,725$. \end{enumerate} \item %Calculer $P_{C}(G)$ (on arrondira le résultat à $10^{-3}$ près) et interpréter concrètement ce résultat. $p_{C}(G) = \dfrac{p(G \cap C)}{p(G)} = \dfrac{0,6}{0,725} \approx 0,828$ au millième près. \item %On admet que la probabilité qu'aucun des membres du groupe ne commette d'erreur est $0,6$. Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations était indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours ? On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = 0,6$. La probabilité qu'ils se trompent aux trois concours est $1 - 0,6)^3 = 0,4^3$. Donc la probabilité qu'ils jouent parfaitement à au moins l'un des trois concours est égale à : $1 - 0,4^3 = 1 - 0,064 = 0,936$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{ Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~\np{1000}] par % %\[ f(x) = 89,5 - 8,9 \ln(x + 0,3)\] % %et dont on donne la courbe représentative dans un repère orthogonal du plan (voir Annexe figure I). \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [0 ; \np{1000}]. La fonction est dérivable sur l'intervalle de définition et on a : $f'(x) = - 8,9\times \dfrac{1}{x + 0,3} = - \dfrac{8,9}{x + 0,3} < 0$ ; donc la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~\np{1000}]. \item %Montrer que résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 45$ revient à résoudre l'inéquation $\ln(x + 0,3) \geqslant 5$. Résoudre cette inéquation. $f(x) \leqslant 45 \iff 89,5 - 8,9 \ln(x + 0,3) \leqslant 45 \iff$ $ 44,5 \leqslant 8,9\ln(x + 0,3) \iff \dfrac{44,5}{8,9} \leqslant \ln(x + 0,3) \iff \ln(x + 0,3) \geqslant 5 \iff x + 0,3 \geqslant \text{e}^{5} \iff $ $x \geqslant \text{e}^{5} - 0,3$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~\np{1000}] par : %\[g(x) = 98,4x - 8,9(x+0,3)\ln (x + 0,3)\] %est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~\np{1000}]. Sur [0~;~\np{1000}] la fonction $g$ est dérivable et sur cet intervalle : $g'(x) = 98,4 - 8,9 \times 1 \times \ln (x + 0,3) - 8,9(x + 0,3) \times \dfrac{1}{x + 0,3} = 98,4 - 8,9\ln (x + 0,3) - 8,9 = 89,5 - 8,9\ln (x + 0,3) = f(x)$, donc $g$ est bien une primitive de $f$ sur [0~;~\np{1000}]. \item %On rappelle que la valeur moyenne $m$ de $f$ sur un intervalle $[a ~;~ b]$ ($a$ et $b$ étant deux éléments distincts de l'ensemble de définition de $f$, est donnée par : $m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a^b} f(x)\:\text{d}x$. %Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [200~;~800] (on donnera une valeur approchée de ce résultat arrondi à l'unité). La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [200~;~800] est égale à : $m = \dfrac{1}{800 - 200}\displaystyle\int_{200}^{800} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{600}[F(x)]_{200}^{800} = \dfrac{1}{600}\left(F(800) - F(200) \right) =$ $ 98,4\times 800 - 8,9(800 + 0,3)\ln (800 + 0,3) - \left[98,4\times 200 - 8,9(200 + 0,3)\ln (200 + 0,3) \right] =$ $ \np{78720} - \np{19680} - \np{7122,67}\ln (800,3) + \np{1782,67}\ln 200,3 = $ $\np{59040} - \np{7122,67}\ln (800,3) + \np{1782,67}\ln 200,3 \approx 34,8$ soit à l'unité près 35. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %Une éolienne doit être installée à proximité d'un village dont les habitants s'inquiètent de la nuisance sonore occasionnée. L'entreprise chargée de la fabrication de l'éolienne transmet donc les renseignements suivants : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item au centre de l'éolienne (centre du rotor), le niveau sonore est d'environ 100~décibels (dB). %\item lorsqu'on s'éloigne de $x$ mètres du centre de l'éolienne, le niveau sonore est donné, en dB, par $f(x)$ (défini à la partie A). %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item %En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer à quelle distance du centre de l'éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore inférieur à 40~dB. La droite d'équation $y = 40$ coupe la courbe en un point d'abscisse à peu près égale à 260~(m). Il faut donc être à plus de 260~m de l'éolienne. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Le centre du rotor de l'éolienne est situé à $70$~m de hauteur (voir le schéma donné en annexe). %Un sonomètre (qui mesure le volume sonore) est posé sur le sol à une certaine distance du pied de l'éolienne. À quelle distance du pied de l'éolienne doit-t-on le placer pour que le niveau sonore enregistré soit égal à $45$~dB (le résultat sera arrondi à l'unité) ? Expliquer la démarche suivie. La distance centre de l'éolienne-sonomètre est égale à $\sqrt{x^2 + 70^2} = \sqrt{x^2 + \np{4900}}$. Il faut donc résoudre l'équation : $f\left(\sqrt{x^2 + \np{4900}} \right) = 45 \iff 89,5 - 8,9 \ln \left(\sqrt{x^2 + \np{4900}} + 0,3\right) = 45 \iff 8,9 \ln \left(\sqrt{x^2 + \np{4900}} + 0,3\right) = 44,5 \iff \ln \left(\sqrt{x^2 + \np{4900}} + 0,3\right) = \dfrac{44,5}{8,9} \iff \ln \left(\sqrt{x^2 + \np{4900}} + 0,3\right) = 5 \iff \sqrt{x^2 + \np{4900}} + 0,3 = \text{e}^5 \iff \sqrt{x^2 + \np{4900}} = \text{e}^5 - 0,3 \Rightarrow x^2 + \np{4900} = \left(\text{e}^5 - 0,3 \right)^2 \iff x^2 = \left(\text{e}^5 - 0,3 \right)^2 - \np{4900} \Rightarrow x = \sqrt{\left(\text{e}^5 - 0,3 \right)^2 - \np{4900}} \approx 130,528$ soit environ 181~(m). \emph{Rem.~} On avait vu dans la partie A question \textbf{2.} que $f(x) = 45$ pour $x = \text{e}^{5} - 0,3$. Il faut donc trouver le côté du triangle de mesure $d$ (du sonomètre au pied de l'éolienne) tel que $d^2 + 70^2 = \left(\text{e}^{5} - 0,3 \right)^2$. On aboutit au même calcul. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 - Exercice 4} \vspace{1cm} \textbf{Courbe représentative de}\boldmath $f$ \unboldmath \\ \psset{xunit=0.011cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-25,-10)(1025,125) \multido{\n=0+25}{42}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.25pt](0,\n)(1025,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1025,120) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{0}{1000}{89.5 x 0.3 add ln 8.9 mul sub} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](1025,0){$x$}\uput[l](0,120){$y$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0,40)(260,40)(260,0)\uput[d](250,0){\red 260} \end{pspicture} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,6) \pscurve(2,3.3)(1.75,3)(1.5,2.7)(1,2.1)(0.5,1.7)(0.7,2)(1,2.6)(1.5,3)(1.9,3.3) \pscurve(2,3.4)(3,3.7)(4,4)(4.2,4.1)(4,4.1)(3,4)(2.5,3.72)(2,3.4) \pscurve(1.9,3.35)(1.5,4)(1,4.7)(0.7,5.15)(1,5)(1.5,4.5)(1.75,4)(1.9,3.4) \psline[linewidth=3pt](2,0)(2,3.3) \psframe(7.4,0)(7.7,0.6) \pscircle(7.55,0.75){0.15} \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](7.4,0)(2,3.3) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0)(0.5,3.2) \rput{90}(0.2,1.6){70~m} \psline(2,0)(7.4,0) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,-0.3)(7.4,-0.3) \rput(7.55,1.2){Sonomètre} \psline[linewidth=0.5pt](0.5,3.2)(2,3.2) \pscurve(2,3.3)(2.2,3.37)(2.25,3.48) \pscurve(1.85,3.55)(2,3.58)(2.2,3.5) \pscurve(1.88,3.28)(1.7,3.4)(1.8,3.57) \psframe(2,0)(2.3,0.3) \end{pspicture} \end{center} \end{document}