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%Corrigé : Jean-Paul Widehem
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {La Réunion juin  2011},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
%\date{\vspace{-5ex}}
\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat S La Réunion~\decofourright\\[4pt]21 juin 2011}}}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{\bf Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Le plan $\mathcal P$ et la droite $\mathcal D$ n'ont aucun point commun. \medskip
  \item Les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath}+\vect{\jmath}+\vect{k}$.
  \medskip
  \item L'ensemble des points $M$ de l'espace qui sont équidistants des points $A$ et $B$ est le plan d'équation $- 4x + 2y + 5z - \dfrac{5}{2} = 0$.
  \medskip
  \item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\| \vect{MA}-3\vect{MB}\right\| = 5$ est une sphère dont le centre a pour coordonnées $\left(-5~;~5~;~\dfrac{7}{2} \right)$.
\end{enumerate}
\Pisymbol{pzd}{224} {\em Pour voir les justifications} \hyperlink{justifs}{(cliquer ici)}

\hypertarget{retour}

\vspace{0,5cm}

{\bf Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les bulletins sont indiscernables au toucher, les tirages sont donc équiprobables et la probabilité d'un évènement est le quotient du nombre de tirages qui lui sont favorables par le nombre de tirages possibles :
\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le nombre de tirages de $4$ bulletins choisis simultanément parmi $10$ est $$\binom{10}{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$$
\item[$\bullet$] L'évènement $A$ est réalisé lorsque les $4$ bulletins sont choisis parmi les $4$ portant sur l'histoire ;\\ le nombre de tirages favorables à l'évènement $A$ est 
\[\binom{4}{4}=1.\]
\item[$\bullet$] L'évènement $\overline{B}$ est réalisé lorsque les $4$  bulletins sont choisis parmi les $8$ ne portant pas sur le sport.

Le nombre de tirages favorables à l'évènement $\overline{B}$ est \[\binom{8}{4}=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70.\]
\end{itemize}

Ainsi : 
\begin{center}
\fbox{$P(A)=\dfrac{1}{210}$}\quad et\quad \fbox{$P(B)=1-P\left(\overline{B}\right) = 1-\dfrac{70}{210}=\dfrac23$}
\end{center}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item \,\hfill
\pstree[treesep=5mm,treemode=R, treefit=loose]{\TR{}}
{\pstree{\TR{~$H$~}\naput{$\frac14$}}
	{\TR{~$C$}\ncput*{\footnotesize $0,7$}
	\TR{~$\overline C$}\ncput*{\footnotesize $0,3$}
	}
\pstree{\TR{~$L$~}\ncput*{$\frac12$}}
	{\TR{~$C$}\ncput*{\footnotesize $0,6$}
	\TR{~$\overline C$}\ncput*{\footnotesize $0,4$}
	}
\pstree{\TR{~$S$~}\nbput{$\frac14$}}
	{\TR{~$C$}\ncput*{\footnotesize $0,5$}
	\TR{~$\overline C$}\ncput*{\footnotesize $0,5$}
	}
}\hfill\,
		
		\item Les évènements $H$, $L$ et $S$ forment un système complet d'évènements, alors (formule des probabilités totales) : 
		
\[\begin{array}{ccccccc}
   P(C) & = & P(C\cap H) & + & P(C\cap L) & + & P(C\cap S)   \smallskip \\
   P(C)   & = & P(H)\times P_{H}(C) & + & P(L)\times P_{L}(C) & + & P(S)\times P_{S}(C) \\
   P(C)   & = & \dfrac14\times 0,7 & + & \dfrac12\times 0,6 & + & \dfrac14\times 0,5  
\end{array}\]
\begin{center}
\fbox{$P(C) = 0,6$}
\end{center}
		\item On demande de calculer la probabilité conditionnelle $P_{C}(S)$ :
\begin{center}
$P_{C}(S) = \dfrac{P(S\cap C)}{P(C)} =\dfrac{P(S)\times P_{S}(C)}{P(C)}=\dfrac{0,5\times 0,25}{0,6}=\dfrac{5}{24}$
\end{center}
	\end{enumerate}
	\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Chaque question constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0,7$ (épreuve à deux issues : le candidat répond correctement à la question --- succès --- avec la probabilité $p=0,7$ ou bien il ne répond pas correctement à la question avec la probabilité $1-p=0,3$).
		
 On répète $n=10$ fois, de manière indépendante, une telle épreuve de même paramètre $p=0,7$, alors la variable aléatoire $X$ égale au nombre de \og succès\fg{} suit la loi binomiale de paramètres $10$ et $0,7$, c'est-à-dire
  
\begin{center}
\fbox{pour tout $k\in\big\{ 0 ; 1 ; 2 ; \dots ; 10\big\}$,\quad $P\left( \left\{ X=k\right\}\right) = \displaystyle\binom{10}{k}\times 0,7^{k}\times 0,3^{10-k}$}
\end{center}\medskip
		\item $P\left( \left\{ X\geqslant 9\right\}\right) =P\left(\left\{ X=9\right\}\right) +P\left(\left\{ X=10\right\}\right)$\\
  $P\left( \left\{ X\geqslant 9\right\}\right)  =\displaystyle\binom{10}{9}\times 0,7^{9}\times 0,3 +\binom{10}{10}\times 0,7^{10}=\dots$
\begin{center}
\fbox{$P\left( \left\{ X\geqslant 9\right\}\right) \approx 0,15$ à $10^{-2}$ près}
\end{center}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

{\bf Exercice 3 \hfill 6 points}
\smallskip

{\bf Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\R$ et ne prend que des valeurs strictement positives, alors la fonction $x\longmapsto \mathrm e^{2x}+1$ est dérivable et ne s'annule pas sur $\R$. $f$ est dérivable sur $\R$.\smallskip\\
  Soit $x\in\R$, $f'(x)=-\dfrac{4\e{x}\left(\e{2x}+1\right) -2\e{2x}\times 4\e{x}}{\left(\e{2x}+1\right)^{2}}=-\dfrac{4\e{x}\left( 1-\e{2x}\right)}{\left(\e{2x}+1\right)^{2}}$\smallskip
\begin{center}
\fbox{Pour tout réel $x$, ~ $f'(x)=\dfrac{4\e{x}\left( \e{2x}-1\right)}{\left(\e{2x}+1\right)^{2}}$}
\end{center}
		\item Pour tout réel $x$,
$\dfrac{4\e{x}}{\left(\e{2x}+1\right)^{2}}>0$
 alors $f'(x)$ est du même signe que $\e{2x}-1$.

Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et que, pour tout $x>0$, on a $2x>0$, alors $\e{2x}>\e{0}$ soit $\e{2x}-1>0$.\smallskip\\ $\forall x\in ]0~;~+\infty [$, $f'(x)>0$ et $f'(0) = 0$, alors 
\begin{center}
\fbox{$f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item $f$ est définie sur $\R$ et, pour tout $x\in\R$, \begin{center}
$f(-x)= 1-\dfrac{4\e{-x}}{\e{-2x}+1}=1-\dfrac{4\e{-x}}{\e{-2x}\left( 1+\e{2x}\right)}=1-\dfrac{4\e{x}}{1+\e{2x}}=f(x)$
\end{center}
Ainsi la fonction $f$ est paire et, graphiquement : 
\begin{center}
\fbox{la courbe $\mathcal C$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=0$}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du point $A$ sont $(a,0)$ avec $a>0$ et $A\in\mathcal C$, alors $f(a)=0 \Longrightarrow 1-\dfrac{4\e{a}}{\e{2a}+1}=\dfrac{\e{2a}-4\e{a}+1}{\e{2a}+1}=0\Longrightarrow \left(\e{a}\right)^{2}-4\e{a}+1=0$
\medskip

Si on pose $c=\e{a}$, alors 
\begin{center}
\fbox{$c$ est une solution de l'équation $x^{2}-4x+1=0$}
\end{center}

On résout l'équation $x^{2}-4x+1=0$ ; elle admet deux solutions réelles positives $2-\sqrt 3$ et $2+\sqrt 3$, alors $a\in\left\{ \ln\left( 2-\sqrt 3\right) , \ln\left( 2+\sqrt 3\right)\right\}$.

Puisque $2-\sqrt 3\in ]0;1[$, alors $\ln\left( 2-\sqrt 3\right) <0$ et, $a$ étant positif : 
\begin{center}
\fbox{$a=\ln\left( 2+\sqrt 3\right)$}
\end{center}
\item $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$ et s'annule en $a=\ln\left( 2+\sqrt 3\right)$ alors, en utilisant la parité de $f$, on en déduit :

\begin{center}
\fbox{\parbox{6,5cm}{  \begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f(x)>0$\quad si $x\in ]-\infty ; -a[\cup ]a ; +\infty [$ ;
\item[$\bullet$] $f(x)<0$\quad si $x\in ]-a ; a [$ ;
\item[$\bullet$] $f(-a)=f(a)=0$.
\end{itemize}}}
\end{center}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Partie B}
\begin{enumerate}
\item On reconnaît, sous forme intégrale, l'expression de la primitive sur $\R$ qui s'annule en $0$ de la fonction $f$, alors $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'=f$. Les variations de la fonction $F$ sur $\R$ se déduisent alors du signe de $f(x)$ :\begin{center}
\fbox{\parbox{10,5cm}{
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $F$ est strictement croissante sur $]-\infty~;~-a]$ et sur $[a~;~+\infty [$ ;
\item[$\bullet$] $F$ est strictement décroissante sur $[-a~;~a]$.
\end{itemize}}}
\end{center}
\item $f$ étant continue et négative sur $[0~;~a]$, $F(a)=\displaystyle\int_{0}^{a}f(t)\:\text{d}t= -\int_{0}^{a}\left| f(t)\right| \:\text{d}t$ est l'opposé de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$. Ce domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont $\left| f(0)\right| = 1$ et $a$, alors $0\leqslant -F(a)\leqslant 1\times a$, d'où : 
\begin{center}
\fbox{$-a\leqslant F(a)\leqslant 0$}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $t\in [0, +\infty [$, ~ $f(t)=1-\dfrac{4\e{t}}{\e{2t}\left( 1+\e{-2t}\right)}=1-4\e{-t}\times\left( \dfrac{1}{1+\e{-2t}}\right)$.
		
On est donc amené à comparer $\dfrac{1}{1+\e{-2t}}$ avec $1$ ;
\medskip

Soit $t\geqslant 0$, on a : $\e{-2t}>0$, puis : $\e{-2t}+1>1$,

alors, par stricte décroissance de la fonction \og inverse\fg{} sur $]0;+\infty [$, $$\dfrac{1}{1+\e{-2t}}<1$$ En multipliant chaque membre par $-4\e{-t}<0$ : $$\dfrac{-4\e{-t}}{1+\e{-2t}}>-4\e{-t}$$ Finalement, en ajoutant $1$ :
\begin{center}
\fbox{Pour tout réel positif $t$, ~ $f(t)\geqslant 1-4\e{-t}$}
\end{center}
		\item Soit $x\geqslant 0$.
		
Puisque l'intégrale entre des bornes croissantes \og conserve l'ordre\fg{}, alors (d'après la question précédente) :
 
\begin{center}
$\displaystyle\underbrace{\int_{0}^{x}f(t)\mathrm dt}_{F(x)} \geqslant \underbrace{\int_{0}^{x}\left( 1-4\e{-t}\right)\mathrm dt}_{\left[ t+4\e{-t}\right]_{0}^{x}}$
\end{center}
$\displaystyle\left[ t+4\e{-t}\right]_{0}^{x}=x+4\e{-x}-4\geqslant x-4$, car $\e{-x}>0$. On a bien :

\begin{center}
\fbox{pour tout réel positif $x$, ~ $F(x)\geqslant x-4$}
\end{center}

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x-4=+\infty$, par comparaison :

\begin{center}
\fbox{$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)=+\infty$}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Puisque la fonction $f$ est paire, on peut penser que sa primitive $F$ qui s'annule en $0$ est impaire, c'est-à-dire 
\begin{center}
$\forall x\in\R$, $F(-x)=-F(x)$ $\iff$ $\forall x\in\R$, $F(-x)+F(x)=0$
\end{center}
Pour cela, on considère la fonction définie sur $\R$ par $F(-x)+F(x)$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ et sa dérivée est définie, pour tout réel $x$, par ~ $-f(-x)+f(x)=0$ ~ car $f$ est paire, alors :
\begin{center}
Pour tout $x\in\R$, ~ $F(-x)+F(x)=F(-0)+F(0)=0$. Alors $F$ est impaire.
\end{center}
Par imparité :
 
\begin{center}
\fbox{$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)=-\lim_{x\to +\infty}F(x)=-\infty$}
\end{center}
\end{enumerate}

\vfill

{\bf Exercice 4 \hfill 5 points}

\smallskip

{\bf Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

{\bf Partie A - Restitution organisée de connaissances}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Une distance est la traduction géométrique du module d'un nombre complexe.

Avec les notations de l'énoncé, on a : $AB=\left| b-a\right|$ et $AC=\left| c-a\right|$.

Si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par une rotation de centre $A$ vérifie :

\begin{center}
$1=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\left| c-a\right|}{\left| b-a\right|}=\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|$
\end{center}
\smallskip
\item[$\bullet$] Un angle orienté est la traduction géométrique de l'argument d'un nombre complexe. En utilisant la relation de Chasles :

$\left(\vect{AB} , \vect{AC} \right) =\left( \vec u , \vect{AC}\right) -\left( \vec u , \vect{AB}\right) =\arg (c-a)-\arg (b-a) +2k\pi$, où $k\in\Z$.

La différence des arguments est un argument du quotient, si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$, vérifie :

\begin{center}
$\theta =\arg\left( \dfrac{c-a}{b-a}\right) +2k\pi$, où $k\in\Z$
\end{center}
\end{itemize}\smallskip
Par conséquent, si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$, vérifie :
\begin{center}
$\dfrac{c-a}{b-a}=\e{\text{i}\theta}$\quad soit\quad $c-a=\e{\text{i}\theta}(b-a)$
\end{center}
La dernière égalité reste valable si $a=b$, d'où l'écriture complexe de cette rotation :
\begin{center}
\fbox{$c=\e{\text{i}\theta}(b-a)+a$}
\end{center}

\bigskip

{\bf Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $2z^{2}-6z+9 = 0$ est une équation du second degré dans $\C$ à coefficients réels dont le discriminant $\Delta = - 36 = \left( 6\text{i}\right)^{2}$ est négatif, alors cette équation possède deux solutions complexes conjuguées : 
\begin{center}
\fbox{$z_{1}=\dfrac{6-6\text{i}}{4}=\dfrac32(1-\text{i})$}\quad et\quad \fbox{$z_{2}=\dfrac32(1+\text{i})$}
\end{center}
\item Figure à la fin de l'exercice.
\item $S$ est le symétrique du point $R$ par rapport au point $Q$ signifie que $Q$ est le milieu du segment $[RS]$, c'est-à-dire : $z_{Q}=\dfrac12(z_{R}+z_{S})$ soit : 

\[z_{S}=2z_{Q}-z_{R}=3(1-\text{i})-\left( -2\text{i}\sqrt 3\right) =3+\text{i}\left( 2\sqrt 3-3\right).\]

\item L'écriture complexe de la rotation $r$ est $z'=\text{i}z$, alors :

\begin{center}
\fbox{$z_{A}=\text{i}z_{R}=2\sqrt 3$}\quad et\quad \fbox{$z_{C}=\text{i}z_{S}=3\text{i}-\left( 2\sqrt 3-3\right)$}
\end{center}
\item L'écriture complexe de la translation de vecteur $3\vec v$ %d'affixe $3\text{i}$ 
  est  $z'=z+3\text{i}$, alors :
\begin{center}
\fbox{$z_{B}= 3+2\text{i}\sqrt 3$}\quad et\quad \fbox{$z_{D}= \text{i}\left( 3-2\sqrt 3\right)$}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item On calcule $z_{B}-z_{P}=3+2\text{i}\sqrt 3-\dfrac32(1+\text{i})=\dfrac32+\text{i}\left( 2\sqrt 3-\dfrac32\right)$\\
puis, \qquad $\begin{array}[t]{ccl }
z_{C}-z_{P} & = & 3\text{i}-\left( 2\sqrt 3-3\right)-\dfrac32(1+\text{i})   \\
      		&  = & \dfrac32\text{i}-\left(2\sqrt 3-\dfrac32\right) \\
      		& = & \text{i}\left( \dfrac32 +\text{i}\left( 2\sqrt 3-\dfrac32\right)\right) \smallskip\\ 
      		& = & \text{i}(z_{B}-z_{P})
\end{array}$\\
On a bien \begin{center}
\fbox{$\dfrac{z_{C}-z_{P}}{z_{B}-z_{P}}=\text{i}$}
\end{center}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] D'après la {\bf partie A}, le résultat précédent signifie que le point $C$ est l'image du point $B$ par la rotation de centre $P$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, alors : \begin{center}
le triangle $PBC$ est rectangle et isocèle en $P$.
\end{center}\smallskip
\item[$\bullet$] On calcule l'affixe du milieu du segment $[AC]$ : 
\begin{center}
$\dfrac12(z_{A}+z_{C}) =\dfrac12(3\text{i} +3)=\dfrac32(1+\text{i})=z_{P}$.
\end{center}\smallskip
  %La translation de vecteur $3\vec v$ transforme le milieu $Q$ du segment $[RS]$ en le milieu du segment image $[DB]$, or on peut remarquer que $z_{P}-z_{Q}=3\text{i}$ donc $\vect{QP}=3\vec v$, le point $P$ est l'image du point $Q$ par la translation de vecteur $3\vec v$, alors $P$ est le milieu de $[BD]$.
\item[$\bullet$] On calcule l'affixe du milieu du segment $[BD]$ :
\begin{center}
$\dfrac12(z_{B}+z_{D})=\dfrac12(3+3\text{i})=z_{P}$.
\end{center}
  %On vérifie aisément que $\dfrac{z_{P}}{z_{Q}}=\text{i}$, donc $P=r(Q)$, alors $P$ est aussi le milieu du segment $[r(R)r(S)]=[AC]$. 
\end{itemize}\medskip
Finalement les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu $P$, alors :
\begin{center}
\fbox{$ABCD$ est un carré.}
\end{center}
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.44,-3.82)(4.32,4.1)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.5,1.5)
\rput[bl](1.6,1.52){\blue{$P$}}
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,-0.46)
\rput[bl](-0.3,-0.66){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

{\bf Exercice 4 \hfill 5 points}

\smallskip

{\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

{\bf Partie A - Restitution organisée de connaissances}

\medskip

\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] Une distance est la traduction géométrique du module d'un nombre complexe.
  
Avec les notations de l'énoncé, on a : $AB=\left| b-a\right|$ et $AC=\left| c-a\right|$.

Si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par une similitude directe de centre $A$ et de rapport $k$ ($k>0$), vérifie :
  \begin{center}
$k=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\left| c-a\right|}{\left| b-a\right|}=\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|$
\end{center}\smallskip
  \item[$\bullet$] Un angle orienté est la traduction géométrique de l'argument d'un nombre complexe. En utilisant la relation de Chasles : \\
  $\left(\vect{AB} , \vect{AC} \right) =\left( \vec u , \vect{AC}\right) -\left( \vec u , \vect{AB}\right) =\arg (c-a)-\arg (b-a) +2n\pi$, où $n\in\Z$.\\
  La différence des arguments est un argument du quotient, si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par une similitude directe de centre $A$ et d'angle $\theta$, vérifie :
  \begin{center}
$\theta =\arg\left( \dfrac{c-a}{b-a}\right) +2n\pi$, où $n\in\Z$
\end{center}
\end{itemize}\smallskip
Par conséquent, si $A\neq B$, l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par la similitude directe de centre $A$, de rapport $k$ ($k>0$) et d'angle $\theta$, vérifie :
\begin{center}
$\dfrac{c-a}{b-a}=k\e{\text{i}\theta}$\quad soit\quad $c-a=k\e{\text{i}\theta}(b-a)$
\end{center}
La dernière égalité reste valable si $a=b$, d'où l'écriture complexe de cette similitude directe :
\begin{center}
\fbox{$c=k\e{\text{i}\theta}(b-a)+a$}
\end{center}

\noindent {\bf Partie B}
\begin{enumerate}[\bf 1.]
\item 
	\begin{enumerate}[\bf a.]
		\item On vérifie : ~ $3\times (-1)-2\times (-2)=-3+4=1$, alors \begin{center}
\fbox{le couple $(-1,-2)$ est une solution de $(E)$}
\end{center}
		\item \begin{itemize}
		\item[$\bullet$] {\bf Condition nécessaire :}\\
Soit $(x, y)$ un couple d'entiers relatifs tel que : ~\hfill $3x-2y=1$\\
sachant que : ~\hfill $3\times (-1)-2\times (-2)=1$\\
par différence membre à membre : ~\hfill $3\times (x+1)-2\times (y+2)=0$\\
soit : ~\hfill $3(x+1)=2(y+2)$\\
Ainsi : ~ $2$ divise le produit $3(x+1)$ et $2$ est premier avec $3$,\\
alors (théorème de Gauss) : $2$ divise $x+1$,\\
alors il existe $k\in\Z$ tel que $x+1=2k$ et $3\times \cancel{2}k=\cancel{2}(y+2)$,\\
alors il existe $k\in\Z$ tel que $x=2k-1$ et $y=3k-2$.\\
On a ainsi démontré que toute solution de $(E)$ est nécessairement de la forme $(2k-1, 3k-2)$, où $k\in\Z$.
		\item[$\bullet$] {\bf Condition suffisante :}\\
Soit $k\in\Z$, on a : ~ $3(2k-1)-2(3k-2)=-3+\cancel{6k}+4-\cancel{6k}=1$
		\item[$\bullet$] {\bf Conclusion :}\\ L'ensemble des couples d'entiers relatifs vérifiant l'équation $(E)$ est \begin{center}
\fbox{l'ensemble des couples $(2k-1, 3k-2)$, où $k\in\Z$}
\end{center}
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[\bf a.]
		\item Soit $k\in\Z$. Puisque $2(k-3)+4=2k-2$,  les coordonnées $(k-3, 2k-2)$ du point $A_{k}$ vérifient l'équation $y=2x+4$ de la droite $d$, alors \begin{center}
\fbox{$A_{k}\in d$}
\end{center}
		\item Les seuls points de $d'$ à coordonnées entières sont les points dont les coordonnées sont les couples d'entiers relatifs vérifiant l'équation de $d'$ : $3x-2y=1$.\\ On reconnaît l'équation $(E)$ alors, d'après {\bf B. 1. b.}, ce sont les points $B_{k'}$ de coordonnées $(2k'-1, 3k'-2)$, où $k'\in\Z$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[\bf a.]
		\item Soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs.
		
\begin{center}
$\begin{array}{lcl}
      A_{k} =B_{k'} &\iff & \left\{\begin{array}{lcl}
     k-3 	& = & 2k'-1   \\
     2k-2 	& = & 3k'-2  \\
							\end{array}\right. \\
                    &\iff &\left\{\begin{array}{lcl}
     k 		& = & 2k' + 2   \\
 2(2k'+2)-2 & = & 3k' - 2  \\
						\end{array}\right. \\
                     &\iff&\left\{\begin{array}{lcl}
     k 		& = & 2k'+2\\
     k' 	& = & -4\\  
							\end{array}\right.
\end{array}$
\end{center}
Finalement \begin{center}
\fbox{$A_{-6}=B_{-4}$}
\end{center}
  \item $[A_{k}B_{k'}]$ est parallèle à l'axe des abscisses si, et seulement si, $A_{k}$ et $B_{k'}$ ont la même ordonnée et $A_{k}\neq B_{k'}$, c'est-à-dire :
  
\begin{center}
$2k-2=3k'-2$\quad et\quad $k-3\neq 2k'-1$
\end{center}

soit 
\begin{center}
$2k = 3k'$\quad et\quad $k\neq 2k'+ 2$
\end{center}
si, et seulement si,
\begin{center}
\fbox{$k=3q$\quad et\quad $k'=2q$\quad où ~ $q\in\Z$ et $q\neq -2$}
\end{center}
\item $\vect{A_{3q}B_{2q}}=4\vec u \iff (4q-1)-(3q-3)=4 \iff q+2=4\iff q=2$
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[\bf a.]
		\item D'après la {\bf Partie A}, l'écriture complexe de $f$ est $z'=\dfrac12\e{-\text{i}\frac{\pi}{2}}(z-\omega )+\omega$ soit :
  \begin{center}
\fbox{$z'=-\dfrac{\text{i}}{2}z+\omega \left( 1+\dfrac{\text{i}}{2}\right)$}
\end{center}
		\item On commence par calculer l'affixe $z_{H}$ du point $H$ :
  \begin{center}
$z_{H}=\dfrac12\left( z_{A_{6}}+z_{B_{4}}\right) =\dfrac12\left( 3+7+\text{i}(10+10)\right) =5+10\text{i}$.
\end{center}
  D'après la question précédente, l'affixe de l'image du point $H$ (en fonction de $\omega$) est : ~ \begin{center}
$-\dfrac{\text{i}}{2}(5+10\text{i}) +\omega \left( 1+\dfrac{\text{i}}{2}\right)$
\end{center}
Ainsi,\\
$f(H)=O\iff -\dfrac{5}{2}\text{i}(1+2\text{i})+\omega \left( \dfrac{2+\text{i}}{2}\right) =0$\smallskip\\
$f(H)=O\iff \omega =\dfrac{5\text{i}(1+2\text{i})}{2+\text{i}}=\dfrac{5(\text{i}-2)}{2+\text{i}}\times\dfrac{2-\text{i}}{2-\text{i}}=\dfrac{\cancel{5}(-3+4\text{i})}{\cancel{5}}$\smallskip\\
Finalement
\begin{center}
\fbox{$f(H)=O\iff  \omega =-3+4\text{i}$}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\hypertarget{justifs}{\textbf{Justification des réponses au Q.C.M. (exercice 1)}}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Il s'agit d'un problème d'incidence entre une droite et un plan dans l'espace. Pour cela on cherche l'ensemble des points d'intersection de la droite (dont on connaît une représentation paramétrique) et du plan (dont on connaît une équation cartésienne). On résout le système 
\[\begin{array}{lcl}\left\{ \begin{array}{l}
    x  = -8+2t    \\
    y  =  7-t \\
    z  =  6+t \\
    2x+3y-z+4 = 0  
\end{array}\right. & \iff & \left\{ \begin{array}{l}
    x  = -8+2t    \\
    y  =  7-t \\
    z  =  6+t \\
    2(-8+2t)+3(7-t)-(6+t)+4  =  0  
\end{array}\right. \\
 & \iff & \left\{ \begin{array}{lcl }
    x & = & -8+2t    \\
    y & = & 7-t \\
    z & =&  6+t \\
    3 & = & 0  \quad\text{Impossible !}
\end{array}\right. \end{array}\]

Ce système n'a pas de solution : 
\begin{center}
\fbox{la droite et le plan n'ont aucun point en commun}
\end{center}}
\medskip
\item C'est encore un problème d'incidence, cette fois entre deux plans dans l'espace dont on connaît pour chacun d'eux une équation cartésienne.

On résout un système de deux équations linéaires à trois inconnues en choisissant, par exemple, $z=t$, $t\in\R$, comme paramètre :
\[\begin{array}{lcl}
  \left\{ \begin{array}{rcrcrcr}
   x & + & 4y & - & 3z & = & -4 \quad L_{1}\\
    2x & + & 3y & - & z & = & -4  \quad L_{2}\\
   & & & & z & = & t \quad L_{3}
\end{array}\right. & \iff  &\left\{ \begin{array}{rcrcrl}
   x & + & 4y &   = & -4+3t  & L_{1}\\
     & - & 5y &   = & 4-5t  & L_{2} \longleftarrow L_{2}-2L_{1}\\
     & &  z & = & t & L_{3}
\end{array}\right.  \\
 & \iff & \left\{ \begin{array}{lcr}
   x &  = & -\dfrac45-t\smallskip \\
    y & = & -\dfrac45 +t \\
     z & = & t 
\end{array}\right. , ~\quad t\in\R
\end{array}\]
On reconnaît une représentation paramétrique 
\fbox{d'une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath}  +\vect{\jmath} +\vect{k}$}
\item L'ensemble des points $M$ de l'espace qui sont équidistants des points $A$ et $B$ est le plan médiateur du segment $[AB]$, c'est-à-dire le plan de vecteur normal $\vect{AB}(-4 ; 2 ; 5)$ et passant par le milieu $I\left(-1~;~3~;~-\dfrac{3}{2} \right)$ du segment $[AB]$. 
On peut alors déterminer une équation cartésienne de ce plan ou bien tester les coordonnées de $I$ en calculant 
\begin{center}
$-4x_{I}+2y_{I}+5z_{I}=4+6-\dfrac{15}{2}=\dfrac52$.
\end{center}
Finalement, l'ensemble cherché est 
\begin{center}
\fbox{le plan d'équation ~ $-4x+2y+5z-\dfrac52=0$}
\end{center}
\medskip
\item Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 1)$ et $(B, -3)$, alors pour tout point $M$ de l'espace, $\vect{MA}-3\vect{MB}=(1-3)\vect{MG}=2\vect{GM}$, alors
$\left\| \vect{MA}-3\vect{MB}\right\| =5 \iff  2GM=5 \iff GM=\dfrac52.$

L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que  $\left\| \vect{MA}-3\vect{MB}\right\| =5$ est 
\begin{center}
\fbox{une sphère de centre $G$ dont l'abscisse est $\dfrac{1}{1-3}\left( x_{A}-3x_{B}\right) = -5$}
\end{center}
	\end{enumerate}}
\bigskip\begin{center}
\hyperlink{retour}{\fcolorbox{red}{white}{retour}}
\end{center}
\end{document}