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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Surface : Arié Yallouz et relecture : un grand merci
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 19 juin 2009}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion ~\decofourright\\19 juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Aucune justification n'est demandée. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, $1$ point ; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse,  $0$ point.} 
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item  %On connaît les probabilités suivantes :

%$p(A) = 0,23 ~;~ p(B)  = 0,56$ et $p(A \cap  B) = 0,11$. Alors : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{A.} $p(A \cup B) = 0,79$& \textbf{B.} $p(A \cup B) = 0,68$&  \textbf{C.}  $p(A \cup B) = 0,9$ \end{tabularx}
On a $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,23 + 0,56 - 0,11 = 0,79 - 0,11 = 0,68$.
\medskip
 
\item  %$x$ est un réel strictement positif. La limite de $(1 - \ln x)$  en $0$ est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{A.} 1 &	\textbf{B.}$ -\infty$& 	\textbf{C.} $ +\infty$\end{tabularx}
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} -\ln x = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to 0} 1 - \ln x = + \infty$.
\medskip
 
\item % Le prix d'un article a doublé en dix ans. L'augmentation annuelle moyenne du prix de cet article, à 1\:\% près, est de :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{A.} 7\:\% &	\textbf{B.} 10\:\%& 	\textbf{C.} 50\:\%
% \end{tabularx}
Si $t$ est l'augmentation annuelle moyenne, on a :

$(1 + t)^{10} = 2 \iff 1 + t = 2^{\frac{1}{10}} \iff t = 2^{\frac{1}{10}} - 1 \approx \np{0,0717}$ soit 7\,\% à l'unité près.
\medskip

\item %Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{3x}$ :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{A.} $F(x) = \text{e}^{3x}$& \textbf{B.} $F(x) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{3x} + 5$&
%\textbf{C.} $F(x) = 3\text{e}^{3x} + 5$ \end{tabularx}
On a $\left[\dfrac{1}{3}\text{e}^{3x} + 5  \right]' = \dfrac{1}{3} \times 3\text{e}^{3x} = \text{e}^{3x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~;~2]$ par 
%\[f(x) = (x - 1)\text{e}^x + 2.\]
%
%On note $f'$ sa dérivée.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $f(- 2),~ f(0)$ et $f(2)$.
$f(0) = (0 - 1)\text{e}^0 + 2 = - 1 + 2 = 1$ ;

$f(- 2) = (- 2 - 1)\text{e}^{- 2} + 2 = - 3\text{e}^{- 2} + 2 \approx 1,59$ ;

$f(2) = (2 - 1)\text{e}^2 + 2 = 2 + \text{e}^2 \approx 9,39$.
\item  %Calculer $f'(x)$. Donner le tableau de variations de $f$ sur $[- 2~;~2]$.
On a $f'(x) = 1\text{e}^x + (x- 1)\text{e}^x = x\text{e}^x$.

Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$. Donc 

$\bullet~~$sur $[- 2~;~0[$, $\: f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante d'environ 1,59 à 1 ;

$\bullet~~$sur $[0~;~2[$, \: $f'(x) > 0$ : la fonction est croissante de 1 à environ 9,39.

\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est :

$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$ ; or f(1) = 2$ et f'(1) = 1\text{e}^1 = \text{e}$. L'équation s'écrit donc :

$y - 2 =  \text{e}(x - 1) \iff y = \text{e}x + 2 - \text{e}$.

Cette droite contient bien entendu le point A et si $x = 0,\: y = 2 - \text{e}$ : elle contient aussi B.
%On considère les points A(1~;~2) et B$(0~;~2 - \text{e})$. Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. 
\item %Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthogonal (unités : 4~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée). 
Voir à la fin de l'exercice.
\item %On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = (x - 2)\text{e}^x + 2x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[- 2~;~2]$. Hachurer la partie $\mathcal{A}$ du plan délimitée par les axes du repère, la droite  d'équation $x = 2$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. Calculer la mesure en cm$^2$ de l'aire de $\mathcal{A}$.
On a vu à la question \textbf{2.} que sur l'intervalle $[- 2~;~2]$, \: $f(x) \geqslant 1 > 0$, donc l'aire de la surface $\mathcal{A}$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) =  (2 - 2)\text{e}^2 + 2 \times 2 - \left[(0 - 2)\text{e}^0 + 2 \times 0 \right] = 4 + 2 = 6$~unités d'aire.

Or l'unité d'aire est égale à $4 \times 1 = 4$~cm$^2$, donc l'aire de $\mathcal{A}$ est égale à $4 \times 6 = 24$~cm$^2$. (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure)
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2.1,0)(2.1,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt](-2,0)(2,10)
\multido{\n=0.00+0.25}{8}{\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,10)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.1,0)(2.1,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{2.71828 x exp x 1 sub mul 2 add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x exp x 1 sub mul 2 add}
\psline(2,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%Dans cet exercice, donner les réponses sous forme de nombres décimaux qui ne seront pas arrondis.
%
%\medskip
% 
%Un concessionnaire automobile vend deux versions de voitures pour une marque donnée: routière ou break. Pour chaque version il existe deux motorisations : essence ou diesel. Le concessionnaire choisit au hasard un client ayant déjà acheté une voiture. 
%
%On note : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $R$ l'évènement : \og la voiture achetée est une routière \fg{} ;
%\item[] $B$ l'évènement : \og la voiture achetée est une break \fg{}; 
%\item[] $E$ l'évènement : \og la voiture est achetée avec une motorisation essence \fg{} ; \item[] $D$ l'évènement : \og la voiture est achetée avec une motorisation diesel \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  65\,\% des clients achètent une voiture routière. 
%\item[$\bullet~$] Lorsqu'un client achète une voiture break, il choisit dans 85\,\% des cas la motorisation diesel. 
%\item[$\bullet~$] 27,3\,\% des clients achètent une voiture routière avec une motorisation diesel.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité $p(R)$ de l'évènement $R$ ? 
$p(R) = \dfrac{65}{100} = 0,65$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Construire l'arbre de probabilité complet. 
\begin{center}
\pstree[nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{R}\taput{0,65}}
	{\TR{E} \taput{}
	\TR{D}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{B}\tbput{0,35}}
	{\TR{E} \taput{0,15}
	\TR{D}\tbput{0,85}
	}
}
\end{center}
		\item  %Démontrer que $P_{R}(D) = 0,42$ (probabilité de $D$ sachant $R$).
On a $p(R \cap D) = 0,273$.

Mais $p(R \cap D) = p(R) \times p_R(D) \iff 0,273 = 0,42 \times p_R(D) \iff p_R(D) = \dfrac{0,273}{0,65} = 0,42$.


$p(B \cap D) = p_B\times p_B(D) = 0,35 \times 0,85 = \np{0,2975}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer $p(D)$.
D'après la loi des probabilités totales : 

$p(D) = p(R \cap D) + p(B \cap D)$ \quad (1).

Or $p(B \cap D) = p(B) \times p_B(D) = 0,35 \times 0,85 = \np{0,2975}$.

L'égalité (1) devient  : $p(D) = 0,273 + \np{0,2975} = \np{0,5705}$.
 
\item %Lorsque le concessionnaire a choisi au hasard un client, on note $x$ le prix de vente (en milliers d'euros) de la voiture achetée. 

%Compléter le tableau de la feuille annexe donnant la loi de probabilité de $x$.

%Calculer l'espérance mathématique de $x$. Quelle interprétation peut-on en donner ? 
On a $p(R) = p(R \cap E) + p(R \cap D) \iff  p(R \cap E) = p(R) - p(R \cap D) = 0,65 - 0,273 = 0,377$.

De même $p(B) = p(B \cap E) + p(B \cap D) \iff  p(B \cap E) = p(B) - p(B \cap D) = 0,35 - \np{0,2975} = \np{0,0525}$.

D'où le tableau :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Version &\multicolumn{2}{|c|}{Routière} &\multicolumn{2}{|c|}{Break} \\ \hline
Motorisation &\small Essence&Diesel &\small Essence &Diesel \\ \hline
$x_{i}$ : prix de vente (en milliers d'euros) 	&15 	&18 	&17 		&20\\ \hline 
$P_{i}$ : probabilité							&0,377	&0,273	&\np{0,0525}&\np{0,2975}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
On a donc E $ = 15 \times 0,377 + 18 \times 0,273 + 17 \times \np{0,0525} + 20 \times \np{0,2975} = \np{17,4115}$~milliers d'euros.

Le prix de vente moyen d'un véhicule sur un grand nombre de ventes est de $\np{17411,50}$~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Une usine produit deux types E et F de moteurs.
 
Le bénéfice $B$, exprimé en milliers d'euros, pour une production journalière de $x$ moteurs E et $y$ moteurs F est :

\[B(x~;~y) = - 0,05x^2 - 0,08y^2 + 0,6x + 0,7y.\]
 
On admet que la production totale est vendue et que $0 \leqslant  x \leqslant  10~;~0 \leqslant  y \leqslant  8$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le bénéfice réalisé avec : 
	\begin{enumerate}
		\item %Une production de 7~moteurs E et de 5~moteurs F.
		$B(7~;~5) = - 0,05 \times 7^2 - 0,05 \times 5^2 + 0,6 \times 7 + 0,7 \times 5 = 4,2 + 3,5 - 2,45 - 1,25 = 4$~milliers d'euros. 
		\item %Une production de 10~moteurs E et aucun moteur F.
$B(10~;~0) = - 0,05 \times 10^2 + 0,6 \times 10 = 6 - 5 = 1$~millier d'euro.
	\end{enumerate} 
\item %La fonction $B$ est représentée par la surface $S$ (figure ci-dessous). 

%L'usine veut obtenir un bénéfice dépassant \np{3000}~\euro. Par lecture graphique de $B$ : 
	\begin{enumerate}
		\item %Si l'usine fabrique 6~moteurs F, indiquer le nombre de moteurs E qu'il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités.
On voit que pour dépasser $z = 3$, il faut que $2 \leqslant y \leqslant 4$. 
		\item %Si l'usine fabrique 8~moteurs E, indiquer le nombre de moteurs F qu'il faut produire pour atteindre cet objectif.  Préciser les différentes possibilités.
On voit que le nombre de moteurs F à produire doit être 3 ou 4. 
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textsf{\textbf{{\small{Représentation graphique du bénéfice $B$}}}}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-6.25,-4.5)(10.25,8.5)
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=-139,Beta=-17}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.8 .98 1}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{0.8 0.6 .9}
\definecolor{bleuGris} {rgb}{0.65 0.6 .85}
\definecolor{bleu} {rgb}{0.1 0.1 .3}
\definecolor{violet} {rgb}{.6 .2 .65}
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=8,zMax=8,drawing=false]
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\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,8)
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\multido{\n=0+1}{11}{
\pstThreeDPut(\n,8.25 ,-0.25){\footnotesize{\n}}}
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\psset{unit=1.4cm}
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\psset{unit=0.7cm,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu}

\def\fxy{0.1 neg x 2 exp mul .16 y 2 exp mul sub 1.2 x  mul add 1.4 y mul add}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](0,2)(0,0){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](2,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(1.798,0){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,1)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](1,1)(8,7){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](1,0)(7,7){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(7,8){\fxy}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,1)(8,8){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](.94,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt add .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(6.952,8){\fxy}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(0.69864,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=6](1,.94)(8,8){\fxy}
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=10](.94,0){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt add .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](0,0)(6.952,1.798){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](1,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 425 add sqrt sub .125 mul 2}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(0,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=40](2,1)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(8,0.69864){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuGris,plotstyle=curve]{%
\multido{\n=3+1}{8}{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=\n](2,\n)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](\n,\n)(8,0){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=\n](\n,2)(0,0){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(0,8){\fxy}
}
}
% coloriage par bandes de z> 2 pour x variant de 0 à 10
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=6](.8401,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(3.36722,5.38278){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=6](1,.8401){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](1,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(1.798,6.952){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](2,1){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](1,1)(5.38278,3.36722){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](2,3){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,3)(1.056,7.694){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](3,2){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](2,2)(6.952,1.798){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](3,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1,linecolor=bleu](4,4)(.614598,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](4,3.633)(8,8){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10,linecolor=bleu](3.633,3){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1,linecolor=bleu](3,3)(7.674,1.056){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(.37304,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,4)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](4,4)(8,0.614598){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,6)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(8,.2957){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=1](5,5)(.37304,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,7)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(8,0.37304){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(.2957,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,8)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(8,0.37304){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(.614598,8){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,9){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](9,9)(1.056,7.69398){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](9,8.36643){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8.36643,8)(8,8){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(8,.614598){\fxy}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,plotstyle=curve]{%
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](9,9)(7.69398,1.056){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](9,10){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt sub .125 mul 4}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](10,10)(1.798,6.952){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](10,9){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 375 sub sqrt add .125 mul 4}
}
% fin de coloriage par bandes de z> 2
% coloriage par bandes de z > 3

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve,linecolor=bleuClair]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,4.375){ 6 40 neg t dup mul mul  350 t mul add 600 sub sqrt .2 mul sub  t 6}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](3.42609,6)(4.375,4.375){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(4.375,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,4.10263)(3,3){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](3,4375){ 6 40 neg t dup mul mul  350 t mul add 600 sub sqrt .2 mul add  t 6}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](8.57391,6)(4.375,4.375){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(4.375,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,7.89737)(3,3){\fxy}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](3.426093,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](4,4)(3.09413,5.65587){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,3.426093){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](4,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(2.5,6.25){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,4){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](4,4)(5.65587,3.09413){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](5,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(2.34015,6.40985){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,5){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](5,5)(6.25,2.5){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](6,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(2.5,6.25){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,6){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](6,6)(6.40985,2.34015){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](7,8){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(3.09413,5.65587){\fxy}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,7){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](7,7)(6.25,2.5){\fxy}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,plotstyle=curve]{%
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,8.5739){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt sub .125 mul 6}
\parametricplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8.5739,8){t 35 40 neg t dup mul mul  480 t mul add 1175 sub sqrt add .125 mul 6}
\psplotThreeD[drawStyle=yLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=1](8,8)(5.65587,3.09413){\fxy}
}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,10)(7,7){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=50](0,10)(6,6){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=25](3.5,10)(5,5){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=20](6,10)(4,4){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=15](7,10)(3,3){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](8,10)(2,2){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](0,.4)(1,1){\fxy}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=1,xPlotpoints=10](9,10)(1,1){\fxy}
\psframe[linewidth=0.25pt,linecolor=gray](8.5,0)(10,2.5)
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=bleu, fillstyle=solid}
\psframe[fillcolor=violet](8.75,.3)(9.05,.6)  \rput[l](9.25,.45){\footnotesize{0-1}}
\psframe[ fillcolor=bleuGris](8.75,.8)(9.05,1.1)  \rput[l](9.25,.95){\footnotesize{1-2}}
\psframe[ fillcolor=mauveClair](8.75,1.3)(9.05,1.6) \rput[l](9.25,1.45){\footnotesize{2-3}}
\psframe[ fillcolor=bleuClair](8.75,1.8)(9.05,2.1) \rput[l](9.25,1.95){\footnotesize{3-4}}
\psset{linestyle=none}
\pstextpath[c]{\pstThreeDLine(0,8.5,-.75)(10,8.5,-.75)}{\textbf{$x$} : \footnotesize{nombre de moteurs E}}
\pstextpath[c]{\pstThreeDLine(10.5,8,-.75)(10.5,0,-.75)}{\textbf{$y$} : \footnotesize{nombre de moteurs F}}
\pstextpath[l]{\pstThreeDLine(-.5,8.75,1)(-.5,8.75,8.5)}{\textbf{$z$} : \footnotesize{bénéfice (en milliers d'euros)}}

\end{pspicture*}
\end{center} 

\item La demande contraint l'usine à fabriquer autant de moteurs E que de moteurs F. Dans ce cas : 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer, en fonction de $x$, le bénéfice $B$ réalisé, lorsque $x$ varie de 0 à 8. 
Si $y = x$, alors $B(x~;~y) = B(x~;~x) = - 0,05x^2 - 0,08x^2 + 0,6x + 0,7x =$

$ 1,3x - 0,13x^2$.
	\item %Déterminer la production permettant de réaliser le bénéfice maximal.
Cette production est un trinôme du second degré dont le maximum est obtenu pour $x = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{1,3}{2 \times (- 0,13)} = \dfrac{10}{2} = 5$.	 
%Calculer ce bénéfice maximal exprimé en euros.

Ce bénéfice maximal est donc égal à $B(5~;~5) = 1,3 \times 5 - 0,13 \times 5^2 =$

$ 6,5 - 3,25 = 3,25$, soit \np{3250}~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, $y$ centaines de nouveaux résidants et $z$ centaines de résidants quittant la ville. 
%
%Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2000 &2002 &2004 &2006 &2007 \\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$&0 &2 &4 &6 &7\\ \hline  
%Nouveaux résidants (en centaines) : $y_{i}$ & 9,71 &10,95 &10,83 &11,95 &11,99 \\ \hline
%Départs de résidants (en centaines) : $z_{i}$&9,6 &11,79 &12,63 &12,9 &13,18\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

%Pour la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donner une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième).
La calculatrice donne après arrondi au centième des coefficients : $y = 0,31x + 9,9$.
\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip 

%Dans toute la suite de l'exercice 4, on admettra le modèle d'ajustement $y = f(x)$ et $y = g (x)$ avec : 
%
%\[f(x) = 0,3x + 10\: \text{pour la série}\: \left(x_{i}~;~ y_{i}\right)~ \text{et}\: g(x) = \ln (3x+ 1) + 10\: \text{pour la série}\: \left(x_{i}~;~ z_{i}\right).\]
% 
%Les nuages de points et les courbes représentatives de $f$ et $g$ sont donnés dans la figure ci-dessous :
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.544cm} 
%\begin{pspicture}(-1,6.5)(21,17)
%\definecolor{vert} {rgb}{0.05 .5 .45}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7]{->}(0,7)(21,17)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,7)(21,17)
%\psdots[linecolor=vert,dotscale=.8](0,9.71)(2,10.95)(4,10.83)(6,11.95)(7,11.99)(17.25,9.3)
%\psdots[linecolor=blue,dotstyle=Bsquare](0,9.6)(2,11.79)(4,12.63)(6,12.9)(7,13.18)(17.25,8.3)
%\psplot[linecolor=vert,plotpoints=2]{-.75}{21}{0.3 x mul 10 add}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=212]{-0.2}{21}{3 x mul 1 add ln 10 add}
%\rput[l](16.1,13.25){\footnotesize{$y=\ln(3x+1)+10$}}
%\rput[l](16.1,16.25){\footnotesize{$y=0,3x+10$}}
%\rput[l](17.6,9.3){\footnotesize{Série $(x;y)$}}
%\rput[l](17.6,8.3){\footnotesize{Série $(x;z)$}}
%
%\end{pspicture}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant ces ajustements : 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait \np{1400}.
Il faut résoudre l'inéquation :

$0,3x + 10 \geqslant 14 \iff 0,3x \geqslant 4 \iff x \geqslant \dfrac{4}{0,3} \approx 13,33$ soit au moins $x = 14$, c'est-à-dire en 2014.
		\item %Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait \np{1400}.
Il faut résoudre l'inéquation :

$\ln (3x + 1) + 10 \geqslant 14 \iff \ln (3x + 1) \geqslant 4 \iff 3x + 1 \geqslant \text{e}^4 \iff $

$3x \geqslant 	\text{e}^4 - 1 \iff x \geqslant \dfrac{\text{e}^4 - 1}{3} \approx 17,9$  soit au moins $x = 18$, c'est-à-dire en 2018.	 
	\end{enumerate}

%On considère la fonction $d$ définie sur [0~;~20] par
% 
%\[d(x) = g(x) - f(x) = \ln (3x + 1) - 0,3x.\]
%
%On note $d'$ la dérivée de $d$.
%
%\medskip
 
\item %Calculer $d'(x)$ et en donner une écriture sous forme d'un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction $d$.
En dérivant la somme des fonctions :

$f'(x) = \dfrac{3}{3x + 1} - 0,3 = \dfrac{3 - 0,3(3x + 1)}{xx + 1} = \dfrac{3 - 0,9x - 0,3}{x + 1} = \dfrac{2,7 - 0,9x}{3x + 1}$.

Comme $x \geqslant 0, \: 3x + 1 \geqslant 1 > 0$ : le signe de $f'(x)$ est donc celui de 

$2,7 - 0,9x = 0,9(3 - x)$.

$\bullet~~$si $x = 3$, \:$f'(3) = 0$ ;

$\bullet~~$si $x < 3$,\:$f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur [0~;~3] ;

$\bullet~~$si $x > 3$,\:$f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur [3~;~20].
\item %Montrer que l'équation $d(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [3~;~20].
On a vu que sur l'intervalle [3~;~20] la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement croissante de $f(3) = \ln (9 + 1) - 0,3 \times 3 = \ln 10 - 0,9 \approx  1,4$ à 

$f(20) = \ln 61 - 6 \approx - 1,9$ : d'après le théorème de la valeur intermédiaire $f$ s'annule en un seul point $\alpha \in [3~;~20]$

%À l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
La calculatrice donne :

$f(12) \approx 0,01$ et $f(13) \approx - 0,2$, donc $12 < \alpha < 13$. 
\item %En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants : 

	\begin{enumerate}
		\item %En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population ? 
$d(x)$ représente la différence entre les départs et les arrivées dans la ville.

Le maximum de $d$ correspond donc à la plus grande baisse de la population. Ce maximum est obtenu pour $x = 3$, soit $d(3 ) = \ln 10 - 0,9 \approx 1,402$ soit environ une baisse de 140 habitants.		
%Estimer alors cette baisse. 
		\item %À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population ?
On peut prévoir une augmentation de la population quand les arrivées vont dépasser les départs, soit quand $d(x) < 0$ ; on a vu que sur [3~;~20], la fonction $d$ est décroissante à partir de $d(\alpha) = 0$; donc sur [3~;~20], si $x > \alpha$, alors $d(x) < 0$.

On peut estimer que la population augmentera à partir de 2013.		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}